专题04 圆的认识、垂径定理与圆心角（期中真题汇编，浙江专用）九年级数学上学期

专题04 圆的认识、垂径定理与圆心角 4大高频考点概览 考点01 圆基本认识及其性质 考点02 旋转图形 考点03 垂径定理 考点04 圆心角 地 城 考点01 圆基本认识及其性质 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆中最长的弦是直径 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）在中，，，，以点为圆心，12为半径画圆，则点在（      ） A．外 B．上 C．内 D．无法确定 4．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）半径为，点A到圆心O距离为，则A在 ．（填“上”、“外”或“内”） 7．（24-25九年级上·浙江·期中）在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为 ． 8．（24-25九年级上·浙江温州·期中）同一平面内，内一点到圆上的最大距离为，最小距离为，则的半径为 ． 9．（24-25九年级上·浙江温州·期中）若的半径为，圆心的坐标是，点的坐标是，那么点在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”）． 10．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形边长为4，点G是以为直径的半圆上的一个动点，点F是边上的一个动点，点E是的中点，则的最小值为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作： (1)利用网格线找出该弧所在圆的圆心D点，在图上标出D点； (2)连接，则的半径长为__________．（结果保留根号） (3)如果点E坐标为，则E点在__________．(填“内”、“外”或“上”) 12．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长，的面积． (1)探究：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长记作， ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长，… ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长． 分别求出，，； (2)类比探究：仿照（1）的探索过程，当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，求每个小圆的面积与大圆面积之间的关系． 地 城 考点02 旋转图形 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图为各个城市的轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转后得到的图形不变的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，交于点F．当时，点D恰好落在上，则（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，将绕C点按顺时针方向旋转到，点E恰好落在上，若，则旋转的角度为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）将抛物线绕顶点旋转，再向上平移2个单位，则平移后的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．点从点向点运动的过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点A，B的坐标分别为，（），将绕点A按逆时针方向旋转得到，则格点的坐标 ． 7．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，绕点按顺时针旋转得到，若点在上，则的度数为 ． 8．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到（点与，点与对应）．当点，，在同一直线上时，的长为 ． 9．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，点为内一点，，若，则长度的最小值为 ． 10．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，在长方形ABCD中，，点P为边AD上的一个动点，以BP为边向右作等边，连接．当点落在边BC上时，的度数为 ；当线段的长度最小时，的度数为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)作出线段绕点C逆时针旋转后的对应线段，并写出点Q的坐标． (2)作出绕点O旋转的，并直接写出点的坐标． 12．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图1，绕点逆时针旋转得到，，直线与，分别相交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，若，求的值． 地 城 考点03 垂径定理 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列命题正确的是（ ） A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦 B．垂直于弦的直线平分弦 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知的半径为，一条弦的弦心距为，弦长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）杭温高铁的开通，进一步完善了区域铁路网布局，便利沿线人民群众出行，带动旅游资源开发，有力地服务长三角一体化高质量发展．如图是其中一个隧道的横截面示意图，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，若是弦的中点，经过圆心交优弧于点，且，则的半径为（　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期中）我们可用丁字尺来确定圆心位置，如图，点是的中点，测量数据得，，则圆的半径长为（      ）    A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）的半径为5，是圆外一点，，，则弦的长为（    ） A．4 B．6 C． D．8 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若的半径为5，，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）的半径长为5，弦，则的弦心距为 ． 8．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知圆O的弦的长为8，弦的弦心距的长为3，则圆O半径的长为 ． 9．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆的半径为 ． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知是圆内接等腰三角形，它的底边长是，若圆的半径是，则的面积是 ． 11．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）已知的半径为，弦，，，则、之间的距离为 ． 12．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于两点，若，则小圆半径是 ． 13．（24-25九年级上·浙江温州·期中）图1是建在溪边的一部水车，是水车旋转中心，水车上的两个竹筒，到的距离相等，当，离地高度相等时（如图2），水平距离为3米，当转动到最低位置时，它的高度下降了0.5米，也随之转动到的位置，此时的高度上升了 米． 三、解答题 14．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）一面圆形的镜子被打碎，剩下如下的形状，请你用尺规完成下列作图： (1)请在原图上补全它原来的形状； (2)镜子破碎之前弧的中点处正好有个小挂钩，请你用尺规作图把它标出来． 15．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知中，，． (1)用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求圆O的半径R． 16．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知一根排水管的截面圆直径为． (1)如图1所示，当水面宽时，求水面的最大深度； (2)在图1的情况下，如果排水量增大，当水面上升到宽度时，求水面上升了多少厘米？ 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，点P是内一定点． (1)过点P作弦，使点P是的中点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若的半径为10，，求过点P的弦的长度m范围． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 19.（24-25九年级上·浙江宁波·期中）根据以下素材，探索完成任务． 探究铁锅内放蒸笼的问题 素材1 民以食为天，我们常见的大铁锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆弧面．经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形（如图1）．蒸笼可以看成是若干个圆柱体叠加起来． 素材2 如图2，锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖口直径视为相同），把锅盖纵断面所在的圆记作． 素材3 如图3，圆柱体蒸笼底面直径，高度为，若干个这种规格的蒸笼叠加起来不需要考虑叠加缝隙． 问题解决 任务1 求弧所在的的半径； 任务2 锅中原有水的最大深度为（如图4），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高了，求此时的水面宽度； 任务3 在这个大铁锅中最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 任务4 为加工更大的食材，现需要将一个底面直径为，高度为的圆柱体蒸笼放入铁锅内，原本的锅盖无法正常使用，需要寻找一个新的圆弧形锅盖，使得新的蒸笼放入后，锅盖能恰好盖上（且锅口直径与锅盖口直径相同）请直接写出新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径． 地 城 考点04 圆心角 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江台州·期中）下列结论正确的是（   ） A．圆的每一条直径都是它的对称轴 B．相等的弦所对的弧也相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．任何一个三角形都有唯一的外接圆 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列说法中不在同一直线上的三点确定一个圆； 长度相等的两条弧是等弧；相等的圆心角所对的弧相等； 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；正确的说法有 （    ）个 A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，扇形中，，半径是的中点，，交于点，则的长为（  ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（　　） A．120° B．135° C．150° D．165° 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图，当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，在⊙O中，，∠A=30°，则∠B= °．    8．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为 ． 9．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知的一条弦把圆的周长分成的两个部分，则弦所对的弧的度数为 ． 三、解答题 10．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图所示，已知，求证：． 11．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：C是的中点． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，. （1）求证:平分. （2）若，试求的度数. 13．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，是的三等分点，连结分别交于点．    (1)求出的度数； (2)求证：． 14．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）已知：如图，在中，弦与相较于点，连结，． (1)求证：． (2)如果的半径为5，，． ①求的度数． ②求的长． 试卷第1页，共3页 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆的认识、垂径定理与圆心角 4大高频考点概览 考点01 圆基本认识及其性质 考点02 旋转图形 考点03 垂径定理 考点04 圆心角 地 城 考点01 圆基本认识及其性质 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆中最长的弦是直径 【答案】D 【分析】本题考查了圆的相关知识点，根据圆的相关知识点逐项分析即可得解，熟练掌握圆的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：A、三个不在一条直线上的点可以确定一个圆，故原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心是这个三角形三边垂直平分线的交点，故原说法错误，不符合题意； C、长度相等的两条弧不一定是等弧，故原说法错误，不符合题意； D、圆中最长的弦是直径，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的认识，根据直径是圆中最长的弦即可求解． 【详解】解：半径为的圆，直径为， 在半径为的圆中测量弦的长度，的取值范围是：， 弦的长度可以是，不可能为、、． 故选：D． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）在中，，，，以点为圆心，12为半径画圆，则点在（      ） A．外 B．上 C．内 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，利用勾股定理求得的长，然后通过比较与半径的长即可得到结论． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴点A在外， 故选：A． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了确定圆的条件及一次函数图象与点的关系，解题的关键是了解“不在同一直线上的三点确定一个圆”，难度不大．利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，由于在直线上，可知答案． 【详解】解：设直线的解析式为， ， 解得， ， A、当，，故不在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得与，可以确定一个圆，故本选项不符合题意； B、当，，同理，故本选项不符合题意； C、当，，故在直线上，故不能确定一个圆，故本选项符合题意； D、，，同理，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．当点C在圆内，则，当经过点A时，则，，要使得点A在圆外，则，即可求解． 【详解】解：当点C在圆内， ∴， 当经过点A时，则， ∵， ∴此时， ∴要使得点A在圆外，则， ∴满足题意时，， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）半径为，点A到圆心O距离为，则A在 ．（填“上”、“外”或“内”） 【答案】内 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法． 设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，②点P在圆上，③点P在圆内，由此即可判断． 【详解】解：∵的半径，A到圆心O距离， ∴， ∴A在内． 故答案为：内． 7．（24-25九年级上·浙江·期中）在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的基本概念，网格与勾股定理，作垂线，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作图找出圆心，再运用网格与勾股定理性质列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：分别连接和，再作它们的垂直平分线，交于一点O，该点即为该圆弧所在圆的圆心，连接， 结合网格特征，得出， ∴， ∴该圆弧所在圆的半径为， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江温州·期中）同一平面内，内一点到圆上的最大距离为，最小距离为，则的半径为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了点与圆上各点的距离的最大值与最小值的含义． 【详解】解：∵点P在圆内时，的直径长为，半径为； 的半径长为 ． 故答案为：4． 9．（24-25九年级上·浙江温州·期中）若的半径为，圆心的坐标是，点的坐标是，那么点在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”）． 【答案】圆内 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据两点间的距离公式求出的长，再与相比较即可．熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵圆心的坐标是，点的坐标是，的半径为， ∴， ∴点在圆内． 故答案为：圆内． 10．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形边长为4，点G是以为直径的半圆上的一个动点，点F是边上的一个动点，点E是的中点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称－最短距离问题，圆的有关性质，勾股定理等知识；解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．作点E关于的对称点H，连接，此时，最小，最小值为的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作点E关于的对称点H，设的中点为O，连接，交于点F，交圆O于点G，如图： 则，此时，最小，最小值为的长； ∵正方形边长为4，点E是的中点， ∴，则， ∵点G是以为直径的半圆上的一个动点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作： (1)利用网格线找出该弧所在圆的圆心D点，在图上标出D点； (2)连接，则的半径长为__________．（结果保留根号） (3)如果点E坐标为，则E点在__________．(填“内”、“外”或“上”) 【答案】(1)见解析 (2) (3)上 【分析】本题考查与圆有关的综合题，熟练掌握垂直平分线的性质，点与圆的位置关系是解题的关键． （1）连接，分别作的垂直平分线，交于点D即为所求，标出坐标即可； （2）利用点与点D的坐标结合勾股定理即可得到的半径； （3）利用两点的距离公式求出点E和点D的距离，再与的半径比较，即可得到E点与的位置关系． 【详解】（1）解：连接，分别作的垂直平分线，交于点D即为所求，坐标为：，如图： （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的半径长为， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴点到圆心的距离为：， ∵的半径长为， ∴E点在上， 故答案为：上． 12．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长，的面积． (1)探究：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长记作， ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长，… ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长． 分别求出，，； (2)类比探究：仿照（1）的探索过程，当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，求每个小圆的面积与大圆面积之间的关系． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了圆的周长、面积．正确求出小圆的半径是解题的关键． （1）把分成三条相等的线段，则小圆半径为，每个小圆的周长为；同理，把分成四条相等的线段，每个小圆的周长为；把分成条相等的线段，每个小圆的周长为； （2）由题意知，把大圆直径平均分成等分时，小圆半径为，则每个小圆的面积． 【详解】（1）解：由题意知，把分成三条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； 把分成四条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； 把分成条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； ∴，，； （2）解：由题意知，把大圆直径平均分成等分时，小圆半径为， ∴每个小圆的面积， ∴． 地 城 考点02 旋转图形 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图为各个城市的轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转后得到的图形不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是旋转的性质，根据按顺时针方向旋转后的图形进行判断即可． 【详解】解：选项A，B，D中的图形将其按顺时针方向旋转后，图形都发生变化， 把选项C中的图形将其按顺时针方向旋转后得到的图形不变， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，交于点F．当时，点D恰好落在上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和等知识，掌握旋转的性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 由旋转的性质及等腰三角形的性质求得，由三角形内角和求得的度数，再由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵将逆时针旋转得到， ∴， ∴当时， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，将绕C点按顺时针方向旋转到，点E恰好落在上，若，则旋转的角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，旋转的性质以及等腰三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． 先求出的度数，根据旋转的性质，得到，进而得到，利用三角形内角和定理，求出，即可得解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵将绕C点按顺时针方向旋转到， ∴， ∴， ∴， ∴旋转的角度为． 故选B． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）将抛物线绕顶点旋转，再向上平移2个单位，则平移后的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与几何变换与平移，根据抛物线绕它的顶点旋转后，开口方向与原方向相反，再根据抛物线的开口方向与a的正负有关，使旋转后的抛物线的开口方向相反，取a的相反数， 再结合“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为：， 将抛物线绕顶点旋转，则抛物线变成， 再将抛物线再向上平移2个单位，则抛物线变成， 故选：A． 5．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．点从点向点运动的过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先说明当为中点，点在上运动，时，有最小值，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接 ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴ 又∵，， ∴ ∴当点位于点处时，点位于点处， 当点在上时，如图所示，过点作于点， 根据旋转可得， ∵， ∴， 又 ∴ ∴， ∴ ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴在线段上运动， ∴当时，最小， ∴ 故选：B． 二、填空题 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点A，B的坐标分别为，（），将绕点A按逆时针方向旋转得到，则格点的坐标 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形和坐标，旋转的性质．根据旋转定义作出图形即可解题． 【详解】解： 如图所示， 点的坐标为， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，绕点按顺时针旋转得到，若点在上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的外角性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据旋转的性质得，，再根据三角形外角性质得，所以． 【详解】解：∵绕点C按顺时针旋转得到， ∴，， ∵， 即， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到（点与，点与对应）．当点，，在同一直线上时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，利用三角形面积有关高的求解是解题的关键．作于点，先根据勾股定理求得，由旋转的性质可得知，，，推出，再利用三角形面积求得，最后由勾股定理求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，作于点 ，， 则 由旋转的性质可知：，， ，即 又， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，点为内一点，，若，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】把绕点逆时针旋转得到，作于，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和配方法计算可得出答案． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到，作于， 则， ， ， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， ， ， 在中， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，在长方形ABCD中，，点P为边AD上的一个动点，以BP为边向右作等边，连接．当点落在边BC上时，的度数为 ；当线段的长度最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】当点落在边上时，作出图形，根据等边三角形的性质，可求出的度数；以为边向右作等边，连接．利用全等三角形的性质证明，推出点在射线上运动，当时，的长最小，设交于点，再证明是等腰直角三角形，可得结论． 【详解】解：当点落在边上时，如图， 是等边三角形， ， ； 以为边向右作等边，连接． 是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， 点在射线上运动， 如图，设交于点， 当时，的长最小，此时， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 三、解答题 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)作出线段绕点C逆时针旋转后的对应线段，并写出点Q的坐标． (2)作出绕点O旋转的，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析；，， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，正确画出对应的旋转图形是解题的关键． （1）先根据旋转的性质确定对应点的位置，再连接，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的坐标即可； （2）先根据旋转的性质确定对应点的位置，再顺次连接对应点，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； 由图可得，点Q的坐标为； （2）解：如图，即为所求． 由图可得，，，． 12．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图1，绕点逆时针旋转得到，，直线与，分别相交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由，，求得，而，由旋转得，则，所以，则； （2）由旋转得，，，，则，所以，即可根据证明； （3）由旋转得，，，则，，，所以，而，所以，则，因为，所以，所以，则． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是； （2）证明：由旋转得，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：由旋转得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 地 城 考点03 垂径定理 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列命题正确的是（ ） A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦 B．垂直于弦的直线平分弦 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可． 【详解】解：A、平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦，符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，故原说法错误，不符合题意； C、平分弦的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意； D、平分弦不是直径的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知的半径为，一条弦的弦心距为，弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的相关知识，掌握了以上知识是解答本题的关键； 本题首先需要画一个简图，便于理解，根据弦心距和半径构造直角三角形，再用勾股定理即可求解弦长； 【详解】解：连接，过点作，垂足为，如图： ， 即半径，弦心距， 在中， 根据勾股定理：， 即求得， 即弦长； 故选：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）杭温高铁的开通，进一步完善了区域铁路网布局，便利沿线人民群众出行，带动旅游资源开发，有力地服务长三角一体化高质量发展．如图是其中一个隧道的横截面示意图，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，若是弦的中点，经过圆心交优弧于点，且，则的半径为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的运用，掌握垂径定理是关键，根据题意设圆的半径为，则，，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 设此圆的半径为，则， ∵是弦的中点，经过圆心， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 即， 解得：， 即的半径长为． 故选：A． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期中）我们可用丁字尺来确定圆心位置，如图，点是的中点，测量数据得，，则圆的半径长为（      ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．利用垂径定理的推论得到圆心在上，设圆心为O点，连接，如图，设圆的半径为，则，，利用勾股定理得到，然后就解方程即可． 【详解】解：，点C是的中点， 即垂直平分，， 圆心在上， 设圆心为O点，连接，如图，    设圆的半径为，则，， 在中，，解得， 即圆的半径为． 故选：D． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）的半径为5，是圆外一点，，，则弦的长为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分弦是解此题的关键．过作于，连接，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，再根据垂径定理得出，最后求出答案即可． 【详解】解：过作于，连接，则， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ，过， ， 即， 故选：D． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若的半径为5，，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 利用勾股定理求出和，再利用垂径定理求出，再次利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， 在中，， 在中，， ， ， 在中，， 故选：． 二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）的半径长为5，弦，则的弦心距为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，根据题意先画出图，然后利用垂径定理和勾股定理的定义，即可求出答案． 【详解】解：根据题意画出图形， 如图：， ∵，是圆心，， ∴（垂径定理）， ∵在中，， ∴（勾股定理）， 故答案为：3． 8．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知圆O的弦的长为8，弦的弦心距的长为3，则圆O半径的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理的性质和勾股定理，根据题意连接，根据垂径定理及勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，由垂径定理知， ， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴的半径长为5． 故答案为：5． 9．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆的半径为 ． 【答案】5米/ 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，作 于点E，交⊙O于点D，设圆的半径为r米，利用勾股定理构建求解即可． 【详解】解：如图，过点O作交于点E， 交⊙O于点D，如图， ∵， ∴米， 根据题意得：米， 设圆的半径为r米， ∵， ∴米， 故答案为：5米． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知是圆内接等腰三角形，它的底边长是，若圆的半径是，则的面积是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理；分情况讨论，当在优弧上时，当在劣弧上时，由等腰三角形的外心在三角形的底边的高上，根据勾股定理求出的长，进一步求出的长，根据三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：连接交于，连接， 圆是等腰三角形的外接圆，是外心， ，， 有两种情况： ①当在优弧上时，，在中，， ②当在劣弧上时， 故答案为：或． 11．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）已知的半径为，弦，，，则、之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，分两种情况：当弦和在圆心同侧时；当弦和在圆心异侧时；分别利用勾股定理和垂径定理计算即可得解． 【详解】解：如图，当弦和在圆心同侧时，作于，交于，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵的半径为， ∴， ∴，， ∴； 如图：当弦和在圆心异侧时，作于，交于，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵的半径为， ∴， ∴，， ∴； 综上所述，、之间的距离为或， 故答案为：或． 12．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于两点，若，则小圆半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；也考查了勾股定理．过O点作于H点，连结，如图，根据垂径定理得到，设，则，再利用勾股定理得到，然后解方程求出r即可． 【详解】解：过O点作于H点，连结，如图，则 设，则， 在中， 中，， ， 解得，或 即小圆半径是． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·浙江温州·期中）图1是建在溪边的一部水车，是水车旋转中心，水车上的两个竹筒，到的距离相等，当，离地高度相等时（如图2），水平距离为3米，当转动到最低位置时，它的高度下降了0.5米，也随之转动到的位置，此时的高度上升了 米． 【答案】1.3 【分析】本题考查了勾股定理，生活中的旋转现象，垂径定理，设与相交于点C，过点作，垂足为D，根据题意可得：米，米，，米，然后设米，在中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算可得：米，最后设米，则米，在和中，利用勾股定理可得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图：设与相交于点C，过点作，垂足为D， 由题意得，米，米， ∵当转动到最低位置时， ∴， （米），， 设米，则米， 在中，， ∴， 解得：， ∴米， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴米， ∴（米）， ∴此时B的高度上升了1.3米， 故答案为：1.3． 三、解答题 14．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）一面圆形的镜子被打碎，剩下如下的形状，请你用尺规完成下列作图： (1)请在原图上补全它原来的形状； (2)镜子破碎之前弧的中点处正好有个小挂钩，请你用尺规作图把它标出来． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质、垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在圆弧上取D点，连接，，作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）根据垂径定理，由（1）中作图，得，则点C即为所求． 【详解】（1）解：如图，点O为所求的圆心，则补全它原来的形状如图所示； （2）解：如图，点C即为所求作． 15．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知中，，． (1)用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求圆O的半径R． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点O，连接，以 O为圆心，为半径作圆即可； （2）连接交于点D，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 本题考查作图，复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：连接交于点D． 设． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得： ∴圆O的半径为：． 16．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知一根排水管的截面圆直径为． (1)如图1所示，当水面宽时，求水面的最大深度； (2)在图1的情况下，如果排水量增大，当水面上升到宽度时，求水面上升了多少厘米？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）连接，过点作垂足为，交于．由垂径定理可得出的长，由即可得出结论； （2）分水面在水面平行的直径下方和水面在水面平行的直径上方，两种情况结合垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接，过点作垂足为，交于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：水面的最大深度是． （2）解：①当水面在与水面平行的直径下方． 过点作于点， 且与交于点， ∵，， ∴，， 在中，， ∴； 在中， ， 上升的距离为； ②当水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点， 同理可得：，， ∴上升的距离为：． 答：排水管水面上升了或． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，点P是内一定点． (1)过点P作弦，使点P是的中点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若的半径为10，，求过点P的弦的长度m范围． 【答案】(1)作图见详解； (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理以及作图，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． （1）依据题意，连接并延长，过点P作即可； （2）依据题意，过点P的所有弦中，直径最长为20，与垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出，即可得解． 【详解】（1）解∶如图1，连接并延长，过点P作，则弦即为所求； ． （2）解：过点P的所有弦中，直径最长为20，与垂直的弦最短， 连接， ， ， ， 过点的弦的长度范围为． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 【答案】(1) (2)12.5米 (3)①若设计成抛物线型时，货船不能顺利通过该桥；②若设计成圆弧型时，货船能顺利通过该桥；理由见解析 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，即可确定函数的解析式； （2）设圆心为，连接交于点，连接，在中，，解得，即可求该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）①若设计成抛物线型时，当时，，由米米，可知货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时，设米，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，在中，，求出米，可得米，再由2.5米米，即可判断货船能顺利通过该桥． 【详解】（1）解： ， ，， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为， 即； （2）解：设圆心为，连接交于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）解：①若设计成抛物线型时，当时，， 米米， 货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时， 设米， 过点作交弧于点，过点作交于点，连接， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米米， 货船能顺利通过该桥． 19.（24-25九年级上·浙江宁波·期中）根据以下素材，探索完成任务． 探究铁锅内放蒸笼的问题 素材1 民以食为天，我们常见的大铁锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆弧面．经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形（如图1）．蒸笼可以看成是若干个圆柱体叠加起来． 素材2 如图2，锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖口直径视为相同），把锅盖纵断面所在的圆记作． 素材3 如图3，圆柱体蒸笼底面直径，高度为，若干个这种规格的蒸笼叠加起来不需要考虑叠加缝隙． 问题解决 任务1 求弧所在的的半径； 任务2 锅中原有水的最大深度为（如图4），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高了，求此时的水面宽度； 任务3 在这个大铁锅中最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 任务4 为加工更大的食材，现需要将一个底面直径为，高度为的圆柱体蒸笼放入铁锅内，原本的锅盖无法正常使用，需要寻找一个新的圆弧形锅盖，使得新的蒸笼放入后，锅盖能恰好盖上（且锅口直径与锅盖口直径相同）请直接写出新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径． 【答案】任务1： 的半径为；任务2：水面宽度为；任务3：最多可以放入这种规格的蒸笼3个；任务4：新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径 【分析】本题主要考查了二次函数综合运用、垂径定理，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 任务1：在 中，由勾股定理和垂径定理列方程求解即可； 任务2：先求出抛物线解析式为 ，再说明水位升高后水面距锅沿的竖直的高度为，即当时，x的2倍即为水面宽度； 任务3：由题意可知：当时，；根据题意可得，运用勾股定理可得、，进而求得，最后根据的范围即可解答； 任务4：当时，则，进而得到，设锅盖纵断面圆弧所在圆的半径为R，根据勾股定理可得，，再根据列方程求得R，进而求得直径即可． 【详解】解：（1）如图：圆心为 ，连接 ， 设 ，则 ， ， ， ∵，过圆心， ∴， 在 中， 由勾股定理可得： ， 即 ，解得：， ∴ 的半径为． （2）由题意知抛物线的顶点为，且过 ， ∴设抛物线解析式为： ， ，解得： ， ∴抛物线解析式为： ， ∵锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高 ， ∴加水后水面水的最大深度为， ∴水面距锅沿的竖直高度为， 当时，，解得：， ∴水面宽度为． （3）解：对于抛物线，如图所示： 当时，，则 ， 对于，如图所示： ∵， ， ， ， ， ∵ ∵圆柱体蒸笼底面直径，高度为， ∴为了让锅盖能够盖上，最多可以放入这种规格的蒸笼3个． （4）解：对于抛物线，如图所示： 当时，，则 ， ∵底面直径为，高度为的圆柱体蒸笼放入铁锅内， ∴ 设锅盖纵断面圆弧所在圆的半径为R， ∴，， ∵， ∴，解得：（舍弃负值）， ∴新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径． 地 城 考点04 圆心角 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江台州·期中）下列结论正确的是（   ） A．圆的每一条直径都是它的对称轴 B．相等的弦所对的弧也相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．任何一个三角形都有唯一的外接圆 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧的关系以及垂径定理，牢记圆心角、弧的关系，垂径定理等相关知识是解答此题的关键；需要特别注意的是轴对称图形的对称轴是一条直线． 根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理等知识对各个命题进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、圆的直径是一条线段，而圆的对称轴是一条直线，故此选项说法错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，故原说法错误，不符合题意； C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故此选项说法错误，不符合题意； D、任何一个三角形都有唯一的外接圆，正确，符合题意， 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列说法中不在同一直线上的三点确定一个圆； 长度相等的两条弧是等弧；相等的圆心角所对的弧相等； 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；正确的说法有 （    ）个 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆的认识，垂径定理推论，根据垂径定理的推论，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系判断即可，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法正确； 能够重合的弧是等弧，原说法不正确； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法不正确； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，原说法不正确． 