精品解析：江苏省南通市如皋市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

20242025学年度第二学期七年级期末学业质量监测 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为100分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在实数中，是无理数的是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2. 下列调查中，最适合普查的是（ ） A. 了解某校八年级男生的身高情况 B. 了解镇江市全市空气质量情况 C. 了解黄河流域现有鱼的种类 D. 了解某品牌洗衣机的使用寿命 3. 已知，下列不等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线相交于点，如图所示，于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，下列条件中能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果三角形两边长分别是，，那么第三边长可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，数轴上有四点，以下线段中，长度最接近的是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 8. 《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 若两个非负数，满足，则的最小值为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 10. 如图，，点在直线的上方，的平分线与的平分线的反向延长线交于点，的延长线交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算：=___． 12. 为了画出某样本的频数分布直方图，小明对数据进行了分组．在整理数据后，发现数据的最小值为42，最大值为90，若组距取10，则数据可分成___________组． 13. 如图，直线相交于点，则的度数为___________． 14. 若关于的二元一次方程的解为，则这个方程可以是___________． 15. 在平面直角坐标系中，平移线段，使点移到点，点移到点，若三点的坐标分别为，则点的坐标为___________． 16. 如图，把一个含有角的直角三角板放在两条平行线，上，若，则的度数是___________． 17. 若关于的不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是___________． 18. 定义：在平面直角坐标系中，若两个不同的点满足，则称点互为“等距点”．如点互为“等距点”．已知两点的坐标分别为，，若在线段上存在一点与点互为“等距点”，则的取值范围是___________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程组： （2）解不等式组，并写出该不等式组的正整数解． 20. 已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，b是的整数部分． （1）求和的值； （2）求的平方根． 21. 《哪吒2》上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题： （1）本次调查共抽取了___________名观众，其中喜欢哪吒的有___________名观众； （2）在扇形统计图中，求喜欢申公豹角色对应的圆心角度数，并补全条形统计图； （3）该电影院当天观看《哪吒2》的观众有3000人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少人？ 22. 在平面直角坐标系中，． （1）求的面积； （2）已知为轴上一点，若，求点的坐标． 23. 如图，在四边形中，． （1）求的度数； （2）在边上取一点，连接．若，求证：． 24. “五一”期间，美丽的如皋迎来一拨旅游热潮．市内某景点的门票价格规定如下表： 购票人数/人 100以上 票价/元 50 45 40 某旅行社接待了甲、乙两个旅游团，如果两个团单独购买该景点门票，甲团需支付45元/人，乙团需支付50元/人．经核算，甲、乙两团单独买票，共需支付3740元；若两团联合作为一个团体购票，则可少支付140元． （1）求甲、乙两个旅游团各有多少人？ （2）在购买门票前，旅行社新增接待丙旅行团，经研究决定将甲、乙、丙三个团联合作为一个团体购票．若购票的总费用不超过4600元，则丙团最多可有多少名游客？ 25. 如图，为的角平分线，点在上（不与重合），，延长交于点． （1）如图1，若，则的度数为___________． （2）当时，求证：； （3）如图2，的角平分线交于点，请用一个等式表示三个角之间的数量关系，并说明理由． 26. 综合与实践：在学习了“不等式的性质”后，某数学兴趣组以“四个正数，其中，”为条件进行了延伸探究． 【结论初探】 （1）小明发现，并给出了如下说理过程． ， 请判断与的大小关系，并参照小明给出的过程说明理由； 【作图再探】 （2）小丽通过作出的图形来说明小明发现的结论： ①如图1，在射线上截取，因为，则点落在线段上； ②分别在的延长线、的延长线上截取，则，则点落在线段上； ③由图1可知，，点在线段上，所以，，即． 小强也仿照小丽的思路尝试利用图形面积的大小关系来说明与的大小关系：如图2，按照小丽探究的①，作出点；作射线，……．