专题10 反比例函数（全国通用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题10 反比例函数 考点01 反比例函数的解析式 1．（2025·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·云南·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 3．（2024·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 4．（2023·海南·中考真题）若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（    ） A．2 B． C． D． 5．（2023·江苏泰州·中考真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（    ） x 1 2 4 y 4 2 1 A． B． C． D． 6．（2023·辽宁大连·中考真题）已知蓄电池两端电压为定值，电流与成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（   ） A． B． C． D． 8．（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为 ． 9．（2025·山东烟台·中考真题）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 10．（2024·江苏南京·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．完成下表： … … … … 考点02 反比例函数的图象 1．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）    A．   B．   C．   D．   4．（2023·湖北十堰·中考真题）函数的图象可以由函数的图象左右平移得到． (1)将函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，则____； (2)下列关于函数的性质：①图象关于点对称；②随的增大而减小；③图象关于直线对称；④的取值范围为．其中说法正确的是________（填写序号）； (3)根据（1）中的值，写出不等式的解集：_________． 5．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 考点03 反比例函数的性质 1．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限． 2．（2023·河北·中考真题）如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．    3．（2023·四川甘孜·中考真题）若反比例函数图像经过第一、三象限，则k的取值范围是 ． 4．（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 5．（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． 7．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 8．（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 9．（2023·湖北襄阳·中考真题）点，都在反比例函数的图象上，则 ．（填“”或“”） 10．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 考点04 k的几何意义 1．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 3．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023·广西·中考真题）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 10．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ． 11．（2023·陕西·中考真题）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ． 考点05 反比例函数与一次函数的综合——解不等式 1．（2025·重庆·中考真题）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围； (3)点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 4．（2025·四川广安·中考真题）如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集． 5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点． (1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____； (2)若点的等和点在直线上，求的值； (3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 考点06 反比例函数与一次函数的综合——求面积 1．（2025·青海·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数（为常数）的图象在第二象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 2．（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 3．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留） 4．（2025·安徽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． (1)求a与k的值； (2)设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 5．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． (1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； (2)连接，请直接写出四边形的面积． 6．（2024·湖北·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． (1)求m，n，k的值； (2)若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围． 7．（2024·甘肃·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 考点07 反比例函数与一次函数的综合——动点问题 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)点P为y轴负半轴上一点，连接．若的面积为6，求点P的坐标． 2．（2025·江西·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 3．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求一次函数的表达式，并求的面积． (2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)结合图形，请直接写出不等式的解集． (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 5．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 6．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． (1)求的值及点的坐标． (2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值． 7．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． 提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； (3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值． 9．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 反比例函数 考点01 反比例函数的解析式 1．（2025·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的， 点所在的反比例函数的， 反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：D． 2．（2024·云南·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求值，即可解题． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 3．（2024·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 【详解】解：解：当时，，图象不经过，故A不符合要求； 当时，，图象一定经过，故B符合要求； 当时，，图象不经过，故C不符合要求； 当时，，图象不经过，故D不符合要求； 故选：B． 4．（2023·海南·中考真题）若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】把点代入反比例函数解析式即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点， ∴， 解得， 故选：B 【点睛】此题考查了反比例函数，把点的坐标代入函数解析式准确计算是解题的关键． 5．（2023·江苏泰州·中考真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（    ） x 1 2 4 y 4 2 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断． 【详解】解：A、若直线过点， 则，解得， 所以， 当时，，故不在直线上，故A不合题意； B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意； C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得 ，解得，符合题意； D、由C可知，不合题意． 故选：C． 【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 6．（2023·辽宁大连·中考真题）已知蓄电池两端电压为定值，电流与成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， ∵当时，， ， 解得， ， 则当时，， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握待定系数法是解题关键． 7．（2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了双曲线的解析式，点的坐标与线段长度，解题的关键是得出双曲线的解析式． 把点的坐标代入，可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点和点的横坐标，代入解析式可得纵坐标，作差即可． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴双曲线， ∵“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 故选：． 8．（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根据题意得出，，解得，，即，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴，两点关于原点对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴，， ∴，， ∴， 把代入， 得， 解得， 故答案为：9． 9．（2025·山东烟台·中考真题）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，先证明，，设，可得，，求解，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 过作于， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D 10．（2024·江苏南京·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．完成下表： … … … … 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 设电流与电阻的函数关系式为，根据待定系数法求出解析式，当时，，填表即可． 【详解】解：设电流与电阻的函数关系式为， 把代入得， ， 电流与电阻的函数关系式为， 当时， ， 填表如下： … … … … 考点02 反比例函数的图象 1．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【答案】(1)100 (2)见解析 (3)当的长增大时，拉力减小，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出是的反比例函数． （1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据发现： ， 因此点与点的距离与拉力F的乘积不变， ∴； （2）解：与之间的函数图象，如图所示： （3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小． 2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 3．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意代入数据求得，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，函数为反比例函数， 当时，， 即函数图象经过点． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键． 4．（2023·湖北十堰·中考真题）函数的图象可以由函数的图象左右平移得到． (1)将函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，则____； (2)下列关于函数的性质：①图象关于点对称；②随的增大而减小；③图象关于直线对称；④的取值范围为．其中说法正确的是________（填写序号）； (3)根据（1）中的值，写出不等式的解集：_________． 【答案】(1) (2)①④ (3)或 【分析】（1）根据“左加右减”的规律即可求解； （2）根据平移的性质得出①正确；类比反比例函数图象的性质即可判断②④，根据平移的性质将向左平移个单位，得出，即可判断③； （3）根据题意，画出两个函数图象，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：∵函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象， ∴； 故答案为：． （2）解：∵可以看作是由向左平移个单位得到的， ∵函数图象的对称中心为，将其对称中心向左平移个单位， 则对称中心为，故①正确， ②类比反比例函数图象，可得，故函数图象不是连续的， 在直线两侧， 随的增大而减小；故②错误； ③∵关于对称， 同①可得，向左平移个单位得到： ∴图象关于直线对称；故③不正确； ④∵平移后的对称中心为，左右平移图象后，与轴没有交点， ∴的取值范围为．故④正确， 故答案为：①④． （3）∵， ∴不等式 如图所示，在第三象限内和第一象限内，， ∴或， 故答案为：或．      【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的平移，平移的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 5．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 考点03 反比例函数的性质 1．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限． 【答案】四/ 【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴ ∴ ∴点在第四象限， 故答案为：四． 2．（2023·河北·中考真题）如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．    【答案】4（答案不唯一，满足均可） 【分析】先分别求得反比例函数图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可． 【详解】解：当反比例函数图像过时，； 当反比例函数图像过时，； ∴k的取值范围为 ∴k可以取4． 故答案为4（答案不唯一，满足均可）． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键． 3．（2023·四川甘孜·中考真题）若反比例函数图像经过第一、三象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】直接根据反比例函数的性质即可得到结论． 【详解】解：∵反比例函数的图像过一、三象限， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质．反比例函数的性质主要有：（1）反比例函数的图像是双曲线；（2）当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；（3）当时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．注意：反比例函数的图像与坐标轴没有交点．根据反比例函数的图像判断出的取值范围是解答此题的关键． 4．（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意； 、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故符合题意； 故选：D． 5．（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解． 【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时， ∴当时，， 故选：B． 6．（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵、、， ∴A在第二象限，B，C在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与，再代入进而得出答案． 【详解】解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为， 时，， ，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为， ． 故答案为：． 8．（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 9．（2023·湖北襄阳·中考真题）点，都在反比例函数的图象上，则 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】由反比例函数的图像性质得到在同一象限内，随的增大而减小，即可得到答案． 【详解】解：， 在同一象限内，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据反比例函数的图像性质判断出函数的增减性，熟练掌握函数的增减性是解题的关键． 10．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答． 【详解】解：∵当时，，即， ∴当时，y随x的增大而增大． A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； C、函数的图象开口向上，对称轴为， 则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意； D、函数的图象开口向下，对称轴为， 则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意． 故选：C 11．（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 考点04 k的几何意义 1．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 2．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】由，可得，故①符合题意；如图，连接，，，与的交点为，利用的几何意义可得的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，证明四边形为矩形，可得当最小，则最小，设，可得的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵，，四边形是矩形； ∴， ∴，故①符合题意； 如图，连接，，，与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴的面积等于四边形的面积；故②符合题意； 如图，连接， ∵轴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小，则最小， 设， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③不符合题意； 如图，设平移距离为， ∴， ∵反比例函数为，四边形为矩形， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 5．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点，    ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于； 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 6．（2023·广西·中考真题）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得． 【详解】设，则，， ∵点A在的图象上 则， 同理∵B，D两点在的图象上， 则 故， 又∵， 即， 故， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， 设， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∵反比例函数经过、两点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 8．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：C． 9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 10．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ． 【答案】 【分析】连结、，轴，由得到．由得到，则，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：如图，连结、，    ∵轴， ∴． ∴． ∵， ∵， ∴， ∵图象位于第一象限，则， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形结合的思想是解答问题的关键． 11．（2023·陕西·中考真题）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为m， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设反比例函数的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义． 考点05 反比例函数与一次函数的综合——解不等式 1．（2025·重庆·中考真题）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)作图见解析，性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小 (3)（或或或或） 【分析】本题考查函数解析式，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，反比例函数与不等式，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关性质，并能正确分段列出动点问题的相关线段是解题的关键． （1）利用矩形性质和勾股定理得出，，分两部分：①当时；②当时，分别列出；过点作于点，利用等面积法求出，即可表示出的面积为，同理可得的面积为，再结合矩形的面积为与，即可列出； （2）根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质； （3）根据图象写出的图象在下方时对应的自变量的取值范围即可 【详解】（1）解：∵为矩形的对角线AC的中点，，， ∴，， ∴， 当时，，如图， ∴； 当时，，如图， ∴； ∴； 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴的面积为， 同理可得的面积为， 又∵矩形的面积为， ∴， ∴； （2）解：作图如下： 性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小； （3）解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：C． 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围； (3)点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)或 (3)点C坐标为或 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等． （1）由待定系数法求解即可； （2）根据图象即可求得； （3）设与轴交于点，得出，设，则，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2 ∴将代入， 则， ∴反比例函数解析式为：， ∴将代入， 则， ∴， 将，代入， 则， 解得： ∴一次函数解析式为：； （2）解：∵， ∴观察图象，当时，的取值范围是或； （3）解：设与轴交于点， 当时， ∴ ∴， 设， ∴ ∵的面积为18， ∴ ∴， ∴，即 解得：或 ∴点C坐标为或． 4．（2025·四川广安·中考真题）如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：把点代入，得，解得， 反比例函数的解析式为， 把点代入，得，解得， ， 把，代入得，解得 一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于x的不等式的解集或． 5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点． (1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____； (2)若点的等和点在直线上，求的值； (3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 【答案】(1)和； (2)； (3)或． 【分析】（）根据等和点的定义判断即可求解； （）设点的横坐标为，根据等和点的定义得点的纵坐标为，即可得点的坐标为，把点的坐标代入即可求解； （）由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，即得，得到反比例函数解析式为，设，点的横坐标为，根据等和点的定义得，代入得，解方程得，，据此即可求解； 本题考查了点的坐标新定义运算，一次函数点的坐标特征，一次函数与反比例函数的交点问题，理解等和点的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由，得，， ∴点是点的等和点； 由，得，，， ∵， ∴不是点的等和点； 由，得，， ∴是点的等和点； 故答案为：和； （2）解：设点的横坐标为， ∵点是点的等和点， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴； （3）解：由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 设，点的横坐标为， ∵点是点的等和点， ∴点的纵坐标为， ∴， ∵点在直线上， ∴， 整理得，， 去分母得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴点的坐标为或．    考点06 反比例函数与一次函数的综合——求面积 1．（2025·青海·中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数（为常数）的图象在第二象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）先由点代入求出点的坐标为，然后代入即可求解； （）过点作轴于点，然后求出，，再由即可求解． 【详解】（1）解：把点代入中得， ∴， ∴一次函数解析式为， 把点代入中， 得， ∴点的坐标为， 把代入中， 得，， ∴反比例函数解析式为； （2）解：过点作轴于点， ∵， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∴． 2．（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的问题，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线解析式为，则可求出，过点A作轴交直线于T，则，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； ∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 如图所示，过点A作轴交直线于T， ∵， ∴点T的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ． 3．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和． 【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D， ∴轴，轴， ∵半径为1， ∴， ∴A点的纵坐标为1， 把代入，求得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴第一象限中阴影的面积， 同理，第三象限中阴影的面积， ∴． 故答案为：． 4．（2025·安徽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． (1)求a与k的值； (2)设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 【答案】(1)， (2)16 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数与反比例函数综合，正确求出a、k的值解题的关键． （1）把A、B横坐标分别代入两个函数解析式，根据同一个横坐标下，两个函数的函数值相同建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求可得直线的解析式，则可求出点C和点D的坐标，坐标可得的长，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，． （2）解：由（1）知直线对应的一次函数表达式为． 在中，令，得，令，得， ∴，， ∴．． ∴的面积为． 5．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． (1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； (2)连接，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)， (2)10 【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标； （2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解． 【详解】（1）解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； 设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得： ，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，， ∴点B的坐标为； （2）解：∵点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2， ∴， 解得：； 由题意知，， ∴ ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键． 6．（2024·湖北·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． (1)求m，n，k的值； (2)若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点坐标代入求出，得到直线解析式，再把点坐标代入直线解析式求出，把点坐标代入反比例函数解析式求出值即可； （2）根据题意，列出不等式，解答即可． 【详解】（1）解：把点坐标代入得：， 解得， 直线解析式为， 把点坐标代入直线解析式得， 解得， 把点坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， （2）∵ 反比例函数解析式为， 的面积小于的面积， ，即， 点在反比例函数图象上，且在第一象限， ， ． 7．（2024·甘肃·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先根据一次函数图象的平移规律，再把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可； （2）先分别求出C、D的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数的解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵轴，， ∴点C和点D的纵坐标都为2， 在中，当时，，即； 在中，当时，，即； ∴， ∵， ∴． 考点07 反比例函数与一次函数的综合——动点问题 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)点P为y轴负半轴上一点，连接．若的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为：；反比例函数解析式为：； (2)点P的坐标为． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点坐标，利用三角形面积公式，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在一次函数图象上， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为：； ∵点在一次函数图象上， ∴， 解得， ∴点， ∵点在反比例函数图象上， ∴ ∴反比例函数解析式为：； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， 由题意得， 解得， ∵点P为y轴负半轴上一点， ∴， ∴点P的坐标为． 2．（2025·江西·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； (2)点，直线l平移的距离为． 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先得到点和点关于直线对称，可求得，设直线l向上平移个单位经过点，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； （2）解：作一三象限的角平分线，如图， ∵，∴， 根据双曲线的对称性，知点和点关于直线对称， ∴， 作轴于点，作轴于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴点，设直线l向上平移个单位经过点， ∴平移后的直线为， ∴， 解得， ∴直线l平移的距离为． 3．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求一次函数的表达式，并求的面积． (2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标，再把点A和点C坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式，进而求出点M的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可； （2）利用对称性可得点B坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案当时，则，可求出；设，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数的表达式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵直线经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不垂直， ∵与相似， ∴只存在和这两种情况， 当时，则，， ∴，， ∴此时点D为的中点， ∴点D的坐标为； 当时，则，， ∴； 设， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或． 4．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)结合图形，请直接写出不等式的解集． (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 【答案】(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为 (2)或 (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出直线与反比例函数的交点坐标，进而根据函数图象解答即可； （）分和两种情况，利用勾股定理列出方程解答即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，掌握数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把，代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：如图，设直线与反比例函数的图象相交于点， 由，解得，， ∴，， 由函数图象可知，当或时，反比例函数图象位于一次函数图象下方，即， ∴不等式的解集为或； （3）解：当时，， 即， 整理得，， ∴； 当时，， 即， 整理得，， ∴； 综上，的值为或． 5．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)； (2) (3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，在中，当时，，则． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为； （3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 综上所述，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 6．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． (1)求的值及点的坐标． (2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求解A的坐标，再求解反比例函数解析式，再联立两个解析式可得B的坐标； （2）由，证明，可得，求解,证明，如图，当时，最短；再进一步利用勾股定理与等面积法求解即可； 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． ∴， ∴, ∴， ∴反比例函数为：； ∴， 解得：，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，, ∴， ∴，， 如图，当时，最短； ∴； 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，求解函数解析式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，理解题意是解本题的关键. 7．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）依据题意，设直线交轴于点，交轴于点，由直线为，可得，故，再由，进而计算可以得解； （３）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合)与关于轴对称，故为，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵在反比例函数上， ∴． ∴反比例函数表达式为． 又在反比例函数上， ∴． ∴． 设一次函数表达式为， ∴， ∴，． ∴一次函数的表达式为． （2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B， 又直线l为， ∴，． ∴，， ∴； （3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长． ∵与关于y轴对称， ∴为． 又，设的解析式为， 则，解得， ∴直线为． 令，则． ∴． 8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． 提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； (3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解； （3）由一次函数平移规律可得直线：，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点B的纵坐标为3． ∴， 把代入得，， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点D是边的中点， ∴，即， ∵点D在反比例函数图象上， 把代入得，， 解得， ∴， ∴； （3）解：∵将直线向上平移6个单位得到直线：， ∵直线与函数图象交于，两点， ∴联立方程组得，， 即， 设、， ∴， ∵点P为的中点， ∴点P的横坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， 把代入得，， 解得， ∴直线与x、y轴交于点、， ∴，， ∴， ∴， 过点O作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)最大值是，此时 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把D的坐标代入直线的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可； （2）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： ，， ． 又， ． ， 点． 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将点代入，得． ． 将代入，得． （2）解：延长交y轴于点Q，交于点L．   ，， ． 轴， ，． ， ， ， ． 设点P的坐标为，，则，． ． ． 当时，有最大值，此时． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$