精品解析：山东临沂市罗庄区2025-2026学年八年级下学期期中数学试题（A卷）

2025—2026学年下学期期中素养水平调研试题（A卷） 八年级数学 （时间：120分钟 总分120分） 注意事项： 1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，对角线，相交于点O，若，则化简的结果为（ ） A. 4 B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，足球的表面是由12块正五边形黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，网格中小正方形的边长为，点都在格点（网格线的交点）上，以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知四边形中，，点E，F，G，H分别为各边的中点，则四边形EFGH的形状一定是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴的正半轴上，点A的坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线相交于点，于点，若，菱形的面积为，则的长度为（ ） A. 4 B. C. D. 8 9. 如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘，点E在上，．一位滑板爱好者从点A出发滑到点E，则他滑行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，相交于点，的延长线交的延长线于点．下列四个结论：①；②；③为等边三角形；④．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若为正整数，且满足，则_______． 12. 高师傅有5根长度（单位：dm）分别为的钢条，准备选三根焊接一个直角三角形钢架，请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合________． 13. 如图，在正方形中，分别以A，D为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点E，连接，，则________． 14. 如图，平行四边形的边，过点C作，点F是的中点，若，则的长为_________． 15. 如图，矩形中，E是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点F，若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，在边上找一点D，连接，使； （2）在图②中，画出的角平分线； （3）在图③中，在边上找一点F，连接，使． 18. 如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际操作中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． （1）若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离；（结果保留根号） （2）在一次操作中，上臂与中臂的夹角为，如图③，此时点A与点C到地面的距离相等，求两点之间的距离．（结果保留根号） 19. 如图，在平行四边形的边上分别截取，使得，连接，过点B作于点G，过点D作于点H． （1）求证：； （2）连接，得到的四边形能否是菱形？请说明理由． 20. 如图，四边形的对角线，相交于点，，，，． （1）求的长和四边形的面积； （2）若点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，求证：四边形是矩形． 21. 如图，已知矩形的对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，P为线段上一动点，连接，，求的最小值． 22. 如图，已知，在外分别作正方形和正方形，连接，． （1）判断线段和的关系，并说明理由； （2）如图，依次连接，，，当时，四边形的面积是____． （3）若，以为边作正方形，过点作的垂线交于点，交于点．请根据以下提示完成勾股定理的证明，即证明． 提示：，，又，从而得，同理，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期期中素养水平调研试题（A卷） 八年级数学 （时间：120分钟 总分120分） 注意事项： 1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数非负求解即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则， 解得． 2. 如图，在中，对角线，相交于点O，若，则化简的结果为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质求出，，根据三角形三边的关系求出，则，，然后根据二次根式的性质，绝对值的意义等化简即可. 【详解】解：∵在中，对角线，相交于点O，， ∴，， ∴，即， 又， ∴， ∴，， ∴ . 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次根式的运算法则和性质，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：A：由可知，选项计算错误； B：与不是同类二次根式，无法合并，，选项计算错误； C：，选项计算错误； D：，选项计算正确． 4. 如图，足球的表面是由12块正五边形黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和问题，求出正五边形和正六边形每个内角的度数，即可求解． 【详解】解：正五边形内角和为：，每个内角为：， 正六边形内角和为：，每个内角为：， 因此． 5. 如图，网格中小正方形的边长为，点都在格点（网格线的交点）上，以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由勾股定理可得，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，， ∵， ∴． 6. 已知四边形中，，点E，F，G，H分别为各边的中点，则四边形EFGH的形状一定是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过作交于，则，先证明，，再证明，得到，再由三角形中位线的性质可得，即可得到，根据四边相等的四边形是菱形证明即可． 【详解】解：如图，连接，过作交于，则， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵，，， ∴， ∴， 点分别为各边的中点， ∴由三角形中位线的性质可得， ， 四边形为菱形． 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴的正半轴上，点A的坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，由点的坐标可得，再根据勾股定理求出，然后根据菱形的性质可得，进而得出答案． 【详解】解：如图所示，过点A作， ∵点， ∴， 根据勾股定理，得． ∵四边形是菱形， ∴， ∴点C的横坐标为，纵坐标为1， ∴点C的坐标为． 8. 如图，菱形的对角线相交于点，于点，若，菱形的面积为，则的长度为（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先由菱形性质得到对角线相互垂直平分，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再由菱形面积公式列式求出，最后在中由勾股定理求解即可． 【详解】解：在菱形中，，，， ，， 在中，，则， 菱形的面积为， ，即，解得， 在中，，则由勾股定理可得． 9. 如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘，点E在上，．一位滑板爱好者从点A出发滑到点E，则他滑行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将半圆面展开成矩形，连接．则是最短距离，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将半圆面展开如图所示，连接． 根据题意，得，． 在中，由勾股定理，得 ， 所以他滑行的最短距离为． 10. 如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，相交于点，的延长线交的延长线于点．下列四个结论：①；②；③为等边三角形；④．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用正方形的性质和全等三角形的判定定理是解题的关键．根据正方形的性质得到边相等、角为直角，再利用中点条件得到对应边相等，通过、证明三角形全等，进而推导角的关系、线段的位置关系与数量关系，对四个结论逐一判断正误． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ，分别是，的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ①正确； ， ， 又， ， ②正确； ， ， 不是等边三角形， ③错误； ， ， 在和中， ， ， ， ④正确； 综上所述，正确的为①②④． 故选：． 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若为正整数，且满足，则_______． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵， ∴ ∵为正整数，且满足， ∴． 12. 高师傅有5根长度（单位：dm）分别为的钢条，准备选三根焊接一个直角三角形钢架，请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合________． 【答案】5，12，13和9，12，15 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是利用基础勾股数及其倍数规律快速筛选，再通过“最长边优先”原则验证，减少无效计算． 先列出常见基础勾股数及其倍数，与题目中的钢条长度比对，直接锁定符合条件的组合；再按最长边优先原则验证，排除其余组合． 【详解】解：常见基础勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25等，其正整数倍仍为勾股数． 5，12，13为基础勾股数，故组合5，12，13满足条件． 9，12，15是3，4，5的3倍，故组合9，12，15满足条件． 其余组合均不满足勾股定理的逆定理． 故答案为：5，12，13 和 9，12，15． 13. 如图，在正方形中，分别以A，D为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点E，连接，，则________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】连接，由正方形的性质得出，，证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，进而得出，然后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是正方形， ∴，， ∵分别以A，D为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点E， ∴， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴． 14. 如图，平行四边形的边，过点C作，点F是的中点，若，则的长为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】连接，延长，两线交于点Q，证明，利用勾股定理求解即可； 【详解】解：连接，延长，两线交于点Q， ∵平行四边形的边， ∴，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， 故直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 15. 如图，矩形中，E是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点F，若，，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】证明，设，则，，利用勾股定理求解． 【详解】解：在矩形中，，， 是的中点， ． 沿折叠后得到， ，，， ． 又∵， ， ． 设，则，， 在中，，， 即， 解得． ∴． 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，在边上找一点D，连接，使； （2）在图②中，画出的角平分线； （3）在图③中，在边上找一点F，连接，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是利用网格特点作图，同时考查了平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，熟记基本几何图形的判定与性质是解本题的关键． （1）取格点M，N，再利用平行四边形的对角线互相平分可得线段的中点D； （2）取格点Q，K，连接，连接交于，再利用正方形的性质可得是的角平分线； （3）取格点，G，可得直线是的垂直平分线，交于，从而可得结论． 【小问1详解】 解：如图所示，点D即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求． 18. 如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际操作中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． （1）若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离；（结果保留根号） （2）在一次操作中，上臂与中臂的夹角为，如图③，此时点A与点C到地面的距离相等，求两点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）点到地面的距离为 （2） 【解析】 【分析】（1）如图②，过点C作，垂足为M，则，求可得结论； （2）如图③，过点作垂直于，垂足为，则，求出，，再利用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：如图②，过点作，垂足为，则， ， ∴ ∴ ． 即点到地面的距离为； 【小问2详解】 解：如图③，过点作垂直于，垂足为， ， ， ∴， ∴ ∴ ， 点到点的距离为． 19. 如图，在平行四边形的边上分别截取，使得，连接，过点B作于点G，过点D作于点H． （1）求证：； （2）连接，得到的四边形能否是菱形？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）否，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关基础知识． （1）通过平行四边形可得，，从而得到，再根据可得，再由，可得，从而得到，即可求证； （2）根据平行四边形的判定方法可得四边形是平行四边形，显然，即可求解． 【小问1详解】 证明：在平行四边形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：否，理由如下： 由（1）得，∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 若四边形是菱形，则，显然， 则四边形不是菱形． 20. 如图，四边形的对角线，相交于点，，，，． （1）求的长和四边形的面积； （2）若点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求得的长，进而得出，结合得出四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的性质求得面积，即可求解； （2）根据中位线的性质得出，进而证明，即可得出四边形是矩形． 【小问1详解】 解：在中，， ， 又， 又， 四边形是平行四边形， ， ∵ ∴ 【小问2详解】 证明：在中，， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是矩形． 21. 如图，已知矩形的对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，P为线段上一动点，连接，，求的最小值． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，可得四边形是平行四边形，再由，即可证明结论； （2）由四边形是菱形，可得，，则的最小值为线段的长，设，在中利用勾股定理列方程可得，在中即可求得的长，即可得的最小值． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵在矩形中，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：如图，连接，连接交于点G，连接， 由（1）得四边形是菱形， ∴点E，F关于直线对称，，， ∴， ∴当点P与点G重合时，取得最小值，最小值为线段的长， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵在矩形中，， ∴在中，， ∴的最小值为． 22. 如图，已知，在外分别作正方形和正方形，连接，． （1）判断线段和的关系，并说明理由； （2）如图，依次连接，，，当时，四边形的面积是____． （3）若，以为边作正方形，过点作的垂线交于点，交于点．请根据以下提示完成勾股定理的证明，即证明． 提示：，，又，从而得，同理，． 【答案】（1），，理由见解析； （2）； （3）见解析． 【解析】 【分析】（）由正方形性质可得，，，然后证明，所以，，又，，则有，然后通过三角形内角和定理得出； （）连接，，，设与交于点，由（）得：，，则有，然后代入即可求解； （）由四边形和为正方形，则，，，证明，所以，根据两条平行线之间的距离处处相等，，，然后通过即可求证． 【小问1详解】 解：，，理由如下， ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，，，设与交于点， 由（）得：，， ∴， ∴ ， ∴四边形的面积为， 故答案为：； 【小问3详解】 证明：∵四边形和为正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴ 根据两条平行线之间的距离处处相等，，， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $