精品解析：湖北省孝感市孝南区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

孝南区2024—2025学年度八年级下学期期末学业水平监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）． 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义．根据二次根式的定义，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数非负，即可解答． 【详解】解：选项A：，根指数为2，但被开方数的正负未知．若，则为二次根式；否则无意义．因题目未限定的范围，无法确定，故排除． 选项B：，根指数为2，但被开方数为（负数），在实数范围内无意义，故排除． 选项C：，根指数为2，被开方数为正数，符合二次根式定义，故正确． 选项D：，根指数为3（三次根式），不符合二次根式的根指数要求，故排除． 故选：C 2. 如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将（ ）． A. 先变大，后变小 B. 保持不变 C. 先变小，后变大 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据题意可得为的中位线，可知，由此可知不变． 【详解】如图，连接AQ， ∵，分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵为定点， ∴的长不变， ∴的长不变， 故选： 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 3. 下列计算错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，不是同类二次根式，无法合并，计算错误. 故选：B. 4. 实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作”的方式进行学习，值周班长小兵每周对各小组合作学习的情况进行综合评分，下表是其中一周的评分结果． 组别 一 二 三 四 五 六 七 分值 90 96 89 90 91 85 90 “分值”这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 89，90 B. 90，90 C. 88，95 D. 90，95 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数，根据中位数和众数的定义“中位数需将数据从小到大排列后取中间的数；众数是出现次数最多的数”求解． 【详解】解：将数据从小到大排列为：85，89，90，90，90，91，96，中位数为第4个数，即90； 数据中90出现3次，次数最多，故众数为90； 故选：B． 5. 若，，则函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据一次函数图象与系数的关系判断即可． 【详解】解：∵，， ∴的图象在一、三、四象限， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当，，的图象在一、二、三象限；当，，的图象在一、三、四象限；当，，的图象在一、二、四象限；当，，的图象在二、三、四象限． 6. 将一次函数的图象向下平移4个单位长度后的图象解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象平移的规律． 根据一次函数图象平移的规律作答即可． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移4个单位长度后的图象解析式为： ， 故选：A． 7. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错． 根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 8. 如图，直线与相交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，在数轴上表示不等式的解集，利用数形结合的思想解决问题是关键．由图象可知，当时，的图象在的图象上方，则不等式的解集为，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：直线与相交于点，点的横坐标为， 由图象可知，当时，的图象在的图象上方， 则关于的不等式的解集为， 在数轴上表示如下：， 故选：A． 9. 均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度与时间的函数关系如图所示，则该容器是下列中的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体，由图象及容积可求解． 【详解】根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度； 因为D几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小, 所以在均匀注水的前提下是先快后慢； 故选D. 【点睛】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象． 10. 如图，在正方形中，点O为对角线的中点，过点O作射线、分别交、于点E、F，且，、交于点P．则下列结论中：①；②；③；④，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．利用正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理逐一分析即可得出正确答案． 【详解】解：在正方形中，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，故①正确； ，故②错误； ∵， ∴，， 在中，， ∴，故③正确； 由①全等可得四边形的面积与面积相等， ∴正方形面积是四边形的面积为的4倍，故④正确． 综上所述，结论正确的是①③④． 故选：C． 二、填空题（本题5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知正比例函数（是常数，），随的增大而减小，写出一个符合条件的的值为_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正比例函数图像与性质，由正比例函数增减性直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数（是常数，），随的增大而减小， ∴， ∴的值可以取（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查正比例函数图像与性质，熟练掌握正比例函数增减性是解决问题的关键． 12. 如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且，即可得到结果． 【详解】解：在中，，， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相等， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的性质，此题充分利用了“平行四边形的对边相等且平行”的性质． 13. 若函数，则当自变量时，函数值________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数值．把代入，即可求解． 【详解】解：当自变量时， 函数值． 故答案为：3 14. 如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点处，若，，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．先结合矩形的性质得，再根据折叠的性质可知，，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ∵点是边的中点，且， ， 根据折叠的性质可知，， 设，则， ， ， 解得：， ， 故答案为： 4 ． 15. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】作BE⊥AD，垂足为E，在下图中标注点M、N，且M（6,6），N（12,10），结合运动轨迹及运动图象得出AB=6，BD=6，AD=AP=10，然后利用等腰三角的性质得出AE=DE=5，结合勾股定理求出平行四边形的高，即可求解面积． 【详解】解：如图所示，作BE⊥AD，垂足为E， 在下图中标注点M、N，且M（6,6），N（12,10）， 当点P从点A运动到点B时，对应于OM线段， ∴AB=x=6， 当点P从点B运动到点D时，对应于曲线MN， ∴AB+BD=x=12， ∴BD=6， 当点P到点D时，对应于图中的点N， ∴AD=AP=y=10， 在∆ABD中， AB=BD=6，AD=10，BE⊥AD， ∴AE=DE=5， 在Rt∆ABE中， ， ∴平行四边形的面积为：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查点的移动距离及函数图象的关系，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分） 16. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，正确掌握二次根式性质，零指数幂，负整数指数计算，绝对值的化简是解题的关键．先运用零指数幂，负整数指数，二次根式性质的进行化简，计算绝对值，再计算加减法． 【详解】解：原式 ． 17. 已知，，求代数式的值． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值，由题意得出，，再将式子变形为，代入计算即可得出答案． 【详解】解：，， ，， 原式． 18. 如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、． 求证：． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD，∠ADC=∠ABC， ∴∠CDF=∠CBE， 在△BEC和△DFC中， ， ∴△BEC≌△DFC（SAS）， ∴CE=CF． 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF． 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件． 19. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日，某中学为了解七年级学生对“国家安全法”知识的掌握情况，对七年级A，B两个班进行了“国家安全法”知识测试，满分10分，测试成绩都为整数，测试成绩不低于9分的为优秀． 【收集整理数据】测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，随机从A，B两个班各抽取10名学生的测试成绩． 【描述数据】根据抽取的学生成绩，绘制出了如下统计图． 【分析数据】两个班级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 A班 10 B班 p 9 根据以上信息，解答下列问题： （1）_____，______；并补全条形统计图； （2）A班共有50人参加测试，估计A班测试成绩优秀的有多少人？ （3）请从众数和方差这二个统计量中任意选一个，对两个班的测试成绩进行评价． 【答案】（1）20，9， 补全条形统计图如图所示： （2）25人； （3） 解：从众数来看：样本中A班得10分人数为4人，B班得9分人数是4人，故A班满分人数比B班多； 从方差来看：B班成绩波动较大，这说明B班的成绩比A班稳定． 【解析】 【分析】本题考查了从条形图与扇形图中获取信息，补全条形图，利用样本估计总体，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据数据分析，，根据中位数的定义找到从小到大排列好的第 5 ， 6 名即为中位数；先计算班抽取 10 名学生的测试成绩 10 分的人数，然后补全即可； （2）根据即可求解； （3）根据众数和方差分析即可． 【小问1详解】 解：，则， ∵抽取了 10 名学生的测试成绩， ∴中位数为第 5，6 名学生的平均成绩， 6分、7分和8分共人， 9分人， ∴第 5，6 名学生的成绩都是9分， ， ∴， A班9分人； 【小问2详解】 解：A班得9分人数为1人，得10分人数为4人， A班的优秀率为：， 估计A班测试成绩优秀的有：（人）； 【小问3详解】 略 20. 甲同学在拼图探索活动中发现；用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为，a，b，斜边长为c，可以拼成像图1那样的正方形，并由此得出了关于a2，b2，c2.的一个等式． （1）请你写出这一结论：　 　，并给出验证过程； （2）试用上述结论解决问题：如图2如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，求“丁”的面积． 【答案】（1）；（2）29． 【解析】 【分析】（1）用不同的方法表示阴影部分的面积，即可得到关于，，的一个等式． （2）由（1）得，，进而根据正方形面积得出等量关系求出“丁”的面积． 【详解】解：（1）结论：． 验证：阴影部分的面积， 阴影部分的面积=， ， 即． 故答案为：． （2）如图，连接AC， ∵∠B＝∠D＝90° ∴，， 又∵，，，， ∴， 又∵甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17 ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及面积法的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 21. 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF （1）试说明AC=EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）在Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，由△ABE是等边三角形，EF⊥AB，可得到AE=2AF，并且AB=2AF，从而可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF． （2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF//AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形． 【详解】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°， ∴AB=2BC． 又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB， ∴AB=2AF． ∴AF=BC． ∵在Rt△AFE和Rt△BCA中，AF=BC，AE=BA， ∴△AFE≌△BCA（HL）． ∴AC=EF． （2）∵△ACD是等边三角形， ∴∠DAC=60°，AC=AD． ∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°． ∴EF//AD． ∵AC=EF，AC=AD， ∴EF=AD． ∴四边形ADFE是平行四边形． 22. 国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示： 水果单价 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 20 25 已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同． （1）求的值； （2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）16；（2）购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元 【解析】 【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可； （2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值． 【详解】解：（1）由题意可知： ， 解得：x=16， 经检验：x=16是原方程的解； （2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y， 由题意可知： y=（20-16）m+（25-16-4）（100-m）=-m+500， ∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍， ∴m≥3（100-m）， 解得：m≥75，即75≤m＜100， 在y=-m+500中，-1＜0，则y随m的增大而减小， ∴当m=75时，y最大，且为-75+500=425元， ∴购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元． 【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式． 23. 中，，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），以为边在右侧作正方形，连接． （1）探究猜想：如图1，当点D在线段上时． ①与的位置关系为_______； ②之间的数量关系为：________； （2）深入思考：如图2，当点D在线段的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论，再给予证明． （3）拓展延伸：如图3，当点D在线段的延长线上时，正方形对角线交于点O，若，，求长． 【答案】（1）①；②； （2）不成立，正确结论为：，证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，进而可证得，于是可得，利用直角三角形的两个锐角互余可证得，于是可得结论；②由可得到，于是可得结论； （2）根据正方形的性质得到，进而可证得，于是可得，利用外角的性质可证得，于是可得结论；由可得到，于是可得结论； （3）利用勾股定理可求得，于是可得，同理可证得，于是可得，利用邻补角互补可求得，利用勾股定理可求得，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得出答案． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形， ， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即：， ， 故答案为：； ②， ， ， ， 故答案为： ； 【小问2详解】 解：图2中，结论①成立，结论②不成立，正确结论为：； 证明：在正方形中，， ， ， 在与中，， ， ， ， ∵， ∴， ， ， 故结论①仍然成立； ， ， ， ， 故结论②不成立，正确结论是：； 【小问3详解】 解：在等腰直角中，， ， ， ， ， 同理：， ， ， 在中，， 在正方形中，， 在中，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，垂线的定义，外角的性质，勾股定理，利用邻补角互补求角度，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，经过点B的直线交x轴正半轴于点C． （1）求点A、B两点的坐标； （2）若已知的面积为40． ①求点C的坐标及直线的解析式； ②点P是平面内一点，且以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，已知D是的中点，若E是直线上一点，且，求点E的坐标； 【答案】（1）； （2）①；②或或； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）分别令，，即可求出A、B两点的坐标； （2）①设点，则，根据三角形面积公式求出，即可求出点C的坐标；设直线的解析式为，将，代入计算即可； ②分三种情况根据平行四边形的性质计算即可； （3）如图，过点D作交直线于点，过点D作轴交x轴于点F，分别过点E、作交于点G，交于点H，求出，证明，设，求出，把代入直线中求出，即可求出，． 