第一章 有理数（单元测试·提升卷）数学北京版2024七年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第一章 有理数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25七年级上·北京·期中）已知的倒数是它本身，则是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京房山·二模）如图，，是数轴上的两个数，则可能是（   ） A． B．0 C．0.5 D．1 4．（24-25七年级上·山东聊城·期末）在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25七年级上·北京·期中）若，则的值是（    ） A． B．0 C．3 D．1 6．（24-25七年级上·北京·期中）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是419；当输入时，输出结果是626；如果输入x的值是正整数，输出结果是311，那么满足条件的x的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25七年级上·北京·阶段练习）三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，也可以表示为0，，的形式，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D． 8．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25七年级上·北京·期中）比较大小： 填“”或“号”． 10．（24-25七年级上·北京顺义·期末）计算： . 11．（24-25七年级上·北京·期中）已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为，则点表示的数为 ． 12．（24-25七年级上·北京·期中）用四舍五入法将6.954精确到十分位，所得到的近似数为 ． 13．（24-25七年级上·北京·期中）用“”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有；那么 ． 14．（24-25七年级上·北京·阶段练习）如图，、、是数轴上点表示的有理数．计算： ． 15．（2025·北京顺义·一模）炼钢厂生产A，B，C三种产品．每个产品加工完成均需生产和冷却两道工序． 加工要求如下： ①生产工序每次只能生产一个产品； ②冷却工序可以多个产品同时进行； ③生产产品时可以同时冷却其它产品； ④每个产品的两道工序所需时间如下表所示： 产品 A B C 生产时间/分钟 2 7 6 冷却时间/分钟 2 10 3 已知A，B，C三种产品各生产一个． （1）若按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要 分钟； （2）若使完成A，B，C三个产品的加工总时间最短，则应按照 的顺序生产． 16．（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，点位于原点的左侧，表示数，点表示的数是1，点位于点的右侧，表示数，记．例如下图中，当，时，． 在线段上取点，其表示的数为，在线段上取点，其表示的数为． 则下列说法中，所有正确说法的序号是 ． ①； ②； ③当时，对于任意的点，总能找到点，使得； ④当时，对于任意的点，总能找到点，使得． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级下·北京·期末）计算： (1) (2) 18．（5分）（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上表示下列有理数：，，，，，并用“”连接． 19．（6分）（24-25七年级上·北京·期中）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数 所以原式 (1)上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的 (2)请你选择合适的解法计算： 20．（6分）（24-25七年级上·北京·期中）小车司机某天下午的运输全是在东西走向的高速公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程单位：千米如下： ，，，，，，，，，， (1)司机这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)司机这天下午共行车多少千米？ (3)若每千米耗油升，则这天下午司机用了多少升油？ 21．（6分）（24-25七年级下·北京·自主招生）L国向Y国连续进行了五天的弹道导弹攻击：第一天发射200枚，第二天发射100枚，第三天发射70枚，第四天发射50枚，第五天发射30枚．Y国在前三天的导弹拦截成功率为，而在第四天与第五天的导弹拦截成功率则下降为．那么L国这五天发射的导弹中，未被拦截的有多少枚？ 22．（8分）（24-25七年级上·北京·期中）商店在上周日买进某农产品10000斤，每斤2.2元．下表为本周内该农产品每天的售出价格比前一天的涨跌情况（购进当日的售出价格为每斤2.5元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况（元） 当天的交易量（斤） 2500 2000 3000 1500 1000 (1)星期四该农产品售出价格为每斤_____元； (2)本周内周_____该农产品的售出价格最低； (3)商店在本周的销售中的利润是多少元？ 23．（8分）（24-25七年级上·北京·期末）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产________辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产________辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 24．（8分）（24-25七年级上·北京西城·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算：     ；   ； ； ； ；     ； ；                   ；         ；                    ．   归纳*运算的法则(用文字语言叙述) (1)绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值如何确定？_________． 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，_____． (2)计算： (3)是否存在两个非零有理数m，n，使得，若存在，求出m，n满足的关系，若不存在，请说明理由． 25．