第一章 空间向量与立体几何（复习讲义）数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量及立体几何（复习讲义） 1.了解空间向量相关概念，经历平面向量到空间向量的推广过程，掌握其线性、数量积运算，了解投影概念及意义。 2.了解空间向量基本定理及意义，掌握正交分解。 3.了解空间直角坐标系，会用其刻画点位置、求距离，掌握向量坐标及线性、数量积运算的坐标表示。 4.能用向量语言描述直线和平面，表述夹角及垂直平行关系，用向量方法证明必修中直线、平面位置关系的判定定理。 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有__________和__________的量 相等向量 方向__________且模__________的向量 相反向量 方向__________且模__________的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相__________或__________的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得__________. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝__________. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积 (1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b__________，记作a⊥b. (2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝__________. (3)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b __________ 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) __________ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) __________ 模 |a| __________ 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 5.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l__________，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量. 6.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 __________ l1⊥l2 __________ 直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥α __________ l⊥α __________ 平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β __________ α⊥β __________ 7.两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝__________=__________. 8.直线和平面所成的角 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝__________=__________. 9.平面与平面的夹角 (1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角. (2)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝__________=__________. 10.点P到直线l的距离 如图1，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝__________． 图1 11.点P到平面α的距离 如图2，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此PQ＝__________=__________. 图2 12.两条平行直线之间的距离 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离. 13.直线与平面、平面与平面之间的距离均可转化为点到平面的距离，用求点到平面的距离的方法求解： 直线a与平面α之间的距离d＝，其中A∈a，B∈α，n是平面α的法向量. 两平行平面α，β之间的距离d＝，其中A∈α，B∈β，n是平面α，β的法向量. [常用结论与微点提醒] 1.空间向量的线性运算和数量积运算可类比平面向量的线性运算和数量积运算. 2.空间向量的坐标运算和坐标原点的选取无关. 3.实数0和任意向量相乘都为零向量. 4.实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算. 5.在利用＝x＋y证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内. 6.确定平面的法向量的方法 (1)直接法：观察是否有垂直于平面的法向量，若有可直接确定. (2)待定系数法：取平面的两个相交向量a，b，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，由求得. 7.方向向量和法向量均不为零向量且不唯一. 8.当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 题型一 空间向量及其运算 【例1】给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【变式1-1】（多选）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【变式1-2】（多选）下列各选项中，不正确的是（    ） A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝ B．对于非零向量，，与相等 C．若，共线，则AB∥CD D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z (其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面 【变式1-3】已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M （填“属于”或“不属于”）平面ABC． 题型二 空间向量基本定理 【例2】如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】2．（多选）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）如图，在平行六面体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 题型三 空间向量及其运算的坐标表示 【例3-1】（多选）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【例3-2】给定点与点． (1)求在上的投影向量； (2)判断四点是否共面？ 【变式3-1】（多选）下列命题中正确的是（      ） A．若空间向量、、，满足，，则 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若、是两个单位向量，则 D．点关于平面对称的点的坐标是 【变式3-2】（多选）已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则A，B，C，D共面 C．若，则A，B，C，D共面 D．若三点共线，则 【变式3-3】已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量，求； (3)若，求的值. 题型四 利用空间向量解决空间中的位置关系 【例4】（多选）给出下列四个命题，其中是真命题的有（） A．若点共面，则存在实数，使得 B．若分别为平面的法向量，且，则 C．若分别为平面的法向量，且，则 D．若，则直线所成的角为 【变式4-1】如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【变式4-2】在正方体中，已知分别是的中点，求证： (1)； (2). 【变式4-3】已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 题型五 空间中的距离 【例5】如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 【变式5-1】如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，. (1)证明：直线平面； (2)求点到平面的距离. 【变式5-2】如图，在长方体中，，点是的中点．    (1)求点到直线距离： (2)求证：平面平面． 题型六 空间中的角 【例6】如图，已知正方体的棱长为2，点为棱所在直线上一点，直线与所成角为 . (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的余弦值. 【变式6-1】如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，且与交于点O，动点E满足（），异面直线与所成的角为． (1)求证：； (2)当时，求与平面所成角的正弦值． 【变式6-2】图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 基础巩固通关测 1．若直线平面，且的方向向量为，平面的一个法向量为，则（   ） A． B． C． D． 2．在三棱锥中，、分别是、的中点，设，以为空间的一个基底，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 4．若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 6．已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 7．已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（） A． B． C． D． 8．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）下面四个结论正确的是（    ） A．任意向量满足 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．已知为平面的一个法向量，为一条直线，为直线的方向向量，则“”是“”的充要条件 10．（多选题）在空间直角坐标系中，，则（   ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是 11．已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为 ． 12．直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 13．如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)证明：平面平面； (2)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 14．如图，在正方体中，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 15．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.    (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离. 16．如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为菱形，，，为的中点，平面平面，．    (1)证明：平面 (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求三棱台的体积． 能力提升进阶练 1．若直线平面，且的方向向量为，平面的一个法向量为，则（   ） A． B． C． D． 2．在三棱锥中，、分别是、的中点，设，以为空间的一个基底，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 4．若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 6．已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 7．已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（） A． B． C． D． 8．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下面四个结论正确的是（    ） A．任意向量满足 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．已知为平面的一个法向量，为一条直线，为直线的方向向量，则“”是“”的充要条件 10．在空间直角坐标系中，，则（   ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是 11．已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为 ． 12．直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 13．如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)证明：平面平面； (2)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 14．如图，在正方体中，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 15．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.    (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离. 16．如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为菱形，，，为的中点，平面平面，．    (1)证明：平面 (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求三棱台的体积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量及立体几何（复习讲义） 1.了解空间向量相关概念，经历平面向量到空间向量的推广过程，掌握其线性、数量积运算，了解投影概念及意义。 2.了解空间向量基本定理及意义，掌握正交分解。 3.了解空间直角坐标系，会用其刻画点位置、求距离，掌握向量坐标及线性、数量积运算的坐标表示。 4.能用向量语言描述直线和平面，表述夹角及垂直平行关系，用向量方法证明必修中直线、平面位置关系的判定定理。 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积 (1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. (2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (3)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 5.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量. 6.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 u1∥u2⇔u1＝λu2 l1⊥l2 u1⊥u2⇔u1·u2＝0 直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥α u⊥n⇔u·n＝0 l⊥α u∥n⇔u＝λn 平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2⇔n1＝λn2 α⊥β n1⊥n2⇔n1·n2＝0 7.两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. 8.直线和平面所成的角 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 9.平面与平面的夹角 (1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角. (2)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. 10.