请顺着小强的作法继续补全图形，并通过图形说明与的大小关系； 【拓展延伸】 （3）请进一步探究：若为的高，与之间具有怎样的大小关系； 【结论应用】 （4）如图3，四边形中，，垂足为，判断与的大小关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20242025学年度第二学期七年级期末学业质量监测 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为100分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在实数中，是无理数的是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、1是整数，属于有理数，不符合题意； B 、是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； C、0是整数，属于有理数，不符合题意； D、是整数，属于有理数，不符合题意． 故选：B． 2. 下列调查中，最适合普查的是（ ） A. 了解某校八年级男生的身高情况 B. 了解镇江市全市空气质量情况 C. 了解黄河流域现有鱼的种类 D. 了解某品牌洗衣机的使用寿命 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和普查的区别，熟练掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A、了解某校八年级男生的身高情况，适宜普查，故本选项符合题意； B、了解镇江市全市空气质量情况，适宜抽样调查，故本选项不符合题意； C、了解黄河流域现有鱼的种类，适宜抽样调查，故本选项不符合题意； D、了解某品牌洗衣机的使用寿命，适宜抽样调查，故本选项不符合题意； 故选：A 3. 已知，下列不等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，可得出答案． 【详解】解：A.两边都加4，不等号的方向不变，此选项错误； B. 两边都减3，不等号的方向不变，此选项错误； C. 两边都乘以，不等号的方向不变，此选项正确； D. 两边都乘以-2，不等号的方向改变，此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是不等式的性质，熟记不等式性质内容是解此题的关键． 4. 已知直线相交于点，如图所示，于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角度之间的数量关系，是解题的关键．垂直得到，利用，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 5. 如图，下列条件中能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行进行判定即可． 【详解】解：A、，不能判定，本选项不符合题意； B、，不能判定，本选项不符合题意； C、，可以判定，不能判定，本选项不符合题意； D、，能判定，本选项符合题意． 故选：D． 6. 如果三角形两边长分别是，，那么第三边长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，本题根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得出答案即可． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是，， ∴设这个三角形第三边长为， 则x的取值范围是：，即， 故这个三角形第三边的长可能是． 故选：B． 7. 如图，数轴上有四点，以下线段中，长度最接近的是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，估算无理数的大小，进而得到的大小，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可． 【详解】解：∵，即， ∴， 由数轴上各点所表示的数可得， 故选：D． 8. 《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据现有30钱，买得2斗酒，列出方程组即可． 【详解】解：设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，由题意，得： ； 故选A． 9. 若两个非负数，满足，则的最小值为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，由题意可得，再根据，为非负数可得且求得y的取值范围，然后将代入中得到关于y的代数式后求得其范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，为非负数， ∴且， 即且， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为6， 故选：C． 10. 如图，，点在直线的上方，的平分线与的平分线的反向延长线交于点，的延长线交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，平角的定义，延长交于M，设，，根据三角形外角的性质以及平行线的性质即可求解． 【详解】解：延长交于M， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的平分线与的平分线的反向延长线交于点G， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算：=___． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根． 【详解】∵（－2）3=－8， ∴， 故答案为：-2 12. 