上册 微素养·专题突破6 二次函数与几何图形的最值问题-【精彩练习】2024-2025学年九年级全一册数学同步评价作业教师用书配套Word（浙教版）

　二次函数与几何图形的最值问题 类型　　1　用二次函数求解几何最值问题 【例1】 如图，已知在△ABC中，∠B＝30°，AB＋BC＝12，设AB＝x，△ABC的面积为S. 　　　　　　　　　　　　　 (1)求面积S关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)求S的最大值． 解：(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D. 在△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠B＝30°， ∴AD＝AB＝x， ∴S＝BC·AD＝(12－x)·x＝－x2＋3x， ∴面积S关于x的函数表达式为S＝－x2＋3x(0＜x＜12). (2)当x＝6时，S最大＝－×62＋3×6＝9. 【变式】 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF面积的最大值为(　C　) A．8 B．6 C．4 D．2 【解析】 如图，作PM⊥AD于M， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠ADB＝45°， ∴△PDM是等腰直角三角形， ∴PM＝DM. 设PM＝DM＝x，则AM＝4－x， ∵AP＝PF，∴AM＝FM＝4－x. ∴AF＝2(4－x). ∵S△APF＝AF·PM， ∴S△APF＝×2(4－x)·x＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4， ∴当x＝2时，S△APF有最大值4. 类型　　2　线段(和差)长度的最值问题 【例2】　如图，两条抛物线y1＝－x2＋4，y2＝－x2＋bx＋c相交于A，B两点，点A在x轴的负半轴上，且为抛物线y2的最高点． (1)求抛物线y2的函数表达式和点B的坐标． (2)点C是抛物线y1上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交y2于点D，求线段CD长的最大值． 解：(1)当y1＝0，即－x2＋4＝0时，解得x＝2或x＝－2.又点A在x轴的负半轴上，∴A(－2，0). ∵点A(－2，0)是抛物线y2的最高点， ∴－＝－2，即b＝－. 把A(－2，0)代入y2＝－x2－x＋c，得c＝－， ∴抛物线y2的函数表达式为y2＝－x2－x－. 由得或 ∵A(－2，0)，∴B(3，－5). (2)由题意得， CD＝y1－y2＝－x2＋4－， 即CD＝－x2＋x＋， 当x＝时，CD最大＝－×＋×＋＝5. 【例3】 如图，已知抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为直线x＝－3，过其顶点M的一条直线y＝mx＋n与该抛物线的另一个交点为N(－1，1).若要在y轴上找一点P，使得PM＋PN的值最小，则点P的坐标为(　A　) A．(0，2)　　　　　　B． C． D． 【解析】 如图，作点N关于y轴的对称点N′，连结MN′交y轴于点P，此时PM＋PN的值最小． 将点N的坐标代入抛物线表达式，并联立对称轴公式，得 解得 ∴y＝－x2－6x－4＝－(x＋3)2＋5， ∴M(－3，5). 点N关于y轴的对称点为点N′(1，1)， 设直线MN′的表达式为y＝kx＋b(k≠0)， 将点M，N′的坐标代入直线表达式，得 解得 ∴直线MN′的函数表达式为y＝－x＋2， 当x＝0时，y＝2，即P(0，2). 1．周长是4 m的矩形，它的面积S(m2)与一边长x(m)之间的函数图象大致是(　D　) A.　　　　　　　　　B. C.　　　　　　　　　D. 2．如图，直线y＝kx＋b(k，b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(－4，0)，B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C，点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，则CE＋EF的最小值是(　C　) A．1.4 B．2.5 C．2.8 D．3 3．在△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为8，当△ABC面积最大时，则其周长的最小值为(　B　) A．4＋2 B．4＋4 C．2＋2 D．2＋4 【解析】 设BC上的高为x， ∵边BC的长与BC边上的高的和为8， ∴BC＝8－x， 设△ABC的面积为S， ∴S＝x(8－x)＝－(x－4)2＋8. ∵△ABC面积最大， ∴x＝4，∴BC＝4. 如图，过点A作直线l∥BC，再作出点B关于直线l的对称点E，连结CE，交l于点F， 当点A与点F重合时，△ABC的周长取得最小值， ∴BG＝GE＝AD＝4， ∴BE＝8， ∴CE＝＝4， ∴△ABC的最小周长为4＋4. 4．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC＋BD＝8，则四边形ABCD的面积的最大值是__8__． 【解析】 设AC＝x，则BD＝8－x， 则四边形ABCD的面积＝AC×BD＝×x×(8－x)＝－(x－4)2＋8， ∴当x＝4时，四边形ABCD的面积最大，最大值是8. 第4题图 　　　　第5题图 5．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为(4，3)，D是抛物线y＝－x2＋6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为__15__． 6．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如右图所示，已知A(0，4)，B(－1，1)，C(1，1)，二次函数y＝x2＋(1－2a)x＋a2(a为实数)的图象经过点(－1，m). (1)当m＝－1时，求a的值． (2)当抛物线的顶点在BC上时，求m的值． (3)若抛物线的顶点在△ABC内部，求a的取值范围． 解：(1)当m＝－1时，二次函数y＝x2＋(1－2a)x＋a2(a为实数)的图象经过点(－1，－1)，∴－1＝(－1)2－(1－2a)＋a2，解得a1＝a2＝－1，∴a的值为－1. (2)∵抛物线y＝x2＋(1－2a)x＋a2的顶点在BC上， B(－1，1)，C(1，1)， ∴＝1，即＝1，解得a＝， ∴抛物线为y＝x2－x＋. 将(－1，m)代入，得m＝(－1)2＋＋＝. (3)由A(0，4)，B(－1，1)可得直线AB为y＝3x＋4. 由A(0，4)，C(1，1)可得直线AC为y＝－3x＋4. 而抛物线y＝x2＋(1－2a)x＋a2的顶点为， 当＜0，即a＜时，在y＝3x＋4中，令x＝，得y＝， ∵顶点在△ABC内部，∴1＜＜，此时无解； 当＞0，即a＞时，在y＝－3x＋4中，令x＝，得y＝. ∵顶点在△ABC内部， ∴1＜＜，解得＜a＜. 当＝0时，顶点不在三角形内部． 综上所述，a的取值范围是＜a＜. 学科网（北京）股份有限公司 $$