函数的周期性讲义-2026届高三数学一轮复习

黄金考点12 函数的周期性 （考点总动员） 考法一 函数周期性的判断与求值 【十年真题*精选】 真题1-1（2022·全国·高考真题） 1．已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 真题1-2（2018·江苏·高考真题） 2．函数满足，且在区间上，则的值为 ． 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2025·江西新余·模拟预测） 3．已知函数的定义域为，且，，，则（    ） A．5 B． C．2 D． 模拟1-2（2025·湖南岳阳·三模） 4．已知函数满足，，则（    ） A．3 B． C．5 D． 模拟1-3（2025·青海海东·三模） 5．定义在上的函数满足，，则（    ） A． B． C． D．2为的一个周期 【解题规律*总结】 1.函数周期性常用结论 对f（x）定义域内任一自变量x的值： （1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a>0）. （2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a>0）. 2.利用赋值法求出函数的周期，是解答此类问题的通性通法； 3.作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了. 4.求解抽象函数求值有关问题，可考虑利用赋值法、函数的周期性等知识来进行求解.对于一个函数，如果存在一个非零实数，使得对所有都满足，那么这个函数就是周期函数，是它的周期. 考法二周期性、奇偶性综合问题 【十年真题*精选】 真题2-1（2025·全国一卷·高考真题） 6．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 真题2-2（2021·全国·高考真题） 7．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 真题2-3（2021·全国·高考真题） 8．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（2025·湖北十堰·三模） 9．已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 模拟2-2（2024高三·全国·专题练习） 10．已知在上是周期为4的奇函数，当时，，则等于（　　） A． B．2 C． D． 模拟2-3（24-25高三上·云南·阶段练习） 11．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．2025 【解题规律*总结】 函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. 考法三周期性与其它性质的综合 【十年真题*精选】 真题3-1（2022·全国·高考真题） 12．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 真题3-2（2019·江苏·高考真题） 13．设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是 . 真题3-3（2017·江苏·高考真题） 14．设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（2025·海南·模拟预测） 15．已知定义在上的函数满足，且当时，．若的图象与曲线，且恰有10个交点，则实数（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 模拟3-2（2024·山东菏泽·模拟预测） 16．已知函数满足：，，则下列说法正确的有（    ） A．是周期函数 B． C． D．图象的一个对称中心为 模拟3-3（2025·江西宜春·二模） 17．已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【解题规律*总结】 1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 【命题规律*总结】纵观近几年高考命题，对函数周期性的考查，一直是一个命题热点.除独立考查周期性，如判断函数的周期性、求函数值等，常常将周期性、奇偶性、单调性、对称性综合在一起考查，其中奇偶性与周期性相结合比较多见.多以选择题、多选题、填空题的形式呈现，命题难度有容易、中等或中等以上等多种可能.且主要有以下几种命题角度： （1）考查函数的周期性，如判断、识图、求值等. （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； （3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. （4）与导数相关的函数综合问题，成为一种新的趋势. 【考点预测*展望】 （“二元”抽象函数的综合问题） 18．已知定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的周期为4 C．关于对称 D．在单调递减 （与导数相结合的“二元”抽象函数综合问题） 19．已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（    ） A． B．是偶函数 C．关于点对称 D． （抽象函数的周期性及应用、根据函数的单调性求参数最值）（24-25高三下·河南新乡·阶段练习） 20．已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，，若在区间上单调递减，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． （函数奇偶性、周期性、对称性等性质的综合应用）（2025·福建福州·一模） 21．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． （函数周期性、对称性的应用、导数的应用）（2025·海南·模拟预测） 22．已知函数的定义域为，且，曲线的图象关于直线对称．若时，，则（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄金考点12 函数的周期性 （考点总动员） 考法一 函数周期性的判断与求值 【十年真题*精选】 真题1-1（2022·全国·高考真题） 1．已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 真题1-2（2018·江苏·高考真题） 2．函数满足，且在区间上，则的值为 ． 【答案】 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2025·江西新余·模拟预测） 3．已知函数的定义域为，且，，，则（    ） A．5 B． C．2 D． 【答案】D 模拟1-2（2025·湖南岳阳·三模） 4．已知函数满足，，则（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 模拟1-3（2025·青海海东·三模） 5．定义在上的函数满足，，则（    ） A． B． C． D．2为的一个周期 【答案】ACD 【解题规律*总结】 1.函数周期性常用结论 对f（x）定义域内任一自变量x的值： （1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a>0）. （2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a>0）. 2.利用赋值法求出函数的周期，是解答此类问题的通性通法； 3.作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了. 4.求解抽象函数求值有关问题，可考虑利用赋值法、函数的周期性等知识来进行求解.对于一个函数，如果存在一个非零实数，使得对所有都满足，那么这个函数就是周期函数，是它的周期. 考法二周期性、奇偶性综合问题 【十年真题*精选】 真题2-1（2025·全国一卷·高考真题） 6．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 真题2-2（2021·全国·高考真题） 7．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 真题2-3（2021·全国·高考真题） 8．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（2025·湖北十堰·三模） 9．已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 模拟2-2（2024高三·全国·专题练习） 10．已知在上是周期为4的奇函数，当时，，则等于（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 模拟2-3（24-25高三上·云南·阶段练习） 11．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．2025 【答案】C 【解题规律*总结】 函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. 考法三周期性与其它性质的综合 【十年真题*精选】 真题3-1（2022·全国·高考真题） 12．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 真题3-2（2019·江苏·高考真题） 13．设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是 . 【答案】. 真题3-3（2017·江苏·高考真题） 14．设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 【答案】8 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（2025·海南·模拟预测） 15．已知定义在上的函数满足，且当时，．若的图象与曲线，且恰有10个交点，则实数（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 模拟3-2（2024·山东菏泽·模拟预测） 16．已知函数满足：，，则下列说法正确的有（    ） A．是周期函数 B． C． D．图象的一个对称中心为 【答案】A 模拟3-3（2025·江西宜春·二模） 17．已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】ACD 【解题规律*总结】 1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 【命题规律*总结】纵观近几年高考命题，对函数周期性的考查，一直是一个命题热点.除独立考查周期性，如判断函数的周期性、求函数值等，常常将周期性、奇偶性、单调性、对称性综合在一起考查，其中奇偶性与周期性相结合比较多见.多以选择题、多选题、填空题的形式呈现，命题难度有容易、中等或中等以上等多种可能.且主要有以下几种命题角度： （1）考查函数的周期性，如判断、识图、求值等. （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； （3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. （4）与导数相关的函数综合问题，成为一种新的趋势. 【考点预测*展望】 （“二元”抽象函数的综合问题） 18．已知定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的周期为4 C．关于对称 D．在单调递减 【答案】C （与导数相结合的“二元”抽象函数综合问题） 19．已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（    ） A． B．是偶函数 C．关于点对称 D． 【答案】D （抽象函数的周期性及应用、根据函数的单调性求参数最值）（24-25高三下·河南新乡·阶段练习） 20．已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，，若在区间上单调递减，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D （函数奇偶性、周期性、对称性等性质的综合应用）（2025·福建福州·一模） 21．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】BC （函数周期性、对称性的应用、导数的应用）（2025·海南·模拟预测） 22．已知函数的定义域为，且，曲线的图象关于直线对称．若时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$