指数、对数的运算 讲义-2026届高三数学一轮复习

黄金考点14 指数、对数的运算（考点总动员） 考法一 已知指数式的运算问题 【十年真题*精选】 真题1-1（2021·天津·高考真题） 1．若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由已知表示出，再由换底公式可求. 【详解】，， . 故选：C. 真题1-2（2017·全国·高考真题） 2．设x、y、z为正数，且，则 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 【答案】D 【详解】令，则，， ∴，则， ，则，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示. 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（24-25高三下·重庆·阶段练习） 3．已知 ，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指对互化，结合换底公式即可求解. 【详解】设，则， 由得， 因此，故. 故选：D. 模拟1-2（2024·湖南株洲·一模） 4．已知，若且，则a＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由左右同取对数可得，将代入计算即可得. 【详解】由，故，即，又， 故，即. 故选：D. 模拟1-3（2025·江苏苏州·三模） 5．若，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据指数、对数的关系及对数加法的运算法则判断A，由基本不等式判断BC，利用对数函数的单调性判断D. 【详解】因为，， 所以，故A正确； 由可得（，等号不成立），故B错误； 由可得（，等号不成立），故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 【解题规律*总结】 1．根式的化简问题要注意指数幂中当指数为负数时，可把底数变为其倒数，从而指数化为正数． 2．指数幂运算的一般原则 （1）有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． （3）底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 3.指数式与对数式可以相互转化，利用这种转化关系可以求解指对方程与不等式及指数对数运算．将等式两端取同底的对数，是指数对数转化的另一种表现形式． 考法二 对数运算 【十年真题*精选】 真题2-1（2022·天津·高考真题） 6．化简（         ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式 ， 故选：C 真题2-2（2015·浙江·高考真题） 7．计算： ， ． 【答案】 【详解】；. 考点：对数运算 真题2-3（2018·全国·高考真题） 8．已知函数，若，则 ． 【答案】-7 【详解】分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案. 详解：根据题意有，可得，所以，故答案是. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目. 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（24-25高三上·天津·阶段练习） 9．计算式子的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对数运算求得答案. 【详解】. 故选：A 模拟2-2（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习） 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，得，再根据换底公式及对数的运算性质即可得解. 【详解】由，得， 则. 故选：A. 模拟2-3（2025·河南·模拟预测） 11．若且，则（    ） A．10或 B． C．100 D．10 【答案】A 【分析】利用换底公式可得，求解可得结果. 【详解】因为， 所以， 所以或， 所以或. 故选：A 【解题规律*总结】 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab＝N⇔b＝logaN（a>0，且a≠1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 考法三 已知对数式的运算问题 【十年真题*精选】 真题3-1（2020·全国·高考真题） 12．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 【详解】由可得，所以， 所以有， 故选：B. 【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 真题3-2（2025·全国一卷·高考真题） 13．，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 真题3-3（2024·全国·高考真题） 14．已知且，则 ． 【答案】64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（2024·河南开封·三模） 15．已知，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】运用对数与指数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求得. 【详解】由可得，即，，故. 故选：C. 模拟3-2（2025·江西·模拟预测） 16．已知，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质与运算法则，结合对数函数的单调性，化简运算，即可求解. 【详解】由对数的运算性质，可得， 则； 又由，则， 因为，可得，所以，所以. 故选：A. 模拟3-3（2025·安徽·三模） 17．已知，则 . 【答案】 【分析】根据对数的运算公式,解对数方程,依据对数的性质求答案. 【详解】由题意得，，故. 故答案为: . 【解题规律*总结】 1.利用对数的运算性质化简对数式主要有以下两种方法： 一是“正向”利用对数的运算法则，把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和；二是“逆向”运用对数运算法则，把同底的各对数合并成一个对数． 2.利用已知对数式表示不同底数的对数式时，可以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数式的底数表示． 3.灵活运用对数运算法则进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案进行对数运算． 4.对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制． 考法四 实际问题中的指数、对数运算 【十年真题*精选】 真题4-1（2024·北京·高考真题） 18．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 真题4-2（2025·北京·高考真题） 19．