【小问1详解】 解：令，得， 令，得， ∴ 【小问2详解】 ①设点，则 ∴， 解得 ∴； 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； ②∵， ∴ 当为边时， 如图，当四边形是平行四边形时， ∴且， ∵， ∴； 如图，当四边形是平行四边形时， 同理可得； 当为对角线时， 如图，此时四边形是平行四边形， 连接交于N，作交于M， 由平行四边形的性质可知，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； 综上所述，点P的坐标为或或； 【小问3详解】 如图，过点D作交直线于点，过点D作轴交x轴于点F，分别过点E、作交于点G，交于点H， ∵， ∴ ∵点D是直线的中点，轴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，E、均为所求， 在和中 ∴（） 设 ∴，， ∴横坐标为：，纵坐标为：， ∴， 把代入直线中得：， ∴， ∴，， 即点E的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 孝南区2024—2025学年度八年级下学期期末学业水平监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）． 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将（ ）． A. 先变大，后变小 B. 保持不变 C. 先变小，后变大 D. 无法确定 3. 下列计算错误的是（　　） A. B. C. D. 4. 实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作”的方式进行学习，值周班长小兵每周对各小组合作学习的情况进行综合评分，下表是其中一周的评分结果． 组别 一 二 三 四 五 六 七 分值 90 96 89 90 91 85 90 “分值”这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 89，90 B. 90，90 C. 88，95 D. 90，95 5. 若，，则函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 6. 将一次函数的图象向下平移4个单位长度后的图象解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 8. 如图，直线与相交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度与时间的函数关系如图所示，则该容器是下列中的（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点O为对角线的中点，过点O作射线、分别交、于点E、F，且，、交于点P．则下列结论中：①；②；③；④，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知正比例函数（是常数，），随的增大而减小，写出一个符合条件的的值为_____． 12. 如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是_________． 13. 若函数，则当自变量时，函数值________． 14. 如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点处，若，，则________． 15. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则的面积为_____________． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分） 16. 计算：． 17. 已知，，求代数式的值． 18. 如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、． 求证：． 19. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日，某中学为了解七年级学生对“国家安全法”知识的掌握情况，对七年级A，B两个班进行了“国家安全法”知识测试，满分10分，测试成绩都为整数，测试成绩不低于9分的为优秀． 【收集整理数据】测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，随机从A，B两个班各抽取10名学生的测试成绩． 【描述数据】根据抽取的学生成绩，绘制出了如下统计图． 【分析数据】两个班级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 A班 10 B班 p 9 根据以上信息，解答下列问题： （1）_____，______；并补全条形统计图； （2）A班共有50人参加测试，估计A班测试成绩优秀的有多少人？ （3）请从众数和方差这二个统计量中任意选一个，对两个班的测试成绩进行评价． 20. 甲同学在拼图探索活动中发现；用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为，a，b，斜边长为c，可以拼成像图1那样的正方形，并由此得出了关于a2，b2，c2.的一个等式． （1）请你写出这一结论：　 　，并给出验证过程； （2）试用上述结论解决问题：如图2如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，求“丁”的面积． 21. 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF （1）试说明AC=EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 22. 国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示： 水果单价 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 20 25 已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同． （1）求的值； （2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 23. 中，，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），以为边在右侧作正方形，连接． （1）探究猜想：如图1，当点D在线段上时． ①与的位置关系为_______； ②之间的数量关系为：________； （2）深入思考：如图2，当点D在线段的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论，再给予证明． （3）拓展延伸：如图3，当点D在线段的延长线上时，正方形对角线交于点O，若，，求长． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，经过点B的直线交x轴正半轴于点C． （1）求点A、B两点的坐标； （2）若已知的面积为40． ①求点C的坐标及直线的解析式； ②点P是平面内一点，且以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，已知D是的中点，若E是直线上一点，且，求点E的坐标； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $