精品解析：福建省龙岩市长汀县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023－2024年第二学期期末质量检查 八年级 数学试题 （考试时间：120分钟；满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 计算的结果是 A. ﹣3 B. 3 C. ﹣9 D. 9 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了使课间十分钟活动更加丰富有趣，班长打算先对全班同学喜欢的活动项目进行民意调．下面的调查数据中，他最应该关注的是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 加权平均数 4. 将直线沿轴向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 四边形 中，对角线与交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如果直角三角形两边分别为3和4，那么这个三角形第三边可能是（ ） A. B. 7 C. D. 1 8. 三边长分别为，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两船沿直线航道AC匀速航行．甲船从起点A出发，同时乙船从航道AC中途的点B出发，向终点C航行．设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图．下列说法： ①乙船的速度是40千米/时； ②甲船航行1小时到达B处； ③甲、乙两船航行0.6小时相遇； ④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是0≤t≤2.5．其中正确的说法的是（　　） A ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 计算：______． 12. 在中， ，则的度数为________． 13. 晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小宇的三项成绩（百分制）依次为95分，90分，88分，则小宇这学期的体育总评成绩为_____分． 14. 请写出符合以下条件的一个函数的解析式______．①过点；②当时，y随x的增大而增大． 15. 如图，边长为1的正方形组成的方格网中，A、B、C都在格点上，则的度数为_______． 16. 如图，在正方形中，E、F分别是中点，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，点、是分别边、的中点． 求证：四边形为平行四边形． 20. 如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为． （1）开始时，小船距岸A距离为_______； （2）若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 21. 某校九年级开展跳绳比赛，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在一分钟内每人跳180个以上（含180个）为优秀．下表是成绩较好的甲班和乙班5名学生比赛成绩．（方差公式：） 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 180 178 182 177 183 乙班 179 180 175 189 177 （1）甲、乙两班的中位数分别为______、______； （2）分别计算甲、乙两班比赛数据的方差； （3）从题目所给信息，你认为应该把团体第一名的奖状颁发给哪个班？简述理由． 22. 如图，已知菱形，为对角线，过点作，交于点，交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证． 23. 如图，直线分别与轴、轴交于点、点，点的坐标为，D为直线上一动点，连接交轴于点． （1）求直线的解析式； （2）若，求点的坐标． 24. 如图1，已知正方形，，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，． （1）求的度数； （2）如图2，连接，若，求线段的长； （3）如图3，在点运动过程中，作的平分线交延长线于，若，求线段的长． 25. 根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案？ 素材1 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：米饭套餐 30元 方案一：套餐满20份及以上打9折； 方案二：套餐满12份及以上打8折； 方案三：总费用满850元立减110元． ：面食套餐 25元 温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用． 素材2 该班级共31位同学，每人都从两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元． 问题解决 任务1 计算选择人数 已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择套餐和套餐？ 任务2 分析变量关系 设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式． 任务3 制定最优方案 要使得该班订餐总费用最低，则套餐应各订多少份？并求出最低总费用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024年第二学期期末质量检查 八年级 数学试题 （考试时间：120分钟；满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 计算的结果是 A. ﹣3 B. 3 C. ﹣9 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】=|﹣3|=3． 故选B． 【点睛】本题考查二次根式化简，掌握二次根式化简方法是解题关键． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，是最简二次根式，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查最简二次根式的识别．熟记定义，是解题的关键． 3. 为了使课间十分钟活动更加丰富有趣，班长打算先对全班同学喜欢的活动项目进行民意调．下面的调查数据中，他最应该关注的是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 加权平均数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查众数，中位数，平均数的定义，根据众数，中位数，平均数的定义，即可得到答案． 【详解】∵众数、中位数、平均数从不同角度反映了一组数据的集中趋势，根据题意应当看最喜欢的活动项目的人最多，应当用众数， ∴此问题应当看最喜欢的活动项目的人最多，应当用众数． 故选：A． 4. 将直线沿轴向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知：把直线y=2x沿y轴向下平移1个单位长度后，其直线解析式为y=2x-1． 故选A． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的计算．根据题意，逐项计算判断即可． 【详解】解：A.，此项不正确； B.，此项正确； C.不能再化简，此项不正确； D.不能再化简，此项不正确． 故选：B． 6. 四边形 中，对角线与交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理依次判断即可． 【详解】解：A．根据平行四边形的判定可知，满足，的四边形不一定是平行四边形，故A符合题意； B．根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故B不符合题意； C．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故C不符合题意； D．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故D不符合题意， 故选：A． 7. 如果直角三角形两边分别为3和4，那么这个三角形的第三边可能是（ ） A. B. 7 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设第三边为a，再分情况讨论即可． 【详解】解：设第三边为a， 当4为斜边时，则， 当为斜边时，则， 四个选项，符合题意的是A， 故选：A． 8. 的三边长分别为，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理，根据勾股定理逆定理即可判断③④；根据三角形内角和定理即可判断①②，从而得出答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故①符合题意； ②∵， ∴， ∴不是直角三角形，故②不符合题意； ③∵， ∴， ∴是直角三角形，故③符合题意； ④∵， ∴设，，， ∴， ∴∴是直角三角形，故④符合题意； 综上所述，其中能判断是直角三角形的个数有个， 故选：C． 9. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，正确求出点A的坐标是解题的关键．先求出点A的坐标，再根据不等式的解集即为直线的函数图象在直线的函数图象的下方或交点处自变量的取值范围进行求解即可． 【详解】解：把点代入到中得：， ∴， ∴， ∴由函数图象可知当时，直线的函数图象在直线的函数图象的下方或交点处， ∴关于x的不等式的解集是， 故选D． 10. 甲、乙两船沿直线航道AC匀速航行．甲船从起点A出发，同时乙船从航道AC中途的点B出发，向终点C航行．设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图．下列说法： ①乙船的速度是40千米/时； ②甲船航行1小时到达B处； ③甲、乙两船航行0.6小时相遇； ④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是0≤t≤2.5．其中正确的说法的是（　　） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，分从乙走的全程及时间得出乙的速度；从而可知t＝0.6时，乙走的路程，进而得出甲走的路程，从而可知甲的速度；根据题中对d与时间t的关系可判断甲乙两船航行0.6小时是否相遇；由前面求得的甲乙速度可判断甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段． 【详解】解：乙船从B到C共用时3小时，走过路程为120千米，因此乙船的速度是40千米/时，①正确； 乙船经过0.6小时走过0.6×40＝24千米，甲船0.6小时走过60﹣24＝36千米，所以甲船的速度是36÷0.6＝60千米/时， 开始甲船距B点60千米，因此经过1小时到达B点，②正确； 航行0.6小时后，甲乙距B点都为24千米，但是乙船在B点前，甲船在B点后，二者相距48千米，因此③错误； 开始后，甲乙两船之间的距离越来越小，甲船经过1小时到达B点，此时乙离B地40千米， 航行2.5小时后，甲离B地：60×1.5＝90千米，乙离B地：40×2.5＝100千米，此时两船相距10千米，当2.5＜t≤3时，甲乙的距离小于10，因此④正确； 综上所述，正确的说法有①②④． 故选：C． 【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图像得到路程与时间的关系． 二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据，进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：7． 12. 在中， ，则的度数为________． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质，对角相等，即可． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小宇的三项成绩（百分制）依次为95分，90分，88分，则小宇这学期的体育总评成绩为_____分． 【答案】90 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： 95×20%+90×30%+88×50%=90（分）． 即小宇这学期体育成绩为90分． 故答案为：90． 【点睛】本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 14. 请写出符合以下条件的一个函数的解析式______．①过点；②当时，y随x的增大而增大． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性．如果函数为一次函数，由②可知，，再根据①过点，写出一个函数解析式即可． 【详解】解：当该函数为一次函数时， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴可设直线的解析式为， ∵过点， ∴， 解得：， ∴该函数的解析式可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 15. 如图，边长为1的正方形组成的方格网中，A、B、C都在格点上，则的度数为_______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理的运用．根据勾股定理，求出，，，再根据勾股定理的逆定理，即可求出是等腰直角三角形，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵在边长为的小正方形组成的网格中， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，． 故答案为： 16. 如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，故①正确；求得，根据垂直的定义得到，故②正确；延长交的延长线于H，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到，故③正确；假设，根据，可得，结合，，可得，即有，进而可得，则有，显然，即假设不成立，即可判断④错误． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， 在与中， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ， 如图，延长交的延长线于， ， ， 点是的中点， ， ，，， ， ， ， 是斜边中线， ， ， ，， ．故③正确； 根据可得， 若成立， ， ， ，， ， ， 在中，有， ， ， 显然， 假设不成立， ，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等，综合性很强，难度较大，解题的关键是能够综合运用上述知识． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式计算二次根式的除法和乘法即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，先把括号内的式子通分，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】．解：原式 当时， 原式 19. 如图，在中，点、是分别边、的中点． 求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键；根据题意在中，得到，，从而证明，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】证明：在中，， 点、是分别边、中点， ， 四边形为平行四边形 20. 