上册 微素养·专题突破7 垂径定理的应用-【精彩练习】2024-2025学年九年级全一册数学同步评价作业教师用书配套Word（浙教版）

 

微素养·专题突破 七   垂径定理的应用(见学生用书P34)

类型1　构造直角三角形计算

【例1】 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为(　C　)

　　　　　　　　　　　　　

 

A．     B． 2    C． 2    D． 8

【解析】 如图，过点O作OH⊥CD于点H，连结OC.

∵OH⊥CD，∴CH＝DH.

∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，

∴OA＝4，∴OP＝OA－AP＝2.

在Rt△OPH中，

∵∠OPH＝∠APC＝30°，

∴OH＝OP＝1.

在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，

∴CH＝＝，

∴CD＝2CH＝2.

例1题图

　　变式题图

 

 

 

 

 

【变式】 如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D，且OD＝DC.P为⊙O上任意一点，连结PA，PB，若⊙O的半径为，则S△PAB的最大值为(　A　)

A．    B．

C．    D．

【解析】 连结OA，如图，

∵OC⊥AB，

∴AD＝BD，

∵OD＝DC.

∴OD＝OA＝，

∴AD＝＝，AB＝2AD＝3.

当点P为AB所对的优弧的中点时，△APB的面积最大，此时PD＝PO＋OD＝＋＝，

∴△APB的面积的最大值为AB·PD＝×3×＝.

类型2　垂径定理在证明中的应用

【例2】 如图，AB，AC是⊙O的两条弦，M，N分别为的中点，MN分别交AB，AC于点E，F.判断△AEF的形状并给予证明．

解：△AEF是等腰三角形．

证明：如图，连结OM，ON，分别交AB，AC于点P，Q.

∵M，N分别为的中点，

∴OM⊥AB，ON⊥AC，

∴∠MPE＝∠NQF＝90°，

∴∠PEM＝90°－∠M，∠QFN＝90°－∠N.

∵OM＝ON，∴∠M＝∠N，

∴∠PEM＝∠QFN.

又∵∠AEF＝∠PEM，∠AFE＝∠QFN，

∴∠AEF＝∠AFE，

∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形．

【变式】 如图，M，N分别是⊙O的弦AB，CD的中点，AB＝CD.求证：∠AMN＝∠CNM.

变式题图

　　变式题答图

 

 

 

 

 

证明：如图，连结OM，ON.

∵点O为圆心，M，N分别为弦AB，CD的中点，

∴OM⊥AB，ON⊥CD.

∵AB＝CD，∴OM＝ON，

∴∠OMN＝∠ONM.

∵∠AMN＝90°－∠OMN，

∠CNM＝90°－∠ONM，

∴∠AMN＝∠CNM.

类型3　常用辅助线：连半径，作弦心距

【例3】 如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的半径为__20____．