精品解析：辽宁省辽阳市2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试卷

2024—2025学年度下学期期末质量监测 八年级数学试卷 （试卷满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； 故选：D． 2. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式和等式的性质的应用，逐一分析各选项是否符合不等式和等式的基本性质． 【详解】解：A. 若 ，两边同减，由不等式性质1（不等式两边加或减同一个数，不等号方向不变），得，正确； B. 若 ，当时，；当时，；当时，，因未限定的符号，结论不必然成立，错误； C. 若 且，无法确定与的大小，例如：当，，时，满足且，但，结论不成立，错误； D. 若 ，两边同乘得，与结论矛盾，错误． 故选：A． 3. 如图，已知线段，使用直尺和圆规作得直线l，交于点D，点C在直线l上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—线段的垂直平分线，等腰三角形的判定与性质，根据尺规作图痕迹可知，直线l垂直平分AB，点C在直线l上，是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据尺规作图痕迹可知，直线l垂直平分AB，点C在直线l上，是等腰三角形， ． 故选：D． 4. 下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查因式分解的知识，解题的关键的掌握因式分解的定义，即把一个多项式写出几个多项式的积，即可． 【分析】解：A、，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、未完全转化为积的形式，不符合因式分解的定义，不符合题意； C、分解后出现分式，不符合整式要求，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 5. 如图，以正五边形的边为边向内作等边三角形，连接，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正五边形的性质，得，；结合等边三角形得，，于是得到，，利用等边对等角，三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴，， ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正五边形的性质，内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 6. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：分别为的中点，， ， 点距离地面的高度为． 故选：B． 7. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角大于 B. 有一个内角小于 C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反证法中的假设，反证法的第一步是假设结论的反面成立，进行判断即可． 【详解】解：由题意，应假设这个三角形中每一个内角都大于； 故选C． 8. 若关于的不等式有2个正整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于x不等式的正整数解及解一元一次不等式组的解集问题，解题的关键是：根据关于x不等式的正整数解的情况来确定关于m的不等式组的取值范围，其过程需要熟练掌解不等式的步骤．首先解关于x的不等式，然后根据x只有2个正整数解，来确定关于m的不等式组的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：解不等式得： ， ∵原不等式有2个正整数解， ∴这2个正整数解为：1、2， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，在平面而直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，若存在一点，使组成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标，即可得出答案． 【详解】解：设，分三种情况： ①为对角线时，，解得：，即点D的坐标为； ②为对角线时，，解得：，即点D的坐标为； ③为对角线时，，解得：，即点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标是或或， 则点的坐标不可能为． 故选：B． 10. 如图，一次函数与的图象相交于点，下列说法正确的是（ ） A. B. 关于的方程的解是 C. 关于的不等式的解集是 D. 关于的不等式的解集是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两条直线的交点问题.运用待定系数法可求出交点坐标和一次函数图象的解析式，再结合图形分析即可求解． 【详解】解：根据题意，把交点代入一次函数中得， ，解得，， ∴， 把点代入一次函数图象得，， 根据一次函数的图象可得，，故A选项错误，不符合题意； 当时，，则关于的方程的解是，故B选项正错误，不符合题意； 当时，，故C选项正确，符合题意； 由图可知，当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5道小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键．直接根据分式有意义的条件进行计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，在中，是的平分线，交于点，垂足为，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边距离相等，解题的关键是熟知性质及对应的模型．根据角平分线的性质求得，则可求出的长度． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴ ， ， 故答案：． 13. 关于的方程有增根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程解的情况确定参数，分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 详解】解：， ∴， ∵关于x的分式方程的增根是， ∴把代入， 解得：． 故答案为：． 14. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提取公因式，再套用完全平方公式分解，注意符号的变化． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 15. 如图，平行四边形的对角线相交于点平分，分别交，于点，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，过点作交的延长线于点，根据题意得出，进而求得，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴ ∴ ∴，则 ∴ 在中， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. （1）解不等式：；（并把解集在数轴上表示出来） （2）计算：． 【答案】（1），数轴表示见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，解不等式，在数轴上表示不等式解集．熟练掌握分式的混合运算法则和解不等式的一般步骤是解题的关键． （1）先按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再把解集表示在数轴上即可； （2）先计算括号内的减法，再计算除法即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； 这个不等式的解集在数轴上表示如图所示： （2）原式 ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）画出绕原点逆时针旋转后得到的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作中心对称图形，旋转图形，掌握中心对称与旋转的性质是解题的关键； （1）根据中心对称的性质，找到的对应点，顺次连接，即可求解； （2）根据旋转的性质，找到的对应点，顺次连接，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 18. 如图，在中，分别是边和上的点，交于点交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； （1）根据平行四边形的性质可得，根据得出四边形是平行四边形，进而得出四边形是平行四边形，即可得证； （2）由（1）得，四边形是平行四边形，得出，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 即， ，即， 四边形是平行四边形， ． 【小问2详解】 解：由（1）得，四边形是平行四边形， ， ， ． 19. 某商家购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用420元购买哪吒挂件的个数恰好与用360元购买敖丙挂件的个数相同． （1）求该商家购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元： （2）该商家计划用不超过1000元的资金购进哪吒、敖丙两种挂件共150个，则至少购进哪吒挂件多少个？ 【答案】（1）购进哪吒挂件的单价是7元，敖丙挂件的单价是6元 （2）100个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设该商家购进哪吒挂件的单价是元，则购进敖丙挂件的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设购进哪吒挂件个，则购进敖丙挂件个，根据题意，列出不等式，求得最大整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：设该商家购进哪吒挂件的单价是元，则购进敖丙挂件的单价是元，根据题意，得， 解这个方程，得， 经检验，是所列方程的解， ． 答：该商家购进哪吒挂件的单价是7元，敖丙挂件的单价是6元． 【小问2详解】 设购进哪吒挂件个，则购进敖丙挂件个，根据题意，得， 解这个不等式，得， 答：最多购进哪吒挂件100个． 20. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”，如：．因此，，都是“友好数”． （1）和这两个数是友好数吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为和，（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的友好数是的倍数吗？为什么？ 【答案】（1），理由见解析 （2）是，理由见解析 【解析】 【分析】本题是一道新定义类型的题目，主要考查了整式的运算，熟练运算法则是解题的关键． （1）根据友好数的定义，只需看能否把和写成两个连续偶数的平方差即可； （2）计算，整理即可得到结果． 【小问1详解】 解： ， ，都是友好数． 【小问2详解】 为非负整数， 是非负整数， 一定能被4整除， 由和构成的友好数是4的倍数． 21. 已知：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长交于点．求证：为的中点． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于点，过点作交的延长线于点，先证明，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：过点作于点，过点作交的延长线于点， 则， 由旋转的性质得， ， 由旋转的性质得， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， 是的中点． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． （1）为直线上一点，过点作轴的平行线交的图象于点，当时，求点的坐标； （2）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）存在；或或或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特点等知识，熟练掌握一次函数的图象和性质和相关图形的性质定理是解题的关键． （1）先求出点的坐标，接着设点的横坐标为，用含的代数式表示出，再根据建立方程求解即可； （2）分、、分别为顶点时，利用等腰三角形的性质以及勾股定理分别求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴D点坐标为． ∵直线经过和， 则， 解得， ∴一次函数的函数解析式为； 当时，， ∴点坐标为， ∴． 设点的横坐标为，则，， ∴． ∵． ∴． 解得或． ∴点坐标为或； 小问2详解】 解：存在； 对直线，当时，， ∴点B的坐标为， 当时，， ∴D点坐标为． 设，则，， 当时， 解得： ∴ 当时， 解得：或 ∴或 当时， 解得：或（舍去） ∴ 综上所述，或或或 23. 【问题初探】 （1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围． 小红和小林两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小红同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，利用三角形中位线…； ②小林同学的思考过程：如图3，延长到点，使，连接，构造三角形全等…； 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 如图4，已知等腰中，，，点D在直线上移动，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）在（2）的条件下，若，，请你直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）①小红同学的解题思路：延长到点，使，连接，先根据三角形的中位线定理可得，再根据三角形的三边关系可得，由此即可得；②小林同学的解题思路：延长到点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的三边关系可得，由此即可得； （2），证明：延长至，使，连接，先根据三角形的中位线定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （3）先利用勾股定理可得，再分两种情况：①当在点的右侧时，②当在点的左侧时，先求出的长，再参考（2）的思路证出，由此即可得． 【详解】解：（1）①小红同学的解题思路：如图，延长到点，使，连接， ∵是的中线，， ∴是的中位线， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，，即， ∴， ∴． ②小林同学的解题思路：如图，延长到点，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴在中，，即， ∴， ∴． （2），证明如下： 如图，延长至，使，连接， ∵点为中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）∵等腰中，，， ∴， ∵． 则分以下两种情况： ①如图，当在点的右侧时， ∴， 由（2）已证：， ∴； ②如图，当在点的左侧时， 延长至，使，连接， ∵点为中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； 综上，的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期期末质量监测 八年级数学试卷 （试卷满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（  ） A. B. C. D. 2. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 如图，已知线段，使用直尺和圆规作得直线l，交于点D，点C直线l上，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，以正五边形边为边向内作等边三角形，连接，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角大于 B. 有一个内角小于 C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于 8. 若关于的不等式有2个正整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面而直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，若存在一点，使组成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（ ） A B. C. D. 10. 如图，一次函数与的图象相交于点，下列说法正确的是（ ） A. B. 关于的方程的解是 C. 关于的不等式的解集是 D. 关于的不等式的解集是 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5道小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则满足的条件是______． 12. 如图，在中，是的平分线，交于点，垂足为，若，则的长为______． 13. 关于的方程有增根，则的值为______． 14. 若，则的值为______． 15. 如图，平行四边形的对角线相交于点平分，分别交，于点，连接，则的长为______． 三、解答题（共75分） 16. （1）解不等式：；（并把解集在数轴上表示出来） （2）计算：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）画出绕原点逆时针旋转后得到的． 18. 如图，在中，分别是边和上的点，交于点交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 某商家购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用420元购买哪吒挂件的个数恰好与用360元购买敖丙挂件的个数相同． （1）求该商家购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元： （2）该商家计划用不超过1000元的资金购进哪吒、敖丙两种挂件共150个，则至少购进哪吒挂件多少个？ 20. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”，如：．因此，，都是“友好数”． （1）和这两个数是友好数吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为和，（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的友好数是的倍数吗？为什么？ 21. 已知：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长交于点．求证：为的中点． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象经过点，且与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． （1）为直线上一点，过点作轴的平行线交的图象于点，当时，求点的坐标； （2）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 23. 问题初探】 （1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围． 小红和小林两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①小红同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，利用三角形中位线…； ②小林同学的思考过程：如图3，延长到点，使，连接，构造三角形全等…； 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 如图4，已知等腰中，，，点D在直线上移动，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）在（2）的条件下，若，，请你直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $