第三章 一次方程与方程组（知识清单）数学沪科版2024七年级上册

第三章 一次方程与方程组 1. 一元一次方程的相关概念 方程的定义：含有_____________的_____________叫做方程. 一元一次方程的概念：只含有_____________未知数（元），且未知数的次数都是_____________，这样的_____________方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：_____________（_____________是常数，且_____________）. 方程的解：能使方程两边的值_____________的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 2. 等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），结果仍_____________.即： 如果a=b，那么a±c=_____________ 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍_____________.即： 如果a=b，那么ac = _____________； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 3. 一元一次方程的解法 基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的_____________ 1）不要_____________不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成________，再_______. 3）如果分子是多项式，去分母后要加_____________. 去括号 先去_______，再去_______，最后去__________ 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的_____________; 2) 不要弄错_____________. 移项 把含有未知数的项________方程一边，其它项都________方程另一边 1）移项时不要_____________; 2）将方程中的项从一边移到另一边要_____________.而在方程同一边改变项的位置时_____________. 合并同类项 把方程变为________的形式 1）系数的符号处理要得当； 2）字母及其指数_____________. 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以_____________; 2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的_____________. 4. 二元一次方程组的相关概念 1）二元一次方程 二元一次方程概念：含有_____________未知数，并且未知数的项的次数都是_____________，像这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值_____________的_____________的值，叫做二元一次方程的解. 2）二元一次方程组 二元一次方程组的概念：方程组有_____________未知数，每个含有未知数的项的次数都是_____________，并且一共有_____________方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的_____________，叫做二元一次方程组的解. 5. 解二元一次方程组 消元思想：二元一次方程组中有_____________未知数，如果消去其中_____________未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的_____________，我们就可以先求出_____________未知数，然后再求出另一个未知数，这种将未知数的个数_____________，逐一解决的思想，叫做消元思想. 1）代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用_____________的式子表示出来，再_____________另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 2）加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数_____________时，把这两个方程的两边分别_____________，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 3）整体消元法 定义：根据方程组各系数的特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个_____________，代入另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，并求得方程的解.如： 6. 三元一次方程（组） 三元一次方程组：方程组中含有_____________未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是_____________，并且一共有_____________方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 解三元一次方程组的基本思路;化“_____________”为“_____________”，再化“_____________”为“_____________”） 序号 易错点 易错题 注意事项 1 根据一元一次方程定义求参数是忽略一次项系数不等于0 1-2 一元一次方程需满足以下条件：①只含有一个未知数；②一次项系数不为0；③一次项的次数为1；④出现高次时，高次的系数为0.根据以上条件，来确定一元一次方程的中待定字母的值. 2 等式两边同时除以一个字母时，未考虑字母不为0 3 若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立 3 解一元一次方程常见变形错误 4-8 见知识清单3 4 根据二元一次方程定义求参数是忽略含未知数项的系数不等于0 9 二元一次方程的三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式. 5 解二元一次方程组时出现变形错误或符号处理错误 10-12 1．如果是一元一次方程，那么 ． 2．若方程是关于x的一元一次方程，则代数式的值是 ． 3．若，则下列等式变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列方程的变形过程中，不正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 5．如图，小明将等式进行变形，最后得到一个错误的结论，则下列说法正确的是（    ） A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误 6．小梦同学将等式根据等式性质进行了四种变形，你认为变形正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列变形正确的是（    ） A．由，移项得B．由，去括号得 C．由，去分母得D．由，系数化为1得 8．将方程去分母，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 9．已知方程是二元一次方程，则 ． 10．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（   ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 11．在解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（   ） A． B．由①变形得③，将③代入② C． D．由②变形得③，将③代入① 12．用加减法解方程组时，有下列四种变形，正确的是（　　） A．B．C． D． 重难点01 一元一次方程的基础 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列哪个数是方程的解？（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知是关于x的一元一次方程． (1)求a的值． (2)若上述方程的解比方程的解大2，求k的值． 重难点02 等式的性质 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知，下列变形中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如果字母a，b，c表示互不相等的有理数，且满足，那么下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·安徽六安·期中）一般情况下是不成立的，但有些数，可以使得它成立，例如． (1)当，时，成立吗？请通过计算说明理由． (2)除了上面的，取值外，请列举一组能使得成立的，值． ， ． 9．（2023七年级上·安徽阜阳·专题练习）求未知数的值 (1) (2) (3) 重难点03 判断解一元一次方程时变形正误 10．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列方程的变形中，正确的是（    ） ① ，变形为；②， 变形为；③，变形为；④，变形为． A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③ 11．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）在解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）解方程，去括号的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）把方程去分母正确的是（  ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）方程去分母后，可化为（   ） A． B． C． D． 重难点04 利用合适的方法解一元一次方程 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）解方程： (1) (2) 16．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）解方程： 17．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）解方程： 18．（23-24七年级下·吉林长春·期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：________，得    第一步 去括号，得        第二步 移项，得        第三步 合并同类项，得        第四步 方程两边同除以2，得    第五步 (1)以上求解步骤中，第一步进行的是________； (2)以上求解步骤中，第________步开始出现错误； (3)请写出正确解方程的过程． 19．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）解方程： (1)； (2)． 重难点05 已知一元一次方程解之间的关系求参数 20．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 21．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 22．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于的方程的解比方程的解大，求的值． 重难点06 与解一元一次方程有关的实际问题 23．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的一元一次方程的解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“永久友好方程”．例如：一元一次方程的解是，一元一次方程的解是，，所以为一元一次方程的“永久友好方程”．若关于的一元一次方程是关于的一元一次方程的“永久友好方程”，则 ； 24．