第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明（含热考模型）（知识清单）数学沪科版2024八年级上册

第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明（含热考模型） 1.认识三角形 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 概念 示例 图示 顶点 三角形两边的公共点叫做三角形的顶点. 点A，点B，点C 边 组成三角形的三条线段称为三角形的三条边. 线段AB，线段BC，线段AC 内角 在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角. ∠A，∠B，∠C 三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC， ∆ACB等均为同一个三角形. 2. 三角形的分类 1）三角形按边分类： 2）三角形按角分类： 3. 三角形的三边关系: 任意两边之差<第三边<任意两边之和.（理论依据：两点之间线段最短） 4. 三角形的高、中线、角平分线 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示 作法 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 5. 三角形的内角和定理 定理：三角形三个内角和等于180°． 表达形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 证明方法： 图示 方法 构造平角 构造邻补角 构造同旁内角 6. 直角三角形的性质与判定 1）性质: 直角三角形的两个锐角互余. 2）写法: 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 3）判定: ①文字表述: 有两个角互余的三角形是直角三角形. ②几何表述: 在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形. 7. 三角形的外角 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 图中的∠ACD为△ABC的一个外角. 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． 8. 常见模型及结论 A字模型 8字模型 飞镖模型 老鹰抓小鸡模型 点O为∠A内部的一点 ∠1+∠2 = 180°+∠A ∠A+∠B=∠C+∠D， AD+BC＞AB+CD ∠BCD=∠A+∠B+∠D， AB+AD＞BC+CD ∠1+∠2 = ∠A+∠O 三角形翻折模型（内折） 三角形翻折模型（外折） 2∠C=∠1+∠2 2∠C=∠2-∠1 类型 两内角平分线模型 两外角平分线模型 一内一外角平分线 条件 BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB BD、DC分别平分∠EBC、∠BCF BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD 图示 结论 ∠D = 90°+∠A ∠D = 90°-∠A ∠E = ∠A 大招 内加外减，一内一外不加不减. 9.命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 10.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 （答案不唯一） 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 （答案不唯一） 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【注意】只要是对一件事情作出判断的句子就是命题，与判断的结果正确与否无关，命题一定是陈述句，但是陈述句不一定是命题，而祈使句和疑问句一定不是命题.如语句“对顶角相等”是一个命题，这里的事物是“对顶角”,对它的判断是“相等”.又如语句“a的绝对值与b的绝对值”不是命题，这里没有对事物进行任何判断. 11.逆命题 逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题. 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 序号 易错点 易错题 注意事项 1 利用三角形的三边关系时，忽略三角形构成的条件 1-3 已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 2 利用分类讨论思想求等腰三角形边/角 4-6 1）已知等腰三角形两边长，但没有明确腰，底分别是多少，需要进行讨论，所求得的结果还要满足三角形的三边关系. 2）已知等腰三角形周长和一条边的长，需分情况讨论已知的边长是腰还是底，所求得的结果还要满足三角形的三边关系. 3）已知等腰三角形一个角求另外两个角，需要进行讨论. 3 直角三角形问题中忽略直角的条件 7-9 直角三角形的两个锐角互余. 4 与三角形的有关角度计算中，没有充分利用内角和和外角的性质而出错 10-12 1）三角形的内角和为180°； 2）直角三角形中两锐角和为90°； 3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 1．有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 【详解】解：∵，，，， ∴恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为：，，，或，，， ∴这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是或， 故答案为： 或． 2．已知三角形的三边分别为，则a的整数值可能是 ．（填一种即可） 【详解】解：根据题意得：，即， 所以a的整数值可能是3，4，5， 故答案为：3（答案不唯一） 3．已知的三边长分别为，，，化简 ． 【详解】解：因为的三边长分别为，，， 所以． 解得． ∴，， ∴． 故答案为：． 4．已知一个等腰三角形的一边长为4． （1）若另一边长为5，则该等腰三角形的周长是 ； （2）若另一边长为2，则该等腰三角形的周长为 ； （3）若周长为9，则该等腰三角形的另两边长分别是 ． 【详解】解：（1）当底边为4，腰为5时，此时三边为，符合三边关系，则周长为14； 当底边为5，腰为4时，此时三边为，符合三边关系，则周长为13； 故答案为：14或13． （2）当底边为2，腰为4时，此时三边为，符合三边关系，则周长为10； 当底边为4，腰为2时，此时三边为，不符合三边关系，舍去． 故答案为：10． (3)若周长为9，底边为4时，腰为，此时三边为，符合三边关系， ∴等腰三角形的另两边长2.5和2.5； 若周长为9，腰为4时，底边为，此时三边为，符合三边关系， ∴等腰三角形的另两边长4和1． 故答案为：2.5，2.5或4，1． 5．已知是等腰三角形． （1）如果它的两条边的长分别为和，那么它的周长是 ； （2）如果它的周长为，一条边的长为，那么它的腰长是 ． 【详解】解：（1）∵等腰三角形的两条边长分别为，， 当腰长为，底边长为时，等腰三角形的周长； 当腰长为，底边长为时，，不能构成三角形， ∴等腰三角形的周长； 故答案为：19； （2）解：当长为的边为底时，其它两边都为， 三边长是：，，，腰长是； 当长为的边为腰时，其它两边为和， ∵ ，所以不能构成三角形． ∴腰长是． 故答案为：． 6．等腰三角形中，，则的度数为 ． 【详解】解：等腰三角形中，， 当是顶角，则， ∴； 当是顶角，则， ∴； 当是顶角，则． 综上为或或． 故答案为：或或 7．已知是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：选项A：，三个角相等，每个角为，均为锐角，无直角，不符合条件，排除． 选项B：，总份数为，对应角度分别为：，，存在90°角，且另两角之和为，符合条件． 选项C：，总份数为，对应角度分别为：，，，均为锐角，无直角，排除． 选项D：总份数为，对应角度分别为：，，，均为锐角，无直角，排除． 综上，正确答案为B． 故选：B． 8．如图是两个直角三角形，则的度数是 ． 【详解】解：如图： 由题意得：在中，可求得， 在中，可求得， 则在四边形中， ， 所以的度数为． 故答案为． 9．已知点E为中边上一点，连接，，，当为直角三角形时，则的度数是 ． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，为直角三角形, 此时， 当时，为直角三角形, 此时 ∵ ∴， 故答案为：或． 10．如图，在中，点D和点E分别是和上一点，，，．若，则 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 【详解】解：如图， ，， 又， ， 设，则， ， ， ，分别平分和， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 12．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 【详解】解：①如图：当三角形为锐角三角形时， ∵，，为高，即，， ∴， ②如图：当三角形为钝角三角形时， ∵，，为高，即， ∴， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 重难点01 三角形三边关系的应用 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）若a，b，c是三角形的三边长，化简． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系解答即可． 本题考查了绝对值的化简，三角形三边关系应用，整式的加减，熟练掌握应用是解题的关键． 【详解】解：，b，c，是三角形的三边长， ，． 原式 ． 2．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）先化简，再求值：，其中与构成的三边，且为整数． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值和三角形三边关系，正确化简分式是解题关键．先化简分式，再根据三角形的三边关系以及分式有意义的条件找到即可． 【详解】解：原式． 与2，3构成的三边，且为整数， ，即 ． 当或时，原式没有意义，故． 当时，原式． 3．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）已知是的三边长． (1)若满足，试判断的形状： (2)化简：． 