专题11 解直角三角形及其应用（湖南专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题11 解直角三角形及其应用 考点01 特殊角的三角函数值 1．（2025•湖南）计算：． 2．（2024•长沙）计算：（）﹣1+||﹣2cos30°﹣（π﹣6.8）0． 3．（2024•湖南）计算：|﹣3|+（）0+cos60°． 4．（2023•娄底）计算：（π﹣2023）0+|1|tan60°． 5．（2023•张家界）计算：||﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1． 6．（2023•邵阳）计算：tan45°+（）﹣1+|﹣2|． 7．（2023•长沙）计算：||+（﹣2023）0﹣2sin45°﹣（）﹣1． 8．（2023•岳阳）计算：22﹣tan60°+|1|﹣（3﹣π）0． 9．（2023•湘西州）计算：（π+2023）0+2sin45°﹣（）﹣1+|2|． 10．（2023•常德）计算：． 、 11．（2023•怀化）计算：|﹣2|+（）﹣1（sin45°﹣1）0﹣（﹣1）． 12．（2023•郴州）计算：（）﹣1tan30°+（π﹣2023）0+|﹣2|． 13．（2023•株洲）计算：． 考点02 解直角三角形 1．（2025•长沙）如图，为的弦，于点C，连接，若，，则的长为 ． 2．（2023•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝（　　） A． B． C． D． 3．（2024•湖南）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 　 　分米（结果用含根号的式子表示）． 考点03 解直角三角形的实际应用 1．（2025•湖南）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． (1)如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； (2)如图2，未避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 2．（2025•长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 3．（2024•湖南）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米； ③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°； ④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段CE和BC的长度； （2）求底座的底面ABCD的面积． 4．（2023•常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形ABCD是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC＝CE，∠FBA＝114.2°，靠背FC＝57cm，支架AN＝43cm，扶手的一部分BE＝16.4cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面（MN）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：sin65.8°＝0.91，cos65.8°＝0.41，tan65.8°＝2.23） 5．（2023•湘潭）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处． 问题解决： （1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数； （2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据1.414，1.732） 6．（2023•娄底）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A、B两点，并过点B架设一水平线型轨道CD（如图所示），使得∠ABC＝α，从点B出发按CD方向前进20米到达点E，即BE＝20米，测得∠AEB＝β，已知sinα，tanβ＝3，求A、B两点间的距离． 7．（2023•岳阳）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是 　 　米（结果精确到0.1米，sin21.8°≈0.3714，cos21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000）． 8．（2023•长沙）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°． （1）求点A离地面的高度AO； （2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：1.73） 9．（2023•衡阳）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米． （1）求教学楼AB的高度． （2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB． 10．（2023•怀化）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB＝35m，测角仪的高度是1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．（1.732，结果保留一位小数） 11．（2023•张家界）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） 12．（2023•邵阳）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得AP距离是5000m，仰角为23°，9s后，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为45°，求火箭从P到Q处的平均速度（结果精确到1m/s）． （参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42） 13．（2023•永州）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示）．寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕像拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机支架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：1.732）． 14．