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解，则称这个方程为妙解方程．例如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答下列问题： （1）方程 妙解方程（填“是”或“不是”） （2）已知关于的一元一次方程是妙解方程．则 ． 25．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）对于有理数a、b定义一种新运算，规定． (1)求的值； (2)若，求x的值． 26．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下列材料： 让我们来定义一种运算：，例如：，再如：． 按照这种运算的规定，请解答下列问题． (1)______（只填最后结果）； (2)求的值，使（写出解题过程）． 27．（23-24七年级上·江西宜春·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求a的值． 重难点07 一元一次方程与实际问题 28．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）某口罩厂有60名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，，现在点，点同时分别按图示方向运动，点以每秒速度向左移动，点以每秒速度向右移动．问（   ）秒时，点是线段的中点． A． B． C．1 D． 30．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知三个连续奇数的和为111，其中最小的奇数为（  ） A．31 B．33 C．35 D．37 31．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，一个长方形恰好能分割成6个较小的正方形，中间最小的正方形的边长为2，则该长方形的周长为（    ） A．86 B．88 C．90 D．96 32．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）一双篮球鞋先按成本价提高标价，再以七五折（标价的）出售，结果获利40元．若设一双篮球鞋的成本价是x元，则根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我校微尘爱心社的同学组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个）） 9 6 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了114元． ①设打折的商品中有个卡套，则：打折售出的小挂件有 个，原价售出的小挂件有 个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 34．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）“元旦”期间，某超市购进一批苹果，根据以往经验可知，这批苹果在运输和仓储过程中，其损耗率为，为保证这批苹果售完后的利润率能达到，求售价相对进价应提高的增长率． 35．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）根据如表素材，探索解决任务． 新年礼盒生产方案的设计 素材1 某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共70万套． 素材2 甲礼盒的成本为20元/套，售价为24元/套； 乙礼盒的成本为25元/套，售价为30元/套． 问题解决 任务1 该工厂计划筹集资金1540万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ 任务2 经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒万套，增加生产乙种礼盒万套（，都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润为368万元，请问该工厂有几种生产方案？ 任务3 在任务2的条件下写出所有可行的生产方案． 36．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）某车间有40名工人，某月接到订单，要求加工甲、乙两种零件，每人每天可以生产10个甲种零件或5个乙种零件，已知1个甲种零件和2个乙种零件可以组装成一个成品．为使每天生产的甲、乙两种零件刚好配套，应各安排多少人生产甲、乙两种零件？ 37．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，点是线段的中点，是上一点，且，． (1)求的长； (2)若为的中点，求的长． 重难点08 利用一元一次方程解决数轴问题 38．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）【知识拓展】学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数的点到原点的距离．由于原点表示的数是0，因此可以看作，那么的意义可以看作为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与b的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段． 例如，的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 若，则的值为或． 【拓展应用】 (1)若，则的值为______；若，则的值为_____； (2)如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，若线段以个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度/秒的速度也向右匀速运动，设运动时间为秒． ①点在数轴上表示的数是_______，点在数轴上表示的数是______； ②当为何值时，（单位长度）； ③当为何值时，恰好满足． 39．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）在数轴上，通常用“两数的差”来表示“数轴上两点的距离”；如图中三条线段的长度可表示为：，，，…结论：数轴上任意两点表示的数分别为，，则这两个点间的距离为（即：用较大的数去减较小的数） 【理解运用】 根据阅读材料完成下列各题： (1)如图，，分别表示数，7，求线段的长； (2)若在直线上存在点，使得，求点对应的数值． (3)，两点分别从，同时出发以每秒3个单位、每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，求当点，重合时，它们运动的时间． 40．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）先阅读，再探究相关的问题：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m． (1)若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为________； (2)借助数轴思考，当________时，与的值相等； (3)借助数轴思考，当________时，有最小值，最小值为________； (4)若点P位于表示的点左侧，化简：． 41．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，如图，数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，且满足，P，Q是数轴上的动点． (1)A，B两点之间距离为__________； (2)若点P以2个单位/秒的速度从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点A运动，经过5秒相遇，求点Q的运动速度； (3)若点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 重难点09 二元一次方程（组）实际问题 42．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．1 43．（23-24七年级上·安徽·期末）二元一次方程的解可以为（    ） A． B． C． D． 44．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）已知是方程的一个解，那么常数a的值是（    ） A．5 B． C．3 D． 45．（21-22八年级上·山东济南·期末）若是关于x，y的二元一次方程的解，则的值为（   ） A．3 B．5 C． D． 重难点10 解二元一次方程组 46．（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程组：． 47．（23-24七年级上·安徽·期末）解二元一次方程组： (1)(2) 48．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）解下列方程组 (1)；(2)． 重难点11 利用特殊方法解二元一次方程组 49．（2023七年级上·全国·专题练习）情境  珍珍在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组： 尝试  （1）若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体如下. 请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为______，解关于，的方程组，得，所以解这个方程组，得______； 应用  （2）利用上述方法解方程组 50．（24-25七年级上·广西贵港·期末）在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：设、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为． (1)若方程组的解为，则方程组的解为_____； (2)若方程组的解为，其中为常数．求方程组的解． 重难点12 已知二元一次方程组解的关系求参数 51．（20-21七年级上·安徽六安·期末）关于x、y的方程组．与关于x、y的方程组的解相同，求 52．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）已知方程组的解满足，求m的值． 53．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 54．（22-23七年级下·浙江·期末）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？ (3)若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值． 重难点13 二元一次方程错解复原问题 55．（22-23七年级下·山东威海·期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)乙看错了②中的b，他把b看成了哪个数？ 56．（21-22七年级上·安徽六安·期末）解方程组时，甲同学因看错a符号，从而求得解为，乙因看漏c，从而求得解为，试求a，b，c的值． 57．（20-21七年级下·安徽阜阳·期末）甲、乙两人共同解方程组，解题时由于甲看错了方程①中的a，得到方组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 重难点14 二元一次方程组与实际问题 58．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“神舟”和“天宫”两种模型．已知1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元．求每个“神舟”和“天宫”模型的进价各为多少元？ 59．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知：用1辆A型车和2辆型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆型车装满物资一次可运11吨.