（八上预习篇）第2章 2.3 尺规作图-【假期好时光】2025年新教材数学七升八暑假作业（青岛版2024）

第2章全等三角形 预习篇 2.3 尺规作图 学习目标☐ 1.能用尺规作图：作一个角等于已知角。 2.能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形。 3.能用尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线；过一点作已知直线的垂线。 4.能用尺规作图：已知一直角边和斜边作直角三角形。 厂知识点讲解☐ 知识点一基本作图 最基本、最常用的尺规作图，称为 “作一条线段等于已知线段”和“作一个角等 于已知角”都是基本作图。 【典型例题1】如图，用直尺和圆规作∠PCD=∠AOB,作图痕迹中，弧MN是 G A.以点C为圆心，OE为半径的弧 B.以点C为圆心，EF为半径的弧 C.以点G为圆心，OE为半径的弧 D.以点G为圆心，EF为半径的弧 解析：以点O为圆心，任意长为半径作孤，分别交OB,OA于点E,F;以点C为圆心，OE为半 径作孤，交CD于点G,以，点G为圆心，EF为半径作孤，两孤相交于点P;过点P作射线CP。 所以孤MW是以点G为圆心，EF为半径的孤。 答案：D 【跟踪练习1】 1.如图，已知∠AOB与∠E0'F,分别以点O和点O'为圆心，同样长为半径画弧，交OA,OB于点 A',B,交O'E,O'F于点E',F'。以点B为圆心，EF为半径画弧，交弧A'B'于点H,作射线 OH。下列结论不正确的是 () A∠B0'F=3LA0B B.∠AOB>∠EO'F C.∠BOH=∠EO'F D.∠EO'F+∠AOH=∠AOB 0 第1题图 第2题图 2.如图，若∠a=37°，根据尺规作图的痕迹，则∠AOB的度数为 51 假期好时光 QD·数学·八年级·上 知识点二作三角形 已知两边及其夹角作三角形。 已知两角及其夹边作三角形。 【典型例题2】新素养〔几何直观)综合实践课上，嘉嘉先画出了△ABC,然后利用尺规作图画出了 △ADE,使△ADE≌△ABC。图1至图3是其作图过程。 (3)以点A为圆心，分别以AB,AC为 (1)以点A为圆心，适当 (2)以点N为圆心，MN为半径画 半径画弧，与边AC交于点D,与 长为半径画弧，交AB 弧，与(1)中的弧交于点P 射线AP交于点E,连接DE。 于点M,交AC于 作射线AP。 点N。 图1 图2 图3 在嘉嘉的作法中，可直接判定△ADE≌△ABC的依据是 A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS AB=AD, 解析：由作图可得∠BAC=∠DAE, AC=AE, 所以△ADE≌△ABC(SAS)。 答案：B 【跟踪练习2】 1.如图，在用尺规作图得到△DBC≌△ABC过程中，先作∠DBC=∠ABC,再作∠DCB=∠ACB, 从而得到△DBC≌△ABC,其中运用的三角形全等的判定方法是 A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 2.利用尺规作△ABC,根据下列条件作出的△ABC不唯一的是 A.AB=7,AC=5,∠A=60 B.AC=5,∠A=60°，∠C=80 C.AB=7,AC=5,∠B=30 D.AB=7,BC=6,AC=5 知识点三过直线外一点作这条直线的平行线或垂线 过直线外一点作这条直线的平行线。 过直线外一点作这条直线的垂线。 52 第2章全等三角形 预习篇 【典型例题3】如图1，点P在直线a外，过点P画直线a的平行线，可以有不同的方法。 P P. P 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，可借助直尺和三角尺画平行线，该作法的依据是 (2)请你用两种不同的方法，分别在图3,4中借助无刻度的直尺和圆规，过点P画直线α的 平行线，并说明两直线平行的理由。（保留作图痕迹，不写作法）》 小斗点拨：除了直接过直线外一点作这条直线的平行线，也可以利用垂线来作平行线。 解：(1)同位角相等，两直线平行 (2)如图1所示，同位角相等，两直线平行。 如图2所示，在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 H 图1 图2 【跟踪练习3】 1.如图，已知直线AB和AB上一点C,过点C作直线AB的垂线，步骤如下： 军 A C B A D C E R A D C E B A D C E B 第一步 第二步 第三步 第一步：以点C为圆心，任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E; 第二步：分别以点D和点E为圆心，a为半径作弧，两弧交于点F; 第三步：作直线CF,直线CF即为所求作。 下列关于a的说法正确的是 () Aa≥2DB B.a≤2DB D.a<zDE 2.已知：如图，P是∠AOB内的一点。 求作：射线OB上一点D,使DP∥OA。 0 53 假期好时光 QD·数学·八年级·上 知识点四作直角三角形 已知直角三角形的斜边和一条直角边，作这个直角三角形。 【典型例题4】已知线段a,b(a<b),利用尺规作图作Rt△ABC,使线段a,b分别为三角形的一 条直角边和斜边。小明所作的图如图所示，下列作图步骤中，小明的作图顺序是() ①以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交射线AG于点D: L a ②画直线BE; ③分别以点A,D为圆心，大于线段AB的长为半径画弧，交于 点E; ④以点A为圆心，b为半径画弧，交直线BE于点C,连接AC; ⑤画射线AG,并在AG上截取线段AB=a。 A.⑤①③2④ B.⑤④③2① C.⑤③②①④ D.⑤①④③② 答案：A 【跟踪练习4】 已知：直线l及l外一点A,∠a。 求作：Rt△ABC,使∠ACB=90°，∠CAB=∠a,且顶点B,C在直线I上。 A· 自主检测 1.下列属于尺规作图的是 A.用量角器画出∠AOB,使∠AOB=60 B.借助没有刻度的直尺和圆规作∠AOB,使∠AOB=2∠α C.用三角尺画MN=1.5cm D.用三角尺过点P作AB的垂线 2.利用尺规作图，不能作出唯一三角形的是 A.已知两边及其中一边的对角 B.已知三边 C.已知两边及其夹角 D.已知两角及其夹边 3.小郑在用尺规作∠A'O'B'=∠AOB时，具体的操作步骤是： ①作射线O'A'; ②以点0为圆心，◆为半径作弧，交OA于点C,交OB于点D; ③以点O为圆心，★为半径作弧，交O'A'于点C'; ④以点C为圆心，▲为半径作弧，交前弧于点D'; 54 第2章全等三角形 预习篇 ⑤过点D'作射线O'B',∠A'O'B就是所求作的角。 下列说法不正确的是 ( B B D D A A.◆表示任意长 B.★与◆的长相等 C.▲与CD的长相等 D.▲与★的长相等 4.已知线段a,c和La。求作△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠a。如图是排乱的作图步骤： ① ② ③ 正确的作图顺序是 () A.①②③④ B.①③②④ C.①③④② D.①②④3 5.如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是 。(填序号) ①∠DAE=∠B:②∠C=∠CAE:③∠DAE=∠CAE:④AE∥BC。 B 图1 图2 第5题图 第6题图 6.过直线外一点作已知直线的平行线。 已知：直线1及1外一点A(如图1)。 求作：直线1的平行线，使它经过点A。 小斗的作法：如图2。 ①用第一块三角尺的一条边贴住直线1，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺： ②将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点A,沿这边作出直线AB。 直线AB就是所求作的平行线。 老师说：“小斗的作法正确。” 请回答：小斗的作图依据是 7.如图，一块三角形模具的阴影部分已破损。 (1)如果不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具的形状和大小完全相同的模具，需 要从残留的模具片中度量出哪些边、角？请简要说明理由： 55 假期好时光 QD·数学·八年级·上 (2)作出模具△A'B'C的图形。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明) 8.已知一个三角形的两条边长分别为1cm和2cm,一个内角为40°。 (1)如图，请你用直尺和圆规画出一个满足题设条件的三角形： (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与(1)中所画的三角形不全等的三角形？若能，则用 直尺和圆规画出所有这样的三角形；若不能，则说明理由： (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别为3cm和4cm,一个内角为40°”，那么满 足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个，请用直尺和圆规画出所有这样的 三角形。（作图时请标记已知角的度数和已知边的长度） 540 章末预习自测 (时间：60分钟满分：100分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.新素养〔抽象能力〕下列各选项中的两个图形属于全等形的是 D.彩 2.椅子是一种日常生活家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的 生活更加方便。下列椅子的设计中利用了“三角形稳定性”的是 568.24【解析】由题意可知，BC=AC,∠BDC= ∠CEA=∠ACB=90°， 所以∠BCD+∠CBD=∠BCD+∠ACE=90°。 所以∠CBD=∠ACE。 ,∠BDC=∠CEA, 在△BDC和△CEA中 ∠CBD=∠ACE, BC=CA, 所以△BDC≌△CEA(AAS)。 所以BD=CE=2×2=4(cm),CD=AE=20cm。 所以DE=CD+CE=20+4=24(cm)。 9.(1)证明：因为AB∥CD, 所以∠ABE=∠CDF。 因为AE∥CF, 所以∠AEB=∠CFD。 ,∠ABE=∠CDF, 在△ABE和△CDF中，BE=DF, L∠AEB=∠CFD, 所以△ABE≌△CDF(ASA)。 (2)解：AF=CE。理由如下： 因为△ABE≌△CDF, 所以AB=CD。 因为DF=BE, 所以DF-EF=BE-EF,即DE=BF。 AB=CD, 在△ABF和△CDE中 ∠ABF=∠CDE, BF=DE, 所以△ABF≌△CDE(SAS)。 所以AF=CE。 10.解：(1)根据题意，得AC=20步，CD=20步， 所以DE=110-20-20=70(步)。 因为小刚走一步的长度约为0.6米， 所以AC=CD=0.6×20=12(米)， DE=0.6×70=42(米)。 ∠A=∠D=90°， 在△ABC与△DEC中 AC =DC. ∠ACB=∠DCE, 所以△ABC≌△DEC(ASA)。 所以AB=DE=42米。 所以A,B两点间的距离约为42米。 20 故答案为42。 (2)正确。证明如下： 在△BCD中，∠ACD=100°，∠BDC=65°， 所以∠B=180°-∠ACD-∠BDC=15°。 ∠E=∠B, 在△ACE与△DCB中，∠ACE=∠DCB. CA=CD, 所以△ACE≌△DCB(AAS). 所以CE=CB。 所以CE-CD=CB-CA,即DE=AB=42米。 所以小华的做法正确。 2.3尺规作图 知识点讲解 知识点一基本作图 【跟踪练习1】 1.A2.74° 知识点二 【跟踪练习2】 1.B 2.C【解析】A.根据SAS可以作出唯一△ABC; B.根据ASA可以作出唯一△ABC; C.根据SSA不可以作出唯一△ABC; D.根据SSS可以作出唯一△ABC。 故选C。 知识点三 【跟踪练习3】 1.C 2解：如图，点D即为所求作。 B 知识点四 【跟踪练习4】解：如图，Rt△ABC即为所求作。 自主检测 1.B2.A 3D【解析】①作射线O'A'; ②以点0为圆心，任意长为半径作孤，交OA于点 C,交OB于点D; ③以点0'为圆心，0C长为半径作孤，交0'A'于 点C； ④以点C为圆心，CD长为半径作孤，交前孤于 点D'; ⑤过点D'作射线O'B',∠A'O'B'就是所求作 的角。 所以◆表示任意长，★与◆的长相等，▲与CD的 长相等，▲与★的长不一定相等。 故选D。 4.B 5.③【解析】根据图中的尺规作图的痕迹可得 ∠DAE=∠B,故①正确； 所以AE∥BC,故④正确； 所以∠C=∠CAE,故②正确； 因为∠DAE=∠B,∠C=∠CAE: 而∠C与∠B大小关系不确定， 所以∠DAE与∠CAE大小关系不确定。故③ 错误。 6.内错角相等，两直线平行 7.解：(1)只要度量残留的三角形模具片的∠B,∠C 的度数和边BC的长。 因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 (2)如图所示，△A'B'C即为所求作。 8.解：(1)如图1所示，△AB0即为所求作。 2 cm 40>0 4020 Bl 1 cm B1em 图1 图2 (2)如图2所示，△AB0即为所求作。 (3)如图3,4,5所示即为所求作。 3.cm 40 4 cm 图3 3cm 3 cm 409 4cm 图4 4 cm 40° 3 cm 图5 故答案为4。 章末预习自测 1.C2.A3.C4.C5.C6.C 7.D【解析】因为BF=CE,所以BC=EF。 ∠A=∠D 在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E, BC=EF, 所以△ABC≌△DEF(AAS)。 所以整个金属框架的质量为 84×2-10.6=157.4(克)。故选D。 8.D【解析】因为E,F分别是AB,AC的中点， 所以AB=2AB,AF=24C。 因为AB=AC,所以AE=AF。 AE =AF, 在△AED和△AFD中，DE=DF, LAD =AD, 所以△AED≌△AFD(SSS)。 故选D。 21