如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为． （1）开始时，小船距岸A的距离为_______； （2）若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【小问1详解】 解：在中，， ， 故答案为：12； 【小问2详解】 ∵琪琪收绳后，船到达处， ， ， ． 21. 某校九年级开展跳绳比赛，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在一分钟内每人跳180个以上（含180个）为优秀．下表是成绩较好的甲班和乙班5名学生比赛成绩．（方差公式：） 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 180 178 182 177 183 乙班 179 180 175 189 177 （1）甲、乙两班的中位数分别为______、______； （2）分别计算甲、乙两班比赛数据的方差； （3）从题目所给信息，你认为应该把团体第一名的奖状颁发给哪个班？简述理由． 【答案】（1）180，179 （2）， （3）甲班，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了方差和中位数，掌握概念和意义是解题的关键． （1）分别把甲班、乙班5名学生的成绩由小到大排列，然后根据中位数的定义求解； （2）先求出平均数，再根据方差公式分别计算方差即可求解； （3）根据中位数和方差的定义分析即可． 【小问1详解】 解：甲班的成绩按由小到大排列：177、178、180、182、183，所以甲班的中位数为180； 乙班的成绩按由小到大排列：175、177、179、180、189，所以乙班的中位数为179； 故答案为：180；179 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：团体第一名的奖状颁发给甲班，理由如下： 甲班的中位数比乙班大，且甲班的方差比乙班小，所以甲班比赛成绩比乙班更好，因此把团体第一名的奖状给甲班． 22. 如图，已知菱形，为对角线，过点作，交于点，交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证． 【答案】（1）图形见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧，交于点M，再分别以C，M为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于一点，再过该点和点A作直线，交于点F； （2）先根据菱形性质得出，，可得，再证明，然后根据可得答案． 【小问1详解】 如解图所示，直线即为所求． 【小问2详解】 证明：在菱形中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，菱形的性质，全等三角形的判定，理解菱形的性质是解题的关键． 23. 如图，直线分别与轴、轴交于点、点，点的坐标为，D为直线上一动点，连接交轴于点． （1）求直线的解析式； （2）若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，求点的坐标； （1）设直线的解析式为，将、的坐标代入，即可求解； （2）由，即可求解； 掌握待定系数法及坐标的求法是解题的关键． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为 依题意，得， 解得 ∴直线的解析式； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， 解得： 当时， ， 解得， ∴． 24. 如图1，已知正方形，，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，． （1）求的度数； （2）如图2，连接，若，求线段的长； （3）如图3，在点运动过程中，作的平分线交延长线于，若，求线段的长． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质和轴对称性质得到，，，得到，得到，得到，即得； （2）当时，，，得到．．设，则，，根据勾股定理得到，得到； （3）过点H作于点M，则，，由角平分线性质和对称性质推出，得到是等腰直角三角形，，推出，根据，得到，得到． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，点B关于的对称点为F， ∴，，， ∵． ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴．． 设则， ∵， 即， 解得：； ∴； 【小问3详解】 过点H作于点M， 则， ∴， ∵平分， ∴， 由轴对称可知，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形，轴对称．熟练掌握正方形性质，轴对称性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 25. 根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案？ 素材1 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：米饭套餐 30元 方案一：套餐满20份及以上打9折； 方案二：套餐满12份及以上打8折； 方案三：总费用满850元立减110元． ：面食套餐 25元 温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用． 素材2 该班级共31位同学，每人都从两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元． 问题解决 任务1 计算选择人数 已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择套餐和套餐？ 任务2 分析变量关系 设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式． 任务3 制定最优方案 要使得该班订餐总费用最低，则套餐应各订多少份？并求出最低总费用． 【答案】任务1：选择套餐的有13人，选择套餐的有7人；任务2：；任务3：当订购套餐15份，订购套餐为16份时，该班订餐总费用最低，订餐总费用最低为740元 【解析】 【分析】任务1：根据题意可设设这20人中选择套餐的有人，，则选则套餐的有人，，根据“费用合计为565元”列出方程，解方程即可得到答案； 任务2：由当全班选择套餐人数不少于20人时，即，得到，从而得到选择套餐人数为，根据套餐、套餐的优惠方式即可算出总共花费了多少钱； 任务3：分三种情况：①当时，②当时，③选择优惠方案三，分别计算出所花费的费用，进行比较即可得到答案． 【详解】解：任务1：20人先下单，三种团购优惠方案的条件均不满足， 设这20人中选择套餐的有人，， 则选则套餐的有人，， ， ， ， 答：选择套餐的有13人，选择套餐的有7人； 任务2：两种套餐皆可的11人中有人选择套餐， 当全班选择套餐人数不少于20人时， 即， ， 选择套餐人数为，不满足优惠方案二的条件， 订餐总费用为； 任务3：两种套餐皆可的11人中有人选择套餐， ①当时，由（2）可知，订餐总费用为， ， 随着的增大而增大， 当时，订餐总费用最小为（元）； ②当时，，， ∴订餐总费用为， ， 随着的增大而增大， 当时，订餐总费用最小为（元）； ③若选择优惠方案三，订餐总费用为， 总费用满850元立减110元， 当时，订餐总费用最小为（元）； 综上所述，当订购套餐15份，订购套餐为16份时，订餐总费用最低为740元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出一元一次方程、一次函数，熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$