综上所述，正确的说法有1个． 故选：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质．首先根据可知，根据可求，根据等腰三角形的性质可求，根据，可求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接、， ， ， ， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：B． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，扇形中，，半径是的中点，，交于点，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接OC，延长CD交OB于点E，如图，易得△AOB、△COE、△BDE都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE与DE的长，从而可得答案． 【详解】解：连接OC，延长CD交OB于点E，如图， ∵，是的中点， ∴∠COE=45°， ∵，， ∴CE⊥OB， ∴∠OCE=∠COE=45°， ∴CE=OE=， ∴BE=OB－OE=， ∵OA=OB，， ∴∠ABO=45°， ∴∠BDE=∠ABO=45°， ∴EB=ED=， ∴CD=CE－DE=． 故选：D． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（　　） A．120° B．135° C．150° D．165° 【答案】C 【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案． 【详解】如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=BO，AB∥DC，可得∠EBO=30°， 故∠BOD=30°，则∠BOC=150°， 故的度数是150°． 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图，当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解． 【详解】解：依题意，当时，优弧与劣弧相加等于整个圆，则的长度一致， 即当时，，故B选项正确， A，C，D选项不一定成立 故选：B． 二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，在⊙O中，，∠A=30°，则∠B= °．    【答案】75． 【分析】根据等弧所对的弦相等求得AB=AC，从而判定△ABC是等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角∠B=∠C；最后由三角形的内角和定理求∠B的度数即可． 【详解】解:∵在⊙O中，， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠B=∠C； 又∠A=30°， ∴∠B75°． 故答案为：75． 8．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知的一条弦把圆的周长分成的两个部分，则弦所对的弧的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，分优弧和劣弧两种情况，结合比例关系进行求解即可． 【详解】解：∵的一条弦把圆的周长分成的两个部分， ∴弦对应的圆心角的度数为：， ∴弦所对的劣弧的度数为，所对的优弧的度数为：， 故答案为：或． 三、解答题 10．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图所示，已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，则，从而可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 11．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：C是的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，求出，根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴，即C是的中点． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，. （1）求证:平分. （2）若，试求的度数. 【答案】（1）证明见解析；（2）45° 【分析】(1)延长半径交于,根据AB=AC,可得，又，可得出结论； （2）先根据弧度关系，可求出∠BOC的度数，然后根据圆周角定理可求出∠BAC的度数. 【详解】（1）证明：延长半径交于,   ∴. ∵, ∴. ∴. ∴. （2）∵，, ∴, ∴. 13．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，是的三等分点，连结分别交于点．    (1)求出的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是： （1）连接，，根据圆心角、弧、弦的关系求出，得到，即可求解； （2）根据三角形内角和求出，得到，同理得到，根据得到，继而可得结果． 【详解】（1）解：证明：连接，，如图，    ∵在中，半径，C、D为以O为圆心的弧的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴，同理， ∵C，D是的三等分点， ∴， ∴． 14．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）已知：如图，在中，弦与相较于点，连结，． (1)求证：． (2)如果的半径为5，，． ①求的度数． ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，②7 【分析】（1）根据，可得，即，即可证明； （2）①连接，证明，得到，再证明，得到，根据，即可求解；②过O作与F，由①易证是等腰直角三角形，根据垂径定理得到，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明： ， ，即， ； （2）解：①连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过O作与F， 由①得：， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， ∵的半径为5， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴． 试卷第1页，共3页 14 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $