精品解析：浙江省宁波市北仑区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

二〇二四学年第二学期八年级期末测评数学卷 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共6页，有三个大题，24个小题．满分120分，考试用时120分钟． 2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满；将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域内书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 计算的结果是（ ） A. B. 6 C. D. 2. 下列手势解锁图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校801班要选拔一名跳绳成绩优异且发挥稳定的学生参加学校的跳绳比赛．下表是四名候选人十次一分钟跳绳测试成绩的平均数和方差，则应该选择（ ）号候选人参加比赛． 候选人序号 ① ② ③ ④ 平均数（个） 198 212 205 212 方差（个2） 3 32 4.5 1.8 A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 7. 近年来，中国旅游业呈现快速复苏与高质量发展态势．据统计，某旅游景点2022年游客量约为200万人次，2024年游客量达到450万人次．设该旅游景点游客量的年平均增长率为x，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 8. 北北和仑仑想在一个平行四边形中用直尺和圆规作出一个菱形． 北北的作法： 如图1，在中，以点为圆心，为半径作弧交边于点E，再以点D为圆心，为半径作弧交边于点F，连结，则得到的四边形是菱形． 仑仑的作法： 如图2，在中，以点D为圆心，为半径作弧交边于点G，再以点G为圆心，为半径作弧交边于点H，连结，则得到的四边形是菱形． 下列说法正确的是（ ） A. 北北和仑仑的作法都正确 B. 北北和仑仑的作法都错误 C. 北北作法正确，仑仑的作法错误 D. 北北的作法错误，仑仑的作法正确 9. 已知反比例函数的图象经过点，，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 如图，在矩形中，，P，Q分别为，上点，，交于点M，已知与的面积差，若要求矩形的周长，则还需要知道以下哪条线段的长（ ） A. B. C. D. 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 要使二次根式有意义，请写出一个满足条件的整数的值：______． 12. 七边形的外角和是______度． 13. 已知反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B，则点B的坐标为______． 14. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，连结，，过点E作交的延长线于点F，若，，则______． 15. 若t是方程的一个根，则的值为______． 16. 如图，在边长为3的菱形中，，M是上一点，，将沿翻折至，延长，交于点N，则______． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图是由若干个边长为1的小等边三角形构成的钻石型网格，图中各点均在格点上，请按要求在网格中完成作图． （1）请在图1中画出一个以为边的矩形，要求点M和点N均在格点上． （2）请在图2中找到一个格点Q，连接，使得的面积被平分． 19. 小北同学解一元二次方程的过程如下图所示： 解方程： 解：……第①步 ……第②步 或……第③步 ，……第④步 （1）小北同学选用了 （填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”）解该一元二次方程，他的解法从第 步开始出现错误． （2）请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答． 20. 近年来，我国大力推进青少年近视防控工作，并取得了一定成效．通过查阅资料，发现近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米． （1）求D关于f的函数表达式． （2）经过一段时间的矫正治疗，小北同学的镜片焦距由原来的0.2米调整到0.25米，则小北同学的近视眼镜度数降低了多少？ 21. 如图1，在中，M是的中点，连结并延长交的延长线于点N，连结，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，连结，若，． ①求证； ②求的值． 22. 近年来，新能源小型电动汽车受到许多年轻人的喜爱．小仑从家到公司往返一趟的里程数为，他打算采购一台新能源电动汽车方便代步．为了准确了解某品牌三种不同型号电动汽车满电后的实际续航里程．小仑在网上收集了相关汽车测评数据． 乙、丙两种型号电动汽车满电后的续航里程的数据分析表 平均数 中位数 众数 乙 127 130 130 丙 132 135 130 （1）甲型号电动汽车满电后的续航里程相关数据整理成如下的条形统计图，请你帮小仑求出甲型号电动汽车续航里程的平均数、中位数和众数． （2）乙、丙两种型号电动汽车满电后的续航里程的数据分析，如表．据了解，甲、乙、丙三种型号的电动汽车售价分别为2.8万元、3.5万元和6万元，且小仑上下班途中没有充电桩可供使用．请你利用相关统计量，结合小仑的实际需求以及电动汽车的价格，给出合理的购买建议，并说明理由． 23. 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③． （2）已知方程是“邻根方程”，求m的值． （3）若方程是“邻根方程”，求证：． 24. 如图，在正方形中，以为斜边向上作一个直角三角形，其中，过点作交于点． （1）求证：． （2）如图．