一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 真题4-3（2023·新高考Ⅰ卷） 20．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 【三年模拟*荟萃】 模拟4-1（2025·广西北海·模拟预测） 21．Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分为（   ） A．60 B．61 C．62 D．63 【答案】A 【分析】根据已知条件代入计算求解. 【详解】由题可得，则， 故选：A． 模拟4-2（2024·郑州调研） 22．点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量与传播距离（单位：米）的关系视为（单位：），取，则从5米变化到80米时，衰减量的增加值约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，80，分别代入方程，变化量就是它们之差. 【详解】当时，，当时，， 则衰减量的增加值约为. 故选：C 模拟4-3（2026高三·全国·专题练习） 23．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则能达到最初的1200倍大约经过（   ） （参考数据：） A．122天 B．124天 C．130天 D．136天 【答案】A 【分析】根据指对互化即可求解. 【详解】由题意可知，蝗虫最初有只且日增长率为．设经过n天后蝗虫数量达到原来的1200倍，则 ， ， ， 大约经过122天能达到最初的1200倍． 故选：A 【解题规律*总结】 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 （1）理解题意、弄清楚题目条件与所求之间的关系； （2）运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求. 考法五 指数式、对数式的混合运算问题 【十年真题*精选】 真题5-1（2022·浙江·高考真题） 24．已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 真题5-2（2023·北京·高考真题） 25．已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 真题5-3（2016·浙江·高考真题） 26．已知a＞b＞1.若logab+logba=，ab=ba，则a= ，b= . 【答案】 【详解】试题分析：设，因为， 因此 指数运算，对数运算． 在解方程时，要注意，若没注意到，方程的根有两个，由于增根导致错误 【三年模拟*荟萃】 模拟5-1（2025·北京大兴·三模） 27．已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 【答案】C 【分析】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C. 模拟5-2（2025·四川乐山·三模） 28．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数式与对数式的互化以及指数幂的运算性质计算即可. 【详解】由可得，又因为， 所以， 故选：B. 模拟5-3（24-25高三下·重庆·阶段练习） 29．已知，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据指数、对数运算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，又， 所以. 故选：A. 【解题规律*总结】 1.应用换底公式应注意的事项 （1）注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用． 2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化． 3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路： 思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数． 思路二：一次性统一换为常用对数（或自然对数）→化简、通分、求值． 4.已知条件中有指数式，也有对数式，注意观察所给数字特征及条件式的结构特点，选择合理的公式、推论转化求解． 考法六 指数、对数比较大小问题 【十年真题*精选】 真题6-1（2020·全国·高考真题） 30．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A 【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系. 【详解】由题意可知、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得. 综上所述，. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 真题6-2（2020·全国Ⅲ卷） 31．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 真题6-3（2015·北京·高考真题） 32．，，三个数中最大数的是 ． 【答案】 【详解】，，，所以最大. 【三年模拟*荟萃】 模拟6-1（24-25高三上·福建福州·阶段练习） 33．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对数函数、幂函数性质比较大小. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：A 模拟6-2（24-25高三上·天津·阶段练习） 34．三个数的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数的性质比较大小即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 模拟6-3（2025·四川·一模） 35．已知正实数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将变形为，可判断，继而变形为，推出，即可求解. 【详解】因为，故，即， 因为，所以； 又，结合，可得， 而， 即得，即，则必有， 则，即选项A中不等式成立， 故选：A 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于将变形为，继而变形为，即可求解. 【解题规律*总结】 1.有关比较大小的问题，通常需要结合所给的数的特点，结合相关函数的性质，通过寻找合适的中间数，确定其大小关系． 2.引入中介值，如1、0、-1等比较． 3.注意应用不等式性质、基本不等式等. 4.比较指数式的大小的方法是： （1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； （2）不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小． 5.比较对数式大小的类型及相应的方法 （1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论． （2）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，或利用图象数形结合求解． （3）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较． （4）若不能够使用以上三种方法比较大小，则需要将已知的对数式变形或利用对数的运算性质确定对数值的取值范围，或利用作差（或作商）比较法以及利用结论logn＋1（n＋2）<logn（n＋1）（n∈N*）比较大小等． 【命题规律*总结】纵观近几年高考命题，关于指数、对数运算的考查，也是高考命题的热点.除独立考查指数运算、对数运算外，有三类问题更应值得关注，一是指数、对数的混合运算，两种表达式的相互转化，二是以实际问题为背景，利用指数运算、对数运算解决问题，与时代发展同步，是此类问题的一大特征，三是与指数、对数的性质及指数函数、对数函数的单调性相结合，比较实数的大小等.多以选择题、多选题、填空题的形式呈现，命题难度有容易、中等等可能. （指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用）（2025·河南·模拟预测） 36．已知且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数运算性质和对数运算性质逐项判断即可. 【详解】由题意得A项中的和C项中的的值无法确定， 对于B，，对于D，． 故选：D （根据指数式、对数式求参数值）（2025·山西临汾·三模） 37．已知，，则（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据指数，对数的运算性质即可求解. 【详解】由，可得，， 则， 故选：B （指数幂、对数运算、基本不等式求最值）（2025·湖北黄冈·模拟预测） 38．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本不等式结合指数幂和对数函数的运算以及指数与对数的互化可得. 【详解】，当且仅当时取等号， 所以. 故选：B （指数、对数运算与函数模型的应用） 39．2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：km/s）与燃料质量（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（   ）（参考数值：，结果精确到kg） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程，化简求得正确答案. 【详解】根据题意，， 令，则， 所以，则， 即 所以. 故选：B （指数、对数运算与函数性质的综合问题）（2025·安徽安庆·二模） 40．若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】设函数，利用其为增函数，有一个零点得到，即可判断A；由已知可得，可得，即可判断B；由及，可得，即可判断C；由B选项可得，进而得，即可判断D. 【详解】设函数，显然为增函数， ，由已知，故，故A正确； 由，有，故， 则，故，故B正确； 由，得，故，故C错误； 由得，则， 由于，得，故D正确. 故选：ABD. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄金考点14 指数、对数的运算（考点总动员） 考法一 已知指数式的运算问题 【十年真题*精选】 真题1-1（2021·天津·高考真题） 1．若，则（    ） A． B． C．1 D． 真题1-2（2017·全国·高考真题） 2．设x、y、z为正数，且，则 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（24-25高三下·重庆·阶段练习） 3．已知 ，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 模拟1-2（2024·湖南株洲·一模） 4．已知，若且，则a＝（    ） A． B． C． D． 模拟1-3（2025·江苏苏州·三模） 5．若，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题规律*总结】 1．根式的化简问题要注意指数幂中当指数为负数时，可把底数变为其倒数，从而指数化为正数． 2．指数幂运算的一般原则 （1）有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． （3）底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 3.指数式与对数式可以相互转化，利用这种转化关系可以求解指对方程与不等式及指数对数运算．将等式两端取同底的对数，是指数对数转化的另一种表现形式． 考法二 对数运算 【十年真题*精选】 真题2-1（2022·天津·高考真题） 6．化简（         ） A．1 B． C．2 D． 真题2-2（2015·浙江·高考真题） 7．计算： ， ． 真题2-3（2018·全国·高考真题） 8．已知函数，若，则 ． 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（24-25高三上·天津·阶段练习） 9．计算式子的值为（    ） A． B． C． D． 模拟2-2（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习） 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 模拟2-3（2025·河南·模拟预测） 11．若且，则（    ） A．10或 B． C．100 D．10 【解题规律*总结】 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab＝N⇔b＝logaN（a>0，且a≠1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 考法三 已知对数式的运算问题 【十年真题*精选】 真题3-1（2020·全国·高考真题） 12．设，则（    ） A． B． C． D． 真题3-2（2025·全国一卷·高考真题） 13．，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 真题3-3（2024·全国·高考真题） 14．已知且，则 ． 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（2024·河南开封·三模） 15．已知，则（    ） A． B． C． D．3 模拟3-2（2025·江西·模拟预测） 16．已知，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 模拟3-3（2025·安徽·三模） 17．已知，则 . 【解题规律*总结】 1.利用对数的运算性质化简对数式主要有以下两种方法： 一是“正向”利用对数的运算法则，把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和；二是“逆向”运用对数运算法则，把同底的各对数合并成一个对数． 2.利用已知对数式表示不同底数的对数式时，可以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数式的底数表示． 3.灵活运用对数运算法则进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案进行对数运算． 4.对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制． 考法四 实际问题中的指数、对数运算 【十年真题*精选】 真题4-1（2024·北京·高考真题） 18．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 真题4-2（2025·北京·高考真题） 19．一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 真题4-3（2023·新高考Ⅰ卷） 20．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【三年模拟*荟萃】 模拟4-1（2025·广西北海·模拟预测） 21．Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分为（   ） A．60 B．61 C．62 D．63 模拟4-2（2024·郑州调研） 22．点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量与传播距离（单位：米）的关系视为（单位：），取，则从5米变化到80米时，衰减量的增加值约为（    ） A． B． C． D． 模拟4-3（2026高三·全国·专题练习） 23．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则能达到最初的1200倍大约经过（   ） （参考数据：） A．122天 B．124天 C．130天 D．136天 【解题规律*总结】 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 （1）理解题意、弄清楚题目条件与所求之间的关系； （2）运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求. 考法五 指数式、对数式的混合运算问题 【十年真题*精选】 真题5-1（2022·浙江·高考真题） 24．已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 真题5-2（2023·北京·高考真题） 25．已知函数，则 ． 真题5-3（2016·浙江·高考真题） 26．已知a＞b＞1.若logab+logba=，ab=ba，则a= ，b= . 【三年模拟*荟萃】 模拟5-1（2025·北京大兴·三模） 27．已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 模拟5-2（2025·四川乐山·三模） 28．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 模拟5-3（24-25高三下·重庆·阶段练习） 29．已知，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【解题规律*总结】 1.应用换底公式应注意的事项 （1）注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用． 2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化． 3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路： 思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数． 思路二：一次性统一换为常用对数（或自然对数）→化简、通分、求值． 4.已知条件中有指数式，也有对数式，注意观察所给数字特征及条件式的结构特点，选择合理的公式、推论转化求解． 考法六 指数、对数比较大小问题 【十年真题*精选】 真题6-1（2020·全国·高考真题） 30．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 真题6-2（2020·全国Ⅲ卷） 31．设，，，则（    ） A． B． C． D． 真题6-3（2015·北京·高考真题） 32．，，三个数中最大数的是 ． 【三年模拟*荟萃】 模拟6-1（24-25高三上·福建福州·阶段练习） 33．已知，则（ ） A． B． C． D． 模拟6-2（24-25高三上·天津·阶段练习） 34．三个数的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 模拟6-3（2025·四川·一模） 35．已知正实数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【解题规律*总结】 1.有关比较大小的问题，通常需要结合所给的数的特点，结合相关函数的性质，通过寻找合适的中间数，确定其大小关系． 2.引入中介值，如1、0、-1等比较． 3.注意应用不等式性质、基本不等式等. 4.比较指数式的大小的方法是： （1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； （2）不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小． 5.比较对数式大小的类型及相应的方法 （1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论． （2）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，或利用图象数形结合求解． （3）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较． （4）若不能够使用以上三种方法比较大小，则需要将已知的对数式变形或利用对数的运算性质确定对数值的取值范围，或利用作差（或作商）比较法以及利用结论logn＋1（n＋2）<logn（n＋1）（n∈N*）比较大小等． 【命题规律*总结】纵观近几年高考命题，关于指数、对数运算的考查，也是高考命题的热点.除独立考查指数运算、对数运算外，有三类问题更应值得关注，一是指数、对数的混合运算，两种表达式的相互转化，二是以实际问题为背景，利用指数运算、对数运算解决问题，与时代发展同步，是此类问题的一大特征，三是与指数、对数的性质及指数函数、对数函数的单调性相结合，比较实数的大小等.多以选择题、多选题、填空题的形式呈现，命题难度有容易、中等等可能. （指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用）（2025·河南·模拟预测） 36．已知且，则（    ） A． B． C． D． （根据指数式、对数式求参数值）（2025·山西临汾·三模） 37．已知，，则（   ） A．3 B．1 C． D． （指数幂、对数运算、基本不等式求最值）（2025·湖北黄冈·模拟预测） 38．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （指数、对数运算与函数模型的应用） 39．2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：km/s）与燃料质量（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（   ）（参考数值：，结果精确到kg） A． B． C． D． （指数、对数运算与函数性质的综合问题）（2025·安徽安庆·二模） 40．若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$