（2023•株洲）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”，一辆轿车从被山峰POQ遮挡的道路②的点B处由南向北行驶．已知∠POQ＝30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，线段AO的延长线交直线BC于点D． （1）求∠COD的大小； （2）若在点B处测得点O在北偏西α方向上，其中，OD＝12米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车） 15．（2023•郴州）某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：1.41，1.73．结果精确到0.1km）． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 解直角三角形及其应用 考点01 特殊角的三角函数值 1．（2025•湖南）计算：． 【答案】 【知识点】零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 2．（2024•长沙）计算：（）﹣1+||﹣2cos30°﹣（π﹣6.8）0． 【分析】先计算零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减． 【解答】解：（）﹣1+||﹣2cos30°﹣（π﹣6.8）0 ＝421 ＝41 ＝3． 【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 3．（2024•湖南）计算：|﹣3|+（）0+cos60°． 【分析】根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根计算即可． 【解答】解：原式＝3+12 ． 【点评】本题考查的是实数的运算，掌握绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根的概念是解题的关键． 4．（2023•娄底）计算：（π﹣2023）0+|1|tan60°． 【分析】利用零指数幂，绝对值的性质，二次根式的运算法则，特殊锐角的三角函数值进行计算即可． 【解答】解：原式＝11+22． 【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5．（2023•张家界）计算：||﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1． 【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简5个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：||﹣（4﹣π）0﹣2sin60°+（）﹣1 1﹣25 15 ＝4． 【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式等知识点的运算． 6．（2023•邵阳）计算：tan45°+（）﹣1+|﹣2|． 【分析】分别根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝1+2+2 ＝5． 【点评】本题考查的是实数的运算，涉及到特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质，熟知以上知识是解题的关键． 7．（2023•长沙）计算：||+（﹣2023）0﹣2sin45°﹣（）﹣1． 【分析】分别根据绝对值、零指数幂的运算法则及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：原式1﹣22 12 ＝﹣1． 【点评】本题考查绝对值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值，熟知各个运算法则是解答此题的关键． 8．（2023•岳阳）计算：22﹣tan60°+|1|﹣（3﹣π）0． 【分析】先化简特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，再根据实数的运算法则计算即可． 【解答】解：22﹣tan60°+|1|﹣（3﹣π）0． ＝41﹣1 ＝2． 【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 9．（2023•湘西州）计算：（π+2023）0+2sin45°﹣（）﹣1+|2|． 【分析】先计算零次幂，特殊角的正弦值，负指数幂，求解绝对值，再合并即可． 【解答】解： ＝1． 【点评】本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础也是重要知识点，必须熟练掌握，同时考查了特殊角的三角函数值，零次幂的含义，熟练掌握零次幂，特殊角的正弦值以及负指数幂的运算法则是解题的关键． 10．（2023•常德）计算：． 【分析】根据负整数指数幂，特殊锐角的三角函数值，零指数幂，绝对值性质进行计算即可． 【解答】解：原式＝1﹣2|1| ＝1[﹣（1）] ＝1（1） ＝11 ＝0． 11．（2023•怀化）计算：|﹣2|+（）﹣1（sin45°﹣1）0﹣（﹣1）． 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案． 【解答】解：原式＝2+3﹣3+1+1 ＝4． 【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 12．（2023•郴州）计算：（）﹣1tan30°+（π﹣2023）0+|﹣2|． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案． 【解答】解：原式＝21+2 ＝2﹣1+1+2 ＝4． 【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 13．（2023•株洲）计算：． 【分析】根据算术平方根的意义，零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值即可得出结果． 【解答】解：原式 ＝1+1 ＝2． 【点评】本题考查了算术平方根的意义，零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键． 考点02 解直角三角形 1．（2025•长沙）如图，为的弦，于点C，连接，若，，则的长为 ． 【答案】6 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，由题意得是等边三角形；得出，根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等边三角形； ∴； ∵， ∴， 故答案为：． 2．（2023•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝（　　） A． B． C． D． 【分析】过C作CD⊥AB交AB延长线于D，计算出CD、AC的长，根据正弦计算方法计算即可． 【解答】解：过C作CD⊥AB交AB延长线于D， ∵A（0，1），B（4，1），C（5，6）， ∴D（5，1）， ∴CD＝6﹣1＝5，AD＝5， ∴AC＝5， ∴sin∠BAC， 故选：C． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，平面直角坐标系，关键是构造直角三角形． 3．（2024•湖南）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 　 　分米（结果用含根号的式子表示）． 【分析】延长DC交l于点H，连接OC，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解． 【解答】解：延长DC交l于点H，连接OC， 在Rt△OBH中，∠BOH＝90°﹣60°＝30°，OB＝12dm， ∴（dm），（dm）， ∵S△OBH＝S△OCH+S△OBC， ∴， ∴， ∴（dm）， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，解三角形及利用三角形等面积法求解，作出辅助线是解题关键． 考点03 解直角三角形的实际应用 1．（2025•湖南）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． (1)如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； (2)如图2，未避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】(1)14分米 (2)2分米 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）可证明四边形是矩形，得到；在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）过点E作于H，延长交于T，则四边形是矩形，可得；解求出的长，进而求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，分米， ∴分米， ∴分米， ∴分米， 答：该连衣裙的长度为14分米； （2）如图所示，过点E作于H，延长交于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，，， ∴分米， 分米， ∴分米， ∴分米， 分米， ∴分米； 答：此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为2分米． 2．（2025•长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）由题意可得，．从而得出，根据即可求解． （2）根据，得出．由（1）得．则，故．在中，解直角三角形求出，，从而求出．再根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，由题意可得，． ． ． （2）解：， ． 由（1）得． ． 又， ． 在中，，， ， ． ． ， ． ． ∴景点C与景点D之间的距离为． 3．（2024•湖南）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米； ③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°； ④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段CE和BC的长度； （2）求底座的底面ABCD的面积． 【分析】（1）根据题意得，即可确定CE长度，再由∠BFG＝45°得出BE＝EF＝4米，即可求解； （2）过点A作AM⊥GH于点M，继续利用正切函数确定AB＝ME＝6米，即可求解面积． 【解答】解：（1）∵GH⊥CE，EF的长为4米，∠CFG＝60.3°， ∴， ∴CE＝7（米）； ∵∠BFG＝45°， ∴BE＝EF＝4米， ∴CB＝CE﹣BE＝3（米）； （2）过点A作AM⊥GH于点M，如图所示： ∵∠AFG＝21.8°， ∴， ∵AM＝BE＝4米， ∴MF＝10米， ∴AB＝ME＝10﹣4＝6米， ∴底座的底面ABCD的面积为：3×6＝18（平方米）． 【点评】本题考查了解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． 4．（2023•常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形ABCD是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC＝CE，∠FBA＝114.2°，靠背FC＝57cm，支架AN＝43cm，扶手的一部分BE＝16.4cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面（MN）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：sin65.8°＝0.91，cos65.8°＝0.41，tan65.8°＝2.23） 【分析】过点F作FQ⊥CD于点Q，过C作CH⊥AB于点H，求出FQ、BH的值解答即可 【解答】解：过点F作FQ⊥CD于点Q， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠FBA＝114.2°， ∴∠FCQ＝180°﹣114.2°＝65.8°，FQ＝FC•sin∠FCQ＝57sin65.8°， 过点A作AP⊥MN于点P， 由题意知AB∥CD∥MN，FC∥AN， 则∠ANP＝∠FCQ＝65.8°，又AN＝43cm， ∴AP＝AN•sin∠ANP＝43sin65.8°， 过C作CH⊥AB于点H， ∵BC＝CE，EB＝16.4， ∴BH＝8.2， ∴CH＝BH•tan∠CBH＝8.2×2.23≈18.29， ∴靠背顶端F点距地面（MN）高度为 FQ+AP﹣HC＝57sin65.8°+43sin65.8°﹣18.29＝100×0.91﹣18.29＝72.71≈72.7cm． 【点评】本题考查了解直角三角形，掌握平行四边形是解题的关键． 5．（2023•湘潭）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处． 问题解决： （1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数； （2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据1.414，1.732） 【分析】（1）求出筒车每秒转过的度数，再根据周角的定义进行计算即可； （2）根据直角三角形的边角关系分别求出OD、OC即可． 【解答】解：（1）由于筒车每旋转一周用时120秒．所以每秒转过360°÷120＝3°， ∴∠BOM＝360°﹣3°×95﹣30°＝45°； （2）如图，过点B、点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C、D， 在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，OA＝2米， ∴ODOA（米）． 