专题4.1～4.2 因式分解的意义与提取公因式法重难点题型专训（2个知识点+5大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题4.1~4.2 因式分解的意义与提取公因式法难点题型专训 （2个知识点+5大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 判断是否使因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 题型五 添括号 拓展训练一 因式分解的意义综合应用 拓展训练二 提公因式法综合应用 知识点一：因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2.拓展：（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 【即时训练】 1．（23-24七年级下·湖北·期末）有两个式子①；②，对于从左到右的变形的判断，正确的是（        ） A．①是整式乘法 B．②是因式分解 C．①、②均是因式分解 D．①、②均不是因式分解 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义和整式乘法的定义进行逐一判断即可：把一个多项式变形为几个整式积的形式叫做因式分解． 【详解】解：观察可知式子和都不是因式分解，且式子也不是整式乘法， 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟知相关定义是解题的关键． 2．（25-26七年级下·新疆·月考）有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 【答案】 ① ② 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 【详解】解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 知识点二：用提公因式法分解因式 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 2.怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 拓展：（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·重庆·期中）把多项式因式分解时，提取的公因式是，则n的值可能为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用提公因式法，即可解答． 【详解】解：把多项式因式分解时，提取的公因式是，则：n≥5， 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的关键． 2．24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）与的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是确定几个单项式的公因式，先确定公因式的系数：取两个单项式的系数的最大公约数，再取相同因式的最低次幂的积，从而可得答案． 【详解】解：与的公因式是， 故答案为：． 【经典例题一 判断是否使因式分解】 【例1】（2023·七年级下 河北唐山）下列各式：①，②，③，从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A．② B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】解：①③为因式分解；②项不属于因式分解； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了因式分解的定义，正确把握因式分解的定义是解题关键． 【例2】（23-24七年级下·浙江·期末）下列各式从左到右是因式分解的是_______． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【答案】③④⑥ 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； ②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； ③是因式分解，故符合题意； ④是因式分解，故符合题意； ⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意； ⑥是因式分解，故符合题意； 故答案为：③④⑥． 【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 1．（25-26七年级下·重庆·期中）下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是整式乘法运算，结果是多项式，不是乘积形式，该项不符合题意． B．将多项式化为三个整式的乘积，符合因式分解的定义，该项符合题意． C． 的结果是和的形式，不是整式乘积，该项不符合题意． D． 中，是分式，不是整式，不符合要求，该项不符合题意． 2．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解的定义是将一个多项式化为几个整式的积的形式． 选项A是整式乘法，选项C左边不是多项式，选项D仅提取数字，选项B符合定义． 【详解】解：因式分解需满足左边为多项式，右边为整式的积， 选项A：左边为积，右边为多项式，是整式乘法，不符合因式分解的定义； 选项B：左边为多项式，右边为，是积的形式，符合因式分解的定义； 选项C：左边含分式，不是多项式，不符合因式分解的定义； 选项D：左边为多项式，右边为积的形式，但仅提取数字，不符合因式分解的定义； 故选：B． 3．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是___________． 【答案】④ 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：①中不是整式，它不是因式分解； ②是乘法运算，它不是因式分解； ③中等号左边是单项式，它不是因式分解； ④符合因式分解的定义，它是因式分解． 故答案为：④． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是因式分解，见解析 (2)是 (3)不是因式分解，见解析 【分析】（1）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可； （2）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可； （3）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可． 【详解】（1）解：不是因式分解，理由：从左到右的变形不是化成整式积的形式， 故不是因式分解； （2）解：从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （3）解：不是因式分解，理由：等式右边不是整式的形式， 故不是因式分解． 