为了画出某样本的频数分布直方图，小明对数据进行了分组．在整理数据后，发现数据的最小值为42，最大值为90，若组距取10，则数据可分成___________组． 【答案】5 【解析】 【分析】根据组数=最大值与最小值的差除以组距来计算，组数应向上取整，计算解答即可． 本题考查了直方图中的组数的确定，熟练掌握确定的基本方法是解题的关键． 【详解】解：解：最大值与最小值的差是， 则可以分成的组数为： 组数应向上取整，故分为5组． 故答案为：5． 13. 如图，直线相交于点，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对顶角相等，得，变形计算即可． 本题考查了对等角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 又， 故， 故答案为：42． 14. 若关于的二元一次方程的解为，则这个方程可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据方程的解构造方程，正确理解方程解的定义是解题的关键． 本题考查了二元一次方程及其解，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：关于的二元一次方程的解为， 则这个方程可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 15. 在平面直角坐标系中，平移线段，使点移到点，点移到点，若三点的坐标分别为，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据确定是一个向左平移5个单位，向下平移3个单位的平移变换，确定平移坐标即可． 本题考查了坐标的平移，根据坐标确定平移方式，再确定平移坐标是解题的关键． 【详解】解：根据确定是一个向左平移5个单位，向下平移3个单位的平移变换， 故点平移后的坐标为． 故答案为：． 16. 如图，把一个含有角的直角三角板放在两条平行线，上，若，则的度数是___________． 【答案】87 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角相等．根据平行线的性质，可得，再结合三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：87 17. 若关于的不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有2个整数解，分别为， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 定义：在平面直角坐标系中，若两个不同的点满足，则称点互为“等距点”．如点互为“等距点”．已知两点的坐标分别为，，若在线段上存在一点与点互为“等距点”，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设线段上存在一点与互为“等距点”，得；根据，解答即可． 本题考查了坐标新定义问题，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设线段上存在一点与互为“等距点”，得， 解得； 根据两点的坐标分别为，，得， 故， 解得， 当时，，此时点与点重合，不符合题意， 故的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程组： （2）解不等式组，并写出该不等式组的正整数解． 【答案】（1）（2），故其正整数解为：，，，， 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解答即可； （2）利用解不等式组的基本步骤解答即可． 本题考查了方程组的解法，不等式组的解法，熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：（1） 用得， ． 把代入②得， 解得， 这个方程组的解为：． （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 这个不等式组的解集为：， 故其正整数解为：，，，，． 20. 已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，b是的整数部分． （1）求和的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，以及已知字母的值，求代数式的值． （1）根据平方根的意义求出a的值，再估算出的b值然后代入代数式进行计算即可解答； （2）把a，b的值代入中进行计算，然后再求出25的平方根即可解答． 【小问1详解】 解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵b是的整数部分， ∴； 【小问2详解】 解：当，时， ， ∴的平方根为． 21. 《哪吒2》上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题： （1）本次调查共抽取了___________名观众，其中喜欢哪吒的有___________名观众； （2）在扇形统计图中，求喜欢申公豹角色对应的圆心角度数，并补全条形统计图； （3）该电影院当天观看《哪吒2》的观众有3000人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少人？ 【答案】（1）150,60 （2），见解析 （3）2100人 【解析】 【分析】根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量，频数等于频率乘以样本容量计算即可． 根据圆心角的计算方法，频数等于频率乘以样本容量，先计算其他组的频数，后补图即可． 