连结，交于点，连结，若，，求值． （3）如图，延长至点，使得，连接，试判断与位置关系与数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二〇二四学年第二学期八年级期末测评数学卷 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共6页，有三个大题，24个小题．满分120分，考试用时120分钟． 2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满；将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域内书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 计算的结果是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，乘方，先运算乘方，再运算算术平方根，即可作答． 【详解】解：， 故选：B． 2. 下列手势解锁图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．不成中心对称，故此选项不符合题意； B．不成中心对称，故此选项不符合题意； C．不成中心对称，故此选项不符合题意； D．成中心对称，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 如图，已知在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质得到，，即可求出的度数． 【详解】解：∵中，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 4. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了化为最简二次根式，最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A 5. 某校801班要选拔一名跳绳成绩优异且发挥稳定的学生参加学校的跳绳比赛．下表是四名候选人十次一分钟跳绳测试成绩的平均数和方差，则应该选择（ ）号候选人参加比赛． 候选人序号 ① ② ③ ④ 平均数（个） 198 212 205 212 方差（个2） 3 3.2 4.5 1.8 A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了运用方差、平均数作决策，要选择成绩优异（平均数高）且发挥稳定（方差小）的候选人，比较四人的平均数和方差，优先选择平均数最高者，若平均数相同则比较方差，选择方差较小者，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，候选人②和④的平均数均为212，是四人中最高的， 比较两者的方差，④的方差为1.8，小于②的3.2， 因此④的成绩更稳定， 综上，应选择④号候选人， 故选：D 6. 用反证法证明命题“中，若，则”时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反证法，根据反证法的步骤，首先假设原命题的结论不成立，原命题结论为“”，其否定应为“”，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，在中，若，则， ∴用反证法证明上述命题，第一步应假设， 故选：C． 7. 近年来，中国旅游业呈现快速复苏与高质量发展态势．据统计，某旅游景点2022年游客量约为200万人次，2024年游客量达到450万人次．设该旅游景点游客量的年平均增长率为x，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率，根据2022年游客量约为200万人次，2024年游客量达到450万人次，进行列方程，即可作答． 【详解】解：某旅游景点2022年游客量约为200万人次，2024年游客量达到450万人次．设该旅游景点游客量的年平均增长率为x， ∴ 故选：B 8. 北北和仑仑想在一个平行四边形中用直尺和圆规作出一个菱形． 北北的作法： 如图1，在中，以点为圆心，为半径作弧交边于点E，再以点D为圆心，为半径作弧交边于点F，连结，则得到的四边形是菱形． 仑仑的作法： 如图2，在中，以点D为圆心，为半径作弧交边于点G，再以点G为圆心，为半径作弧交边于点H，连结，则得到的四边形是菱形． 下列说法正确的是（ ） A. 北北和仑仑的作法都正确 B. 北北和仑仑的作法都错误 C. 北北的作法正确，仑仑的作法错误 D. 北北的作法错误，仑仑的作法正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由北北的作法得，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形，得北北的作法正确，由仑仑的作法得，无法通过一组对边平行一组对边相等证明四边形是平行四边形，故仑仑的作法错误，即可作答． 【详解】解：由北北的作法得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故北北的作法正确； 由仑仑的作法得 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴无法证明四边形是平行四边形， ∴更无法证明四边形是菱形， 故仑仑的作法错误， 故选：C 9. 已知反比例函数的图象经过点，，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 根据反比例函数的性质，结合各选项条件，分析点M、N所在象限及函数增减性，判断与的大小关系． 【详解】解：A：当且时，，，点M、N均在第一象限．此时，反比例函数在第一象限内，增大时减小．因，故，选项A错误； B：当且时，，，点M、N均在第三象限．此时，反比例函数在第三象限内，增大时减小．因，故，选项B错误； C：当且时，若，则，．点M在第二象限（），点N在第四象限（），此时，选项C错误； D：当且时，，，点M、N均在第二象限．此时，反比例函数在第二象限内，增大时增大．因，故，即，选项D正确； 故选：D 10. 如图，在矩形中，，P，Q分别为，上的点，，交于点M，已知与的面积差，若要求矩形的周长，则还需要知道以下哪条线段的长（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，先整理得，再结合图形得，因为已知与的面积差，则只需要知道的长，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则 ， 要求矩形的周长，求出即可， 现已知与的面积差， 则只需要知道的长． 故选：A． 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 要使二次根式有意义，请写出一个满足条件的整数的值：______． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据二次根式有意义，即被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ 解得， 故答案为：1（答案不唯一） 12. 七边形的外角和是______度． 【答案】360 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和，根据多边形的外角和等于360度即可求解． 【详解】解：七边形的外角和为． 故答案为：360． 13. 已知反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据反比例函数与正比例函数都关于原点对称，得到点关于原点对称，即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B， ∴点关于原点对称， ∴； 故答案为：． 14. 如图，在中，，D，E分别是，中点，连结，，过点E作交的延长线于点F，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线．熟练掌握三角形的中位线的判定与性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，是解答的关键． 根据三角形中位线性质得，结合，得四边形是平行四边形，得，根据，，得，即得． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 若t是方程的一个根，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，先根据题意得，整理得，再运算，最后代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵t是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：8 16. 如图，在边长为3的菱形中，，M是上一点，，将沿翻折至，延长，交于点N，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理等．连结，，过点N作交于点G，证明是等边三角形，再结合折叠的性质可得，，从而得到，进而得到，在中， 根据直角三角形的性质可设，则，然后在中， 根据勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：连结，，过点N作交于点G， 在菱形中，，， 是等边三角形， ，， 由折叠的性质得：，，， ，， ， ， ， 在中，， ∴， ∴可设，则， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ． 故答案为： 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是∶ （1）根据平方差公式和二次根式乘法法则计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质即可即可． 【小问1详解】 解:； 【小问2详解】 解:． 18. 如图是由若干个边长为1的小等边三角形构成的钻石型网格，图中各点均在格点上，请按要求在网格中完成作图． （1）请在图1中画出一个以为边的矩形，要求点M和点N均在格点上． （2）请在图2中找到一个格点Q，连接，使得的面积被平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质，作图的应用与设计，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合钻石型网格是由若干个边长为1的小等边三角形构成的，以及根据矩形的判定作图即可； （2）连接，得出是的对角线的交点，再连接，与钻石型网格顶点交于，使得的面积被平分，即可作答． 【小问1详解】 （1）如答图1所示即为所求（画出一种即可） 【小问2详解】 解：如答图2所示：点即为所求． 19. 小北同学解一元二次方程的过程如下图所示： 解方程： 解：……第①步 ……第②步 或……第③步 ，……第④步 （1）小北同学选用了 （填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”）解该一元二次方程，他的解法从第 步开始出现错误． （2）请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答． 【答案】（1）配方法，② （2），  【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题关键． （1）结合题干过程，得出运用配方法解该一元二次方程，且从第②步开始出现错误； （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：观察题干过程，得出小北同学选用了配方法解该一元二次方程， 则他的解法从第②步开始出现错误，第②的正确的过程为 故答案为：配方法，②； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴，． 20. 近年来，我国大力推进青少年近视防控工作，并取得了一定成效．通过查阅资料，发现近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米． （1）求D关于f的函数表达式． （2）经过一段时间的矫正治疗，小北同学的镜片焦距由原来的0.2米调整到0.25米，则小北同学的近视眼镜度数降低了多少？ 【答案】（1） （2）小北同学的近视眼镜度数降低了100度 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的值，用原来的度数减去现在的度数，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可设，把代入得：， 所以D关于f的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，， （度） 答：小北同学的近视眼镜度数降低了100度． 21. 如图1，在中，M是的中点，连结并延长交的延长线于点N，连结，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，连结，若，． ①求证； ②求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②10 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据得到，然后证明，得到，即可证明其为平行四边形； （2）①证明出，由平行四边形得到，再由等腰三角形三线合一即可证明；②先由勾股定理求解，再由平行四边形对角线互相平分即可求解． 【小问1详解】 证明：在中，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 ①证明：在中，，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ②解：在中，， 在中，， ． 22. 近年来，新能源小型电动汽车受到许多年轻人的喜爱．小仑从家到公司往返一趟的里程数为，他打算采购一台新能源电动汽车方便代步．为了准确了解某品牌三种不同型号电动汽车满电后的实际续航里程．小仑在网上收集了相关汽车测评数据． 乙、丙两种型号电动汽车满电后的续航里程的数据分析表 平均数 中位数 众数 乙 127 130 130 丙 132 135 130 （1）甲型号电动汽车满电后的续航里程相关数据整理成如下的条形统计图，请你帮小仑求出甲型号电动汽车续航里程的平均数、中位数和众数． （2）乙、丙两种型号电动汽车满电后的续航里程的数据分析，如表．据了解，甲、乙、丙三种型号的电动汽车售价分别为2.8万元、3.5万元和6万元，且小仑上下班途中没有充电桩可供使用．请你利用相关统计量，结合小仑的实际需求以及电动汽车的价格，给出合理的购买建议，并说明理由． 【答案】（1）平均数：，中位数：，众数： （2）建议购买乙型号电动汽车，因为小仑从家到公司往返一趟的里程数为且途中没有充电桩可供使用，所以只有乙型号和丙型号电动汽车满足要求．而丙型号电动汽车的价格要远高于乙型号，所以从经济实惠的角度，建议购买乙型号电动汽车 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数和众数，熟练掌握相关数据的确定方法，是解题的关键： （1）利用平均数，中位数，众数的确定方法进行求解即可； （2）根据行驶里程结合经济因素，进行判断即可． 【小问1详解】 解：平均数， 将数据排序后，位于中间的数据为100，出现次数最多的数据为95， 中位数：，众数：． 【小问2详解】 建议购买乙型号电动汽车． 因为小仑从家到公司往返一趟的里程数为且途中没有充电桩可供使用，所以只有乙型号和丙型号电动汽车满足要求．而丙型号电动汽车的价格要远高于乙型号，所以从经济实惠的角度，建议购买乙型号电动汽车． 23. 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③． （2）已知方程是“邻根方程”，求m的值． （3）若方程是“邻根方程”，求证：． 【答案】（1）③ （2）或 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根与系数之间的关系，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，根据新定义进行判断即可； （2）求出方程的解，根据新定义，进行求解即可； （3）根据根与系数的关系，结合新定义进行求解即可． 【小问1详解】 解：，解得：， ∴，故①不是“邻根方程”； ，解得：； ∴，故②不是“邻根方程”； ，解得：， ∴；故③是“邻根方程”； 故答案为：③ 【小问2详解】 解：方程的两根为， 方程是“邻根方程”， ，即， 或； 【小问3详解】 证明：设，是方程的两个根， 由根与系数的关系得：，， 方程是“邻根方程”， ，， ， ． 24. 如图，在正方形中，以为斜边向上作一个直角三角形，其中，过点作交于点． （1）求证：． （2）如图．连结，交于点，连结，若，，求的值． （3）如图，延长至点，使得，连接，试判断与的位置关系与数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3），，证明见解析 【解析】 【分析】（）利用余角性质可得，进而利用正方形的性质即可求证； （）连接，证明得到，，即得，进而得到是等腰直角三角形，即得， ，又由全等三角形的性质可得，再根据勾股定理解答即可求解； （）连接、交于点，连接，，过点作交于点，利用三角形中位线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可求解． 【小问1详解】 证明：，是以为斜边的直角三角形， ， ， ∵在正方形中，，， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接，如图， ， ，， ∵在正方形中，，，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ∴， ， ∴； 【小问3详解】 解：，． 证明：连接、交于点，连接，，过点作交于点，如图， 由（）得是等腰直角三角形， ， ， ， ∵在正方形中，， 是的中位线， ，， ， ，即， ∵在等腰中，， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$