【经典例题二 已知因式分解的结果求参数】 【例1】（25-26七年级下·山东青岛·期中）若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B．9 C． D．6 【答案】A 【分析】利用因式分解与整式乘法互逆的关系，展开因式分解的结果，对比对应项系数求出和的值，再计算． 【详解】解：∵，又， ∴ 对比对应项系数得，， 解得， 将代入得， ∴． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里： (1)（   ）； (2)； (3)（   ）； (4)（   ）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法是解题的关键． （1）提取公因式2即可求解； （2）提取公因式即可求解； （3）提取公因式即可求解； （4）提取公因式即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： 故答案为：； （3）解：， 故答案为：； （4）解： 故答案为：． 1．（25-26七年级下·重庆·期中）若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 3．（2023七年级下·甘肃平凉）已知是多项式的因式，则_______，_______． 【答案】 【分析】本题考查多项式的因式，根据是多项式的因式，可得当时，的值也为0，令，，原多项式为，则，解得；当，时，原多项式为，则，解得． 【详解】解：当，时，，， 是多项式的因式， ， ； 当，时，，， ， ， ， 故答案为：，． 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中的解法设，然后将和代入得到，，然后解方程组求出m和n的值； （2）设，根据多项式乘以多项式展开，比较系数，即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式含有因式和， ∴设 ∵上式为恒等式， ∴当时，， 当时，， ∴联立①②解得 （2）解：∵含有因式和， 设 对比多项式的系数可知： ∴ 【经典例题三 公因式】 【例1】（2024七年级下·全国·专题练习）若，则的值与的公因式为（  ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的加减和公因式的概念，掌握公因式的概念是解题的关键． 根据合并同类项，可化简整式，根据公因式是每项都含有的因式，可得答案． 【详解】， ， 的值与的公因式， 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·全国·随堂练习）给出下列四组代数式：①和；②和；③和；④和．其中没有公因式的一组是________．（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查了公因式的概念，正确理解公因式是解题的关键． 根据公因式的概念逐一判断选项即可． 【详解】①和的公因式是，不符合题意； ②和没有公因式，符合题意； ③和的公因式是，不符合题意； ④和的公因式是5，不符合题意； 故答案为：②． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 确定公因式需考虑系数、字母及多项式部分，注意与的关系，通过转换统一形式后提取最大公约数和最低次幂. 【详解】解：∵ ， ∴ 原式化为 . 系数和的最大公约数为，字母和的最低次幂为，多项式的最低次幂为， ∴ 公因式为 ， 故选：A. 2．（25-26七年级下·广西崇左·月考）所得的结果是（　　） A． B．2100 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，通过提取公因式，将原式化简为 ，然后利用负数的偶次幂为正的性质计算． 【详解】解：∵ 又∵（指数为偶数） ∴原式 故选A 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）写出下列多项式的最大公因式： （1）：_____． （2）：_____． （3）：_____． 【答案】 2 【分析】本题考查了多项式最大公因式的确定方法，掌握先找系数的最大公约数，再找各字母的最小指数的步骤是解题的关键． 对于每个多项式，先找出系数的最大公约数，再确定变量部分的最小指数，组合得到最大公因式． 【详解】解：（1）多项式的系数和的最大公约数为，变量和无公共变量，故最大公因式为； （2）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，故最大公因式为； （3）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，变量的最小指数为，故最大公因式为． 故答案为：；；． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】找多项式各项的公因式，需分别确定系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次幂，再将二者相乘即可． 【详解】（1）解：对于多项式，系数3、、6的最大公约数是3，各项都含有的相同字母为，且的最低次幂是1， ∴各项的公因式为． （2）解：对于多项式，系数4、的最大公约数是2，各项都含有的相同字母为、，的最低次幂是1，的最低次幂是2， ∴各项的公因式为． 【经典例题四 提公因式法分解因式】 【例1】（2024·七年级下 台湾）下列何者为多项式的因式分解（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．用提公因式法分解因式即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·北京·期中）若，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．原式变形为，提公因式合并同类项后得，再提公因式2得，将已知条件代入计算即可． 【详解】解： ， ∵ ， 代入得： 原式， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·湖南常德·期末）下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将左边的式子提取公因式得，再通过对比即可求出被遮盖的式子． 【详解】解：， ∴被遮盖的式子为． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据用含a、b的式子表示出阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解： ， ∵阴影部分的面积为10， ∴． ∴的值不变． 3．（2023·七年级下 广西柳州）添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式： ①； 又比如多项式可以这样分解： ②； 仿照以上方法，分解多项式的结果是______． 【答案】 【分析】直接根据添项、拆项的方法进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为： 【点睛】本题考查添项与拆项法对多项式进行因式分解，解题的关键是熟练运用提公因式法，也考查了学生的观察能力和整体思想． 4．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）设是一个三位数，其中分别是这个三位数的百位、十位、个位上的数字． (1)用含的式子表示； (2)若，试说明一定能被9整除． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了列代数式，提公因式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据十进制数表示方法列出代数式即可； （2）根据（1）列出代数式，变形后，得出一定能被9整除． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴ ∴一定能被9整除． 【经典例题五 添括号】 【例1】（24-25七年级下·湖北黄冈·月考）与代数式  相等的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添括号，根据添括号的法则，括号外面是负号，括号里的每一项都要变号，进行判断即可． 【详解】解：； 故选C． 【例2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）（______）． 【答案】 【分析】本题主要考查了去括号和添括号，去括号和添括号时，如果括号前面是“”，那么添括号和去括号时，括号里面的式子的每一项都不变号，若括号前面是“”， 那么添括号和去括号时，括号里面的式子的每一项都变号，据此求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 1．（2023·七年级下 湖北武汉）在多项式中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”，例如，，…．在所有可能的“加算操作”中，不同的运算结果共有（    ） A．8种 B．16种 C．24种 D．32种 【答案】B 【分析】根据“加算操作”的原则可知，不会改变前两项的符号，改变的是后四项的符号，根据题意，画出示意图，即可求解． 【详解】解：依题意，根据“加算操作”的原则可知，不会改变前两项的符号，改变的是后四项的符号，    共有16种不同结果， 故选：B． 【点睛】本题考查了去括号法则，列举法求所有可能结果，理解题意是解题的关键． 2．（2023七年级下·全国·竞赛）当时，代数式的值为13，则当时，代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体代入思想是解题关键．将代入得到，整理得到，然后将代入变形得到，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵当时代数式的值为13， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ． 故选：A． 3．（2023七年级下·安徽阜阳·竞赛）已知，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】此题考查了代数式的值，整体代入是解题的关键． 由得到，再把变形为，即可整体代入求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期中）【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为_____；（用含的式子表示） （2）若代数式的值为4，则代数式的值为______； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 【答案】（1）；（2）；（2） 【分析】本题主要考查了代数式求值，添括号，合并同类项，正确理解并应用整体思想是解题的关键． （1）根据合并同类项的法则计算出的结果，再把结果中的a用替换即可得到答案； （2）先求出的结果，再根据求解即可； （3）先求出的值，再根据求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵代数式的值为4， ∴， ∴， ∴； （3）∵的值为最大的负整数， ∴， ∴ ． 【拓展训练一 因式分解的意义综合应用】 【例1】（25-26七年级下·重庆·月考）已知整式，其中，，，，为正整数，为整数，且，下列说法： ①满足条件的所有整式中，没有单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，能进行因式分解的有个； ③所有满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得的值可能是，，，再逐项判断即可求解 【详解】解：∵，，，，为正整数，为整数，且， ∴ ∴的值可能是，，， ∵，，为正整数， ∴若整式为单项式，只能是，其中， 此时，解得，不为整数，与条件矛盾，所以不存在满足条件的单项式，故①正确； 当时，整式为，由可得： 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 当时，整式为，由可得： 当时，， 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 当时，， 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 当时，， 若，则，，此时整式有个， ∴当时，满足条件的整式共有个； ∴当时，满足条件的整式共有个，其中能进行因式分解的有，，，，，共个，故②错误； 当时，整式为，由可得： 当时，， 若，则， 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 若，则，此时无解， ∴当时，满足条件的整式共有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； ∴当时，满足条件的整式共有个， 综上，所有满足条件的整式共有个，故③错误， ∴正确的个数有个． 【例2】（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解的意义，可根据已知条件设出这两个一次因式分别是与，相乘后根据多形式相等可求出、的值，从而得到答案． 【详解】解：设， ， ， 解得，或 或． 故答案为：或． 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ∴M为：， 故选：D． 2．（25-26七年级下·山东日照·月考）要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有（） A．4个 B．5个 C．8个 D．无数个 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解的条件，设二次三项式可分解为，其中a和b为整数，则，,由于a可取任意整数，p随之有无数个取值,即可解答． 【详解】解：∵二次三项式在整数范围内能因式分解， ∴可设，其中a，b为整数． 即， ∴． 令a为任意整数，则，亦为整数， ∴． 由于a可取无数个整数值，故p也有无数个可能取值． 故选D． 3．（25-26七年级下·北京·期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，由于多项式能分解成两个一次因式的积，设分解形式为，展开后比较系数，得到方程组．通过求解方程组，得到，代入表达式计算即可． 【详解】解：设多项式分解为，展开得： 与多项式比较系数： 由和取整数解，． 