第20章 二次根式（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

第20章 二次根式（压轴题专项训练） 一、单选题 1．斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，该数列相邻前后两数，后一项与前一项的比值逐渐接近于（    ） A． B． C． D． 2．设，则最接近的整数是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的值是（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 4．如图，的值在数轴上对应的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数m，n满足，则．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．将一组数，2，，，，，，，，按如图方式进行排列，则第七行最右边的数是 ． 8．若规定，，则 ， 9．已知x、y是正整数，若，则的值是 ． 10．已知，，则 ． 11．设，，则 ． 12．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题： （1）若，且均为正整数，则 ； （2）化简的正确结果为 ． 13．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最大值为 ． 14．若，则x的值为 ． 15．已知，那么的值等于 16．已知，则a的值为 ． 17．化简： ． 18．已知，则的算术平方根是 ． 三、解答题 19．比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 因为，所以， 即． 仔细研读上面的解题方法，完成下列问题： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算：． 20．已知的三边长、、满足，求的周长． 21．海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似的地按公式计算，其中v表示海啸的行进速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度，g取． 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 ____ 140 (1)根据海啸的行进速度公式，完成上表： (2)如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为和，那么这两处的海水深度差值是多少？ (3)下列关于海啸行进速度的描述： ①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大； ②当海水的深度是的k倍时，海啸的行进速度是； ③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小． 其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 22．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 23．计算： (1)若 ，求 的值． (2)已知 是整数，求正整数a的值． 24．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 25．读取表格信息，解决问题． … … … … (1)计算：_________；__________； (2)满足的可以取得的最小整数是_____． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20章 二次根式（压轴题专项训练） 一、单选题 1．斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，该数列相邻前后两数，后一项与前一项的比值逐渐接近于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：计算相邻两项的比值：，，，，，，，，． 观察可知，比值逐渐趋近于一个固定值， ∵， ∴相邻两数的比值趋近于， 故选：D． 2．设，则最接近的整数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， ， 所以最接近的整数是2017， 故选：C． 3．已知，则的值是（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 4．如图，的值在数轴上对应的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴的值在数轴上对应的点可能是点， 故选：B． 5．对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①：计算左边，，和为；右边，等式成立．故①正确． ②：，取反例，左边，右边，显然．故②错误． ③：方程，x为整数且． 逐一验证： 当时，左边分别为，满足条件； 其他x值均不满足．故满足条件的x有3个，而非4个．故③错误． ④：设正整数m进行3次连续求根整数运算后结果为1，即， 第三次操作时：，则； 第二次操作时：，则，其中； 第一次操作时：，则． 排除提前终止的情况： 若，则，对应，但这些m在2次操作内即可终止，需排除； 若，则，对应； 若，则，对应； ∴需进行3次根整数运算结果为1的正整数m的范围为， ∴m的最大值为255，最小值为16，差值为．故④正确． 综上，正确说法为①④，共2个． 故选：B． 6．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数m，n满足，则．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①∵， ∴， ∴的整数部分为1， ∴小数部分． ∴． ∴①正确． ②∵ ， ∴②错误． ③∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴③错误． ④：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴④正确． 综上，正确结论为①和④，共2个． 选：B． 二、填空题 7．将一组数，2，，，，，，，，按如图方式进行排列，则第七行最右边的数是 ． 【答案】 【详解】解：∵第一行有1个数， 第二行有2个数， 第三行有3个 数， …… ∴第七行有7个数， ∴前七行共有数的个数为：， 这组数第1个数为：， 第2个数为： 第3个数为： 第4个数为： 第5个数为： 第6个数为： …… 第n个数为：， ∴第七行最右边的数． 故答案为：． 8．若规定，，则 ， 【答案】 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：，． 9．已知x、y是正整数，若，则的值是 ． 【答案】143或187 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y是正整数， ∴可设，不妨设，且a、b都是正整数， ∴， ∴， ∴，或，， ∴或， ∴或， ∴或； 故答案为：143或187． 10．已知，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ． 故答案为：． 11．设，，则 ． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 12．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题： （1）若，且均为正整数，则 ； （2）化简的正确结果为 ． 【答案】 3 / 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：3． （2） ． 故答案为：． 13．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最大值为 ． 【答案】75 【详解】解：∵，且n为正整数，是大于1的整数， ∴n的最大值为， 故答案为：． 14．若，则x的值为 ． 【答案】2 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：2． 15．已知，那么的值等于 【答案】 【详解】解：由得 ， 整理得：， ． 故答案为：． 16．已知，则a的值为 ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 17．化简： ． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．已知，则的算术平方根是 ． 【答案】 【详解】解：令 ，． ． ， ，， ， 则的算术平方根是， 故答案为：． 三、解答题 19．比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 因为，所以， 即． 仔细研读上面的解题方法，完成下列问题： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算：． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）解： ； ． 因为， 所以， 即． （2） ． 20．已知的三边长、、满足，求的周长． 【答案】14 【详解】解：， ∴ ∴， ，，， ，，， ． ∴的周长为14． 21．海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似的地按公式计算，其中v表示海啸的行进速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度，g取． 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 ____ 140 (1)根据海啸的行进速度公式，完成上表： (2)如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为和，那么这两处的海水深度差值是多少？ (3)下列关于海啸行进速度的描述： ①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大； ②当海水的深度是的k倍时，海啸的行进速度是； ③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小． 其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 【答案】(1)填表见解析 (2)60米 (3)①③ 【详解】（1）解：当时： ， 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 70 140 （2）解：设两处海水深度为、，由得： 当时，， ， ； 当时，， ， ； 深度差值为米， （3）①：“随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大” 海啸速度公式为（，是常数）． 从函数角度看，是关于的算术平方根函数，形式为（，是正数）． 根据算术平方根函数的性质：当被开方数增大时，递增，因此也递增．． ∴随着海水深度增加，海啸速度必然逐渐增大，描述①正确． ②：“当海水的深度是的倍时，海啸的行进速度是” 设海水深度，代入速度公式： 化简： 而题目中表述为“”，描述②错误； ③：速度公式可变形为，其中是常数（记为），即． 从“函数的变化率”角度理解：算术平方根函数的增速趋势是逐渐变缓的．当较小时，增加，的增量较大；当很大时，同样增加，的增量会变小， 当时，； 当时，，增量； 当时，； 当时，，增量； 可见，越大，相同增量下的增量越小）． ∴描述③正确． 故答案为①③． 22．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， 而，则 ∴ （3）解： ． 23．计算： (1)若 ，求 的值． (2)已知 是整数，求正整数a的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：令， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即：，， 同法可得：，，，； ∴的结果以，6个数字为一组循环出现， ∵， ∴． （2）∵， 是整数， ∴设（为正整数）， ∴， ∴， ∵为正整数，为正整数， ∴均为整数，且， ∴， 解得：， 故． 24．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【详解】（1）解：∵， 且， ∴； （2）解：∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； （3）解： ． 25．读取表格信息，解决问题． … … … … (1)计算：_________；__________； (2)满足的可以取得的最小整数是_____． 【答案】(1)； (2)6 【详解】（1）解：根据表格中的数据得：； ， ∴, 故答案为：；． （2）解：， ， ， 又， ∴ 解得：， 可以取得最小正整数是6, 故答案为：6． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$