利用样本估计总体的思想解答即可． 本题考查的是扇形统计图，条形统计图，样本容量的计算，用样本估计总体，会计算样本容量，从题目图表中获取有用信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得样本容量为：， 喜欢哪吒的频数为， 故答案为：150,60． 【小问2详解】 解：根据题意，得喜欢申公豹角色对应的圆心角度数：， 根据题意，得其他的频数为，哪吒的频数为60， 补图如下： ； 【小问3详解】 解：根据题意，喜欢哪吒和敖丙的观众共有： （人）． 答：喜欢哪吒和敖丙的观众共有2100人． 22. 在平面直角坐标系中，． （1）求的面积； （2）已知为轴上一点，若，求点的坐标． 【答案】（1）6 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用分割法计算即可． （2）设，则，根据面积相等，建立方程求解即可． 本题考查了坐标系中的作图，分割法求面积，解绝对值方程，数轴上两点间距离计算，熟练掌握分割法是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，，得的面积为：． 【小问2详解】 解：设，则， 又， 根据题意，得， 解得或， 故点或． 23. 如图，在四边形中，． （1）求的度数； （2）在边上取一点，连接．若，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补，列式计算即可； （2）根据同旁内角互补，两直线平行，证明即可． 本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. “五一”期间，美丽的如皋迎来一拨旅游热潮．市内某景点的门票价格规定如下表： 购票人数/人 100以上 票价/元 50 45 40 某旅行社接待了甲、乙两个旅游团，如果两个团单独购买该景点门票，甲团需支付45元/人，乙团需支付50元/人．经核算，甲、乙两团单独买票，共需支付3740元；若两团联合作为一个团体购票，则可少支付140元． （1）求甲、乙两个旅游团各有多少人？ （2）在购买门票前，旅行社新增接待丙旅行团，经研究决定将甲、乙、丙三个团联合作为一个团体购票．若购票的总费用不超过4600元，则丙团最多可有多少名游客？ 【答案】（1）甲团有52人，乙团有28人 （2）35人 【解析】 【分析】（1）解：设甲团有x人，乙团有y人，根据题意，得，解答即可． （2）设丙团最多有m人，根据题意，得，求最大整数解即可． 本题考查了方程组的应用，不等式的应用，熟练掌握解方程组，即不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲团有x人，乙团有y人，根据题意，得， 解得， 答：甲团有52人，乙团有28人． 【小问2详解】 解：设丙团最多有m人， 为使丙团人数最多，应使得总票价单价尽可能低，故可先假设总人数超过100人，单价为40元 根据题意，得， 解得， 故最多35人． 答：丙团最多35人． 25. 如图，为的角平分线，点在上（不与重合），，延长交于点． （1）如图1，若，则的度数为___________． （2）当时，求证：； （3）如图2，的角平分线交于点，请用一个等式表示三个角之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据角的平分线，对顶角相等，三角形内角和定理计算解答即可． （2）根据（1）的证明解答即可； （3）根据（2）的结论，证明解答即可； 本题考查了角的平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，对等角相等，等量代换，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：．理由如下： 根据（2）解答，得， 根据三角形内角和定理，得， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴， 故． 26. 综合与实践：在学习了“不等式的性质”后，某数学兴趣组以“四个正数，其中，”为条件进行了延伸探究． 【结论初探】 （1）小明发现，并给出了如下说理过程． ， 请判断与的大小关系，并参照小明给出的过程说明理由； 【作图再探】 （2）小丽通过作出的图形来说明小明发现的结论： ①如图1，在射线上截取，因为，则点落在线段上； ②分别在的延长线、的延长线上截取，则，则点落在线段上； ③由图1可知，，点在线段上，所以，，即． 小强也仿照小丽的思路尝试利用图形面积的大小关系来说明与的大小关系：如图2，按照小丽探究的①，作出点；作射线，……．请顺着小强的作法继续补全图形，并通过图形说明与的大小关系； 【拓展延伸】 （3）请进一步探究：若为的高，与之间具有怎样的大小关系； 【结论应用】 （4）如图3，四边形中，，垂足为，判断与的大小关系并说明理由． 【答案】（1），见解析（2）见解析（3）（4） 【解析】 【分析】（1）仿照解法，变形计算解答即可． （2）仿照解法，变形计算解答即可． （3）过点B作于点E，得，故，利用不等式的性质，三角形的面积解答即可． （4）根据（3）的结论，解答即可． 【详解】（1）解：，四个正数， ， ． （2）解：①如图，作出点；作射线，在射线上截取，因为，则点落在线段上； ②作出点；在射线截取，，则点落在线段上； ③过点A作，过点C作，二线交于点E,同理作出交点F， ④根据作图，得到四边形都是矩形，且；； ⑤根据矩形在矩形内部，根据整体大于部分的原理，得到， ⑥故． （3）解：．理由如下： 过点B作于点E， 得，故 而为的高， 故， 故， 故． （4）解：．理由如下： 如图，四边形中，，垂足为， 根据（3）中的结论，得， 故， 故， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $