精品解析：江苏省泰州市海陵区2024～2025学年下学期七年级数学期末考试卷

江苏省泰州市海陵区2024～2025学年下学期七年级数学期末考试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意：1．本试卷分为选择题和非选择题两部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 若，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，有下列三种尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点作直线的垂线．其中作法正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 如图1，I是边长为的正方形纸片，II是边长为的正方形纸片，III是长为，宽为的长方形纸片（），将I，III按图2所示的方式放入纸片II内，若图2中两块阴影部分的面积分别为和，若要求的值，只需要知道（ ）的值 A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 氢原子的半径约为，用科学记数法表示为，则的值为________． 8. 不等式的解集是________． 9. 若，则值为________． 10. 正六边形的内角和为___度． 11. 用反证法证明“已知：是正整数，且是偶数．求证：是偶数”时，应先假设________． 12. 如图，，若，则的值为________． 13. 已知二元一次方程，当时，的取值范围是________． 14. 若，则值为________． 15. 若且为整数，能整除的有________个． 16. 如图，点在正方形纸片的边上，连接，，将纸片分别沿直线、翻折，点，的对应点，均在外部，若，设，则的值是________． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）解方程组： （2）解不等式组： 19. 求代数式的值：，其中，． 20. 仅使用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图1，已知点是长方形边的中点，过点作长方形的对称轴； （2）如图2，在方格纸上画出绕点按顺时针方向旋转后的图形． 21. 已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程． （1）条件： ，结论： ；（填序号） （2）证明： 22. 根据以下信息，解决问题． 信息1 某商店有哪吒盲盒、卡片、冰箱贴三种商品．已知1个盲盒的售价为40元． 信息2 小红在该商店购买了1个盲盒、1盒卡片和3个冰箱贴，一共花费146元． 信息3 2盒卡片的售价比1个冰箱贴的售价高16元． 问题：该商店1盒卡片和1个冰箱贴的售价分别是多少元？ 23. 【阅读材料】 定义：若关于的一元一次方程的解及解的2倍都在一元一次不等式组的解集范围内，则称这个方程为该不等式组的“绝美子方程”．例如，方程的解为，则；不等式组的解集是，可以发现方程的解和都在不等式组的解集的范围内，则称方程为不等式组的“绝美子方程”． 【解决问题】 （1）在方程①；②中，为不等式组的“绝美子方程”的是 ；（填序号） （2）若方程为不等式组的“绝美子方程”，求的取值范围； （3）若方程为不等式组的“绝美子方程”，请直接写出的取值范围． 24. 【探索数奇妙规律】 小明同学在学习数学时发现了一个有趣的规律：对于任意一个四位数（定义：，如果可以被整除，那么这个四位数可以被整除．例如，数，，能被整除，则能被整除；数，，不能被整除，则不能被整除． （1）根据规律，判断：①；②；③，其中可以被整除是 （填序号）； （2）如果可以被整除，证明四位数可以被整除； （3）判断是否可以被整除，并说明理由． 25. 如图1，在中，，，，，且，将绕一点按逆时针方向旋转到位置，点，，的对应点分别为，，，其中，，在同一直线上，连接． （1）求度数； （2）用不同的方法计算梯形的面积，并以此说明，，之间的数量关系； （3）如图2，取的中点，将梯形分别沿直线、翻折，点、同时落在上的点处，若，则是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 26. 如图1，在中，，在边上有一点从向运动，运动到点处停止． （1）当时，求的度数； （2）如图2，把沿直线翻折，点的对应点为，若点在的内部（不包含的边）． ①直接写出的取值范围； ②探索与之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在点从向运动过程中，设，同时将绕点按顺时针方向旋转，即，且满足，若运动过程中所在直线相交于点，当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省泰州市海陵区2024～2025学年下学期七年级数学期末考试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意：1．本试卷分为选择题和非选择题两部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的除法、积的乘方逐一计算即可判断． 【详解】解：A：与不是同类项，不能合并，故错误； B：，故错误； C：，故错误； D：，故正确． 故选：D． 3. 已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 直接将方程的解代入原方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】将代入方程，得： 解得： 故选：D． 4. 若，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质． 根据不等式的基本性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：已知， A：不等式两边同时减去3，不等号方向不变，正确； B：不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变，应为 < ，错误； C：不等式两边同时乘以正数3，不等号方向不变，正确； D：将右边拆分为，左边 > ，两边同时减去得，与已知条件一致，正确； 故选：B． 5. 如图，有下列三种尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点作直线的垂线．其中作法正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂线，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图. 根据角平分线、垂直平分线和垂线的尺规作图方法，直接判断即可． 【详解】解：由作图方法可知，图①作法下面应该还有两条相交的弧，即图①的正确作图如下： 图②和图③作法正确， 故选：C． 6. 如图1，I是边长为的正方形纸片，II是边长为的正方形纸片，III是长为，宽为的长方形纸片（），将I，III按图2所示的方式放入纸片II内，若图2中两块阴影部分的面积分别为和，若要求的值，只需要知道（ ）的值 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法的面积问题． 先根据题意求出，，，，的值，进而求出的值，判断即可． 【详解】解：由图可知，，，，， 即 ， ∴ ， 故只需要知道的值， 故选：A 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 氢原子的半径约为，用科学记数法表示为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解： ， 故的值为． 故答案为：． 8. 不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，正确求出不等式的解集是解题的关键．根据一元一次不等式的性质求出的取值范围即可 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 9. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式将展开，即可求得答案． 【详解】解：∵， 故． 故答案为：． 10. 正六边形的内角和为___度． 【答案】720 【解析】 【详解】解：因为多边形的内角和公式：180°（n﹣2）， 所以正六边形的内角和：180°×（6﹣2）=180°×4=720°． 故答案为：720 11. 用反证法证明“已知：是正整数，且是偶数．求证：是偶数”时，应先假设________． 【答案】不是偶数（或：是奇数） 【解析】 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，即可求解． 【详解】解：反证法证明“已知：是正整数，且是偶数．求证：是偶数”时，应先假设不是偶数（是奇数）， 故答案为：不是偶数（是奇数）． 12. 如图，，若，则的值为________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；对顶角相等．根据平行线的性质和对顶角相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：30． 13. 已知二元一次方程，当时，的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据题意可得，根据可得，据此即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式将已知条件展开后计算可得，然后将展开后代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， ∵ 故将代入，可得． 故答案：． 15. 若且为整数，能整除的有________个． 【答案】##四 【解析】 【分析】本题考查了本题考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是正确推理计算．首先将表达式分解质因数，然后找出中能整除的整数即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故 ； ∵且为整数， 故的值可以为、、、、、、、； ，故能整除； ，故能整除； ，故能整除； ，故能整除； 综上，符合条件的为、、、，共个． 故答案为：． 16. 如图，点在正方形纸片的边上，连接，，将纸片分别沿直线、翻折，点，的对应点，均在外部，若，设，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算，平角的定义，解一元一次方程，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质得出，，根据题意得出，结合平角的定义，得出，即可列出方程，解方程求出的值，即可． 【详解】解：根据折叠性质可得，， ∵，， 故， 即， 整理得 ∵， 故； 即， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方法则计算，再根据有理数加减法则计算即可； （2）先根据同底数幂的乘法、积的乘方法则计算，再根据整式的减法法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，有理数的混合运算，积的乘方，同底数幂的乘法，整式的混合运算等，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18. （1）解方程组： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解二元一次方程组时注意运用加减消元计算；解一元一次不等式组时熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键． （1）利用加减消元法求解可得； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1）， 得：，解得， 将代入①得：，解得， ∴此方程组的解为； （2）， 由①得：， 由②得：， ∴此不等式组的解为：． 19. 求代数式的值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则和合并同类项法则．先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则和合并同类项法则进行化简，再把，的值代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解： =； 当，时：原式． 20. 仅使用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图1，已知点是长方形边的中点，过点作长方形的对称轴； （2）如图2，在方格纸上画出绕点按顺时针方向旋转后的图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、矩形的性质、作图-轴对称变换，熟练掌握旋转的性质、矩形的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）连接、交于点，连接，过点与点，作直线，结合矩形的性质即可求解； （2）结合题意，根据旋转的性质进行作图，即可． 【小问1详解】 解：如图，连接、交于点，过点与点，作直线．则直线即为所求． 作法：连接、交于点，过点与点，作直线． 证明：∵四边形是矩形， ∴， 即点在的垂直平分线上， ∵点是的中点， ∴点在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， 即直线是长方形的一条对称轴． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 作法：连接、、，分别将、、绕点按顺时针方向旋转，得到、、；依次连接、、；即为所求． 21. 已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程． （1）条件： ，结论： ；（填序号） （2）证明： 【答案】（1）①②，③；或①③，②；或②③，① （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）根据平行线的判定与性质定理写出是真命题的条件和结论即可； （2）利用了平行线的判定与性质定理证明即可． 【小问1详解】 解：条件：①②，结论：③；（或条件：②③，结论：①；或条件：①③，结论：②） 【小问2详解】 证明：选条件：①②，结论：③ ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）． 选条件：①③，结论：② ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 选条件：②③，结论：① ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 22. 根据以下信息，解决问题． 信息1 某商店有哪吒盲盒、卡片、冰箱贴三种商品．已知1个盲盒的售价为40元． 信息2 小红在该商店购买了1个盲盒、1盒卡片和3个冰箱贴，一共花费146元． 信息3 2盒卡片的售价比1个冰箱贴的售价高16元． 问题：该商店1盒卡片和1个冰箱贴的售价分别是多少元？ 【答案】一盒卡片的售价为22元，一个冰箱贴的售价为28元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是读懂题意，列出方程组； 设1盒卡片的售价为x元，1个冰箱贴的售价为y元，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设1盒卡片的售价为x元，1个冰箱贴的售价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：一盒卡片的售价为22元，一个冰箱贴的售价为28元． 23. 【阅读材料】 定义：若关于的一元一次方程的解及解的2倍都在一元一次不等式组的解集范围内，则称这个方程为该不等式组的“绝美子方程”．例如，方程的解为，则；不等式组的解集是，可以发现方程的解和都在不等式组的解集的范围内，则称方程为不等式组的“绝美子方程”． 【解决问题】 （1）在方程①；②中，为不等式组的“绝美子方程”的是 ；（填序号） （2）若方程为不等式组的“绝美子方程”，求的取值范围； （3）若方程为不等式组的“绝美子方程”，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）① （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，一元一次不等式组的解法，掌握新定义的含义是解本题的关键； （1）先解两个方程得到方程的解，再解不等式组，得到不等式组的解，再根据新定义的含义判定即可； （2）由（1）知不等式组得到解集为，再由方程可得，，再结合新定义的含义建立不等式组，即可得到答案； （3）先求出不等式组得到解集为，再由方程可得，，再结合新定义含义即可得到答案． 【小问1详解】 解：①， ∴， ∴； ②， ∴， ∴， ∴， ∵， 解不等式得， 解不等式得， ∴， ∵均在范围内；不在范围内； ①为不等式组的“绝美子方程”，②则不是不等式组的“绝美子方程”； 故答案为：①； 【小问2详解】 解：由（1）知不等式组的解集为， 解方程，得， ∴， 方程为不等式组的“绝美子方程”， ，且， ∴，且， ∴； 【小问3详解】 解：， 解不等式得， 解不等式得， ∴， 解方程，得， ∴， 方程为不等式组的“绝美子方程”， ∴， ∴． 24. 【探索数的奇妙规律】 小明同学在学习数学时发现了一个有趣的规律：对于任意一个四位数（定义：，如果可以被整除，那么这个四位数可以被整除．例如，数，，能被整除，则能被整除；数，，不能被整除，则不能被整除． （1）根据规律，判断：①；②；③，其中可以被整除是 （填序号）； （2）如果可以被整除，证明四位数可以被整除； （3）判断是否可以被整除，并说明理由． 【答案】（1）①③ （2）见解析 （3）可被整除，见解析 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用，有理数混合运算的应用，正确掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据题意，逐个计算，即可得出答案； （2）根据可以被整除，设，将四位数整理得出，将代入，得出，即可证明； （3）根据题意得出，，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：①，，能被整除，则能被整除； ②，，不能被整除，则不能被整除； ③，，能被整除，则能被整除； 故可以被整除是①③． 故答案为：①③． 【小问2详解】 证明：∵可以被整除， 故设， 对于四位数， 则这个四位数 将代入，得， 整理得； ∵能被整除， ∴能被整除． 【小问3详解】 解：是， 理由：对于四位数，， 对于四位数，， 故 ； ∵能被整除， 故能被整除． 25. 如图1，在中，，，，，且，将绕一点按逆时针方向旋转到的位置，点，，的对应点分别为，，，其中，，在同一直线上，连接． （1）求的度数； （2）用不同的方法计算梯形的面积，并以此说明，，之间的数量关系； （3）如图2，取的中点，将梯形分别沿直线、翻折，点、同时落在上的点处，若，则是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析，（） （3）是定值， 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，折叠的性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据旋转的性质得出，，根据直角三角形中，两锐角互余得出，推得，即可求解； （2）根据旋转的性质得出，，根据两种四边形的面积计算方法，列出等式，即可求解； （3）根据折叠的性质可知：，的面积的面积，的面积的面积，即可得出的面积，根据题意得出，结合（2）的结论得出的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：由旋转可知：，， 在中，， ∴， 即， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：由旋转可知：，，， ∵梯形的面积， 梯形的面积的面积的面积的面积， 故， 整理得或． 【小问3详解】 解：由折叠的性质可知：，的面积的面积，的面积的面积， 又∵的面积的面积的面积， ∴的面积梯形的面积， ∵， ∴， 整理得； 又∵的面积，由（2）可得 即的面积， ∴， 将代入，得． 26. 如图1，在中，，在边上有一点从向运动，运动到点处停止． （1）当时，求的度数； （2）如图2，把沿直线翻折，点的对应点为，若点在的内部（不包含的边）． ①直接写出取值范围； ②探索与之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在点从向运动过程中，设，同时将绕点按顺时针方向旋转，即，且满足，若运动过程中所在直线相交于点，当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②，见解析 （3）且 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，一元一次方程的应用及一元一次不等式的应用． （1）设，根据三角形内角和定理求出，再根据是的外角，由，即可求解； （2）①根据题意结合（1）中，分别求出当点落在上，即时，当点M落在上时，的临界值，再根据点在的内部（不包含的边），即可得出的取值范围为；②延长交于点N，由翻折可知：，利用三角形外角的性质进行推导即可； （3）设，当射线与射线交于点P时，利用三角形内角和定理结合，求出；当射线与射线交于点P时，同理求出，当直线与直线平行时，得到，再结合，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设， 在中： ∵， ∴，即， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①由（1）可得当点落在上，即时，， 如图，当点M落在上时， 则， ∵点在的内部（不包含的边）， ∴的取值范围为； ②，证明如下： 延长交于点N， 由翻折可知：， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，可设， 如图1，当射线与射线交于点P时， ∵， ， 且， ∴， ∴， ∴； 如图2，当射线与射线交于点P时， ， ∵ ， 且， ∴， ∴， ∴， 当直线与直线平行时，则， ∴， ∴， ∴， ∵所在直线相交于点P， ∴， 又∵点D从B运动到点C停止， ∴， ∴且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$