该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满. (1)1辆A型车和1辆型车都装满资物，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆A型车的租金为120元，1辆型车的租金为150元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费. 60．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 61．（24-25七年级上·安徽六安·期末）某玩具店经销A，两种玩具，进价和售价如下表所示： 名称 进价（元） 45 60 售价（元） 66 90 (1)第一次进货时，玩具店购进A，两种玩具30件共花了1500元，请问A，两种玩具各进了多少件？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，种玩具进价每件上涨了5元，种玩具进价每件上涨了10元，但两种玩具的售价不变．玩具店计划用1200元同时购进A，两种玩具，1200元刚好用完．请问有几种购进方案，并说明哪种购进方案获得利润最多，是多少元？ 62．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）南方某市出租车计费标准如下框，赵亮上周坐了两次出租车，一次里程千米 ，车费元，另一次里程千米，车费87.5元． (1)画示意图可以帮助我们理清数量间的关系，请把下面的示意图补充完整； (2)列方程组求解，． 63．（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？ 64．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）年月，中国航空工业迎来了一个历史性的时刻——在短短小时内，两款疑似六代战斗机相继试飞成功，这一壮举不仅让国人热血沸腾，更让全球军事界为之震动．如果消息属实，那么我们现在也有了先进的飞机大炮，希望敌人们最好也有钢铁般的意志！受此消息影响，一款飞机模型在网上爆火．某玩具店为了满足广大航天爱好者需求，销售每件进价分别为元和元的，两种型号的飞机模型，下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型 第一天 件 件 第二天 件 件 (1)求、两种型号的飞机模型的销售单价； (2)该玩具店准备了元全部用于再采购这两种型号的飞机模型共件，求种型号的模型能采购多少件？ (3)在（2）的条件下，玩具店销售完这件模型能否实现元的利润目标？请说明理由． 65．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）我市的雨山湖公园，娟秀妩媚，环境优雅，湖水清澈见底，是市民游玩休闲的好地方．某校七年级1班学生计划假期去雨山湖游玩，游船价格如下表： 船型 四座电动船 六座电动船 价格 元/小时 元/小时 已知所有学生均有座位且坐船游玩小时，请解决下面问题： (1)若租用四座电动船条数与六座电动船条数之比为，所有船恰好坐满，需花费元，那么租用了几条四座电动船？ (2)若每条船均坐满，且每种船型至少一条；列举出所有可行的租船方案，并计算出每种方案的价格，指出最省钱的方案． 66．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）我校学生组织冬游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次18元，五座车每人每次8元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满． (1)若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题） (2)因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐7人．若每种车型必须都租用，请你设计符合要求的租车方案． (3)若每辆大巴车的租金为30元一次，请你通过计算，找出租金最低的租车方案． 重难点15 三元一次方程组与实际问题 67．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（   ） A．65 B．70 C．72 D．75 68．（24-25八年级上·山东济南·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 69．（22-23七年级上·安徽池州·期末）一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是（    ） A．325 B．217 C．433 D．541 70．（23-24七年级上·四川成都·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量． 71．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）在车站开始检票时，有名旅客在候车室等候检票，检票开始后，仍有旅客前来进站，旅客进站按固定速度增加人/分钟，所有的检票口检票也按固定速度为人/分钟．若车站只开2个检票口，则需要30分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕；若只开放3个检票口，则需要10分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕． (1)求与之间的数量关系． (2)若要在5分钟内完成检票，减少旅客等待的时间，需要至少开放多少个检票口？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一次方程与方程组 1. 一元一次方程的相关概念 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 2. 等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），结果仍相等.即： 如果a=b，那么a±c=b±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 3. 一元一次方程的解法 基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 不要弄错符号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 1）移项时不要丢项; 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 1）系数的符号处理要得当； 2）字母及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数; 2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数. 4. 二元一次方程组的相关概念 1）二元一次方程 二元一次方程概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 2）二元一次方程组 二元一次方程组的概念：方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 5. 解二元一次方程组 消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数，这种将未知数的个数由多变少，逐一解决的思想，叫做消元思想. 1）代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 2）加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 3）整体消元法 定义：根据方程组各系数的特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，代入另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，并求得方程的解.如： 6. 三元一次方程（组） 三元一次方程组：方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 解三元一次方程组的基本思路;化“三元”为“二元”，再化“二元”为“一元”） 序号 易错点 易错题 注意事项 1 根据一元一次方程定义求参数是忽略一次项系数不等于0 1-2 一元一次方程需满足以下条件：①只含有一个未知数；②一次项系数不为0；③一次项的次数为1；④出现高次时，高次的系数为0.根据以上条件，来确定一元一次方程的中待定字母的值. 2 等式两边同时除以一个字母时，未考虑字母不为0 3 若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立 3 解一元一次方程常见变形错误 4-8 见知识清单3 4 根据二元一次方程定义求参数是忽略含未知数项的系数不等于0 9 二元一次方程的三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式. 5 解二元一次方程组时出现变形错误或符号处理错误 10-12 1．如果是一元一次方程，那么 ． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， 解得或且， 故． 故答案为：0． 2．若方程是关于x的一元一次方程，则代数式的值是 ． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 3．若，则下列等式变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】A. 等式两边同时乘以23，得，正确； B. 等式两边同时除以，但未说明，若则无意义，变形错误； C. 等式两边同时减去23，得，正确； D. 分母恒大于0，两边同时除以，得，正确； 故选B． 4．下列方程的变形过程中，不正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【详解】解∶A．由，两边同除以5，得，变形正确； B．由，两边同乘，得，变形正确； C．由，移项时应将移到左边，得，但选项C写为，符号错误，变形不正确； D．由，移项得，变形正确， 故选∶C． 5．如图，小明将等式进行变形，最后得到一个错误的结论，则下列说法正确的是（    ） A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误 【详解】解：第一步等式两边同时加，第二步合并同类项，都是正确的， 第三步两边同时除以a是错误的，因为a可能等于零． 正确的做法是移项得，解得， 故选：C． 6．小梦同学将等式根据等式性质进行了四种变形，你认为变形正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：由等式基本性质，等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立，则，故①正确； 由等式基本性质，等式两边同时乘以同一个不为0数，等式仍然成立，则，故②正确； 由等式基本性质，等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立，则，故③正确； 由等式基本性质，等式两边同时除以同一个不为0数，等式仍然成立，则当时，有，故④不一定正确； 综上所述，变形正确的是①②③， 故选：C． 7．下列变形正确的是（    ） A．由，移项得 B．由，去括号得 C．由，去分母得 D．由，系数化为1得 根据各方程变形得到结果后，依次判断即可． 【详解】解：A、由，移项得，不符合题意； B、由，去括号得，符合题意； C、由，去分母得，不符合题意； D、由，系数化为得，不符合题意． 故选：B． 8．将方程去分母，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：方程两边同时乘以15， 去分母得． 故选：D 9．已知方程是二元一次方程，则 ． 【详解】解：方程是二元一次方程， 且，， 解得， ． 故答案为：． 10．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（   ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 【详解】解：， 由①，得或，故A，C选项正确，不符合题意； 由②，得或故D选项正确，不符合题意；B选项错误，符合题意； 故选：B 11．在解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（   ） A． B．由①变形得③，将③代入② C． D．由②变形得③，将③代入① 【详解】解：．，可以消去，故不符合题意； ．由①变形得③，将③代入②，可以消去，故不符合题意； ．，无法消元，故符合题意； ．由②变形得③，将③代入①，可以消去，故不符合题意； 故选：． 12．用加减法解方程组时，有下列四种变形，正确的是（　　） A．B．C． D． 【详解】解：用加减法解方程组时， ，得， ，得， 故B，C，D错误，不合题意；故A正确，符合题意； 故选：A． 重难点01 一元一次方程的基础 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的概念，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的概念． 先利用未知数的次数为1得出的值，再根据一次项的系数进行取舍． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴， 解得，或， 当时，一次项系数，不符合题意，故舍去， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列哪个数是方程的解？（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解方程的步骤是解题的关键．先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，再系数化1求解． 【详解】解：， 去分母，得， 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得． 故选：C． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，先把是代入方程得，再将代数式变形得，然后代入计算即可，掌握方程的解，代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴，即， ∴ ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知是关于x的一元一次方程． (1)求a的值． (2)若上述方程的解比方程的解大2，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，一元一次方程的解，掌握一元一次方程的定义，代入求值的方法是解题的关键． （1）根据一元一次方程的定义“含有一个未知数，未知数的次数为1的整式方程”，可得，，由此即可求解； （2）由（1）得，方程的解为，由此可得的解为，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，即， 又∵， ∴； （2）解：由（1）可得，当时，方程为， 解得， ∵方程的解比方程的解大2， ∴的解为， 把代入方程得：， 解得：． 重难点02 等式的性质 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、等式两边应同时加减同一数，但左边加，右边减，相当于两边加减不同数，等式不成立，选项错误； B、根据等式性质，两边同乘任意数（包括0），等式仍成立，选项正确； C、当时，分母为0无意义，等式不成立，选项错误； D、两边同乘得：，而非，推导错误，选项错误； 故选：B． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知，下列变形中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质；根据等式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，正确，不符合题意； B．若，则，正确，不符合题意； C．若，则，变形不一定正确，符合题意； D．若，则，正确，不符合题意． 故选：C． 7．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如果字母a，b，c表示互不相等的有理数，且满足，那么下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质．根据等式的性质去分母，进行变形，即可得出结论． 【详解】解：， 等式的两边同时乘以6，得 ， A．， 去括号得：， 移项合并同类项得：，故A不符合题意； B．， 去括号得：， 移项合并同类项得：，故B不符合题意； C．， 去括号得：， 移项合并同类项得：，故C不符合题意； D．， 去括号得：， 移项合并同类项得：，故D符合题意． 故选：D． 8．（23-24七年级上·安徽六安·期中）一般情况下是不成立的，但有些数，可以使得它成立，例如． (1)当，时，成立吗？请通过计算说明理由． (2)除了上面的，取值外，请列举一组能使得成立的，值． ， ． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)， 【分析】（1）本题考查等式的性质，直接将，代入式中计算即可判断； （2）本题考查等式的性质，只需写出一组，代入等式中成立即可． 【详解】（1）解：成立，理由如下： 把，分别代入原等式左右两边， 左边， 右边， 左边＝右边， 成立； （2）解：当，， 左边， 右边， 左边＝右边， 成立； 故答案为：，（答案不唯一） 9．（2023七年级上·安徽阜阳·专题练习）求未知数的值 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据比例的基本性质，把原式转化为，再根据等式的性质解出即可； （2）先化简，再根据等式的性质，在方程两边同时减去4，再乘上3来解； （3）先根据比例的基本性质，把原式转化为，再根据等式的性质来解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查了学生利用比例的基本性质和等式的性质解方程的能力． 重难点03 判断解一元一次方程时变形正误 10．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列方程的变形中，正确的是（    ） ① ，变形为；②， 变形为；③，变形为；④，变形为． A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行变形判断即可． 【详解】解：，变形为，故①错误； ， 变形为；故②正确； ，变形为；故③错误； ，变形为，故④正确． 故选C． 11．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）在解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的去分母，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解题的关键； 将方程两边同乘各分母的最小公倍数，即可去分母，据此即可解答． 【详解】 方程两边同乘6，去分母，得． 故选：D． 12．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）解方程，去括号的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号法则的应用，去括号法则：当括号前是正号时，去掉括号后，括号内的各项符号不变，当括号前为负号时，去掉括号后，括号内的各项符号要变号．掌握去括号法则是解题的关键．根据去括号法则去括号即可． 【详解】解：去括号，， 故选：D． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）把方程去分母正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程去分母的计算，掌握去分母的方法，等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质，等式两边同时乘以公分母，不能漏项，由此即可求解． 【详解】解：方程去分母， 等式两边同时乘以得，， 故选：A ． 14．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）方程去分母后，可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的化简．熟练掌握分数的基本性质和等式的性质，是解题的关键． 先将分式的分子、分母同时扩大原来的10倍，将方程中的小数变为整数，再去分母． 【详解】解：方程的两边的分数的分子与分母同乘以10， 得， 去分母，得． 故选：D． 重难点04 利用合适的方法解一元一次方程 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 16．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则去分母，去括号进行计算即可． 【详解】解：去分母得， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得， 17．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，根据解一元一次方程的步骤，先去括号，然后移项，合并同类项，最后将x的系数化为即可求解． 【详解】解： 去括号得， 移项得， 合并得， 系数化为得． 18．（23-24七年级下·吉林长春·期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：________，得    第一步 去括号，得        第二步 移项，得        第三步 合并同类项，得        第四步 方程两边同除以2，得    第五步 (1)以上求解步骤中，第一步进行的是________； (2)以上求解步骤中，第________步开始出现错误； (3)请写出正确解方程的过程． 【答案】(1)去分母 (2)三 (3)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母， 故答案为：去分母； （2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号， 故答案为：三； （3）解： 两边同乘6得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同除以2，得． 19．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为 1 的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ． 重难点05 已知一元一次方程解之间的关系求参数 20．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． （1）依据一元一次方程的定义可得到，且，然后求解即可； （2）由（1）可得方程为，即可求出它的解，将该解代入方程即可解答． 【详解】（1）解：是关于x的一元一次方程 ∴， 解得：， ； （2）解：由（1）得，方程为：， 解得：， 该方程与关于x的方程的解相同， ， 解得：． 21．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程以及方程的解的应用，先解出的解，再化简，得出，则，再把代入，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则 ∵ 解得， ∵方程的解与关于的方程的解互为相反数， ∴把代入 得 22．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于的方程的解比方程的解大，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程解的定义以及解一元一次方程等知识，掌握一元一次方程解的定义以及解一元一次方程等知识是解答本题的关键． 首先由方程，用表示，然后由第二个方程，再用表示，因为两个解的值相差，列出方程求出的值即可． 【详解】解：解关于的方程，得：， 解关于的方程，得：， 因为关于的方程的解比方程的解大， 所以，解得． 重难点06 与解一元一次方程有关的实际问题 23．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的一元一次方程的解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“永久友好方程”．例如：一元一次方程的解是，一元一次方程的解是，，所以为一元一次方程的“永久友好方程”．若关于的一元一次方程是关于的一元一次方程的“永久友好方程”，则 ； 【答案】1 【分析】本题是新定义题，考查了解一元一次方程等知识，首先求出，然后根据题意得到，求出，然后代入解方程即可． 【详解】解得， 根据题意得， ∴ 将代入得， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 故答案为：1． 24．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解，则称这个方程为妙解方程．例如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答下列问题： （1）方程 妙解方程（填“是”或“不是”） （2）已知关于的一元一次方程是妙解方程．则 ． 【答案】 不是 【分析】此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据题中的新定义判断即可； （2）利用题中的新定义确定出m的值即可； 【详解】解：（1）∵， 解方程得，， ∴方程不是妙解方程， 故答案为：不是； （2）∵一元一次方程是妙解方程 ∴方程的解为：， 代入得：， 解得：， 故答案为：． 25．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）对于有理数a、b定义一种新运算，规定． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)10； (2)． 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，一元一次方程的应用，理解新定义运算的含义是解本题的关键； （1）根据新定义运算的含义列式计算即可； （2）根据新定义运算的含义，可得，再解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵☆， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： 26．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下列材料： 让我们来定义一种运算：，例如：，再如：． 按照这种运算的规定，请解答下列问题． (1)______（只填最后结果）； (2)求的值，使（写出解题过程）． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次方程与有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，将所给式子转换为正常运算． （1）首先根据题意可得，则可求得答案； （2）由，根据题意可得一元一次方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ， 解得：． 27．（23-24七年级上·江西宜春·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求a的值． 【答案】(1)是“美好方程”，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． （1）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义得出，求出的值即可． 【详解】（1）解方程得， 解方程得， 因为， 所以这两个方程是“美好方程”； （2）解方程得， 根据题意，方程的解为：， 所以， 解得． 重难点07 一元一次方程与实际问题 28．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）某口罩厂有60名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳， ， 故选：B． 29．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，，现在点，点同时分别按图示方向运动，点以每秒速度向左移动，点以每秒速度向右移动．问（   ）秒时，点是线段的中点． A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查了线段的中点和一元一次方程应用，设秒时，点是线段的中点，此时，,根据中点的定义列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设秒时，点是线段的中点，此时，,根据题意可得， 解得， 即秒时，点是线段的中点， 故选：D 30．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知三个连续奇数的和为111，其中最小的奇数为（  ） A．31 B．33 C．35 D．37 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设最小的奇数为n，根据“三个连续奇数的和为111”列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设最小的奇数为n，则中间的奇数为，最大的奇数为， 由题意得：， 化简得， 解得， 故选C． 31．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，一个长方形恰好能分割成6个较小的正方形，中间最小的正方形的边长为2，则该长方形的周长为（    ） A．86 B．88 C．90 D．96 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设正方形D，正方形E的边长为x，则正方形C的边长为，正方形B的边长为，正方形A的边长为，根据大长方形的对边相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，设正方形D，正方形E的边长为x，则正方形C的边长为，正方形B的边长为，正方形A的边长为， ∴， 解得． ∴这个长方形的长为， 宽为． ∴这个长方形的周长为． 故选：D． 32．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）一双篮球鞋先按成本价提高标价，再以七五折（标价的）出售，结果获利40元．若设一双篮球鞋的成本价是x元，则根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设一双篮球鞋的成本价是x元，根据一双鞋获利40元，列出方程即可． 【详解】解：设一双篮球鞋的成本价是x元，根据题意得： ． 故选：A． 33．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我校微尘爱心社的同学组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个）） 9 6 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了114元． ①设打折的商品中有个卡套，则：打折售出的小挂件有 个，原价售出的小挂件有 个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 【答案】(1)卡套30个，小挂件20个 (2)①，，②打折后卖出的卡套10个，小挂件15个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题，正确理解题意，找出等量关系是解题的关键； （1）根据批发了卡套和小挂件共50个，设出未知数，然后根据卡套个数卡套批发价小挂件个数小挂件批发价，列出一元一次方程，计算即可； （2）设打折的商品中有个卡套，根据一共有50个，共卖出25个，则打折出售的小挂件有个，表示出打折前卖出卡套和小挂件获得的利润，然后加上打折后的即为捐出的总钱数，列方程解答； 【详解】（1）解：设批发卡套m个，则批发小挂件个， 根据题意得：， 解得：， 则（个） 答：批发卡套30个、小挂件20个； （2）解：①设打折的商品中有个卡套，则打折卖出的小挂件有个， 原价售出的小挂件有个，即个； ②根据题意得： ， 解得：， 则（个）， 答：打折后卖出的卡套10个，小挂件15个． 34．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）“元旦”期间，某超市购进一批苹果，根据以往经验可知，这批苹果在运输和仓储过程中，其损耗率为，为保证这批苹果售完后的利润率能达到，求售价相对进价应提高的增长率． 【答案】售价相对进价应提高的增长率为 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设这批苹果的进价为a元/千克，增长率为，售价为元/千克，这批苹果共b千克，利用总利润销售单价销售数量进货单价购进数量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这批苹果的进价为a元/千克，增长率为，售价为元/千克， 根据题意得：， 即， 解得：． 答：售价相对进价应提高的增长率为． 35．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）根据如表素材，探索解决任务． 新年礼盒生产方案的设计 素材1 某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共70万套． 素材2 甲礼盒的成本为20元/套，售价为24元/套； 乙礼盒的成本为25元/套，售价为30元/套． 问题解决 任务1 该工厂计划筹集资金1540万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ 任务2 经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒万套，增加生产乙种礼盒万套（，都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润为368万元，请问该工厂有几种生产方案？ 任务3 在任务2的条件下写出所有可行的生产方案． 【答案】任务1：甲礼盒生产42万套，则乙礼盒生产28万套； 任务2：两种 任务3：方案一：增加生产甲种礼盒5万套，增加生产乙种礼盒8万套；方案二：增加生产甲种礼盒10万套，增加生产乙种礼盒4万套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、二元一次方程的应用、方案设计等知识，理解题意，弄清熟练关系是解题关键． 任务1：设甲礼盒生产万套，则乙礼盒生产万套，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； 任务2：首先计算增加生产前所获得的利润值，根据题意可知增加生产甲种礼盒万套，增加生产乙种礼盒万套，易得，根据“，都为正整数”分析，即可获得答案； 任务3：结合任务2中计算，即可获得答案． 【详解】解：任务1：设甲礼盒生产万套，则乙礼盒生产万套， 根据题意，可得， 解得 （万套）， 所以，（万套）， 答：甲礼盒生产42万套，则乙礼盒生产28万套； 任务2：增加生产前，获得的利润为（万元）， 根据题意，增加生产甲种礼盒万套，增加生产乙种礼盒万套， 则有 ， 整理可得 ， ∴， 因为，都为正整数， 所以或， 所以，该工厂有两种生产方案； 任务3：在（2）的条件下，两方案分别为： 方案一：增加生产甲种礼盒5万套，增加生产乙种礼盒8万套； 方案二：增加生产甲种礼盒10万套，增加生产乙种礼盒4万套． 36．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）某车间有40名工人，某月接到订单，要求加工甲、乙两种零件，每人每天可以生产10个甲种零件或5个乙种零件，已知1个甲种零件和2个乙种零件可以组装成一个成品．为使每天生产的甲、乙两种零件刚好配套，应各安排多少人生产甲、乙两种零件？ 【答案】安排8人生产甲种零件，32人生产乙种零件 【分析】本题考查一元一次方程的应用，弄清题意 ，正确确定等量关系是解题的关键；设安排人生产甲种零件，则安排人生产乙种零件，根据“每人每天可以生产10个甲种零件或5个乙种零件，已知1个甲种零件和2个乙种零件可以组装成一个成品”，可列方程求解． 【详解】解：设安排人生产甲种零件，则安排人生产乙种零件， 根据题意列方程得：， 解得， ， 答：安排8人生产甲种零件，32人生产乙种零件． 37．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，点是线段的中点，是上一点，且，． (1)求的长； (2)若为的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的中点以及线段的和差计算，一元一次方程的应用，找出线段之间的数量关系是解题关键． （1）设的长为，则，再根据线段中点，得出，根据，求出的值，即可得出的长； （2）由（1）可得，，进而得到，即可求出长． 【详解】（1）解：设的长为， ， ， ， 点E是线段的中点， ， ， ， ，即， ； （2）解：，， ， 为线段的中点， ， ． 重难点08 利用一元一次方程解决数轴问题 38．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）【知识拓展】学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数的点到原点的距离．由于原点表示的数是0，因此可以看作，那么的意义可以看作为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与b的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段． 例如，的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 若，则的值为或． 【拓展应用】 (1)若，则的值为______；若，则的值为_____； (2)如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，若线段以个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度/秒的速度也向右匀速运动，设运动时间为秒． ①点在数轴上表示的数是_______，点在数轴上表示的数是______； ②当为何值时，（单位长度）； ③当为何值时，恰好满足． 【答案】(1)或；或 (2)①；；②或；③或 【分析】本题考查的知识点是数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用、整式加减的应用，理解题意，得出各点表示的数是解题关键． （1）根据题意理解和的实际意义即可得解； （2）①设点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数是，根据题意得到，后即可得解； ②先表示出运动时间为秒时，点和点在数轴上表示的数，再根据题意表示出，得到一元一次方程，求解后即可得到值； ③先表示出运动时间为秒时，点和点在数轴上表示的数，再根据题意表示出、，由得到一元一次方程后求解即可． 【详解】（1）解：∵的意义为数轴上表示数与的两点间的距离是， ∴或； 的意义为数轴上表示数与的两点间的距离是， ∴或． 故答案为：或；或． （2）解：①设点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数是， ∴，， ∴，， 即点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数是． 故答案为：； ②依题得：运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∵， ∴， 解得：或． ③依题得：运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∴， ∵，， ∴， 当即时，， 解得：， 当即时，， 解得：， 当即时，， 解得， ∵， ∴（舍去）． 综上，当或时，恰好满足． 39．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）在数轴上，通常用“两数的差”来表示“数轴上两点的距离”；如图中三条线段的长度可表示为：，，，…结论：数轴上任意两点表示的数分别为，，则这两个点间的距离为（即：用较大的数去减较小的数） 【理解运用】 根据阅读材料完成下列各题： (1)如图，，分别表示数，7，求线段的长； (2)若在直线上存在点，使得，求点对应的数值． (3)，两点分别从，同时出发以每秒3个单位、每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，求当点，重合时，它们运动的时间． 【答案】(1)8 (2)5或9 (3)运动时间为8秒时，，重合 【分析】本题考查一元一次方程的实际运用，利用数形结合的思想和数轴上求两点之间距离的方法解决问题． （1）用“用较大的数去减较小的数”即可求解； （2）分点在点左侧和点在点右侧时，两种情况讨论，，列式计算即可求解； （3）根据题意得到点对应数值表示为，点对应数值表示为，根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，线段的长为：； （2）解：设点对应的数值为， （ⅰ）当点在点左侧时，， 因为， ， 则， （ⅱ）当点在点右侧时， 因为， 所以，解得， 答：时，点对应的数值为5或9； （3）解：设运动时间为秒时，，重合， 点对应数值表示为，点对应数值表示为， 由题意得， 解得， 答：运动时间为8秒时，，重合． 40．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）先阅读，再探究相关的问题：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m． (1)若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为________； (2)借助数轴思考，当________时，与的值相等； (3)借助数轴思考，当________时，有最小值，最小值为________； (4)若点P位于表示的点左侧，化简：． 【答案】(1)或 (2) (3)， (4) 【分析】（1）由两点间的距离可得，再解方程求解； （2）根据到两点距离相等的点是线段的中点，结合数轴可得答案； （3）根据两点之间，线段最短，结合数轴可得答案； （4）根据m的取值范围，画图，再去掉绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：数轴上点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度， ； 或， 解得：m为或， （2）解：如图，记表示，表示，对应的数为， ∴与的值相等， 即， 此时对应的数为：； （3）解：如图，记表示，表示，表示，对应的数为， ∴， ∴当重合时，即，有最小值， 最小值为； （4）解：点P位于表示的点左侧，如图， ∴ ； 【点睛】本题考查了绝对值，数轴上两点的距离，以及绝对值方程，整式的加减运算，线段的中点的含义，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点． 41．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，如图，数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，且满足，P，Q是数轴上的动点． (1)A，B两点之间距离为__________； (2)若点P以2个单位/秒的速度从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点A运动，经过5秒相遇，求点Q的运动速度； (3)若点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16 (2)个单位/秒 (3)存在，6秒或12秒 【分析】（1）根据非负数的性质，可得，，求解即可获得答案； （2）设点的运动速度为个单位长度/秒，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （3）根据题意，可得点对应的数为，结合点，对应的数，求得，的值，然后根据，可得，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 解得，， 所以A，B两点之间距离为：． 故答案为：16． （2）解：设点Q的运动速度为x个单位/秒， 根据题意，得， 解得， 所以点Q的运动速度为1.2个单位/秒． （3）解：存在，理由如下： 因为点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为t秒， 则点P对应的数为， 所以，． 因为，所以， 当时， 解得秒， 当时， 解得秒， 所以当t的值为6秒或12秒时，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、一元一次方程的应用以及绝对值方程等知识，理解题意，根据题目中的描述找到等量关系式是解题的关键． 重难点09 二元一次方程（组）实际问题 42．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 直接根据二元一次方程的定义列方程求值即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴，解得：． 故选D． 43．（23-24七年级上·安徽·期末）二元一次方程的解可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各组数代入二元一次方程的等号左边，看其值是否等于1即可得．本题考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步骤是关键． 【详解】解：A．， 不是二元一次方程的解；不符合题意； B．， 是二元一次方程的解；符合题意； C．， 不是二元一次方程的解；不符合题意； D．， 不是二元一次方程的解．不符合题意； 故选：B． 44．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）已知是方程的一个解，那么常数a的值是（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程，将代入方程可得关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 45．（21-22八年级上·山东济南·期末）若是关于x，y的二元一次方程的解，则的值为（   ） A．3 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、解一元一次方程等知识点．根据二元一次方程的解的定义把x、y的值代入方程，得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：把代入关于x、y的二元一次方程中， 可得：， 解得． 故选：B． 重难点10 解二元一次方程组 46．（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解： 由①，得③， 将③代入②，得，解得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 47．（23-24七年级上·安徽·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减法和代入法是关键. （1）利用代入法解方程组即可； （2）利用加减法解方程组即可. 【详解】（1）解： 把①代入②得， 解得 把代入①得， ∴ （2） 得，， 把代入①得，， 解得 ∴ 48．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）解下列方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程即可； （2）利用代入消元法解二元一次方程即可； 【详解】（1）解： 由①得  ③， 把③代入②得：， 解得： 把代入①得： ∴； （2） 整理得： 由①得  ③， 把③代入②得 解得：， 把代入得：， ∴． 【点睛】本题考查二元一次方程的解法，掌握代入消元法是解题的关键． 重难点11 利用特殊方法解二元一次方程组 49．（2023七年级上·全国·专题练习）情境  珍珍在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组： 尝试  （1）若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体如下. 请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为______，解关于，的方程组，得，所以解这个方程组，得______； 应用  （2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； 【详解】解：（1）设， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得． 50．（24-25七年级上·广西贵港·期末）在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：设、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为． (1)若方程组的解为，则方程组的解为_____； (2)若方程组的解为，其中为常数．求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用整体法解二元一次方程组； （1）设，，则方程组可化为，再进一步解方程组即可； （2）设，，则方程组可化为，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：的解为， 的解为， 设，， 则方程组可变为：， ，解得：． （2）解：设，， 则可变为：， 的解为， 的解为， 即， 解得： 重难点12 已知二元一次方程组解的关系求参数 51．（20-21七年级上·安徽六安·期末）关于x、y的方程组．与关于x、y的方程组的解相同，求 【答案】1 【分析】由题意，根据方程组的解相同得到，从而得到，再代入计算，求出m、n的值，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， 由， 解得：， 代入， 得， 解得：； 则； 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法进行解题． 52．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）已知方程组的解满足，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解及其解法、解一元一次方程，先利用加减消元法解方程组得到，再根据解方程即可． 【详解】解：， 由得， 代入①中，得， ∴该方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 解得． 53．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解及其解法，由方程组的解的含义可得，可得，再解方程组，再进一步解答即可. 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，， ∴ 解， 得，， 解得：， 将代入②，得， 将代入，得， 解得. 54．（22-23七年级下·浙江·期末）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？ (3)若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键． （1）将与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得、的值，再代入第二个方程中可得的值； （2）当含项为零时，取，代入可得固定的解． （3）根据方程组可以求得，的关系式，根据为整数，可以求解的值； 【详解】（1）由题意得：，解得， 把代入，解得； （2）， ∴当，时，， 即固定的解为：， （3）， 得：， ， ， 为整数， ∴，，， 且为自然数， ∴或或， 或或． 重难点13 二元一次方程错解复原问题 55．（22-23七年级下·山东威海·期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)乙看错了②中的b，他把b看成了哪个数？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将甲得到的方程组的解代入第二个方程，将乙得到方程组的解代入第一个方程，联立两个方程求出a，b； （2）设把b看成了m，代入②，求出方程的解即可得到b． 【详解】（1）解：将代入方程组中的第二个方程得：①， 将代入方程组中的第一个方程得：②， 联立①② 解得：； （2）设把b看成了m， 把，代入方程， 得 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 56．（21-22七年级上·安徽六安·期末）解方程组时，甲同学因看错a符号，从而求得解为，乙因看漏c，从而求得解为，试求a，b，c的值． 【答案】，， 【分析】甲同学因看错a符号，把x=3，y=2代入x+cy=4，求出c，因看错a符号，得-3a+2b=6，乙因看漏c，把x=6，y=-2代入ax+by=6，组成新的二元二次方程组，解出即可． 【详解】解：∵甲同学因看错a符号， ∴把，代入， 得， ． ∵乙因看漏c， ∴把，代入， 得， 得， 解得，，． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握做题的方法． 57．（20-21七年级下·安徽阜阳·期末）甲、乙两人共同解方程组，解题时由于甲看错了方程①中的a，得到方组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 【答案】2 【分析】根据题意将代入②，将代入①即可求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】根据题意，将代入②，将代入①得： 解得：， 则原式＝． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，代数式求值，理解题意是解题的关键． 重难点14 二元一次方程组与实际问题 58．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“神舟”和“天宫”两种模型．已知1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元．求每个“神舟”和“天宫”模型的进价各为多少元？ 【答案】每个“神舟”模型的进价为60元，每个“天宫”模型的进价为30元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用、准确找出等量关系，列出二元一次方程是解题的关键； 设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元，根据1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每个“神舟”模型的进价为x元，每个“天宫”模型的进价为y元， 由题意得 解得． 答：每个“神舟”模型的进价为60元，每个“天宫”模型的进价为30元． 59．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知：用1辆A型车和2辆型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆型车装满物资一次可运11吨.该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满. (1)1辆A型车和1辆型车都装满资物，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆A型车的租金为120元，1辆型车的租金为150元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费. 【答案】(1)1辆A型车装满资物一次可运4吨，1辆型车装满资物一次可运3吨． (2)该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆型车；方案2：租用4辆A型车，5辆型车；方案3：租用7辆A型车，1辆型车． (3)最省钱的租车方案为租用7辆A型车，1辆型车，最少租车费为990元． 【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满资物一次可运吨，1辆型车装满资物一次可运吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满资物一次可运4吨，1辆型车装满资物一次可运3吨． （2）依题意，得：， ∴． ∵，均为正整数， ∴或或， 所以该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆型车；方案2：租用4辆A型车，5辆型车；方案3：租用7辆A型车，1辆型车． （3）方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． 所以最省钱的租车方案为租用7辆型车，1辆型车，最少租车费为990元． 60．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】个客人，个盘子 【分析】本题考查二元一次方程，设有个客人，个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解，找到正确的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有个客人，个盘子． 根据题意，得 ， 解得 ， 答∶有个客人，个盘子． 61．（24-25七年级上·安徽六安·期末）某玩具店经销A，两种玩具，进价和售价如下表所示： 名称 进价（元） 45 60 售价（元） 66 90 (1)第一次进货时，玩具店购进A，两种玩具30件共花了1500元，请问A，两种玩具各进了多少件？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，种玩具进价每件上涨了5元，种玩具进价每件上涨了10元，但两种玩具的售价不变．玩具店计划用1200元同时购进A，两种玩具，1200元刚好用完．请问有几种购进方案，并说明哪种购进方案获得利润最多，是多少元？ 【答案】(1)，两种玩具各进20件，10件 (2)共有三种购进方案，其中购进A种玩具17件，种玩具5件利润最多为372元 【分析】本题主要二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程组和二元一次方程成为解题的关键． （1）设A种玩具进件，种玩具件，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设第二次A种玩具购进件，种玩具购进件，根据题意得：，即；然后列举出a、b的可能取值进行解答即可． 【详解】（1）解：设A种玩具进件，种玩具件，根据题意得： ，解得：． 答：A、两种玩具各进20件，10件． （2）解：设第二次A种玩具购进件，种玩具购进件，根据题意得： ，化简得： 因为，只能取正整数，所以采购方案共有三种，分别是 方案一：A种17件，种5件，利润为：元； 方案二：A种10件，种10件，利润为：元； 方案三：A种3件，种15件，利润为：元． 答：共有三种购进方案，其中购进种玩具17件，种玩具5件利润最多为372元． 62．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）南方某市出租车计费标准如下框，赵亮上周坐了两次出租车，一次里程千米 ，车费元，另一次里程千米，车费87.5元． (1)画示意图可以帮助我们理清数量间的关系，请把下面的示意图补充完整； (2)列方程组求解，． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据题意即可得到答案； （2）根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：根据题意列方程组得，， 解得：． 63．（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？ 【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元 (2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有3种购进方案：购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解题的关键． （1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解； （2）①根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解； ②设再购进A型台灯a台，B型台灯台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润台B型台灯售出获得利润元，列方程即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元． （2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意得：， 解得，， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；     ②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯台， 由题意得：， 整理得：， ∴ a、b为自然数， 或或， 有3种购进方案： 购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台； 64．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）年月，中国航空工业迎来了一个历史性的时刻——在短短小时内，两款疑似六代战斗机相继试飞成功，这一壮举不仅让国人热血沸腾，更让全球军事界为之震动．如果消息属实，那么我们现在也有了先进的飞机大炮，希望敌人们最好也有钢铁般的意志！受此消息影响，一款飞机模型在网上爆火．某玩具店为了满足广大航天爱好者需求，销售每件进价分别为元和元的，两种型号的飞机模型，下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型 第一天 件 件 第二天 件 件 (1)求、两种型号的飞机模型的销售单价； (2)该玩具店准备了元全部用于再采购这两种型号的飞机模型共件，求种型号的模型能采购多少件？ (3)在（2）的条件下，玩具店销售完这件模型能否实现元的利润目标？请说明理由． 【答案】(1)种型号的飞机模型的销售单价为元，种型号的飞机模型的销售单价为元 (2)种型号的模型能采购件 (3)能实现，理由见解析 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，熟练的确定相等关系是解本题的关键． （1）设种型号的飞机模型的销售单价为元，种型号的飞机模型的销售单价为元，再根据“表格信息”建立方程组即可求解； （2）设种型号的模型能采购件，再根据“玩具店准备了元的金额全部用于再采购这两种型号的飞机模型共件，”建立方程即可求解； （3）由（2）可知种型号的模型能采购件，再计算总利润，再与进行比较即可． 【详解】（1）解：设种型号的飞机模型的销售单价为元，种型号的飞机模型的销售单价为元， 根据题意可得：， 解得：， 答：种型号的飞机模型的销售单价为元，种型号的飞机模型的销售单价为元； （2）设种型号的模型能采购件， 根据题意得：， 解得：， 答：种型号的模型能采购件； （3）能实现，理由如下： 由（2）可知种型号的模型能采购件， （元） ， 玩具店销售完这件模型能实现元的利润目标． 65．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）我市的雨山湖公园，娟秀妩媚，环境优雅，湖水清澈见底，是市民游玩休闲的好地方．某校七年级1班学生计划假期去雨山湖游玩，游船价格如下表： 船型 四座电动船 六座电动船 价格 元/小时 元/小时 已知所有学生均有座位且坐船游玩小时，请解决下面问题： (1)若租用四座电动船条数与六座电动船条数之比为，所有船恰好坐满，需花费元，那么租用了几条四座电动船？ (2)若每条船均坐满，且每种船型至少一条；列举出所有可行的租船方案，并计算出每种方案的价格，指出最省钱的方案． 【答案】(1)租用了条四座电瓶船 (2)方案见解析；最省钱的方案是租用3条四座电瓶船，6条六座电瓶船． 【分析】本题考查一元一次方程，二元一次方程的应用． （1）根据题意，设租用了条四座电瓶船，则租用了条六座电瓶船，列出方程并正确计算即可； （2）先计算出共有学生数量，设租用条四座电瓶船，条六座电瓶船，则，再分别计算出方案一到方案三所花费用，进行比较即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设租用了条四座电瓶船，则租用了条六座电瓶船，根据题意得， 解得：， ∴，， ∴租用了条四座电瓶船，条六座电瓶船 答：租用了条四座电瓶船 （2）解：由（1）可得学生人数为人 设租用条四座电瓶船，条六座电瓶船，则 ∴， ∴ ∵为正整数， ∴或或 方案一：租用3条四座电瓶船，6条六座电瓶船，总费用为元， 方案二：租用6条四座电瓶船，4条六座电瓶船，总费用为元， 方案三：租用9条四座电瓶船，2条六座电瓶船，总费用为元， ∵ ∴最省钱的方案是租用3条四座电瓶船，6条六座电瓶船． 66．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）我校学生组织冬游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次18元，五座车每人每次8元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满． (1)若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题） (2)因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐7人．若每种车型必须都租用，请你设计符合要求的租车方案． (3)若每辆大巴车的租金为30元一次，请你通过计算，找出租金最低的租车方案． 【答案】(1)租用两座车共25辆，租用五座车共10辆 (2)租车方案有3种：方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆．方案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆．方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆． (3)方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为832元 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用、有理数混合运算等知识点，正确列出方程组和二元一次方程成为解题的关键． （1）设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人，根据共100名学生参与了活动，一共花去车费1300元列方程组求解即可； （2）设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车辆，再根据共100名学生参与了活动，据此列二元一次方程求解即可； （3）分别求出三种方案的费用，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人， 根据题意；， 得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 则（辆），（辆）． 答：租用两座车共25辆，租用五座车共10辆． （2）解：设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车辆， 根据题意：，即， 为非负整数，且，解得：或或， 则大巴车租用的数量依次为：， 则租车方案有3种： 方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆． 方案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆． 方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆． （3）解：方案一：租金为（元）； 方案二：租金为（元）； 方案三：租金为（元）； ， 方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为832元． 重难点15 三元一次方程组与实际问题 67．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（   ） A．65 B．70 C．72 D．75 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．先根据图形可得，将两个方程相加求解即可得． 【详解】解：由图可知，， ①②得：， 则， 解得， 故选：D． 68．（24-25八年级上·山东济南·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）6；（2）450元． 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 69．（22-23七年级上·安徽池州·期末）一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是（    ） A．325 B．217 C．433 D．541 【答案】B 【分析】此题首先要掌握数字的表示方法，每个数位上的数字乘以位数再相加，设个位、十位、百位上的数字为，则原来的三位数表示为：，新数表示为：,故根据题意列三元一次方程组即可求得． 【详解】解：设个位、十位、百位上的数字为 依题意得： , 解得 原来的三位数字是217 故选：B 【点睛】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，解答此题的关键是列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解． 70．（23-24七年级上·四川成都·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量． 【答案】(1)需甲车型8辆，需车型10辆； (2)方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆；方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆；方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解． （1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为非负整数，求出x，y，z的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据题意，得： ， 解得：， 答：需甲车型8辆，需车型10辆； （2）解：甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据题意，得： ， 消去z得， ∴， 因x，y是非负整数，且不大于18，得，5，10，15， 则，10，8，6； 又z是非负整数，解得z=6，3，0， ∴或或， ∴共有三种运送方案： 方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆； 方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆； 方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． 71．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）在车站开始检票时，有名旅客在候车室等候检票，检票开始后，仍有旅客前来进站，旅客进站按固定速度增加人/分钟，所有的检票口检票也按固定速度为人/分钟．若车站只开2个检票口，则需要30分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕；若只开放3个检票口，则需要10分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕． (1)求与之间的数量关系． (2)若要在5分钟内完成检票，减少旅客等待的时间，需要至少开放多少个检票口？ 【答案】(1) (2)至少开放5个检票口 【分析】（1）根据开放窗口与通过时间相等列方程组求解； （2）设5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕需要同时开放x个检票口．根据开放窗口与通过时间相等列方程和不等式解答． 本题考查三元方程的应用，不等式的应用，根据题意，列出方程组和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 ， 得， 解得， 将代入①，得， 解得． （2）解：设5分钟内完成检票，需要至少开放x个检票口，根据题意，得 ， 把，代入，得 ， ∵ ， 解得， ∵x为正整数， ∴x最小为5． 答：至少开放5个检票口． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$