代入得，； 代入得到，解得， ∴， ∴， 验证其他方程均成立． 当时，代入， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，的值为3．（4）1，7，13，29． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）利用多项式乘以多项式的法则将展开，对应相等即可得出结果； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设这两个一次式为和，则，从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）由图甲可得，长方形的面积为， 由图乙可得，长方形的面积为， 故得到的等式是； （2） ， ∵， ∴； （3）∵关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴另一个因式为，的值为； （4）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴设这两个一次式为和， ∴， ∴，，， ∵、、、均为整数， ∴当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，7，13，29． 【拓展训练二 提公因式法综合应用】 【例1】（24-25七年级下·云南德宏·期末）如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 【答案】D 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解，再将已知条件整体代入计算，即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 【例2】（25-26七年级下·福建厦门·期中）若，则______． 【答案】 【分析】先对已知条件变形整理得到关于的二次等式，再对所求多项式提取公因式因式分解，代入二次等式计算即可得到结果． 【详解】解：已知， 移项得 ， 两边平方得 ， 展开整理得 ， 对所求多项式因式分解： ． 1．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则与提取公因式，找出公因式是解决本题的关键．先提取，再根据同底数幂的运算法则进行变形求解即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．（25-26七年级下·山西临汾·期中）如图，长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2，则的值为（   ） A．12 B．21 C．8 D．49 【答案】A 【分析】此题考查因式分解的应用，根据题意得到，代入所求代数式因式分解后的因式中计算即可 【详解】解：∵长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2， ∴， ∴， 故选：A 3．（2023七年级下·全国）已知，，则的值为_________ 【答案】34 【分析】本题考查了利用完全平方公式化简求值，以及提取公因式的方法，将，这两式两边平方后再相加，经过提取公因式，左边可得，由此即可求值． 【详解】解：， ①两边平方，得， 即， ②两边平方，得， 即， 得，， ∴， ∴， 故答案为：34． 4．（25-26七年级下·全国·周测）（1）多项式可以因式分解成，，为整数．求的值． （2）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先提取公因式，将多项式整理成的形式，对比系数求出、，再计算； （2）先变形多项式，提取公因式，再合并同类项整理成的形式，对比系数求出、、，最后计算． 【详解】解：（1）原式 对比，得：，． ∴． （2）原式 对比，得：，， ∴． 【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题关键是通过观察多项式结构，准确提取公因式，再通过系数对比求出未知参数． 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解是将多项式写成几个整式的积的形式，需满足变形符合定义且等式成立，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．，是整式乘法运算，不是因式分解，故该选项不符合题意， B．，是因式分解，故该选项符合题意， C．，右边不是整式积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意， D．，是整式乘法运算，不是因式分解，故该选项不符合题意． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】将分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出的值． 【详解】解： ∵ 多项式可分解为 ∴将展开结果与对比，对应项系数相等，可得． 3．（25-26七年级下·山东烟台·期末）多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的最大公因式． 根据最大公因式的定义，先确定各项系数的最大公约数，再确定各项都含有的字母的最低次幂，结合选项判断即可． 【详解】解：∵多项式各项系数6、12、的绝对值的最大公约数是3，各项都含有的字母为a、b，a的最低次幂是2，b的最低次幂是1， ∴该多项式的最大公因式可以为， 故选：B 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的方法，重点考查提取公因式法中的符号处理，能准确识别因式分解过程中的错误是解题的关键． 检查因式分解每一步的符号和变形，发现步骤①将原式的负号错误改为正号，导致后续步骤基于错误表达式进行． 【详解】解：原式为， ∵， ∴正确变形应为， 但步骤①写为，符号错误， ∴ 开始出现错误的一步是①． 故选：A． 5．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，求的值．（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法因式分解是解决此题的关键．先因式分解，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 故选：D． 6．（25-26七年级下·重庆·开学考试）对代数式任意添加两个不嵌套的括号括号内至少有两个字母并改变括号内的运算符号，然后进行去括号运算，称此为“括号相反操作”．例如：，…，下列说法： ①存在“括号相反操作”，使其运算结果相等； ②当运算结果为时，有2种不同的“括号相反操作”； ③所有的“括号相反操作”共有5种不同运算结果．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先根据题意列出所有符合要求的“括号相反操作”，计算每个操作的结果，再逐一判断三个说法的正误． 【详解】解：∵ 总共有5个字母，每个括号至少2个字母， ∴所有符合要求的括号组合共5种，分别计算结果如下： ， ， ， ， ， ①第1种操作和第3种操作的结果相同，故说法①正确，符合题意； ②第1种操作和第3种操作的结果都是，故说法②正确，符合题意； ③所有的“括号相反操作”共有4种不同运算结果，故说法③错误，不符合题意； 综上所述，正确的个数有2个． 7．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先表示出底面积和侧面积，然后求它们的差，再提取公因式分解因式即可． 【详解】解：底面积为（b﹣2a）2， 侧面积为a•（b﹣2a）•4＝4a•（b﹣2a）， ∴M＝（b﹣2a）2﹣4a•（b﹣2a）， 提取公式（b﹣2a）， M＝（b﹣2a）•（b﹣2a﹣4a）， ＝（b﹣6a）（b﹣2a） 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解，灵活提取公因式是本题关键． 8．（25-26七年级下·湖北十堰·期末）已知，则的值是(   ) A．0 B．1 C．－1 D．2 【答案】A 【分析】把分组，每三个数作为一组，再每组提取公因式，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵，而 ∴ 故选A 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法的逆用，因式分解的应用，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“把要求值的代数式进行分组，再提取公因式分解因式”是解本题的关键． 9．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）在多项式：中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如：选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第（）轮“加括号操作”． 下列相关说法错误的个数是：（    ） ①选择d，e进行“加括号操作”，化简后得到结果：； ②存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； ③不存在第（）轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； ④对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了推理能力，整式加减混合运算，根据说法举出例子论证，以证明其正确与否即可解答，解题的关键是能根据其说法举出相应的正例或反例． 【详解】解：∵ 原多项式为， ① 选择d，e进行“加括号操作”，，故说法正确； ② 选择 进行“加括号操作”，，与原式相等，故说法正确； ③ 因为无论哪轮操作，的符号始终不变，所以操作结果与原式之和不可能为，故说法正确； ④ 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 结果数大于4种，故说法错误； ∴ 错误说法为④，共 个． 故选：B． 10．（2025·七年级下 重庆）已知关于的单项式分别为（均为正整数，均不为0），则以下说法①多项式的次数为2时，符合条件的多项式共有8个；②当时，代数式的值共有三种不同结果；③记，当，且同号时，所有的和恒为正．正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式和多项式、因式分解、代数式求值等知识，解题关键是分类讨论，避免遗漏．根据多项式次数定义，可知当多项式的次数为2时，符合条件的多项式共有7个，可判断说法①；当时，根据题意可知，然后分情况讨论，即可判断说法②正确；根据题意，当时，分情况讨论，可得所有的和为，再分均为正数和均为负数两种情况讨论，即可判断说法③． 【详解】解：多项式的次数为2时，符合条件的多项式有，，， ，，，， 共有7个，故说法①错误； 当时，， ∵均为正整数， ∴， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， ∴代数式的值共有三种不同结果，故说法②正确； ∵均为正整数，当时，可有以下几种情况， 当时，可有， 当时，可有， 当时，可有， ∴所有的和为， 若均为正数，则， ∴所有的和为， 若均为负数，则， ∴所有的和为， 故说法③正确． 综上所述，说法正确的有②③，共计2个． 故选：C． 11．（25-26七年级下·北京西城·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 12．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为______． 【答案】9 【分析】把展开，求出、的值，计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算． 13．（2023七年级下·福建泉州·竞赛）若，则的和为______． 【答案】0 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先分组，再提取公因式，最后代入即可． 【详解】解： ． 故答案为：0 ． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 【答案】 【详解】解：原式， ，，， ∴． 15．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）当，时，代数式，那么当，时，代数式的值为____________． 【答案】1998 【分析】先把，代入，整理得，再把，代入，整理得，变形为，再整体代入即可求解． 【详解】解：把，代入得， 整理得， 把，代入得 ． 故答案为：1998 【点睛】本题考查了求代数式的值，理解题意，根据已知条件得到代数式的值，并能整体代入是解题关键． 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列因式分解是否正确？为什么？ (1)； (2)． 【答案】(1) 不正确，因为结果不是乘积的形式 (2) 正确，因为等式成立，且结果是整式乘积的形式 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据因式分解的定义：因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积的形式．据此判断因式分解是否正确即可． （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义和展开右边的式子验证是否等于左边即可判断． 【详解】（1）解：因为因式分解要求结果必须是整式的乘积，而右边 是和的形式． 故该因式分解不正确，因为结果不是乘积的形式； （2）解：因为等式的右边是整式的乘积， 且等式左边， 等式右边， 即等式左边右边， 故该因式分解正确． 17．（24-25七年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】(1)，5； (2)． 【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 18．（23-24七年级下·河南商丘·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先逆用完全平方公式，再利用平方差公式即可得到答案； （2）先提取公因式，再合并即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【点睛】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键． 19．（25-26七年级下·福建厦门·期末）已知，． (1)若，，均为正数， ①当时，求的值； ②求的值； (2)若，且，则__________0（填“>”“<”或“=”），请说明理由． 【答案】(1)①② (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，代数求值，求一个数的立方根，因式分解等运算，解题的关键是掌握各运算法则． （1）①代数求值即可； ②表示出，代入求值即可； （2）原式进行相减，因式分解整理，然后进行分析即可． 【详解】（1）解：①将，代入得， 解得； ②将代入和得， ，， ∴，， ∵，均为正数， ∴， 解得， ∴ ∴； （2）解： 由得，， 将代入上式得，， ∴ ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 20．（25-26七年级下·江西南昌·月考）定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称为“相伴方程”．例如：方程与方程互为“相伴方程”． (1)若关于的方程与方程互为“相伴方程”，则___________； (2)若关于的方程与方程互为“相伴方程”，求的值． 【答案】(1)6 (2)9 【分析】本题为新定义问题，理解新定义是解题关键﹒ （1）根据“相伴方程”定义即可求出； （2）变形为，变形为，根据“相伴方程”定义得到，求出，代入即可求解﹒ 【详解】（1）解：∵关于的方程与方程互为“相伴方程”， ∴﹒ 故答案为：6； （2）解：变形为，变形为﹒ ∵关于的方程与方程互为“相伴方程”， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1~4.2 因式分解的意义与提取公因式法难点题型专训 （2个知识点+5大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 判断是否使因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 题型五 添括号 拓展训练一 因式分解的意义综合应用 拓展训练二 提公因式法综合应用 知识点一：因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2.拓展：（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 【即时训练】 1．（23-24七年级下·湖北·期末）有两个式子①；②，对于从左到右的变形的判断，正确的是（        ） A．①是整式乘法 B．②是因式分解 C．①、②均是因式分解 D．①、②均不是因式分解 2．（25-26七年级下·新疆·月考）有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 知识点二：用提公因式法分解因式 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 2.怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 拓展：（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·重庆·期中）把多项式因式分解时，提取的公因式是，则n的值可能为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）与的公因式是 ． 【经典例题一 判断是否使因式分解】 【例1】（2023·七年级下 河北唐山）下列各式：①，②，③，从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A．② B．①② C．①③ D．②③ 【例2】（23-24七年级下·浙江·期末）下列各式从左到右是因式分解的是_______． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 1．（25-26七年级下·重庆·期中）下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是___________． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． (1)； (2)； (3)． 【经典例题二 已知因式分解的结果求参数】 【例1】（25-26七年级下·山东青岛·期中）若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B．9 C． D．6 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里： (1)（   ）； (2)； (3)（   ）； (4)（   ）． 1．（25-26七年级下·重庆·期中）若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 3．（2023七年级下·甘肃平凉）已知是多项式的因式，则_______，_______． 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 【经典例题三 公因式】 【例1】（2024七年级下·全国·专题练习）若，则的值与的公因式为（  ） A．a B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·全国·随堂练习）给出下列四组代数式：①和；②和；③和；④和．其中没有公因式的一组是________．（填序号） 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广西崇左·月考）所得的结果是（　　） A． B．2100 C． D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）写出下列多项式的最大公因式： （1）：_____． （2）：_____． （3）：_____． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 【经典例题四 提公因式法分解因式】 【例1】（2024·七年级下 台湾）下列何者为多项式的因式分解（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·北京·期中）若，则的值是___________． 1．（25-26七年级下·湖南常德·期末）下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·七年级下 广西柳州）添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式： ①； 又比如多项式可以这样分解： ②； 仿照以上方法，分解多项式的结果是______． 4．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）设是一个三位数，其中分别是这个三位数的百位、十位、个位上的数字． (1)用含的式子表示； (2)若，试说明一定能被9整除． 【经典例题五 添括号】 【例1】（24-25七年级下·湖北黄冈·月考）与代数式  相等的式子是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）（______）． 