在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，OB＝2米， ∴OCOB（米）， ∴CD＝OD﹣OC0.3（米）， 即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 6．（2023•娄底）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A、B两点，并过点B架设一水平线型轨道CD（如图所示），使得∠ABC＝α，从点B出发按CD方向前进20米到达点E，即BE＝20米，测得∠AEB＝β，已知sinα，tanβ＝3，求A、B两点间的距离． 【分析】过点A作AF⊥CD于点F，根据sinα的值设AF＝24x米，AB＝25x米，根据勾股定理求出BF的长，再根据tanβ的值即可求出x的值，从而求出A、B两点间的距离． 【解答】解：过点A作AF⊥CD于点F， ∴∠AFB＝90°， 在Rt△ABF中，， ∴设AF＝24x米，AB＝25x米， 则由勾股定理得米， 在Rt△AFE中，， ∵BE＝20米， ∴， 解得x＝20， ∴AB＝25x＝500米． 答：A、B两点间的距离为500米． 【点评】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形，熟练掌握锐角三角函数值的定义是解题的关键． 7．（2023•岳阳）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是 　 　米（结果精确到0.1米，sin21.8°≈0.3714，cos21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000）． 【分析】由题意得，四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质得到AB＝CD＝1.5m，AD＝BC＝20m，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：由题意得，四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝1.5m，AD＝BC＝20m， 在Rt△ADE中， ∵AD＝BC＝20m，∠EAD＝21.8°， ∴DE＝AD•tan21.8°≈20×0.4000＝8（m）， ∴CE＝CD+DE＝1.5+8＝9.5（m）， 答：气球顶部离地面的高度EC是9.5m． 故答案为：9.5． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，矩形的性质，正确地理解仰角的定义是解题的关键． 8．（2023•长沙）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°． （1）求点A离地面的高度AO； （2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：1.73） 【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到结论； （2）在Rt△AOC中，根据直角三角形的性质得到OCAC＝4（km），在Rt△BOC中，根据等腰直角三角形的性质得到OB＝OC＝4km，于是得到结论． 【解答】解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km， ∴AOAC（km）， （2）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km， ∴OCAC＝4（km）， 在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠BCO＝45°， ∴∠BCO＝∠OBC＝45°， ∴OB＝OC＝4（km）， ∴AB＝OB﹣OA＝（4）km， ∴飞船从A处到B处的平均速度0.3（km/s）． 【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，正确地求得结果是解题的关键． 9．（2023•衡阳）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米． （1）求教学楼AB的高度． （2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB． 【分析】（1）过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM＝∠BDN＝30°，在Rt△BDM中，通过解直角三角形可得出BM的长度，再结合AB＝CM＝CD﹣DM，即可求出结论； （2）延长EB交DN于点G，则∠DGE＝∠MBE，在Rt△EMB中，利用锐角三角函数的定义求出∠MBE＝30°，从而可得∠DEG＝60°，然后在Rt△EDG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM＝∠BDN＝30°， 在Rt△BDM中，BM＝AC＝24米，∠DBM＝30°， ∴DM＝BM•tan∠DBM＝2424（米）， ∴AB＝CM＝CD﹣DM＝49.6﹣24＝25.6（米）． 答：教学楼AB的高度为25.6米； （2）延长EB交DN于点G，则∠DGE＝∠MBE， 在Rt△EMB中，BM＝AC＝24米，EM＝CM﹣CE＝24米， ∴tan∠MBE， ∴∠MBE＝30°＝∠DGE， ∵∠EDG＝90°， ∴∠DEG＝90°﹣30°＝60°， 在Rt△EDG中，ED＝CD﹣CE＝48米， ∴DG＝ED•tan60°＝48（米）， ∴48412（秒）， ∴经过12秒时，无人机刚好离开了圆圆的视线． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 10．（2023•怀化）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB＝35m，测角仪的高度是1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．（1.732，结果保留一位小数） 【分析】根据题意可得AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝35m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°，先利用三角形的外角性质可得∠DMN＝∠MDN＝30°，从而可得DN＝MN＝35m，然后在Rt△DNE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，即可得的答案． 【解答】解：由题意得：AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝35m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°， ∵∠DNE是△DMN的外角， ∴∠MDN＝∠DNE﹣∠DMN＝30°， ∴∠DMN＝∠MDN＝30°， ∴DN＝MN＝35m， 在Rt△DNE中，DE＝DN•sin60°＝35（m）， ∴DC＝DE+CE1.51.5≈31.8（m）． 