（八上预习篇）第14章 全等三角形 章末预习自测-【假期好时光】2025年新教材数学七升八暑假作业（人教版2024）

第十四章全等三角形 预习篇 章末预习自测 (时间：60分钟满分：100分)】 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.下列各组图形中，属于全等形的是 O 2.断情显〔实际情境)如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB=AC,点D,E分别是 AB,AC的中点，DM,EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM=EM,已知弹簧M在向上滑动的过 程中，总有△ADM≌△AEM,其判定依据是 () A.ASA B.AAS C.SSS D.HL 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，点D,E分别在线段AB,AC上，CD与BE相交于点O,已知AB=AC,现添加以下哪个条 件仍不能判定△ABE兰△ACD A.∠B=∠C B.BE =CD C.BD=CE D.AD=AE 4.如图，AP平分∠CAB,PD⊥AC于点D,PD=5,E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是 ( A.PE=5 B.PE>5 C.PE≤5 D.PE≥5 5.新情境〔实际情境〕要测量点A,B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案I:①如图1，选定点O:②连接AO,并延长到点C,使OC=OA,连接B0,并延长到点D, 使OD=OB:③连接DC,测量DC的长度即可. 方案Ⅱ：①如图2，选定点O:②连接AO,B0,并分别延长到点F,E,使OF=OB.OE=OA:③连 接EF,测量EF的长度即可. 对于方案I,Ⅱ，下列说法正确的是 A.I可行，Ⅱ不可行 B.I不可行，Ⅱ可行 C.I,Ⅱ都不可行 D.I,Ⅱ都可行 图1 图2 第5题图 第6题图 6.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线AE交BC于点E,过点E作DE⊥AC于点 D,若△ABC的周长为24，△DEC的周长为12，则AB= () A.5 B.5.5 C.6 D.6.5 67 假期好时光 RJ·数学·八年级·上 7.如图，点F,B,E,C在同一条直线上，△ABC≌△DEF,若∠A=30°，∠F=26°，则∠DEC的度 数为 A.54° B.56 C.58° D.60° 第7题图 第8题图 8.如图，已知点P(6m-4,3m-1)在第一象限角平分线OC上，若∠APB是直角，角的两边与x 轴，y轴分别交于点A,B,则OA+OB等于 () A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题3分，共18分） 9.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作 出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直 尺交于点P,小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线.”其理论依据是 6芳阿 0a O'CT A 第9题图 第11题图 第12题图 10.在△ABC和△DEF中，AB=4,∠A=35°，∠B=70°，DE=4,∠D= 。,∠E=70°，根 据 判定△ABC≌△DEF 11.如图，∠AOB=a,以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于点C,D:画射线O'A',以 点O'为圆心，OC长为半径画弧交O'A'于点C':依次截取C'E=EF=FG=CD,分别交前弧于 点E,F,G:画射线O'G,反向延长O'A'至点H:画出∠HO'G的平分线O'M.则∠MO'H= ,(结果用含的代数式表示) 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,CD=4,AB=17,则△ABD的面积为 13.新素养〔推理能力〕如图，在由边长为1cm的小正方形组成的网格中，若干个燕尾形工件依 次横向排列，现要求最大限度地裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少 为（接缝不计）》 第13题图 第14题图 14.如图，△ABC中，∠C=90°，角平分线AD,BE相交于点I,AI=31D,AE=m,BD=n,则AB= .(用含m,n的式子表示) 68 第十四章全等三角形 预习篇 三、解答题（共58分） 15.(8分)如图，AB=DE,AB∥DE,F,C是AD上的两点，且AF=CD.求证： (1)△ABC≌△DEF: (2)BC∥EF. 主题情境实际生活的应用请完成第16~17小题 16.(10分)原创题某建筑公司设计了一款智能角度校准器（如图1），用于精确划分房屋屋顶的 倾斜角.校准器的核心结构采用对称设计，两侧伸缩臂OD与OE长度相同(OD=OE),连接 杆FD与FE也完全等长(FD=FE).使用时，将校准器中心点O对准屋顶顶点，伸缩臂分别 紧贴屋顶两侧，沿内部导轨OF标记划分线. (1)如图2，工人将该校准器安装于屋顶△ABC的顶点A处，使点O与顶点A重合，伸缩臂 OD和OE分别接触斜坡AB和AC.沿导轨OF标记的延长线AP交屋顶底梁BC于点P. 试判断AP是否为屋顶∠BAC的平分线，并说明理由： (2)如图3，完成角度划分后，质检员从点P垂直向下测量至斜坡AB的距离PQ=4米，已知 AC=6米，求划分区域△APC的面积 A80 A发0) D发 D 0 P 图1 图2 图3 69 假期好时光 RJ·数学·八年级·上 17.(8分)如图，在河岸两侧的A,B两点处分别有一个电线塔，嘉洪想要测量这两个电线塔之 间的距离，于是他在点B所在河岸一侧的平地上取一点C,使点A,B,C在一条直线上，另取 点D,使得CD=BC=5m,然后测得∠DCB=1O0°，∠ADC=65°，在CD的延长线上取一点 E,使得∠BEC=15°，量得CE=32m. (1)求∠CBE的度数： (2)请帮嘉淇计算这两个电线塔之间的距离。 18.(10分)已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE. (1)如图1，点E在BC上，求证：BC=BD+BE: (2)如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC=BD-BE B 图1 图2 70 第十四章全等三角形 预习篇 19.(10分)如图，在△ABD中，AC是边BD上的高，点E在AC上，AC=BC,CE=CD,连接BE并 延长交AD于点F (1)求证：BE=AD: (2)BF与AD有怎样的位置关系？请说明理由； (3)若BF恰好平分∠ABD,AF=2,求BE的长. 20.(12分)新考法〔跨学科]小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的 探究：如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动， OA表示小球静止时的位置.如图2，当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位 置，此时过点B作BD⊥OA于点D,当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（点A,B,O, C在同一平面上)，过点C作CE⊥OA于点E,测得BD=8cm,CE=17cm.小明发现不用测 量也能知道DE的长 【问题解决】 (1)请你应用所学的知识帮小明求DE的长： 【情景拓展】 如图3，在锐角三角形ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D,P为射线DB上一动点，连接 AP,将线段AP绕着点A逆时针旋转90°得到AQ,连接BQ,交直线AD于点F. (2)当点P在线段BD上时，试猜想BP和DF的数量关系并证明： (3)当点P在射线DB上运动时，若即-手请求出的值 图1 图2 图3 71.∴.∠BEC=∠CDB=90° 在△BC和R△cDB中，G:C品. .∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL). 7.证明：，AD,AF分别是钝角三角形ABC和饨角三 角形ABE的高，且AC=AE,AD=AF, ∴.Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).∴.CD=EF .AB=AB,AD=AF,∠D=∠F=90°， ..Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). ∴.BD=BF ∴.BD-CD=BF-EF,即BC=BE. 8.证明：如图，连接BD. 因为∠BAD=∠BCD=90°， E 在Rt△ABD和Rt△CBD中， 「BD=BD: AB=CB. 所以Rt△ABD≌Rt△CBD(HL) 所以AD=CD 因为AE⊥EF,CF⊥EF 所以∠E=∠F=90 在Rt△ADE和Rt△CDF中，AE=CF, 「AD=CD 所以Rt△ADE≌Rt△CDF(HL). 9.解：(1)证明：在Rt△AFB和Rt△CED中， 「AB=CD AF =CE. ∴，Rt△AFB≌Rt△CED(HL) .BF=DE ∠BMF=∠DME, 在△BFM和△DEM中，{∠BFM=∠DEM, BF DE, ∴.△BFM≌△DEM(AAS). ∴.MB=MD,ME=MF. (2)结论MB=MD,ME=MF仍成立. 证明：在△AB和△CED中，C: ∴，Rt△AFB≌Rt△CED(HL). ∴.BF=DE.同理可证△BFM≌△DEM. ∴.MB=MD,ME=MF,即结论仍成立. 14.3角的平分线 知识点一相等 【跟踪练习1】 1.B 2.解：，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB 交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F, .DF =DE =2 又，S△ABc=SAAD+SAACD,AB=4, 7=7×4x2+7×4Cx2 ∴，AC=3. 知识点二角的平分线 【跟踪练习2】 证明：AB=AD,BC=DC,AC=AC, ∴.△ABC≌△ADC(SSS). .∴.∠BAC=∠DAC :CE⊥AD于点E,CF⊥AB于点F, ∴.CE=CF. 自主检测 1.D2.A 3.A【解析】：DC⊥AC,DE⊥AB,且DE=DC, 14 .∠1=∠2 在△AED和△BED中，AE=BE,∠AED=∠BED, ED =ED. ∴.△AED≌△BED(SAS).∴∠1=∠B. ∴.∠B=∠1=∠2. 又：在Rt△ABC中，∠B+∠BAC=90°， ∴.∠B=30°.故选A 4.C【解析：AD恰为∠CAB的平分线，DC⊥AC, ∴.DC的长度等于点D到AB的距离. ,BC=1000m,BD=800m, .∴.DC=200m ∴.点D到AB的最短距离为200m.故选C. 5.2 6.7【解析】如图，过点P作PN ⊥OA于点N'.当PN⊥OA时， PN的值最小，此时PN=PW”. OC平分∠AOB,PM⊥OB, ∴.PM=PN'. PM=7,PN'=7. M ∴.PN的最小值为7. 7.PC=PD 8.证明：：AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°， ∴.DC=DE. DC=DE」 在△DCF和△DEB中 ∠C=∠BED, F=EB, ∴.△DCF≌△DEB(SAS). ∴.BD=DF 9.证明：如图，过点P作PE⊥AC 于点E. :AP,CP分别为∠MAC与 ∠NCA的平分线，且PD⊥BM PF⊥BN, ∴PD=PE,PF=PE.PD=PF 又：PD⊥BM,PF⊥BN,∴.点P在∠MBN的平分 线上，即BP是∠MBN的平分线. 10.解：(1)证明：如图，连接BD,CD, :AD平分∠BAC,DE⊥AB, DF⊥AC, .DE DF, ∠BED=∠CFD=90° ,DG⊥BC且平分BC ∴.∠BGD=∠CGD=90°，BG=CG DG=DG,∴.△BDG≌△CDG(SAS). .BD =CD. 在△BED和a△GPD中，C ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)..BE=CF. ∠AED=∠AFD (2)在△AED和△AFD中， ∠EAD=∠FAD, LAD =AD, .△AED≌△AFD(AAS): ..AE =AF. 设BE=x,则CF=x AB=5,AC=3,AE =AB-BE,AF =AC CF, ∴.5-x=3+x.∴.x=1. ∴.BE=1. ∴AE=AB-BE=5-1=4. 章未预习自测 1.B2.C3.B 4.D【解析】如图，过P作PH⊥AB于点H, ,AP平分∠CAB,PD⊥AC, C D .PH=PD=5. ,PE≥PH=5. 故选D. 5.D A E H B 6.C【解析】在R△ABC中，∠B=90°，∠BAC的 平分线AE交BC于点E,DE⊥AC于点D, ∴.DE=BE. .·△DEC的周长为12。 ∴.CD+CE+DE=12.∴.CD+BC=12. :△ABC的周长为24，∴.AB+AD=12. 在△E布△AE中，能=能。 ∴.Rt△ABE≌Rt△ADE(HL). .∴AB=AD=6.故选C 7.B 8.D【解析】由条件可知，6m-4=3m-1, 解得m=1, 则点P的坐标为(2,2) 如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别 为D,E, 则∠PDA=∠PEB=90° ∴，∠EPD=∠EPB+∠BPD=90°， ..∠EPB=∠DPA. 由点P的坐标知， PE=PD=OD=0E=2, ·.△PDA≌△PEB(SAS) ∴，DA=BE ∴，OA+OB=OD+DA+OB=OD+BE+OB=OD+ OE=2+2=4.故选D. 9.在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分 线上 10.35ASA 11.180°-3@ 2 【解析】如图，连接O'E,O'F D 0a 4 由尺规作图，得∠C'O'E=∠EO'F=∠FO'G= ∠AOB=a, .∠A'0'G=3a ,点H在O'A'反向延长线上， ∴.∠H0'G=180°-∠A'0'G=180°-3a ,O'M平分∠H0'G, ∠M0'H=2LH0'G=1802-3a 2 12.34 13.21cm【解析】如图，后面画出的图形与第一个 图形完全一样， ■ ■☑■ ∴，画第二个图的时候，需往右用1个格，画第三 个图的时候，需再往右用3个格，画第四个图的 时候，需再往右用1个格 ∴.画第10个图时，网格的长为4+(1+3+1+3 +1+3+1+3+1)=21(cm). 14m+n【解折】知图，在线段AB上藏取AM= AE,BN=BD,连接IM,IN,作M⊥AI于点H,MJ ⊥N于点J. EA=MA,∠IAE=∠IAM,AI=AI, ∴.△AEI≌△AMI(SAS). ,.∠AIE=∠AM,IE=M. 同法可证∠DIB=∠BN,ID=N. LMB+∠BA=(LCMB+∠CB4)=45, .∴.∠DIB=∠IAB+∠IBA=45 ∴.∠AIM=∠MIN=∠DIB=∠BIW=45. MH⊥LA,MJ⊥IN,∴.MH=MJ 1 Saw=AM2·AI·Mh 2·N· 0岩2 MN. AB=AM+NMN+BN=m+了m+n= 3m+n. 15.证明：(1)AB∥DE,.∠A=∠D. AF=CD,∴.AF+FC=CD+FC,即AC=DF tAB DE, 在△ABC和△DEF中，{∠A=∠D LAC =DF, ..△ABC≌△DEF(SAS). (2),△ABC≌△DEF, ,∴.∠ACB=∠DFE..BC∥EF 16.解：(1)AP是∠BAC的平分线.理由如下： AD =AE. 在△ADF和△AEF中，{AF=AF, LDF =EF, ∴.△ADF≌△AEF(SSS). .∠DAF=∠EAF..AP平分∠BAC (2)如图，过点P作PM⊥AC于点M, A0) D淡 Q B C AP平分∠BAC,PQ⊥AB,PM=PQ=4. Se=24C,PM=分x6x4=12 17.解：(1)∠DCB=100°，∠BEC=15, ∴.∠CBE=180°-∠DCB-∠BEC=180°-100°- 150=650 (2)∠ADC=65°，∠CBE=∠ADC=65 r∠ACD=∠ECB, 在△DCA和△BCE中，{CD=CB, I∠CBE=∠CDA. .∴.△DCA≌△BCE(ASA).,∴.CA=CE=32m. ∴.AB=AC-BC=32-5=27(m). .这两个电线塔之间的距离是27m. 15 18.证明：(1)，∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE, 即∠DAB=∠EAC 又，AB=AC,AD=AE ∴，△DAB≌△EAC(SAS) ∴，BD=CE.,BC=BE+CE=BD+BE. (2):∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC+∠EAB=∠DAE+∠EAB, 即∠DAB=∠EAC. 又，AB=AC,AD=AE ∴.△DAB≌△EAC(SAS) .BD CE.BC CE -BE =BD-BE. 19.(1)证明：：∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠ACB=90 rAC BC. 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, LCD=CE. ∴.△ACD≌△BCE(SAS)..AD=BE. (2)解：BF⊥AD.理由如下： ,△ACD≌△BCE,∴.∠CAD=∠CBE. 又：∠AEF=∠BEC, ÷∠AFE=∠BCE=90°..BF⊥AD. (3)解：BF恰好平分∠ABD ,∠ABF=∠DBF ·∠ABF=∠DBF 在△ABF和△DBF中，{BF=BF L∠AFB=∠DFB=90° ,△ABF≌△DBF(ASA). ∴，AF=DF=2.∴，AD=4. .AD =BE,..BE=4. 20.解：(1)，0B⊥0C,∴.∠B0D+∠C0E=90. CE⊥OA,BD⊥OA,∴.∠CE0=∠ODB=90. .∴.∠BOD+∠B=90°..∴.∠C0OE=∠B. T∠CEO=∠ODB, 在△COE和△OBD中，{∠COE=∠OBD, LOC=BO, ∴.△COE≌△OBD(AAS). .OE BD,CE =OD. .CE =17 cm,BD =8 cm, .'DE=OD-OE=CE-BD=17-8=9(cm). DE的长为9cm. (2)BP=2DF. 证明：如图1，过点Q作QH ⊥AD于点H, ,将线段AP绕着点A逆 时针旋转90°得到AQ, ∴，AP=AQ,∠PAQ=90 D ∴.∠DAP+∠HAQ=90 图1 ,·AD⊥BC,OH⊥AD. .,∠AHQ=∠FHQ=∠PDA=90 ∴.∠HAQ+∠HQA=90°.∴.∠DAP=∠HQA. r∠PDA=∠AHQ 在△DAP和△HQA中，{∠DAP=∠HQA, (PA=AQ. ∴.△DAP≌△HQA(AAS).∴.AH=DP,QH=AD ∠ABC=45°， .△ABD是等腰直角三角形 ∴.AD=BD.∴.QH=BD. 又.·∠HFQ=∠DFB,∠FHQ=∠FDB=90° ∴.△HFQ≌△DFB(AAS).∴.HF=DF BD BP PD,AD =AH+DH, .BP PD =2DF PD..BP =2DF. (3)设BD=4x,BP=3x, 由(2)可知，当点P在BD上时， AD=BD=4x,DF-BP=1.5*, AF 2.5x 5 AF=2.5x0=52=3 当点P在DB延长线上时，如图2，过点Q作QH ⊥AD交AD延长线于点H, 图2 同理可得△DAP≌△HQA(AAS), ∴.AH=DP=7x,QH=AD. :∠ABC=45°，∴.△ABD是等腰直角三角形 .'AD BD =4x..'OH=BD. 又，∠HFQ=∠DFB,∠FHQ=∠FDB=90°， .△HFQ≌△DFB(AAS)..HF=DF. DH AH-AD =3x,..HF DF =1.5x. A加=55部-号 综上所述0-部-号 第十五章轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 知识点一 直线两旁的部分对称轴对称点 【跟踪练习1】 B 知识点二 1.另一个图形重合 对称轴对称点 2.全等 【跟踪练习2】 ①③④80②⑤⑦⑨ 知识点三 1.被对称轴垂直平分 2.垂直平分线垂直平分线 【跟踪练习3】 C【解析】：△ABC和△A'BC关于直线I对称， ∠B'=110°，∴.∠B=∠B'=110°.又∠A=45°， ∴.∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-110°=25° 故选C 自主检测 1.B 2.D【解析】如图， ① ② 无数条 3条 2条 4条 对称轴条数从多到少排序正确的是①②③④，故 选D. 3.B