【答案】(1)为等腰三角形或等边三角形；理由见解析 (2) 【分析】此题考查因式分解的应用，三角形三边关系以及绝对值非负性，解答本题的关键是利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． （1）根据非负数的性质，可得出或或，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）为等腰三角形或等边三角形；理由如下： ， 或或， 或或， 为等腰三角形或等边三角形； （2）是的三边长， ， 原式． 4．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，，分别为的三边，且满足，，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系、解一元一次不等式组，根据三角形三边关系得出一元一次不等式组，求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）在中，． (1)求长度的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状． 【答案】(1) (2)的周长为16，是等腰三角形 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类： （1）根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据（1）中的范围，结合的周长为偶数，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中， ∴， ∴； （2）∵的周长为偶数，为奇数， ∴的长为奇数， ∵， ∴， ∴的周长为，是等腰三角形． 重难点02 利用三角形三边关系比较线段大小 6．（21-22八年级上·安徽六安·期中）在中，，是的角平分线，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】，证明见解析 【分析】首先在上取点E，使，连接，易证得，即可得，然后由三角形三边关系，即可求得答案． 【详解】解：． 理由：在上取点E，使，连接， ∴是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形三边关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 7．（20-21八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，中，、分别在、上，，是中点，试比较与的大小． 【答案】 【分析】延长至点，使，连接、，证明，即可得解； 【详解】解：延长至点，使， 连接、， ∵垂直平分， ， ∴为中点， ， 在与中， ， ， 则， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系和等腰三角形的性质，准确分析判断是解题的关键． 8．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，是的内角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由．    【答案】．理由见解析 【分析】在上取一点，使，证明，推出，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可． 【详解】解：． 理由如下：如图，在上取一点，使，连接．   是的内角平分线， ． 在和中，， ． ． ， ． ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质以及三角形的三边关系，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，点、在直线的同侧，点是点关于的对称点，交于点．    (1)与相等吗？为什么？ (2)在上再取一点，并连接与，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题主要考查轴对称最短路线问题，及三角形三边的关系，掌握三角形的两边之和大于第三边是解题的关键． 【详解】（1）点是点关于的对称点， ， ， ． （2）如图：连接，， ， ， ．    10．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，点是的外角的平分线上的一点，你能比较与的大小吗？说说你的理由． 【答案】．理由见解析 【分析】如图所示，在射线上取一点，使，连接，证明得到，再根据三角形三边的关系证明即可． 【详解】解：，理由如下： 如图所示，在射线上取一点，使，连接． 平分， ． 又， ， ． 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 重难点03 画三角形的高、中线、角平分线 11．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高， （1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求； （2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可． 【详解】（1）如图所示，高和中线即为所求； （2）如图所示，边上的高即为所求； ∵的长等于5 ∴ ∴ ∴． 12．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的中线，并标出的位置； (2)画出边上的高线，并标出的位置； (3)的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了三角形的中线、高线，三角形的面积，熟练掌握网格的特点是解本题的关键． （1）根据三角形的中线的定义，结合网格的特点作图即可； （2）根据三角形的高的定义，结合网格的特点作图即可； （3）用长方形的面积减去四周小三角形的面积，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）如图所示，线段即为所求； ； （3）的面积是． 13．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知． (1)画中线． (2)画的高及的高． (3)比较大小： ___________．(填“”“”或“”) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了作垂线，三角形的中线，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握尺规作垂线的方法进行作图． （1）先找出的中点D，然后再连接即可； （2）根据尺规作垂线的方法，进行作图即可； （3）根据三角形中线的性质得出，根据三角形面积公式得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的中线； （2）解：如图，、为所求作的高线． （3）解：∵为的中线， ∴， ∵为的高线，为的高线， ∴， ∴． 重难点04 利用等面积法求边长 14．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知，是边上的中线，且，若的边上的高为2，的边上的高为4，求的长． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的中线，以及等积法求线段的长，由中线的定义得，然后根据列式求解即可． 【详解】解：如图，是边上的中线， ， ， ， 即 ． 15．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，和是的两条高线且相交于点O． (1)已知，求的度数； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，三角形的高的定义． （1）利用三角形内角和定理求出，即可求解； （2）利用等面积法得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵和是的两条高线， ∴． ∴． ∴． ∴． （2）解：由三角形的面积公式，得． ∵，， ∴． ∴． 16．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点．若，，，求的长．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质，得到，分割法表示出，进行求解即可． 【详解】解：是的角平分线，于点，于点， ， ， ， ，， ． 17．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）连结，设，则，则，，，由得到，即可证明； （2）连结、、，则，，，，由得到，则； （3）连结、、，则，，，，由得到，则． 【详解】（1）解：， 证明如下：连结，如图（1）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点， ，，， ， ， ； （2）解：连结、、，如图（2）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ， ， ， 的值为； （3）解：， 理由如下：连结、、，如图（3）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的面积公式、根据面积等式证明其他线段之间的相等关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且列出相应的面积等式是解题的关键． 重难点05 利用三角形的中线求长度/面积 18．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为21 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得，根据是偶数得； （2）根据是的中线得，根据的周长为13和即可求解． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：， 即， 是偶数， ； （2）解：的周长为13， ， ， ， 是的中线， ， ， ， 的周长． 19．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形中线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质即可得出结论； （2）根据三角形中线的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，是的一个外角， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴． 20．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，直线：交x轴，y轴于A，B两点，直线：交x轴，y轴于C，D两点，直线，相交于点E． (1)点E的坐标为________； (2)直线，与x轴围成的三角形面积为________； (3)过点E的直线把面积两等分，求这条直线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得； （2）分别求出两点的坐标，然后根据坐标求出长度，代入面积公式即可求得； （3）根据三角形中线的性质，找到两点的中点，待定系数法求出表达式即可； 【详解】（1）解：∵直线：和直线：相交于点． ∴点坐标为的解， 解得：． ∴． （2）解：把代入，得：和， ∴， ∵， ∴直线，与轴围成的三角形面积为：. （3）解：把分别代入，得： 和， ∴， ∴的中点为， ∵过点E的直线把面积两等分， ∴这条直线过E点以及的中点， 设过E点且把面积两等分的直线的解析式为 把点代入得:， 解得：， ∴这条直线的解析式为. 【点睛】本题考查了一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系、图象与坐标轴围成面积、三角形的中线、待定系数法求函数表达式等知识点，一次函数知识点的熟练运用是解题关键. 21．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），连接交于点． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 【答案】(1)与的周长差为1 (2) 【分析】（1）根据三角形周长计算公式可得到与的周长差为：，再由三角形中线的定义得到，据此代值计算即可； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】（1）∵的周长为：，的周长为：， ∴与的周长差为：， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴，即与的周长差为1； （2）∵是的平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形中线和高，三角形的周长，三角形的内角和，角平分线的性质，三角形外角的性质等知识点，熟记三角形中线的定义，三角形高的定义是解题的关键． 重难点06 求网格中的三角形面积 22．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是的边上的一点，经过平移后得到，，，的对应点分别为，，．点的对应点为． (1)写出，，三点的坐标； (2)在图中画出； (3)的面积为_____． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)7 【分析】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法． （1）直接利用P点平移变化规律得出答案； （2）直接利用各对应点位置进而得出答案； （3）利用所在长方形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【详解】（1）解：∵平移后点的对应点为， ∴的对应点为， 的对应点为， 的对应点为； （2）解：如图所示：即为所求作的图形； （3）解： ． 故答案为：7． 23．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在网格点上（网格线的交点）． (1)的面积为______； (2)过点A作的高线，则点D的坐标为______； (3)将先向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出． 【答案】(1)8 (2) (3)见解析 【分析】此题考查了平移的作图、三角形的高、网格中求三角形的面积等知识． （1）利用正方形的面积减去两个直角三角形的面积即可得到答案； （2）根据三角形高的画法作图，再写出点D的坐标即可； （3）根据平移规律找到的对应点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：的面积为； 故答案为：8； （2）解：如图，即为所求，点D的坐标为， （3）解：如图，即为所求， ． 24．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，C的面积是_________； (2)在（）的条件下，已知点，直线轴，则点的坐标为_________． 【答案】(1)作图见解析， (2) 【分析】（）根据轴对称的性质可作出图形，再根据割补法可求出的面积； （）由（）图可得，根据直线轴可知点的纵坐标相等，进而可得，求出的值即可求解； 本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ∴， 故答案为：； （2）解：由图可得，， ∵直线轴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 25．（2024八年级上·安徽·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求出的面积； (2)画出关于轴的对称图形； (3)在轴上找一点，使点到、两点的距离之和最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3)作图见解析 【分析】（）根据三角形的面积公式计算即可； （）根据轴对称的性质作图即可； （）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，由轴对称可得，即得到，根据两点之间线段最短，可知此时点到、两点的距离之和最小，故点即为所求； 本题考查了利用网格求三角形的面积，作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 重难点07 三角形高、中线、角平分线综合 26．（23-24八年级上·山西长治·期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线    (1)若，求的度数． (2)若，求中线长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形的外角先求解，可得，再结合高与三角形的内角和定理可得答案； （2）延长至，使，再证明，可得，而，则，再结合中线的含义可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 为高， ， ； （2）延长至，使，    ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的中线，高，角平分线的含义，三角形的外角的性质，内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，熟记基础概念是解本题的关键． 27．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，分别是的高线、角平分线和中线． (1)有下列结论：①；②；③；④与互余．其中正确的是_______（填序号）． (2)若，求的度数． 【答案】(1)②③④ (2) 【分析】（1）依据分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出 ，，，据此分别判断各选项即可； （2）先根据三角形的内角和求出，通过外角求出，再利用角的关系计算即可． 【详解】（1）解：∵分别是的高线，角平分线和中线， ∴，故①错误； ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∴，与互余，故④正确； 故答案为：②③④； （2）解：∵分别是的高线，角平分线和中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、高线、中线的性质以及三角形的内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键． 28．（21-22八年级上·安徽合肥·期末）如图，AD、AE、AF分别是ABC的高线、角平分线和中线． (1)若，CF=4，求AD的长． (2)若∠C=70°，∠B=26°，求∠DAE的度数． 【答案】(1)AD=5 (2)∠DAE=22°． 【分析】（1）根据角平分线和三角形的面积公式即可解答； （2）根据角平分线、三角形的高线结合三角形内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：∵AF是△ABC的中线，CF=4， ∴BC=2CF=8． ∵S△ABC=×BC×AD=20， ∴AD=5； （2）解：∵∠C=70°，∠B=26°． ∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−26°−70°=84°． ∵AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线． ∴∠EAC=∠BAC=42°， ∴∠DAC=90°−70°=20°， ∴∠DAE=∠EAC−∠DAC=42°−20°=22°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、中线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键． 29．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为_________． (2)若，求的度数． (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)12 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形中线的性质即可解答； （2）根据题意得到，由，利用三角形内角和定理即可解答； （3）利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，再利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）解：的面积为6，是边的中线， 的面积为； （2）解：是的高， ， ， ； （3）解：，， ， 是的角平分线， ， ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的中线，高，角平分线的性质．熟练掌握知识点是解题的关键． 重难点08 利用分类讨论思想探讨等腰三角形的边/角 30．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）已知等腰，解答以下问题： (1)若有一个内角为，求这个等腰三角形另外两个角的度数； (2)若其周长为，一边长是另一条边的倍，求三角形的三条边长． 【答案】(1)或； (2)三角形的三边长分别是． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的三边关系等知识；（1）分为等腰三角形的顶角和底角两种情况，根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理解答即可； （2）分若两条边长a和都是腰，一条是腰，另一条是底边两种情况，结合等腰三角形的性质、三角形的三边关系和三角形的周长列出方程，求解即可． 【详解】（1）当为等腰三角形的顶角时，则底角为， 所以这个等腰三角形另外两个角的度数为； 当为等腰三角形的底角时，则顶角为， 所以这个等腰三角形另外两个角的度数为； 综上所述，这个等腰三角形另外两个角的度数为或； （2）解：设一边长为，则另一边为； 若两条边长a和一条是腰，另一条是底边，分两种情况： 若a是腰，则为底边，则，解得， 此时三角形的三边长分别是， ∵， 故此时不能构成三角形，舍去； 若a是底边，则为腰，则，解得， 此时三角形的三边长分别是，能构成三角形， 综上，三角形的三边长分别是． 31．（21-22八年级上·安徽合肥·期中） 已知等腰，解答以下问题： (1)若有一个内角为，求这个等腰三角形另外两个角的度数； (2)若等腰三角形的周长为27，两条边长分别是a和，求三边的长． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分为等腰三角形的顶角和底角两种情况，根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理解答即可； （2）分若两条边长a和都是腰，一条是腰，另一条是底边两种情况，结合等腰三角形的性质、三角形的三边关系和三角形的周长列出方程，求解即可． 【详解】（1）当为等腰三角形的顶角时，则底角为， 所以这个等腰三角形另外两个角的度数为； 当为等腰三角形的底角时，则顶角为， 所以这个等腰三角形另外两个角的度数为； （2）若两条边长a和都是腰，则，解得，不符合题意，舍去； 若两条边长a和一条是腰，另一条是底边，分两种情况： 若a是腰，则为底边，则，解得， 此时三角形的三边长分别是， ∵， 故此时不能构成三角形，舍去； 若a是底边，则为腰，则，解得， 此时三角形的三边长分别是，能构成三角形， 综上，三角形的三边长分别是． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识，全面分类、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 32．（22-23八年级上·安徽六安·期末）一个等腰三角形的周长是，其中一边长为，求另外两边的长 【答案】另外两边的长为7cm、7cm或． 【分析】根据等腰三角形的定义，分别从若长的边为底边与若长的边为腰去分析求解，即可求得答案． 【详解】∵一个等腰三角形的周长为，一边长为， ①若长的边为底边，则腰长为：， ∵，∴能组成三角形； ∴另两边的长为； ②若长的边为腰，则底边长为：， ∵，∴能组成三角形． ∴另两边的长为． 综上所述，另外两边的长为7cm、7cm或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 33．（22-23八年级上·安徽·期末）在等腰中，，，，求m的值． 【答案】9 【分析】分两种情况：当时，得，因为，故此三角形不存在；当时，得，求解即可． 【详解】解：当时，得，因为，故此三角形不存在； 当时，得， 解得：， 综上，m的值为9． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，三角形三边的关系，熟练掌握等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键． 34．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）（1）已知等腰的周长是，且腰长比底边长的2倍少4，求等腰的三边的长； （2）已知，，是的三个内角，且，，求三个内角的度数. 【答案】（1）；（2），， 【分析】(1)利用等腰三角形的性质，设出未知数，列方程组即可求解； (2)根据已知，结合三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：（1）设等腰的腰长为x，底边长为y， 根据题意得，解得， ∴等腰的三边的长为； 解：（2）∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴的三个内角的度数为，， 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 重难点09 与角平分线/平行线有关的三角形内角和问题 35．（20-21八年级上·安徽亳州·期中）如图，在△ABC中， BE是AC边上的高，DE∥BC， ∠ADE=52° ，∠C=68°，求∠ABE的度数． 【答案】30° 【分析】利用平行线的性质定理可得∠ABC=∠ADE=52°，由三角形的内角和定理可得∠EBC的度数，可得∠ABE． 【详解】解：∵DE∥BC，∠ADE=52°， ∴∠ABC=∠ADE=52°， ∵BE是AC边上的高， ∴∠BEC=90°， ∵∠C=68°， ∴∠EBC=90-∠C=22°， ∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=52°-22°=30°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质定理和三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解答此题的关键． 36．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 【答案】(1)115，25 (2)不会发生变化，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，则，再由不变，即可分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ， ，． 平分， ． ； ， ． 平分，平分， ，． ， ，即， ． 故答案为：115，25； （2）解：不会发生变化，理由如下： ， ． ， ，． 平分，平分， ，． ． ， ， ， ． 当的度数发生变化时，、的度数不发生变化； （3）解：设， ． ， ，， 平分，平分， ，， ． ． 平分，平分， ，， ， ， 中存在一个内角等于另一个内角的三倍， ①当时，， 解得： ②当时，， 解得： ③当时，， 解得： ④当时，， 解得： 综上可知，或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 37．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交的延长线于点． (1)若，求的度数； (2)若是上的一点，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由平行线的性质可求出，根据角平分线的定义可得出，最后结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解； （2）由角平分线的定义可得，结合平行线的性质可证，即得出，即易证，得出． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ， ， ； （2）证明：平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握上述知识是解题关键． 38．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在四边形中，是的平分线，，垂足为点． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键． （1）利用平行线的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定与性质解答即可； （2）利用角平分线的定义，三角形的内角和定理和（1）的结论解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 是的平分线， ， ， ． ， 平分； （2）解：是的平分线， ， ， ． ， ． 由（1）知：， ∵， ∴． 重难点10 与三角形有关的折叠问题 39．（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）现有一张纸片，点分别是边上两点，若沿直线折叠． (1)如果折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是____． (2)如果折成图②的形状，猜想与的数量关系是______； (3)如果折成图③的形状，猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，三角形内外角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，根据，可得． （2）由折叠的性质可得，再根据，代入数值化简，即可得到． （3）根据，可得，再由，即可得到． 【详解】（1）解：如图，，理由是： 由折叠得：， ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：如图，猜想：，理由是： 由折叠得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （3）解：如图，，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 40．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，将沿直线折叠，使点C与点B重合，连接． (1)若的周长为26，，求的长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)16 (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质和三角形内角和定理， 根据折叠的性质得，结合线段之间得关系即可求得； 根据三角形内角和定理求得，由折叠的性质得，利用角度和差关系即可求得答案． 【详解】（1）解：由折叠可知，． ∵的周长为26， ∴． ∵， ∴， 即的长为16． （2）∵，，， ∴． 由折叠可知，． ∵， ∴． 41．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，点是边上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，（）．    (1)求的度数； (2)若中有两个角相等，求的值． 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可求得，结合题意即可求解； （2）根据三角形的外角性质可得，求得，根据折叠的性质可得，，求得，根据三角形内角和定理求得，分、、三种情况，列方程解答即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴，即， 又∵， 故，解得：． （2）∵，， 则， ∴， 根据折叠可得：，， ∴． ， ∴， ①当时，即，解得：， ②当时，即，解得，， ∵， ∴不合题意，故舍去， ③当，即，解得，， ∵， ∴不合题意舍去． 综上所述，， 【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键． 42．（2023八年级下·浙江·专题练习） (1)如图1，设，则　　； (2)把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为，为. ①如图2，，与的数量关系是 　　； ②如图3，请你写出，与的数量关系，并说明理由. (3)如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中　　. 【答案】(1) (2)①，②，理由见详解 (3) 【分析】（1）表示出，，用三角形内角和定理即可求解； （2）①由折叠可求得，，用三角形内角和定理即可求解；②由①可求和，即可求解； （3）由（2）得：，可同理求出，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ，， ． 故答案：． （2）解：①如图2，由折叠得：，， ，， ， ， ． 故答案：． ②如图3，， 理由如下：设与交于， 由①得：，， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：由（2）得：， 同理可得：，， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角与内角关系，四边形的内角和，掌握相关的性质及定理，正确进行整体代换是解题的关键． 43．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质，三角形内角和定理和角平分线定义等知识，熟练掌握疏导他对于空间解答本题的关键． （1）由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得，再由三角形内角和定理可求出； （2）设，则，求出根据可得结论． 【详解】（1）解：如图， ，且 又平分，平分， ∴ ∴ ； （2）解：设，则， 由折叠得， ∴ ∴ 而 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 重难点11 与角平分线/平行线有关的三角形外角问题 44．（24-25八年级上·河北保定·期中）在中，，平分，点在射线上，连接，点在的延长线上． (1)如图，． ①若，分别求和的度数； ②若直线与的一条边垂直，求的度数； (2)若平分，请直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②的度数为，或 (2)的度数为． 【分析】（1）①根据三角形外角的性质可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据平行线的性质可得；②若直线与△的一条边垂直，则要分当时、当时、当时三种情况分类讨论； （2）根据三角形外角的性质和角平分线的定义可知，再利用三角形外角等于与它不相邻的两内角之和可以求出结果． 【详解】（1）解：①，， ； 平分， ， ， ； ②， ， 当时，如下图所示，； 当时，如图，， ； 当时，如图， ． 综上，当直线与△的一条边垂直时，的度数为，或； （2）解：， 平分， ， ， 即的度数为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质． 45．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，点D，F，H，E都在的边上，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，三角形的外角的性质； （1）根据平行线的判定与性质进行证明即可； （2）根据平行线的判定与性质证明，结合，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵( 已知) ∴，（同位角相等，两直线平行）   ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（等量代换） ∴；（同旁内角互补，两直线平行） （2）证明∶由（1）得， ∴，（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等）， ∵，（已知） ∴，（等量代换） ∵，（已证） ∴，（两直线平行，同位角相等） ∴，（等量代换） ∵， ∴． 46．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，是边上的高，是的平分线，若，． (1)求和的度数； (2)线段上是否存在一点，使为直角三角形，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)线段上存在一点，使为直角三角形，此时的度数为或． 【分析】本题考查角平分线性质，三角形内角和定理以及外角性质，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）通过角平分线先得到，，再通过三角形内角和定理即可求出，进而再通过三角形内角和定理求出，进而求得，再通过角的加减求出； （2）分两种情况进行讨论，当时与当时，分别利用三角形内角和定理及外角性质计算即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． ∴． （2）解：①当时，如图： ∵， ∴； ②当时，如图： ∵， ∴， ∴ ∴线段上存在一点，使为直角三角形，此时的度数为或． 47．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如图，点E在的延长线上，连接，作的角平分线分别交线段，于点F，点G，已知，． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． （1）利用角平分线的性质和角平分线的定义可得结论； （2）利用平行线的性质和三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 重难点12 三角形内角与外角综合问题 48．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，B是边上一点，，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】根据，结合，，得到，继而得到，根据，得到，结合 解答即可． 本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，角的和，熟练掌握三角形外角，三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 49．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）如图，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的外角的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，再结合运用三角形外角的性质即可解答； （2）设，则，易得、，再根据三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：平分， ， 又∵， ； （2）解：设，则， ∵， ∴， ， 在中，， ，解得：． ． 50．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点E在延长线上，平分交延长线于点D，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质； 在中，根据三角形内角和定理及已知条件求出的度数，然后求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 51．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识点． 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和是等相关知识是解决本题的关键． （1）先由角平分线性质求出的度数，再根据外角与内角的关系得，，间关系，最后代入计算得结论； （2）先由三角形外角与内角的关系求出的度数，再由角平分线性质求出的度数，最后利用三角形内角和定理得结论． 【详解】（1）解：平分， 是的外角，， （2）解：平分平分， 是的外角，， ， ， ． 重难点13 与三角形有关的热考模型 52．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 【答案】（1）；（2）（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）由三角形内角和定理可求得，根据角平分线的定义可求得，在中利用三角形内角和定理可求得； （2）方法同（1）； （3）根据三角形的内角和等于列式整理即可得． 【详解】解：（1）∵，, ∴， ∵点O是和平分线的交点， ∴， ∵， ∴； 同法，在中， ， 故答案为：；； （2） 理由如下：在中， ； 故答案为：； （3）类似（2），可得在中， ； 故答案为：． 53．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 【答案】计算：；归纳：，证明见解析；应用：；拓展：①；②当时，为钝角三角形；当，为直角三角形；当时，为锐角三角形； 【分析】计算：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． 归纳： 由，，，再进一步求解即可． 拓展：①利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可．②分三种情况：当时，当时，当时，分别判定即可. 【详解】解：计算：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 归纳：； 证明：， ． ，， ，， ∴， ∴， ∴； 应用：∵在纸片中剪去，得到四边形． ∴结合归纳可得：， ∵， ∴； 拓展： ①如图，∵，分别平分外角，， ∴，， ∴ ， ； ②当时， ， ， 为钝角三角形； 当时，， 为直角三角形； 当时， ， ， 由题意可得，， ，都是锐角． 为锐角三角形． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，三角形分类，四边形的内角和定理，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键． 54．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）【模型理解】（1）如图1，和交于点O，求证：． 【模型应用】（2）如图2，，分别平分，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了角平分线的定义． （1）根据三角形的内角和即可得到结论； （2）利用（1）中模型可得，再根据角平分线得到，，解答即可． 【详解】证明：（1）在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）同（1）中模型可得，在相交线中，有， 在相交线中，有， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴． 55．（24-25八年级上·山东青岛·期末）【建立模型】如图1，在内部有一点，连接、，求证：； 【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，______度； 【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和的度数是______度．    【答案】建立模型：证明见解答过程；尝试应用：180；拓展创新：；提升思维： 1080 【分析】此题主要考查了多边形内角和，三角形内角和定理，三角形的外角性质，准确识图，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 建立模型：延长交于点，由三角形外角性质得，由此即可得出结论； 尝试应用：设与相交于点，由“建立模型”得，则，然后根据三角形的内角和定理即可得出答案； 拓展创新：延长与的延长线相交于点，则，进而得，由“尝试应用”得，则； 提升思维：由“拓展创新”得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出，据此规律即可得出答案． 【详解】建立模型：证明：延长交于点，如图1所示：    由三角形外角性质得：， ； 尝试应用：解：设与相交于点，如图2所示：    由“建立模型”得：， ， ， 在中，， ， 故答案为： 180 ； 拓展创新：解：延长与的延长线相交于点，如图3所示：   ， ， 在中，， ， 由“尝试应用”得：， ； 提升思维：解：由“拓展创新”得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出， ∴当五角星去掉五个角后多出五个角，此时所有角的和的度数为：． 故答案为： 1080 ． 56．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________； 探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________； 探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________． 【模型应用】 应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示 拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________． 【答案】探索一：，探索二：；探索三：；应用一：，；应用二：；拓展一：；拓展二： 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； 探索二：根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得，再代入计算可求解； 探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案； 应用一：如图4，延长，，交于点A，利用三角形内角和定理可得，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案； 拓展一：运用探索一的结论可得：，，，再结合已知条件即可求得答案； 拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案． 【详解】探索一：如图1，，， ， 故答案为； 探索二：如图2，、分别平分、， ，， 由（1）可得：，， ， 即， ，， ， 故答案为； 探索三：由①， 由②， ①②得： ． ． 故答案为：． 应用一：如图4，由题意知延长、，交于点， ，，， ，， ； 、分别平分、， ，， ， ， 故答案为：，； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点， ，，， ， 平分，平分， 平分，平分， 由应用一得：， 故答案为：； 拓展一：如图6，由探索一可得： ，， ，，，， ， ，， ，， ， ， 故答案为：； 拓展二：如图7， 平分，平分的邻补角， ，， 由探索一得：①，②， ②得：③， ③①，得：， ， 故答案为：． 57．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图1，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”． 模型探究 （1）如图1，在规形中，请探究之间的数量关系，并说明理由． 实践应用 （2）应用（1）中探究的结论解决下列问题： ①如图2，在规形中， 与的角平分线交于点E，若，则的度数是_________； ②如图3，在规形中，若的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2）① 115；②，理由见解析； 【分析】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，熟练运用三角形的外角性质以及角平分线性质是解题的关键． （1）连接，并延长到点E，根据三角形的外角性质得到，两式相加即得解； （2）① 由（1）知，结合角平分线性质，得到、，代入得到，再利用第（1）问结论可得，即可求解； ② 由（1）知，结合角平分线性质，得到，，利用三角形的外角性质得到，代入即可得解； 【详解】解：（1）， 理由：如图1，连接，并延长到点E， 则， ∴， 即； （2）① 由（1）知， ∵平分、平分， ∴、， ∴， ∴， 则； ② ， 理由：如图3， 由（1）知， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ， 即． 58．（22-23八年级上·辽宁阜新·期末）探究题： (1)【基本模型】：如图1，、为的外角，、的平分线交于点O，请你写出与的数量关系，并说明理由． (2)【变式应用】：如图2，已知不平行，、分别是和的角平分线，又、分别是和的角平分线． ①若，在点A、B运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． ②若，，求度数． 【答案】(1)； (2)①不会发生变化，；②． 【分析】（1）由角平分线性质及三角形内角和定理可得； （2）①结合题意，由（1）可知,,化简即可求得，故的大小不会发生变化，从而求解； ②设，由三角形内角和定理可求得、，由（1）可知解得，再运用三角形内角和定理可求解． 【详解】（1）解：由题意可知， ，， ，， ，， ， ， ， ， ； （2）①如图，结合题意，由（1）可知， ， ， ， ， 故的大小不会发生变化， 当时， ； ②设，， ，， ，， ，， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质；解题的关键是灵活运用角平分线和三角形内角和定理构建角的关系． 59．（24-25八年级上·山西大同·期中）在中， 是的角平分线， (1)如图1， 是边 上的高，直接写出 的度数； (2)如图2， 点E在上， 于 F， 猜想与，的数量关系， 并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理和直角三角形的性质，解题时注意：三角形内角和是． （1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，进而得出，由此即可解决问题； （2）过A作于G，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论，即可得到结论． 【详解】（1）解：是的角平分线， ， 是边 上的高， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 过A作于G， ， ， ， 由（1）得， ． 60．（21-22八年级上·安徽宿州·期末）在中，是角平分线．．    (1)如图（1），是高，，，求的度数； (2)如图（2），点在上，于，试探究与、的大小关系，并证明你的结论（提示：过点作于） (3)如图（3），点在的延长线上．于，试探究与、的大小关系是______．（直接写出结论，不需证明） 【答案】(1) (2)；过程见解析 (3) 【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题； （2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到； （3）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到不变． 【详解】（1）解：如图1，平分， ， ， ， ， ，， ； （2）解：结论：． 理由：如图2，过作于，   ， ， ， 由（1）可得，， ； （3）解：如图3，过作于，   ， ， ， 由（1）可得，， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，掌握三角形内角和是是解题关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明(含热考模型) 1.认识三角形 三角形的定义：由_________上的三条线段_________所组成的图形叫做三角形. 概念 示例 图示 顶点 三角形两边的_________叫做三角形的顶点. 边 组成三角形的三条_________称为三角形的三条边. 内角 在三角形中，每两条边所组成的_________叫做三角形的内角. 三角形的表示：用符号“_________”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“_________”，读作“_________”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC， ∆ACB等均为_________三角形. 2. 三角形的分类 1）三角形_________分类： 2）三角形_________分类： 3. 三角形的三边关系: 任意_________<第三边<任意_________.（理论依据：_________） 4. 三角形的高、中线、角平分线 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作_________，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边_________的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示 作法 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴_________=_________=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴_________=_________ _________=_________=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴_________=_________=∠BAC 5. 三角形的内角和定理 定理：三角形三个内角和等于_________． 表达形式：在△ABC中，_________=180° 证明方法： 图示 方法 6. 直角三角形的性质与判定 1）性质: 直角三角形的两个_________. 2）写法: 直角三角形可以用符号“_________”表示，直角三角形ABC可以写成_________. 3）判定: ①文字表述: 有两个角_________的三角形是直角三角形. ②几何表述: 在△ABC中，如果_________=90°，那么△ABC是直角三角形. 7. 三角形的外角 三角形外角的定义：三角形的_________与_________组成的角，叫做三角形的外角. 图中的∠ACD为△ABC的一个外角. 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的_________； 2）三角形的一个外角_________任何一个和它不相邻的内角． 三角形的外角和定理：三角形的外角和为_________． 8. 常见模型及结论 A字模型 8字模型 飞镖模型 老鹰抓小鸡模型 点O为∠A内部的一点 三角形翻折模型（内折） 三角形翻折模型（外折） 类型 两内角平分线模型 两外角平分线模型 一内一外角平分线 条件 BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB BD、DC分别平分∠EBC、∠BCF BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD 图示 结论 大招 内加外减，一内一外不加不减. 9.命题 定义：_________的语句，叫做命题. 组成：命题是由_________和_________两部分组成，题设是_________，结论是_________． 表达形式：可以写成“_________”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 10.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设_________，那么结论_________的命题，叫做真命题 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设_________时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【注意】只要是对一件事情作出判断的句子就是命题，与判断的结果正确与否无关，命题一定是陈述句，但是陈述句不一定是命题，而祈使句和疑问句一定不是命题.如语句“对顶角相等”是一个命题，这里的事物是“对顶角”,对它的判断是“相等”.又如语句“a的绝对值与b的绝对值”不是命题，这里没有对事物进行任何判断. 11.逆命题 逆命题：把原命题的_________作为命题的题设，把原命题的_________作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题. 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的_________是第二个命题的_________，而第一个命题的_________是第二个命题的_________，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 序号 易错点 易错题 注意事项 1 利用三角形的三边关系时，忽略三角形构成的条件 1-3 已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 2 利用分类讨论思想求等腰三角形边/角 4-6 1）已知等腰三角形两边长，但没有明确腰，底分别是多少，需要进行讨论，所求得的结果还要满足三角形的三边关系. 2）已知等腰三角形周长和一条边的长，需分情况讨论已知的边长是腰还是底，所求得的结果还要满足三角形的三边关系. 3）已知等腰三角形一个角求另外两个角，需要进行讨论. 3 直角三角形问题中忽略直角的条件 7-9 直角三角形的两个锐角互余. 4 与三角形的有关角度计算中，没有充分利用内角和和外角的性质而出错 10-12 1）三角形的内角和为180°； 2）直角三角形中两锐角和为90°； 3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 1．有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 2．已知三角形的三边分别为，则a的整数值可能是 ．（填一种即可） 3．已知的三边长分别为，，，化简 ． 4．已知一个等腰三角形的一边长为4． （1）若另一边长为5，则该等腰三角形的周长是 ； （2）若另一边长为2，则该等腰三角形的周长为 ； （3）若周长为9，则该等腰三角形的另两边长分别是 ． 5．已知是等腰三角形． （1）如果它的两条边的长分别为和，那么它的周长是 ； （2）如果它的周长为，一条边的长为，那么它的腰长是 ． 6．等腰三角形中，，则的度数为 ． 7．已知是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（   ） A． B． C． D． 8．如图是两个直角三角形，则的度数是 ． 9．已知点E为中边上一点，连接，，，当为直角三角形时，则的度数是 ． 10．如图，在中，点D和点E分别是和上一点，，，．若，则 11．如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 12．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 重难点01 三角形三边关系的应用 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）若a，b，c是三角形的三边长，化简． 2．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）先化简，再求值：，其中与构成的三边，且为整数． 3．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）已知是的三边长． (1)若满足，试判断的形状： (2)化简：． 4．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，，分别为的三边，且满足，，求的取值范围． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）在中，． (1)求长度的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状． 重难点02 利用三角形三边关系比较线段大小 6．（21-22八年级上·安徽六安·期中）在中，，是的角平分线，请比较与的大小，并说明理由． 7．（20-21八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，中，、分别在、上，，是中点，试比较与的大小． 8．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，是的内角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由．    9．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，点、在直线的同侧，点是点关于的对称点，交于点．    (1)与相等吗？为什么？ (2)在上再取一点，并连接与，比较与的大小，并说明理由． 10．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，点是的外角的平分线上的一点，你能比较与的大小吗？说说你的理由． 重难点03 画三角形的高、中线、角平分线 11．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 12．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的中线，并标出的位置； (2)画出边上的高线，并标出的位置； (3)的面积是 ． 13．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知． (1)画中线． (2)画的高及的高． (3)比较大小： ___________．(填“”“”或“”) 重难点04 利用等面积法求边长 14．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知，是边上的中线，且，若的边上的高为2，的边上的高为4，求的长． 15．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，和是的两条高线且相交于点O． (1)已知，求的度数； (2)若，，求的值． 16．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点．若，，，求的长．    17．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 重难点05 利用三角形的中线求长度/面积 18．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 19．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 20．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，直线：交x轴，y轴于A，B两点，直线：交x轴，y轴于C，D两点，直线，相交于点E． (1)点E的坐标为________； (2)直线，与x轴围成的三角形面积为________； (3)过点E的直线把面积两等分，求这条直线的表达式． 21．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），连接交于点． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 重难点06 求网格中的三角形面积 22．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是的边上的一点，经过平移后得到，，，的对应点分别为，，．点的对应点为． (1)写出，，三点的坐标； (2)在图中画出； (3)的面积为_____． 23．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在网格点上（网格线的交点）． (1)的面积为______； (2)过点A作的高线，则点D的坐标为______； (3)将先向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出． 24．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，C的面积是_________； (2)在（）的条件下，已知点，直线轴，则点的坐标为_________． 25．（2024八年级上·安徽·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求出的面积； (2)画出关于轴的对称图形； (3)在轴上找一点，使点到、两点的距离之和最小（保留作图痕迹）． 重难点07 三角形高、中线、角平分线综合 26．（23-24八年级上·山西长治·期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线    (1)若，求的度数． (2)若，求中线长的取值范围． 27．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，分别是的高线、角平分线和中线． (1)有下列结论：①；②；③；④与互余．其中正确的是_______（填序号）． (2)若，求的度数． 28．（21-22八年级上·安徽合肥·期末）如图，AD、AE、AF分别是ABC的高线、角平分线和中线． (1)若，CF=4，求AD的长． (2)若∠C=70°，∠B=26°，求∠DAE的度数． 29．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为_________． (2)若，求的度数． (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 重难点08 利用分类讨论思想探讨等腰三角形的边/角 30．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）已知等腰，解答以下问题： (1)若有一个内角为，求这个等腰三角形另外两个角的度数； (2)若其周长为，一边长是另一条边的倍，求三角形的三条边长． 31．（21-22八年级上·安徽合肥·期中） 已知等腰，解答以下问题： (1)若有一个内角为，求这个等腰三角形另外两个角的度数； (2)若等腰三角形的周长为27，两条边长分别是a和，求三边的长． 32．（22-23八年级上·安徽六安·期末）一个等腰三角形的周长是，其中一边长为，求另外两边的长 33．（22-23八年级上·安徽·期末）在等腰中，，，，求m的值． 34．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）（1）已知等腰的周长是，且腰长比底边长的2倍少4，求等腰的三边的长； （2）已知，，是的三个内角，且，，求三个内角的度数. 重难点09 与角平分线/平行线有关的三角形内角和问题 35．（20-21八年级上·安徽亳州·期中）如图，在△ABC中， BE是AC边上的高，DE∥BC， ∠ADE=52° ，∠C=68°，求∠ABE的度数． 36．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 37．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交的延长线于点． (1)若，求的度数； (2)若是上的一点，且，求证：． 38．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在四边形中，是的平分线，，垂足为点． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 重难点10 与三角形有关的折叠问题 39．（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）现有一张纸片，点分别是边上两点，若沿直线折叠． (1)如果折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是____． (2)如果折成图②的形状，猜想与的数量关系是______； (3)如果折成图③的形状，猜想和的数量关系，并说明理由． 40．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，将沿直线折叠，使点C与点B重合，连接． (1)若的周长为26，，求的长． (2)若，，求的度数． 41．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，点是边上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，（）．    (1)求的度数； (2)若中有两个角相等，求的值． 42．（2023八年级下·浙江·专题练习） (1)如图1，设，则　　； (2)把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为，为. ①如图2，，与的数量关系是 　　； ②如图3，请你写出，与的数量关系，并说明理由. (3)如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中　　. 43．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 重难点11 与角平分线/平行线有关的三角形外角问题 44．（24-25八年级上·河北保定·期中）在中，，平分，点在射线上，连接，点在的延长线上． (1)如图，． ①若，分别求和的度数； ②若直线与的一条边垂直，求的度数； (2)若平分，请直接写出的度数． 45．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，点D，F，H，E都在的边上，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 46．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，是边上的高，是的平分线，若，． (1)求和的度数； (2)线段上是否存在一点，使为直角三角形，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 47．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如图，点E在的延长线上，连接，作的角平分线分别交线段，于点F，点G，已知，． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 重难点12 三角形内角与外角综合问题 48．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，B是边上一点，，，，求和的度数． 49．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）如图，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 50．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点E在延长线上，平分交延长线于点D，求的度数． 51．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 重难点13 与三角形有关的热考模型 52．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 53．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 54．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）【模型理解】（1）如图1，和交于点O，求证：． 【模型应用】（2）如图2，，分别平分，，求证：． 55．（24-25八年级上·山东青岛·期末）【建立模型】如图1，在内部有一点，连接、，求证：； 【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，______度； 【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和的度数是______度．    56．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________； 探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________； 探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________． 【模型应用】 应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示 拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________． 57．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图1，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”． 模型探究 （1）如图1，在规形中，请探究之间的数量关系，并说明理由． 实践应用 （2）应用（1）中探究的结论解决下列问题： ①如图2，在规形中， 与的角平分线交于点E，若，则的度数是_________； ②如图3，在规形中，若的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由． 58．（22-23八年级上·辽宁阜新·期末）探究题： (1)【基本模型】：如图1，、为的外角，、的平分线交于点O，请你写出与的数量关系，并说明理由． (2)【变式应用】：如图2，已知不平行，、分别是和的角平分线，又、分别是和的角平分线． ①若，在点A、B运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． ②若，，求度数． 59．（24-25八年级上·山西大同·期中）在中， 是的角平分线， (1)如图1， 是边 上的高，直接写出 的度数； (2)如图2， 点E在上， 于 F， 猜想与，的数量关系， 并证明你的结论． 60．（21-22八年级上·安徽宿州·期末）在中，是角平分线．．    (1)如图（1），是高，，，求的度数； (2)如图（2），点在上，于，试探究与、的大小关系，并证明你的结论（提示：过点作于） (3)如图（3），点在的延长线上．于，试探究与、的大小关系是______．（直接写出结论，不需证明） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$