点P到直线l的距离 如图1，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 图1 11.点P到平面α的距离 如图2，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此PQ＝＝. 图2 12.两条平行直线之间的距离 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离. 13.直线与平面、平面与平面之间的距离均可转化为点到平面的距离，用求点到平面的距离的方法求解： 直线a与平面α之间的距离d＝，其中A∈a，B∈α，n是平面α的法向量. 两平行平面α，β之间的距离d＝，其中A∈α，B∈β，n是平面α，β的法向量. [常用结论与微点提醒] 1.空间向量的线性运算和数量积运算可类比平面向量的线性运算和数量积运算. 2.空间向量的坐标运算和坐标原点的选取无关. 3.实数0和任意向量相乘都为零向量. 4.实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算. 5.在利用＝x＋y证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内. 6.确定平面的法向量的方法 (1)直接法：观察是否有垂直于平面的法向量，若有可直接确定. (2)待定系数法：取平面的两个相交向量a，b，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，由求得. 7.方向向量和法向量均不为零向量且不唯一. 8.当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 题型一 空间向量及其运算 【例1】给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【详解】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误；故选：A 【变式1-1】（多选）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【答案】BC 【详解】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误， 对于B，由可得，故∥，B正确， 对于C，零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误，故选：BC 【变式1-2】（多选）下列各选项中，不正确的是（    ） A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝ B．对于非零向量，，与相等 C．若，共线，则AB∥CD D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z (其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【详解】显然＝,A正确； 若为非零向量，则与互补，故B错误； 若共线，则直线AB，CD可能重合，故C错误； 只有当时，P，A，B，C四点才共面，故D错误.故选：BCD. 【变式1-3】已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M （填“属于”或“不属于”）平面ABC． 【答案】属于 【详解】 ， 四点共面．即点平面ABC．故答案为：属于 题型二 空间向量基本定理 【例2】如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，点为中点， .故选：D 【变式2-1】2．（多选）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确. 对于D项，设不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，则满足， 故不存在使得， 故能作为空间的一个基底，D正确，故选： CD 【变式2-2】（多选）如图，在平行六面体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】依题意可得， 同理，，故C正确； 连接， 则，故A正确； ，故B错误； ，故D正确.故选：ACD. 【变式2-3】如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， 所以， ， 所以 题型三 空间向量及其运算的坐标表示 【例3-1】（多选）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【详解】由图形及其已知可得，点的坐标为 点关于点对称的点为 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为 点关于平面对称的点为故选：ACD 【例3-2】给定点与点． (1)求在上的投影向量； (2)判断四点是否共面？ 【答案】(1)(2)四点不共面，理由见解析 【详解】（1）因为，， 所以，所以在上的投影向量为. （2）四点不共面，理由如下： 因为，，， 设，即，该方程组无解， 所以四点不共面. 【变式3-1】（多选）下列命题中正确的是（      ） A．若空间向量、、，满足，，则 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若、是两个单位向量，则 D．点关于平面对称的点的坐标是 【答案】AC 【详解】对于A选项，若空间向量、、，满足，，则，故A正确； 对于B选项，因为，则，所以，或，故B错误； 对于C选项，若、是两个单位向量，则，故C正确； 对于D选项，点关于平面对称的点的坐标是，故D错误.故选：AC. 【变式3-2】（多选）已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则A，B，C，D共面 C．若，则A，B，C，D共面 D．若三点共线，则 【答案】BD 【详解】对于A，A与B关于平面对称，则，故A错误； 对于B，由共面向量定理易知得B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D，，因为A，B，C共线，所以共线， 所以，所以，故D正确．故选：BD． 【变式3-3】已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)；(2)3；(3). 【详解】（1）由，得 （2）由（1）得，而量，因此， 所以. （3）由（1）知，， 由，得 ，所以 题型四 利用空间向量解决空间中的位置关系 【例4】（多选）给出下列四个命题，其中是真命题的有（） A．若点共面，则存在实数，使得 B．若分别为平面的法向量，且，则 C．若分别为平面的法向量，且，则 D．若，则直线所成的角为 【答案】ABD 【详解】对于A，根据共面向量定理可知A正确；对于B，，，，解得，故B正确； 对于C，，，即， ，消去,并整理得，故C错误； 对于D，，，， ，因为异面直线所成的角范围为，所成的角为，故D正确,故选：ABD 【变式4-1】如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，故， 设平面的法向量为， 则有，令，则，所以， 所以平面的法向量为； （2），则， 故，因为， 所以，又平面，所以平面. 【变式4-2】在正方体中，已知分别是的中点，求证： (1)； (2). 【详解】（1）根据题意，如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 所以， 所以，所以，所以， 所以. （2）由（1）知，. 所以，所以，即， 所以. 【变式4-3】已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 【详解】（1）取BC的中点O，连接PO， ∵平面底面，为等边三角形， 平面底面，平面，∴底面. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴， OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，∴. （2）取PA的中点M，连接DM，则， ∵，，∴， ∴，即.∵，∴，即， 又∵平面PAB，∴平面.∵平面， ∴平面平面. 题型五 空间中的距离 【例5】如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 【详解】（1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； （2）设平面的法向量为，，，， 则，.设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 【变式5-1】如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，. (1)证明：直线平面； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）由平面，且四边形为矩形，可建立如图所示空间直角坐标系， 则 由，得，解得，同理， ，显然面的一个法向量为， 显然且面，故面 （2）设面的一个法向量为，且， 由， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 又， 点到平面的距离为. 【变式5-2】如图，在长方体中，，点是的中点．    (1)求点到直线距离： (2)求证：平面平面． 【详解】（1）    如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则,于是，,, 则与同方向的单位向量为， 于是点到直线距离为； （2）在矩形中，因是的中点，， , 则由可得， 因平面，平面,故， 因,故得平面, 又平面,故平面平面. 题型六 空间中的角 【例6】如图，已知正方体的棱长为2，点为棱所在直线上一点，直线与所成角为 . (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的余弦值. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 已知正方体棱长为，则，，，， 设.所以，. 因为直线与所成角为，即. 根据向量垂直的性质，则， 即，解得，所以，那么. 设平面的法向量为，，. 由，可得. 令，则，，所以. 设与平面所成角为. 根据线面角的向量公式. ，，. 所以. （2）对于平面，其法向量已求得为. 平面的法向量：因为平面，所以可作为平面的一个法向量. 设二面角为，根据二面角的向量公式. ，，. 所以，观察图形可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【变式6-1】如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，且与交于点O，动点E满足（），异面直线与所成的角为． (1)求证：； (2)当时，求与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）平面，且平面，∴． 又∵四边形是菱形，．∵，且平面，平面．又平面，． （2）∵四边形是菱形，，∴． ∴即为异面直线与所成的角． ∴ 当时，为的中点，连接，如图， 则， 平面． 从而可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设为平面的法向量， 则由得， 令，则，， 设与平面所成的角为， 则． 【变式6-2】图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，，， 因为是直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，平面，所以有平面， 以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意，、、、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以有， 因为，故，即异面直线与所成角为. （2）如图2，假设在棱上存在点，满足，其中， 使得二面角的余弦值为， 则， 又，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由题意可知，平面的一个法向量为， 所以，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为． 基础巩固通关测 1．若直线平面，且的方向向量为，平面的一个法向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线平面，， ，解得，， 则.故选：A. 2．在三棱锥中，、分别是、的中点，设，以为空间的一个基底，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为、分别是、的中点， 则，， 所以，故选：A. 3．如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是的中点，由，. 故选：. 4．若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】向量在向量上的投影向量的坐标是.故选：D 5．已知，，，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由题意得，， 因为三点共线，所以， 即， 解得，，，所以．故选：B 6．已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 【答案】B【详解】因为与垂直， 所以，解得， 所以， 故.故选：B 7．已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ，又， 点到平面的距离为，故选：B 8．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接、、， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则、、、， 所以，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A. 9．（多选题）下面四个结论正确的是（    ） A．任意向量满足 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．已知为平面的一个法向量，为一条直线，为直线的方向向量，则“”是“”的充要条件 【答案】BC 【详解】对于A，表示与共线的向量，表示与共线的向量， 而的方向无法确定，所以无法判断是否相等，故A错误； 对于B，因为，且， 所以四点共面，故B正确； 对于C，是空间的一组基底，若， 当共面时，则， 所以，无解，所以不共面， 所以也是空间的一组基底，故C正确； 对于D，时，，故D错误.故选：BC. 10．（多选题）在空间直角坐标系中，，则（   ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是 【答案】ABD 【详解】，A正确； ，B正确； 设异面直线与所成角为，则，C错误； 到直线的距离为，D正确． 故选：ABD 11．已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以，所以或． 因为，所以． 故答案为：． 12．直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【详解】取中点，连接，因为，所以， 以为原点，分别为轴，过点且垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 所以， 所以， 所以异面直线与所成角为，. 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 13．如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)证明：平面平面； (2)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1） 取中点，连接，可得四边形是边长为1的正方形， 则，，又，故， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面 （2） 分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，由得，， 在平面中，，，设平面的法向量为， 则有，令，解得，，， 故平面的一个法向量为， 同理,,设平面的一个法向量为, 则有,令，则，故， 设平面与平面的夹角为，则， 综上，平面与平面的夹角的余弦值为 14．如图，在正方体中，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【详解】（1）证明：， 又平面，平面，平面． （2）如图，在正方体中，平面， 又平面，． 为的中点，． 又，平面，平面， 平面．又平面，． 又，为二面角的平面角． 设正方体的棱长为2， 则，，， 二面角的正弦值为． 15．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.    (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离. 