1．（2023·七年级下 湖北武汉）在多项式中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”，例如，，…．在所有可能的“加算操作”中，不同的运算结果共有（    ） A．8种 B．16种 C．24种 D．32种 2．（2023七年级下·全国·竞赛）当时，代数式的值为13，则当时，代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 3．（2023七年级下·安徽阜阳·竞赛）已知，则代数式的值是________． 4．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期中）【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为_____；（用含的式子表示） （2）若代数式的值为4，则代数式的值为______； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 【拓展训练一 因式分解的意义综合应用】 【例1】（25-26七年级下·重庆·月考）已知整式，其中，，，，为正整数，为整数，且，下列说法： ①满足条件的所有整式中，没有单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，能进行因式分解的有个； ③所有满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为__________． 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东日照·月考）要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有（） A．4个 B．5个 C．8个 D．无数个 3．（25-26七年级下·北京·期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，则的值为__________． 4．（25-26七年级下·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【拓展训练二 提公因式法综合应用】 【例1】（24-25七年级下·云南德宏·期末）如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 【例2】（25-26七年级下·福建厦门·期中）若，则______． 1．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山西临汾·期中）如图，长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2，则的值为（   ） A．12 B．21 C．8 D．49 3．（2023七年级下·全国）已知，，则的值为_________ 4．（25-26七年级下·全国·周测）（1）多项式可以因式分解成，，为整数．求的值． （2）已知可因式分解成，其中，，均为整数，求的值． 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 3．（25-26七年级下·山东烟台·期末）多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 5．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，求的值．（   ） A． B．0 C．1 D． 6．（25-26七年级下·重庆·开学考试）对代数式任意添加两个不嵌套的括号括号内至少有两个字母并改变括号内的运算符号，然后进行去括号运算，称此为“括号相反操作”．例如：，…，下列说法： ①存在“括号相反操作”，使其运算结果相等； ②当运算结果为时，有2种不同的“括号相反操作”； ③所有的“括号相反操作”共有5种不同运算结果．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·湖北十堰·期末）已知，则的值是(   ) A．0 B．1 C．－1 D．2 9．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）在多项式：中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如：选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第（）轮“加括号操作”． 下列相关说法错误的个数是：（    ） ①选择d，e进行“加括号操作”，化简后得到结果：； ②存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； ③不存在第（）轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； ④对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（2025·七年级下 重庆）已知关于的单项式分别为（均为正整数，均不为0），则以下说法①多项式的次数为2时，符合条件的多项式共有8个；②当时，代数式的值共有三种不同结果；③记，当，且同号时，所有的和恒为正．正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（25-26七年级下·北京西城·月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 12．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为______． 13．（2023七年级下·福建泉州·竞赛）若，则的和为______． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 15．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）当，时，代数式，那么当，时，代数式的值为____________． 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列因式分解是否正确？为什么？ (1)； (2)． 17．（24-25七年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 18．（23-24七年级下·河南商丘·期末）分解因式： (1) (2) 19．（25-26七年级下·福建厦门·期末）已知，． (1)若，，均为正数， ①当时，求的值； ②求的值； (2)若，且，则__________0（填“>”“<”或“=”），请说明理由． 20．（25-26七年级下·江西南昌·月考）定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称为“相伴方程”．例如：方程与方程互为“相伴方程”． (1)若关于的方程与方程互为“相伴方程”，则___________； (2)若关于的方程与方程互为“相伴方程”，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $