山东省德州市经开区、天衢新区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年山东省德州市经开区、天衢新区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列根式中，是最简二次根式的是 A. B. C. D. 2.下列各组线段中能作为直角三角形的三边长的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.如图，是一款上下细中间粗的茶杯，向该茶杯中匀速注水，下列图象中能大致反映茶杯中水面高度与注水时间关系的是(    ) A. B. C. D. 4.已知▱中，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.某单位有名经理、名主任、名助理和名普通职员，他们的月工资各不相同．若该单位员工的月平均工资是元，则下列说法中正确的是(    ) A. 所有员工的月工资都是元 B. 一定有一名员工的月工资是元 C. 至少有一名员工的月工资高于元 D. 一定有一半员工的月工资高于元 6.方程的根的情况是(    ) A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 7.如图，在▱中，于点，用尺规在上作出点使得四边形为矩形则下列说法正确的是(    ) 小洛的作法：如图，连接，交于点，连接并延长，交于点，连接． 小宇的作法：如图，在上截取，连接． A. 小洛的作法正确 B. 小宇的作法正确 C. 两人作法都正确 D. 两人作法都不正确 8.如图，直线：与直线：都经过轴上的点，与轴分别交于，两点若，两点关于轴对称，则直线的解析式是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，均在轴上，点在轴上，已知直线的函数解析式为，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 10.勾股定理可以看作一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，分析上面勾股数组可以发现，，，，通过分析上面规律，可得第个勾股数组为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.若在实数范围内有意义，则的取值范围是          ． 12.为了备战中考体育考试，小华和小月练习立定跳远，如图为两人次立定跳远成绩单位：的折线统计图，由图可知两人中成绩比较稳定的是______填“小华”或“小月”． 13.如图，菱形的边长为，，将菱形折叠使点，都落在对角线上点处，折痕分别为，，则阴影部分的周长为______． 14.已知方程的两根分别为和，则代数式的值为______． 15.如图，中，，，点是与点不重合的动点，以为一边作正方形，连接、，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 计算： ； ． 17.本小题分 随着技术的发展，越来越多的人借助软件协助办公，极大地提高了工作效率某公司组织全体员工学习和使用软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间分钟时间为整数，且进行统计调查． 【数据收集与整理】将调查的数据进行整理，分成，，，四组：组“”，组“”，组“”，组“”． 【数据描述与分析】根据抽查的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： 这次抽样调查的人数是______人，并补全频数分布直方图； 在扇形统计图中，组所在扇形表示的百分比是______； 若组员工每天学习和使用时间为： ，，，，，，，，，，，，，， 求本次抽查的每天学习和使用时间的中位数，并解释其在本题中的意义； 该公司共有人，估计该公司平均每天学习和使用不少于分钟的人数是多少？ 18.本小题分 解下列一元二次方程： ； ． 19.本小题分 九章算术卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何大意是：如图，现有一个正方形底面的水池，其底面的边长丈丈等于尺，芦苇生长在的中点处，高出水面的部分尺将芦苇往岸边引，恰好与岸边相接，即． 求水池的深度； 中国古代数学家刘徽在为九章算术作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池底面边长，芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到请证明刘徽解法的正确性． 20.本小题分 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点求这个一次函数的解析式； 若函数与一次函数的图象的交点位于直线的右侧，直接写出的取值范围． 21.本小题分 如图，在中，是的中点，延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接． 求证：四边形为平行四边形； 连接交于点，若，，，求的长． 22.本小题分 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设其中、、、均为整数，则有． ，这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则 ______， ______； 的算术平方根为______； 若，且、、均为正整数，求的值； 化简：． 23.本小题分 【问题初探】 如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为那么与相等吗？