答：烈士纪念碑的通高CD约为31.8m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 11．（2023•张家界）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） 【分析】延长BA交PQ的延长线于C，则∠ACQ＝90°，根据题意得到BC＝225m，PQ＝200m，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：延长BA交PQ的延长线于C， 则∠ACQ＝90°， 由题意得，BC＝225m，PQ＝200m， 在Rt△BCQ中，∠BQC＝45°， ∴CQ＝BC＝225m， ∴PC＝PQ+CQ＝425（m）， 在Rt△PCA中，tan∠APC＝tan15°， ∴AC＝114.75m， ∴AB＝BC﹣AC＝225﹣114.75＝110.25≈110（m）， 答：奇楼AB的高度约为110m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 12．（2023•邵阳）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得AP距离是5000m，仰角为23°，9s后，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为45°，求火箭从P到Q处的平均速度（结果精确到1m/s）． （参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42） 【分析】利用已知结合锐角三角函数关系得出PO以及QO的长，再求出PQ的长，即可得出平均速度． 【解答】解：由题意可得：∠PAO＝23°，∠QAO＝45°，AP＝5000m， 则PO＝APsin23°＝5000×0.39≈1950（m）， AO＝APcos23°＝5000×0.92≈4600（m）， ∴OQ＝AO＝4600m， ∴PQ＝OQ﹣OP＝4600﹣1950＝2650（m）， 则火箭从P处到Q处的平均速度为：2650÷9≈294（m/s）， 答：火箭从P到Q处的平均速度294m/s． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，得出QO的长是解题关键． 13．（2023•永州）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示）．寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕像拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机支架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：1.732）． 【分析】根据题意可得：AB⊥BN，AH⊥HN，BH＝CD＝MN＝0.9米，AB＝2.9米，CM＝DN，从而可得AH＝2米，然后在Rt△AHC中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，再在Rt△AHM中，利用锐角三角函数的定义求出HM的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：AB⊥BN，AH⊥HN，BH＝CD＝MN＝0.9米，AB＝2.9米，CM＝DN， ∴AH＝AB﹣BH＝2.9﹣0.9＝2（米）， 在Rt△AHC中，∠ACH＝45°， ∴CH2（米）， 在Rt△AHM中，∠AMH＝30°， ∴HM2（米）， ∴CM＝HM﹣HC＝22≈1.5（米）， ∴DN＝CM＝1.5米， ∴D、N两点间的距离约为1.5米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 14．（2023•株洲）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”，一辆轿车从被山峰POQ遮挡的道路②的点B处由南向北行驶．已知∠POQ＝30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，线段AO的延长线交直线BC于点D． （1）求∠COD的大小； （2）若在点B处测得点O在北偏西α方向上，其中，OD＝12米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车） 【分析】（1）根据垂直的定义得到∠POD＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠DOQ＝∠POD﹣∠POQ＝90°﹣30°＝60°，根据垂直的定义得到∠COQ＝90°，于是得到结论； （2）根据平行线的性质得到∠BCO＝180°﹣∠COQ＝90°，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AO⊥OP， ∴∠POD＝90°， ∵∠POQ＝30°， ∴∠DOQ＝∠POD﹣∠POQ＝90°﹣30°＝60°， ∵OC⊥OQ， ∴∠COQ＝90°， ∴∠COD＝∠COQ﹣∠DOQ＝90°﹣60°＝30°， 即∠COD的大小为30°； （2）∵BC∥OQ， ∴∠BCO＝180°﹣∠COQ＝90°， 在Rt△COD中，∠COD＝30°，OD＝12米， ∴（米）， ∴6（米）， ∵tan， ∴BC（米）， ∴BD＝BC﹣CD＝30﹣6＝24（米）， 即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，正确地求出结果是解题关键． 15．（2023•郴州）某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：1.41，1.73．结果精确到0.1km）． 【分析】由题意得，AB＝40×2＝80（km），∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，过C作CD⊥AB于D，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：由题意得，AB＝40×2＝80（km），∠CAB＝30°，∠ABC＝45°， 如图，过C作CD⊥AB于D， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴， ∵AB＝80km， ∴CD+CD＝80， 解得CD＝4040≈29.2（km）， 答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离为29.2km． 【点评】本题考查解直角三角形应用﹣方向角问题、勾股定理的应用等知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$