（10分）（24-25七年级上·北京西城·期中）课本再现：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说逢几进一，就是几进制，几进制的基数就是几．规定当时，． 日常生活中，我们用十进制来表示数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．例如：． 计算机中采用的是二进制，只要用到两个数码：0，1．例如：十进制中的，表示的是二进制的10101000． 任务一：十进制数36改写成二进制数是________； 任务二：类比二进制数的算法，试求八进制数“3750”所表示的十进制数； 任务三：有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“101101101”译成密码． 26．（10分）（24-25七年级上·北京朝阳·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a，b满足a，b同号，求的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能：①a、b都是正数：②a、b都是负数． ①若a、b都是正数，即，，有及，则； ②若a、b都是负数，即，，有及，； 所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，求的值． (2)两个不为0的有理数a，b满足a，b异号，求的值． (3)若，则的值可能是多少？ 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第一章 有理数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C C A B C C A A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10．/ 11．或 12．7.0 13．24 14．/ 15．19 16．①②④ 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算、有理数乘法的分配律，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）利用有理数乘法的分配律计算即可得； （2）先计算大括号内的加减法、乘方、化简绝对值，再计算加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ．························································2分 （2）解：原式 ．························································5分 18．（5分） 【答案】数轴表示见解析， 【分析】此题主要考查了在数轴上表示有理数、借助数轴比较有理数大小等知识． 先把各数表示在数轴上，然后根据数轴上右边的数总比左边的大求解即可． 【详解】如图所示， ························································2分 由数轴可得，．························································5分 19．（6分） 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查有理数计算． （1）根据题意除法不可以用分配律，即可得到本题答案； （2）根据题意用解法二和解法三分别解答出来即可． 【详解】（1）解：上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的； 故答案为：一；························································2分 （2）解：原式的倒数 ，························································5分 所以原式．························································6分 20．（6分） 【答案】(1)师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地千米； (2)师傅这天下午共行车千米； (3)这天下午师傅用了升油 【分析】本题考查了正负数的意义、有理数的加减的应用、有理数的乘法的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）把所有行车记录的里程相加，再根据正数和负数的意义解答； （2）求出所有行车里程的绝对值的和； （3）将（2）中的结果乘以即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地38千米；························································2分 （2）解： （千米）   答：师傅这天下午共行车78千米；························································4分 （3）解：，   答：这天下午师傅用了升油．························································6分 21．（6分） 【答案】未被拦截的有61枚 【分析】前三天共发射枚，未被拦截率为，后两天共发射枚，未被拦截率为，列式计算即可． 本题考查了有理数混合运算的实际应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 前三天未被拦截导弹数：（枚），························································2分 后两天未被拦截导弹数：（枚）， 一共有：（枚）························································5分 答：未被拦截的有61枚．························································6分 22．（8分） 【答案】(1) (2)二 (3)6575元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键： （1）根据题意，用前一天的售价加上与前一天的价格涨跌情况，进行求解即可； （2）求出每天的售价，进行判断即可； （3）用总售价减去总成本，进行计算即可． 【详解】（1）解：（元）； 故答案为：3.15；························································2分 （2）星期一的售价为：元； 星期二的售价为：元； 星期三的售价为：元； 星期四的售价为：元； 星期五的售价为：元； 故周二的售价最低；························································5分 （3）（元）； 答：商店在本周的销售中的利润是6575元．