直接判断： ______填“”或“”； 【问题迁移】 如图，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为那么与相等吗？证明你的结论； 【问题延伸】 如图，正方形中，点为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交，，，于点，，，求证：． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、是最简二次根式，符合题意； B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 根据最简二次根式的概念判断． 本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.【答案】  【解析】解：、， 不能组成三角形， 故A不符合题意； B、，， ， 能组成直角三角形， 故B符合题意； C、，， ， 不能组成直角三角形， 故C不符合题意； D、，， ， 不能组成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：． 根据勾股定理的逆定理，三角形的三边关系进行计算，逐一判断即可解答． 本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：茶杯上下细中间粗， 水面高度在茶杯中间位置上升速度较慢，选项符合题意， 故选：． 根据茶杯的形状可以推断水面高度上升的速度，据此即可求解． 本题主要考查函数的图象，理解题意是关键． 4.【答案】  【解析】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 故选：． 由四边形是平行四边形，可得平行四边形的对角相等，邻角互补，继而求得答案． 此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角线相等，邻角互补是解题关键． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标． 【解答】 解：某单位有名经理、名主任、名助理和名普通职员，月工资各不相同，该单位员工的月平均工资是元， 至少有一名员工的月工资高于元是正确的． 故选C． 6.【答案】  【解析】解：方程， ，，， ， 方程有两个相等实数根， 故选：． 计算出的值，即可判断方程的根的情况． 本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：小洛的作法：四边形为平行四边形， ，， ，， ≌， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为矩形． 故小洛的作法正确； 小宇的作法：四边形为平行四边形， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为矩形． 故小宇的作法正确． 综上所述，两人作法都正确． 故选：． 结合平行四边形的性质和矩形的判定分别判断即可． 本题考查作图基本作图、平行四边形的性质、矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质、矩形的判定是解答本题的关键． 8.【答案】  【解析】解：直线：与直线：都经过轴上的点，与轴分别交于，两点．若，两点关于轴对称， 函数与图象关于轴对称， 关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ，即． 直线的解析式是． 故选：． 根据关于轴对称的点的坐标特征即可求得． 本题考查了两条直线相交问题，考查了一次函数图象与几何变换，关于轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 9.【答案】  【解析】解：由题意，直线的函数解析式为， ，． ，． 设菱形的边长为， 在中，，． 又， ． ． ． 又，， ． 故选：． 依据题意，由直线的函数解析式为，则，，可得，，又设菱形的边长为，可得在中，，，结合，故，求出后即可判断得解． 本题主要考查了一次函数的性质、菱形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 10.【答案】  【解析】解：，， ，， ，， ，， 则第个勾股数组为， 故选：． 根据给出的勾股数组总结规律，根据规律解答即可． 本题考查的是数字的变化规律、勾股数，正确求出数字的变化规律是解题的关键． 11.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 直接利用二次根式有意义的条件得出答案． 【解答】 解：若在实数范围内有意义， 则， 解得：． 故答案为：． 12.【答案】小月  【解析】解：小华的成绩折线上下浮动很大，小月的折线图上下浮动较小，所以成绩较稳定的是小月． 故答案为：小月． 根据折线统计图的形状来判定即可． 本题考查了统计折线图，关键要掌握折线图的特点，能根据折线图分析理解其中的数据变化情况，进而解答题目． 13.【答案】  【解析】解：设交于点， 由折叠得，，， ， 四边形是边长为的菱形，， ，，， ，， 在和中， ， 和≌， ， ， 四边形是菱形， ，， 是等边三角形， 同理，四边形是菱形，是等边三角形， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ，，， ， 阴影部分的周长为， 故答案为：． 设交于点，由折叠得，，，则，由菱形的性质得，，，则，，可证明和≌，得，则四边形是菱形，是等边三角形，同理，四边形是菱形，是等边三角形，则四边形是平行四边形，由，，，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，证明四边形和四边形都是菱形，和都是等边三角形是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：方程中的两根分别为、， ，． ， ， ， ． 