【详解】（1）∵PC⊥底面ABCD，平面， ∴PC⊥AD， 又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面， ∴AD⊥平面PCD， ∵平面PAD， ∴平面PCD⊥平面PAD； （2）如图建立空间直角坐标系，    则 ， 所以， 设平面PAD的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点B到平面PAD的距离为：. 16．如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为菱形，，，为的中点，平面平面，．    (1)证明：平面 (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求三棱台的体积． 【详解】（1）    证明：连接，因为，平面，平面， 所以平面， 因为，，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为，，平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面； （2）因为平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面， 取的中点，连接，，因为四边形为菱形，， 所以为等边三角形，所以， 又，所以， 所以，，两两垂直， 则以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则即， 取，得， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则即， 取，得， 故平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则 ，解得或舍，即， 因为的面积为， 的面积为， 所以三棱台的体积 ． 能力提升进阶练 1．若直线平面，且的方向向量为，平面的一个法向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线平面，， ，解得，， 则.故选：A. 2．在三棱锥中，、分别是、的中点，设，以为空间的一个基底，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为、分别是、的中点， 则，， 所以，故选：A. 3．如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是的中点，由，. 故选：. 4．若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】向量在向量上的投影向量的坐标是.故选：D 5．已知，，，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由题意得，， 因为三点共线，所以， 即， 解得，，，所以．故选：B 6．已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 【答案】B 【详解】因为与垂直， 所以，解得， 所以， 故.故选：B 7．已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ，又， 点到平面的距离为，故选：B 8．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接、、， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则、、、， 所以，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A. 二、多选题 9．下面四个结论正确的是（    ） A．任意向量满足 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．已知为平面的一个法向量，为一条直线，为直线的方向向量，则“”是“”的充要条件 【答案】BC 【详解】对于A，表示与共线的向量，表示与共线的向量， 而的方向无法确定，所以无法判断是否相等，故A错误； 对于B，因为，且， 所以四点共面，故B正确； 对于C，是空间的一组基底，若， 当共面时，则， 所以，无解，所以不共面， 所以也是空间的一组基底，故C正确； 对于D，时，，故D错误.故选：BC. 10．在空间直角坐标系中，，则（   ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是 【答案】ABD 【详解】，A正确； ，B正确； 设异面直线与所成角为，则，C错误； 到直线的距离为，D正确． 故选：ABD 11．已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以，所以或． 因为，所以． 故答案为：． 12．直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【详解】取中点，连接，因为，所以， 以为原点，分别为轴，过点且垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 所以， 所以， 所以异面直线与所成角为，. 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 13．如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)证明：平面平面； (2)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1） 取中点，连接，可得四边形是边长为1的正方形， 则，，又，故， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面 （2） 分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，由得，， 在平面中，，，设平面的法向量为， 则有，令，解得，，， 故平面的一个法向量为， 同理,,设平面的一个法向量为, 则有,令，则，故， 设平面与平面的夹角为，则， 综上，平面与平面的夹角的余弦值为 14．如图，在正方体中，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【详解】（1）证明：， 又平面，平面，平面． （2）如图，在正方体中，平面， 又平面，． 为的中点，． 又，平面，平面， 平面．又平面，． 又，为二面角的平面角． 设正方体的棱长为2， 则，，， 二面角的正弦值为． 15．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.    (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离. 【详解】（1）∵PC⊥底面ABCD，平面， ∴PC⊥AD， 又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面， ∴AD⊥平面PCD， ∵平面PAD， ∴平面PCD⊥平面PAD； （2）如图建立空间直角坐标系，    则 ， 所以， 设平面PAD的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点B到平面PAD的距离为：. 16．如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为菱形，，，为的中点，平面平面，．    (1)证明：平面 (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求三棱台的体积． 【详解】（1）    证明：连接，因为，平面，平面， 所以平面， 因为，，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为，，平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面； （2）因为平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面， 取的中点，连接，，因为四边形为菱形，， 所以为等边三角形，所以， 又，所以， 所以，，两两垂直， 则以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则即， 取，得， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则即， 取，得， 故平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则 ，解得或舍，即， 因为的面积为， 的面积为， 所以三棱台的体积 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$