···········································8分 23．（8分） 【答案】(1)599 (2)26 (3)84675 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算的应用，熟练掌握运算法则，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据表格列式计算即可得出答案； （2）根据最大数减去最小数即可得出答案； （3）根据工资的计算方法列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据记录可知前三天共生产（辆）；························································2分 （2）解：产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆）；························································5分 （3）解：， （元）， 该厂工人这一周的工资总额是元．··················································8分 24．（8分） 【答案】(1)绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，得这个数的平方 (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，绝对值的性质，理解材料中关于“*”运算方法，掌握绝对值的性质，含有乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）阅读材料，根据材料提示，总结归纳即可求解； （2）运用材料提示的运算法则进行计算即可； （3）根据材料提示得到，由此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值的确定方法是：绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，绝对值为正；0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果都等于这个数的平方；························································2分 故答案为：绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，绝对值为正；结果都等于这个数的平方； （2）解： ；························································5分 （3）解：存在，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴存在两个非零有理数m、n,使得．························································8分 25．（10分） 【答案】任务一：100100；任务二：2024；任务三：181 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值： （1）利用除2取余法进行求解即可； （2）仿照二进制转化为十进制的方法，求解即可； （3）先将二进制转化为十进制，再进行计算即可． 【详解】解：（1） ∴36改写成二进制数是100100；························································3分 （2）八进制数3750表示的十进制数为： ························································6分 （3）二进制数101101101转成十进制数为： 因为365为奇数，所以密码为： ．························································10分 26．（10分） 【答案】(1)10或4； (2)0； (3)3或． 【分析】（1）由且，且得到a和b的值，代入求解即可； （2）由a、b异号分2种情况讨论：①，；②，，分别求解即可； （3）由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，分情况讨论：①当a，b，c都是正数，即，，时，②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴，或，， 当，时， 当，时， 综上，的值10或4；························································2分 （2）解：由a、b异号，可知：①，；②，， 当，时，； 当，时，， 综上，的值为0；························································6分 （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则： 所以：的值为3或．························································10分 【点睛】本题考查了阅读理解问题，涉及了绝对值、有理数的混合运算、分类讨论等，熟练掌握相关知识并能运用分类讨论思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第一章 有理数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25七年级上·北京·期中）已知的倒数是它本身，则是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，根据乘积是1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】∵1的倒数是1，的倒数是，0没有倒数， ∴正确答案为C． 故选C． 2．（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离已知为，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可． 【详解】解：月球远地点距离为，小行星的距离是该值的45倍，即： ． 故选：C 3．（2025·北京房山·二模）如图，，是数轴上的两个数，则可能是（   ） A． B．0 C．0.5 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，有理数的减法运算，根据数轴可知，进而可得出，结合选项即可得出答案． 【详解】解：根据数轴可知：， ∴， 故符合题意， 故选：A 4．（24-25七年级上·山东聊城·期末）在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义，整数和分数统称为有理数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．据此判断即可． 【详解】解：是有理数，有6个． 故选B． 5．（24-25七年级上·北京·期中）若，则的值是（    ） A． B．0 C．3 D．1 【答案】C 【分析】此题主要考查了非负数的性质，有理数的减法运算．直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出a，b的值进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 6．（24-25七年级上·北京·期中）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是419；当输入时，输出结果是626；如果输入x的值是正整数，输出结果是311，那么满足条件的x的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与程序图的运算，根据程序图的运算顺序，分别算出第一个数、第二个数、第三个数，第四个数，再结合输入x的值是正整数，进行作答即可． 【详解】解：第一个数就是直接输出其结果的：， 解得：， 第二个数是 解得：； 第三个数是：， 解得：， 第四个数是， 解得：，不是正整数（舍去）； 故满足条件所有x的值是104、35或12． 故选：C． 7．（24-25七年级上·北京·阶段练习）三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，也可以表示为0，，的形式，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的运算和有理数的乘方，以及分类讨论思想，根据题意可得，则，可求得，；或，或，以上两种情况均不成立． 【详解】解：∵三个互不相等的有理数，既可以表示为1，， b的形式，也可以表示为0，，a的形式， ∴这两组的数分别对应相等， ①当，则， 那么，，， ， 此时，， ②当， 若与三个互不相等的有理数矛盾， 若则不成立， ③当，则与三个互不相等的有理数矛盾， 故选：A． 8．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25七年级上·北京·期中）比较大小： 填“”或“号”． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的大小比较．根据正数大于负数、负数都小于0、两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴； ∵，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：，． 10．（24-25七年级上·北京顺义·期末）计算： . 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，解答本题的关键是熟练掌握有理数的乘除法则． 先根据有理数的除法法则，把除法化成乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·北京·期中）已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点之间距离求法、数轴上的点表示有理数等知识，由数轴上点表示的数，再根据数轴上两点之间的距离，计算即可得到答案．掌握数轴上两点之间距离的求法是解决问题的关键． 【详解】解：已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为，则点表示的数为或者， 故答案为：或． 12．（24-25七年级上·北京·期中）用四舍五入法将6.954精确到十分位，所得到的近似数为 ． 【答案】7.0 【分析】本题主要考查了近似数的估算方法，根据近似数的定义：经过四舍五入得到的数称为近似数；根据近似数精确到哪一位，应当看这位数后面的数，小于5舍去，大于5进一位，即可得出答案． 【详解】用四舍五入法将6.954精确到十分位，所得到的近似数为7.0． 故答案为：7.0． 13．（24-25七年级上·北京·期中）用“”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有；那么 ． 【答案】24 【分析】本题考查有理数的新定义运算及乘方运算，解答本题的关键是明确新定义运算概念，转化为乘方运算，进而求解． 根据新定义，代入求值即可求解． 【详解】∵， ∴． 故答案为：24． 14．（24-25七年级上·北京·阶段练习）如图，、、是数轴上点表示的有理数．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，以及合并同类项，根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键．根据数轴判断出的正负情况以及绝对值的大小，然后求出的正负情况，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后合并同类项即可得解． 【详解】解：由图可知：， 所以可得， 故答案为：． 15．（2025·北京顺义·一模）炼钢厂生产A，B，C三种产品．每个产品加工完成均需生产和冷却两道工序． 加工要求如下： ①生产工序每次只能生产一个产品； ②冷却工序可以多个产品同时进行； ③生产产品时可以同时冷却其它产品； ④每个产品的两道工序所需时间如下表所示： 产品 A B C 生产时间/分钟 2 7 6 冷却时间/分钟 2 10 3 已知A，B，C三种产品各生产一个． （1）若按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要 分钟； （2）若使完成A，B，C三个产品的加工总时间最短，则应按照 的顺序生产． 【答案】 19 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据生产和冷却要求以及完成各道工序所需时间如列式解答即可； （2）根据产品A，B，C生产和冷却的时间，结合加工要求分情况解答即可． 【详解】解：（1）由题意得：生产产品的同时可以冷却其他多个产品， 生产A产品需要2分钟，生产B产品需要7分钟，可在生产B产品的同时冷却A产品， 生产1个A产品1个B产品并冷却1个A产品共需要9分钟，即分钟； 生产C产品的同时冷却B产品，冷却B产品需要10分钟，生产C产品需要6分钟， 生产C产品后还需冷却B产品1分钟， 冷却C产品需要3分钟， 按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟， 故答案为：19； （2）由（1）知按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 同理：按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 若使完成A，B，C三个产品的加工总时间最短，则应按照“”的顺序生产，并完成冷却， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，点位于原点的左侧，表示数，点表示的数是1，点位于点的右侧，表示数，记．例如下图中，当，时，． 在线段上取点，其表示的数为，在线段上取点，其表示的数为． 则下列说法中，所有正确说法的序号是 ． ①； ②； ③当时，对于任意的点，总能找到点，使得； ④当时，对于任意的点，总能找到点，使得． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查数轴概念，相反数的定义，根据题意得到判断①，根据，判断②，根据特殊值判断③，根据相反数的定义，表示出，结合，判断④即可． 【详解】解：①∵，即 ∴①成立，故正确； ②∵ ∵， 又∵在线段上取点，其表示的数为， 在线段上取点，其表示的数为 ∴，成立，故②正确 ③若，而，当时，不能找到， ∴当时，对于任意的点，不一定找到点，使得，故③不正确． ④如图，设点表示的数即为，则， 将线段向右平移1个单位得到，则点与点重合，则表示的数为， 对于任意的点，都在上，则对任意的表示的点都在上 表示的点都在上， ∵当时，即，则 ∴在上总能找到点表示，即，即 ∴当时，对于任意的点，总能找到点，使得，故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级下·北京·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算、有理数乘法的分配律，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）利用有理数乘法的分配律计算即可得； （2）先计算大括号内的加减法、乘方、化简绝对值，再计算加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．（5分）（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上表示下列有理数：，，，，，并用“”连接． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】此题主要考查了在数轴上表示有理数、借助数轴比较有理数大小等知识． 先把各数表示在数轴上，然后根据数轴上右边的数总比左边的大求解即可． 【详解】如图所示， 由数轴可得，． 19．（6分）（24-25七年级上·北京·期中）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数 所以原式 (1)上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的 (2)请你选择合适的解法计算： 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查有理数计算． （1）根据题意除法不可以用分配律，即可得到本题答案； （2）根据题意用解法二和解法三分别解答出来即可． 【详解】（1）解：上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的； 故答案为：一； （2）解：原式的倒数 ， 所以原式． 20．（6分）（24-25七年级上·北京·期中）小车司机某天下午的运输全是在东西走向的高速公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程单位：千米如下： ，，，，，，，，，， (1)司机这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)司机这天下午共行车多少千米？ (3)若每千米耗油升，则这天下午司机用了多少升油？ 【答案】(1)师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地千米； (2)师傅这天下午共行车千米； (3)这天下午师傅用了升油 【分析】本题考查了正负数的意义、有理数的加减的应用、有理数的乘法的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）把所有行车记录的里程相加，再根据正数和负数的意义解答； （2）求出所有行车里程的绝对值的和； （3）将（2）中的结果乘以即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地38千米； （2）解： （千米）   答：师傅这天下午共行车78千米； （3）解：，   答：这天下午师傅用了升油． 21．（6分）（24-25七年级下·北京·自主招生）L国向Y国连续进行了五天的弹道导弹攻击：第一天发射200枚，第二天发射100枚，第三天发射70枚，第四天发射50枚，第五天发射30枚．Y国在前三天的导弹拦截成功率为，而在第四天与第五天的导弹拦截成功率则下降为．那么L国这五天发射的导弹中，未被拦截的有多少枚？ 【答案】未被拦截的有61枚 【分析】前三天共发射枚，未被拦截率为，后两天共发射枚，未被拦截率为，列式计算即可． 本题考查了有理数混合运算的实际应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 前三天未被拦截导弹数：（枚）， 后两天未被拦截导弹数：（枚）， 一共有：（枚） 答：未被拦截的有61枚． 22．（8分）（24-25七年级上·北京·期中）商店在上周日买进某农产品10000斤，每斤2.2元．下表为本周内该农产品每天的售出价格比前一天的涨跌情况（购进当日的售出价格为每斤2.5元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况（元） 当天的交易量（斤） 2500 2000 3000 1500 1000 (1)星期四该农产品售出价格为每斤_____元； (2)本周内周_____该农产品的售出价格最低； (3)商店在本周的销售中的利润是多少元？ 【答案】(1) (2)二 (3)6575元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键： （1）根据题意，用前一天的售价加上与前一天的价格涨跌情况，进行求解即可； （2）求出每天的售价，进行判断即可； （3）用总售价减去总成本，进行计算即可． 【详解】（1）解：（元）； 故答案为：3.15； （2）星期一的售价为：元； 星期二的售价为：元； 星期三的售价为：元； 星期四的售价为：元； 星期五的售价为：元； 故周二的售价最低； （3）（元）； 答：商店在本周的销售中的利润是6575元． 23．（8分）（24-25七年级上·北京·期末）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产________辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产________辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)599 (2)26 (3)84675 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算的应用，熟练掌握运算法则，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据表格列式计算即可得出答案； （2）根据最大数减去最小数即可得出答案； （3）根据工资的计算方法列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据记录可知前三天共生产（辆）； （2）解：产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆）； （3）解：， （元）， 该厂工人这一周的工资总额是元． 24．（8分）（24-25七年级上·北京西城·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算：     ；   ； ； ； ；     ； ；                   ；         ；                    ．   归纳*运算的法则(用文字语言叙述) (1)绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值如何确定？_________． 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，_____． (2)计算： (3)是否存在两个非零有理数m，n，使得，若存在，求出m，n满足的关系，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，得这个数的平方 (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，绝对值的性质，理解材料中关于“*”运算方法，掌握绝对值的性质，含有乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）阅读材料，根据材料提示，总结归纳即可求解； （2）运用材料提示的运算法则进行计算即可； （3）根据材料提示得到，由此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值的确定方法是：绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，绝对值为正；0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果都等于这个数的平方； 故答案为：绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，绝对值为正；结果都等于这个数的平方； （2）解： ； （3）解：存在，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴存在两个非零有理数m、n,使得． 25．（10分）（24-25七年级上·北京西城·期中）课本再现：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说逢几进一，就是几进制，几进制的基数就是几．规定当时，． 日常生活中，我们用十进制来表示数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．例如：． 计算机中采用的是二进制，只要用到两个数码：0，1．例如：十进制中的，表示的是二进制的10101000． 任务一：十进制数36改写成二进制数是________； 任务二：类比二进制数的算法，试求八进制数“3750”所表示的十进制数； 任务三：有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“101101101”译成密码． 【答案】任务一：100100；任务二：2024；任务三：181 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值： （1）利用除2取余法进行求解即可； （2）仿照二进制转化为十进制的方法，求解即可； （3）先将二进制转化为十进制，再进行计算即可． 【详解】解：（1） ∴36改写成二进制数是100100； （2）八进制数3750表示的十进制数为： （3）二进制数101101101转成十进制数为： 因为365为奇数，所以密码为： ． 26．（10分）（24-25七年级上·北京朝阳·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a，b满足a，b同号，求的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能：①a、b都是正数：②a、b都是负数． ①若a、b都是正数，即，，有及，则； ②若a、b都是负数，即，，有及，； 所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，求的值． (2)两个不为0的有理数a，b满足a，b异号，求的值． (3)若，则的值可能是多少？ 【答案】(1)10或4； (2)0； (3)3或． 【分析】（1）由且，且得到a和b的值，代入求解即可； （2）由a、b异号分2种情况讨论：①，；②，，分别求解即可； （3）由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，分情况讨论：①当a，b，c都是正数，即，，时，②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴，或，， 当，时， 当，时， 综上，的值10或4； （2）解：由a、b异号，可知：①，；②，， 当，时，； 当，时，， 综上，的值为0； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则： 所以：的值为3或． 【点睛】本题考查了阅读理解问题，涉及了绝对值、有理数的混合运算、分类讨论等，熟练掌握相关知识并能运用分类讨论思想是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第一章 有理数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25七年级上·北京·期中）已知的倒数是它本身，则是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京房山·二模）如图，，是数轴上的两个数，则可能是（   ） A． B．0 C．0.5 D．1 4．（24-25七年级上·山东聊城·期末）在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25七年级上·北京·期中）若，则的值是（    ） A． B．0 C．3 D．1 6．（24-25七年级上·北京·期中）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是419；当输入时，输出结果是626；如果输入x的值是正整数，输出结果是311，那么满足条件的x的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25七年级上·北京·阶段练习）三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，也可以表示为0，，的形式，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D． 8．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25七年级上·北京·期中）比较大小： 填“”或“号”． 10．（24-25七年级上·北京顺义·期末）计算： . 11．（24-25七年级上·北京·期中）已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为，则点表示的数为 ． 12．（24-25七年级上·北京·期中）用四舍五入法将6.954精确到十分位，所得到的近似数为 ． 13．（24-25七年级上·北京·期中）用“”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有；那么 ． 14．（24-25七年级上·北京·阶段练习）如图，、、是数轴上点表示的有理数．计算： ． 15．（2025·北京顺义·一模）炼钢厂生产A，B，C三种产品．每个产品加工完成均需生产和冷却两道工序． 加工要求如下： ①生产工序每次只能生产一个产品； ②冷却工序可以多个产品同时进行； ③生产产品时可以同时冷却其它产品； ④每个产品的两道工序所需时间如下表所示： 产品 A B C 生产时间/分钟 2 7 6 冷却时间/分钟 2 10 3 已知A，B，C三种产品各生产一个． （1）若按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要 分钟； （2）若使完成A，B，C三个产品的加工总时间最短，则应按照 的顺序生产． 16．（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，点位于原点的左侧，表示数，点表示的数是1，点位于点的右侧，表示数，记．例如下图中，当，时，． 在线段上取点，其表示的数为，在线段上取点，其表示的数为． 则下列说法中，所有正确说法的序号是 ． ①； ②； ③当时，对于任意的点，总能找到点，使得； ④当时，对于任意的点，总能找到点，使得． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级下·北京·期末）计算： (1) (2) 18．（5分）（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上表示下列有理数：，，，，，并用“”连接． 19．（6分）（24-25七年级上·北京·期中）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数 所以原式 (1)上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的 (2)请你选择合适的解法计算： 20．（6分）（24-25七年级上·北京·期中）小车司机某天下午的运输全是在东西走向的高速公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程单位：千米如下： ，，，，，，，，，， (1)司机这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)司机这天下午共行车多少千米？ (3)若每千米耗油升，则这天下午司机用了多少升油？ 21．（6分）（24-25七年级下·北京·自主招生）L国向Y国连续进行了五天的弹道导弹攻击：第一天发射200枚，第二天发射100枚，第三天发射70枚，第四天发射50枚，第五天发射30枚．Y国在前三天的导弹拦截成功率为，而在第四天与第五天的导弹拦截成功率则下降为．那么L国这五天发射的导弹中，未被拦截的有多少枚？ 22．（8分）（24-25七年级上·北京·期中）商店在上周日买进某农产品10000斤，每斤2.2元．下表为本周内该农产品每天的售出价格比前一天的涨跌情况（购进当日的售出价格为每斤2.5元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况（元） 当天的交易量（斤） 2500 2000 3000 1500 1000 (1)星期四该农产品售出价格为每斤_____元； (2)本周内周_____该农产品的售出价格最低； (3)商店在本周的销售中的利润是多少元？ 23．（8分）（24-25七年级上·北京·期末）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产________辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产________辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 24．（8分）（24-25七年级上·北京西城·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算：     ；   ； ； ； ；     ； ；                   ；         ；                    ．   归纳*运算的法则(用文字语言叙述) (1)绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值如何确定？_________． 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，_____． (2)计算： (3)是否存在两个非零有理数m，n，使得，若存在，求出m，n满足的关系，若不存在，请说明理由． 25．（10分）（24-25七年级上·北京西城·期中）课本再现：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说逢几进一，就是几进制，几进制的基数就是几．规定当时，． 日常生活中，我们用十进制来表示数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．例如：． 计算机中采用的是二进制，只要用到两个数码：0，1．例如：十进制中的，表示的是二进制的10101000． 任务一：十进制数36改写成二进制数是________； 任务二：类比二进制数的算法，试求八进制数“3750”所表示的十进制数； 任务三：有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“101101101”译成密码． 26．（10分）（24-25七年级上·北京朝阳·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a，b满足a，b同号，求的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能：①a、b都是正数：②a、b都是负数． ①若a、b都是正数，即，，有及，则； ②若a、b都是负数，即，，有及，； 所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，求的值． (2)两个不为0的有理数a，b满足a，b异号，求的值． (3)若，则的值可能是多少？ 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$