故答案为：． 依据题意，由已知方程中的两根分别为、，得出，，求出，代入求出即可． 本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的应用，解题时要能熟练掌握并能灵活运用了整体代入和分别当作一个整体的思想是关键． 15.【答案】  【解析】解：中，，，如图，连接，，， 四边形是正方形， ，， ，即， ≌， ， ， 当、、、在同一直线上时，最小即为， 中，，， 最小即为， 故答案为：． 根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而解答即可． 本题考查轴对称最短路线问题，全等三角形的判定与性质定理，勾股定理，等腰直角三角形正方形的性质，解答本题的关键是根据证明与全等． 16.【答案】；   ．  【解析】原式 ； 原式 ． 先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； 先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． 17.【答案】，见解析；   ；   分钟，意义是有一半人每天学习使用的时间超过分钟；   人．  【解析】这次抽样调查的人数：人， 组的人数：人， 补全频数分布直方图如下： 故答案为：； 组所在扇形表示的百分比是：． 故答案为：；将个员工每天学习使用的时间从小到大顺序排列，中位数为第位和第位的平均数， 本次抽查的每天学习和使用时间的中位数为：分钟，意义是有一半人每天学习使用的时间超过分钟； 人， 答：估计该公司平均每天学习和使用不少于分钟的人数是人． 利用组人数除以组人数占比得出抽样调查的人数，用抽样调查的人数减去，，组的人数得出组人数，即可补全频数分布直方图； 利用组人数除以总人数即可求解； 根据中位数的定义求出中位数，再结合中位数的意义即可解答； 求出每天学习和使用不少于分钟的人数占比，再乘以即可求解． 本题考查了频数率分布直方图，用样本估计总体，扇形统计图，加权平均数，中位数，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键． 18.【答案】，；   ，．  【解析】解：， ， ， ， ， ，； ， ， ， ， ， ，． 用配方法解一元二次方程即可； 用公式法解一元二次方程即可． 本题考查了解一元二次方程的方法，关键是掌握解一元二次方程的方法． 19.【答案】解：设芦苇的长度尺， 则图中，则，， 在中，， 由勾股定理得 ． ， 解得 ， ． 答：芦苇的长度为尺，水池的深度为尺； 图中，，，则，， 在中，， 由勾股定理得 ． ， 解得．  【解析】设芦苇的长度尺，则图中，则，，利用勾股定理得出的长进而得出答案． 利用勾股定理得出的长进而得出答案． 此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 20.【答案】；  或或．  【解析】解：一次函数的图象由直线平移得到， ． 将点代入， ． ． 一次函数的解析式为． 由题意，当时，． 再把代入， ． ． 在同一坐标系中画出和的图象如下． 函数与一次函数的图象的交点位于直线的右侧， 结合图象可得，或或． 依据题意，先根据直线平移时的值不变得出，再将点代入，求出的值，即可得到一次函数的解析式； 依据题意，在同一坐标系中画出和的图象，然后结合图象即可判断得解． 本题主要考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． 21.【答案】证明见解答；   的长是．  【解析】证明：， 是的中点， 是的中点， ， 点在的延长线上， ， ， 四边形为平行四边形． 解：，，， ，且，， ， 于点， ， ， ， ． 由，是的中点，得，而点在的延长线上，则，因为，所以四边形为平行四边形； 由，，，，由，于点，得，根据勾股定理得到，所以，根据勾股定理得到． 此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，且是解题的关键． 22.【答案】，；  ；   或；  ．  【解析】， ，， 故答案为：，； ， 故答案为：； ， ，，即， 、、 均为正整数， ，或，， 当，时，； 当，时，； 的值为或； ， ． 根据完全平方公式将等式右边展开，合并，再与等式左边比较即可求解； 利用完全平方公式的运算法则将给出的式子进行变形，然后再进行求解即可； 利用完全平方公式的运算法则将给出的式子进行化简，得出相关等式，分类讨论即可； 先计算的值，再求出结果的算术平方根，即可解答． 本题主要考查二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握灵活应用完全平方公式． 23.【答案】；   ，理由见解析；   见解析．  【解析】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ≌， ， 故答案为：； 解：， 证明：如图， 作，交于， ， ， 由知：， 四边形是正方形， ， 四边形是平行四边形， ， ； 证明：如图，连接，， 正方形是轴对称图形，为对角线上一点， ， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由知，， ， ． 可证明≌，从而得出； 作，交于，由知：，可证得四边形是平行四边形，从而，进而得出结论； 先判断出，代换即可得到结论． 本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形性质及全等三角形的性质和判定是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$