上册 微素养·专题突破11 圆中的相似问题-【精彩练习】2024-2025学年九年级全一册数学同步评价作业教师用书配套Word（浙教版）

微素养·专题突破 十一圆中的相似问题 (见学生用书P58)

类型1　圆中的相似

【例1】 如图，⊙O的弦AB，CD的延长线交于点P，连结AC，BD.

(1)求证：△PAC∽△PDB.

(2)若PB＝3，PD＝4，AB＝7，求CD的长．

解： (1)证明：∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，

∴∠A＋∠BDC＝180°.

∵∠BDC＋∠PDB＝180°，

∴∠A＝∠PDB.

又∠P＝∠P，

∴△PAC∽△PDB.

(2)∵△PAC∽△PDB，

∴＝ ，

∴＝ ，

∴PC＝，

∴CD＝PC－PD＝.

【变式1】 在等腰直角三角形ABC中，已知AC＝4，O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，BO为半径画圆交AC边于点P，交AB边于点Q，则AQ的最大值为(　B　 )

A．4　　　　　　　　　B．12－16

C．8－8    D．8－2

【解析】 ∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4，

∴AC＝BC＝4，AB＝AC＝4.

在圆O中，OB＝OQ＝OP，

∴若要AQ最大，则BQ最小，即半径最小，此时OP⊥AC，如图，则OP∥BC，

∴△OAP∽△BAC.

∴＝.

设AQ＝x，则半径OB＝OQ＝OP＝2－x，

∴＝，

解得x＝12－16，

变式1题图

　　　　变式2题图

 

 

 

 

 

【变式2】 如图，⊙O中弦AD与BC相交于点E，连结AB，CD，若＝，则△ABE与△CDE的面积比为____．

【解析】 ∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，

∴△ABE∽△CDE.

∵＝，

∴△ABE与△CDE的面积比为 ＝.

类型2　半圆中的相似

【例2】 如图，已知⊙O的直径AB＝4，弦AC与弦BD相交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F.若AC＝BD，则EC的长为(　C　)

A．　　B．1　　C．　　D．

 【解析】 连结AD，OC，

∵OD⊥AC于点F，

∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝×180°＝60°.

∵AB是⊙O的直径，AB＝4，

∴OD＝OA＝OB＝AB＝×4＝2，∠ADB＝90°，

∴△AOD是等边三角形，

∴AD＝OD＝2，DF＝OF＝OD＝×2＝1，

∴AF＝CF＝＝＝.

∵∠DFE＝∠AFD＝90°，∠EDF＝∠DAF＝90°－∠ADF，

∴△DFE∽△AFD，

∴＝，

∴EF＝＝＝，∴EC＝CF－EF＝－＝.

例2题图

　　变式1题图

 

 

 

 

 

【变式1】 如图，BC为半圆O的直径，A是半圆上的一点，D为的中点，AC与BD相交于点E.若AB＝AC，BE＝8，则CD的长为__4__．

【解析】 延长BA，CD交于点F，

∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，

∴∠CAF＝180°－∠BAC＝90°，

∠BDF＝180°－∠BDC＝90°，