（八上预习篇）第1章 推理与证明 章末预习自测-【假期好时光】2025年新教材数学七升八暑假作业（青岛版2024）

第1章推理与证明 预习篇 4.“如果m,n互为相反数，那么m+n=0”的逆命题是 (填“真”或“假”)命题。 5.用反证法证明“若1al<2,则a2<4”时，应假设 6.如图，直线a,b被直线l所截，∠1=60°，∠2=120°。求证：a∥b。下面是某同学的证明过程， 则①为 证明：因为∠1=60（已知）， 所以∠1=∠3=60（对顶角相等）。 因为∠2=120（已知）， 所以∠2+∠3=120°+60°=180（等量代换）。 所以a∥b(①)。 7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠1=∠C,求证：AD⊥BC。 8.把下面的说理过程补充完整。 已知：如图，点E,F分别在AB,CD上，AF⊥CE于点G,∠1=∠B,∠A+∠2=90°。 求证：AB∥CD。 证明：因为AF⊥CE(已知)， 所以∠AGE=90°( 因为∠A+∠1+∠AGE= 所以∠A+∠1= 又因为∠A+∠2=90（已知）， 所以∠1= 又因为∠1=∠B(已知)， 所以∠B=∠2( 所以AB∥CD( 章末预习自测 (时间：60分钟满分：100分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列语言叙述是命题的是 A.画两条相等的线 B.等于同一个角的两个角相等吗？ C.延长线段OA到点C,使OC=OA D.两直线平行，内错角相等 37 假期好时光 QD·数学·八年级·上 2.将命题“互余的两个锐角之和为直角”改写成“如果…那么…”的形式，正确的是() A.如果两个角是锐角，那么这两个角互余 B.如果两个角互余，那么这两个角是锐角 C.如果有两个锐角互余，那么这两个角的和为直角 D.如果有两个锐角的和为直角，那么这两个角互余 3.“两点之间线段最短”是 () A.基本事实 B.定理 C.定义 D.待证的命题 4.在数学课上，老师画一条直线a,按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三 角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了( A.平行于同一直线的两条直线平行 B.两直线平行，同位角相等 C.同旁内角相等，两直线平行 D.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 5.下列命题中，真命题的个数为 (1)在任何一个直角三角形中，都没有钝角； (2)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (3)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； (4)两直线平行，同旁内角互补。 A.1 B.2 C.3 D.4 6.对于命题“若a>b,则a2>b2”,在下面关于a,b的值中，能说明这个命题是假命题的是 ( A.a=3,b=2 B.a=-1,b=3 C.a=2,b=-3 D.a=3,b=-1 7.用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为钝角”时，应先假设 ( A.一个三角形中不能有两个角为锐角 B.一个三角形中不能有两个角为钝角 C.一个三角形中能有两个角为锐角 D.一个三角形中能有两个角为钝角 8.下列定理中，没有逆定理的是 A.互为相反数的两个数的和为0 B.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 C.对顶角相等 D.等角的余角相等 9.小明和小亮一起研究一道数学题：如图，在△ABC中，过点B作BD⊥AC于点D,点E是边BC 上的一动点，过点E作EF⊥AC于点F,点G在AB上，连接DG,EG。 小明说：“如果还知道∠BDG=∠CEF,那么能得到EG∥AC。” 小亮说：“如果还知道∠AGD=∠ABC,那么能得到∠BDG=∠CEF。” 下列判断正确的是 A.小明说法正确，小亮说法错误 B.小明说法正确，小亮说法正确 C.小明说法错误，小亮说法正确 D.小明说法错误，小亮说法错误 38 第1章推理与证明 预习篇 E 2 -D 第9题图 第10题图 10.如图，AB∥CD,用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为 A.∠1+∠2-∠3 B.∠1+∠3-∠2 C.180°+∠3-∠1-∠2 D.∠2+∠3-∠1-180° 二、填空题（每小题4分，共24分） 11.如图，小斗观察两个图形后，认为图1中间的圆要比图2中间的圆小，通过测量发现他的判 断是 (填“正确”或“错误”)的，由此可以得出观察 (填“能”或“不能”)作 为证明的依据。 00 000 00 图1 图2 第11题图 第12题图 12.斑马线的作用是引导行人安全地通过马路。某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平 行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出∠1=∠2=83°，这种验证方法依 据的基本事实是 13.对于a,b的取值，能够说明命题“若a>b,则1al>1b1”是假命题的反例是 0 14.命题“如果a=b,那么a+c=b+c”的逆命题为 15.我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60”。下面写出 了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于180”这个定理矛盾：②所 以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°：③假设三角形没有一个内角小于或等 于60°，即三个内角都大于60°：④则三角形的三个内角的和大于180°。这四个步骤正确的 顺序是 16.推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误。 例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下： 设任意一个实数为x,令x=m, 等式两边都乘x,得x2=x。① 等式两边都减m2,得x2-m2=mx-m2。② 等式两边分别因式分解，得(x+m)(x-m)=m(x-m)。③ 等式两边都除以x-m,得x+m=m。④ 39 假期好时光 QD·数学·八年级·上 等式两边都减m,得x=0。⑤ 所以任意一个实数都等于0。 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 三、解答题（共46分） 17.(6分)已知：如图，AC,BD相交于点O。求证：∠A+∠B=∠C+∠D。 18.(7分)按要求完成下面的证明： 如图，在△ABC中，已知∠1+∠3=180°，∠4=∠B。 求证：∠AED=∠ACB。 证明：因为∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°， 所以∠1=∠2( 所以AB∥EF( )o 所以∠4= )a 又因为∠4=∠B, 所以∠B=∠ADE( 所以DE∥BC( 所以∠AED=∠ACB( 19.(7分)用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角。 求证： 20.(9分)如图，现有以下三句话：①AB∥CD:②∠B=∠C:③∠E=∠F。请以其中两句话为条 件，第三句话为结论构造命题。 (1)你构造的是哪几个命题？ 40 第1章推理与证明 预习篇 (2)你构造的命题是真命题还是假命题？请加以证明。 21.(8分)新素养〔运算能力〕若一个四位正整数P满足千位上的数字比百位上的数字大2，十位 上的数字比个位上的数字大2，千位上的数字与十位上的数字不相等且各个数位上的数字 都不为零，则称P为双减数。将双减数P的千位数字和百位数字组成的两位数与十位数字 和个位数字组成的两位数的差记为N(P)。例如：已知四位正整数7564。因为7-5=6- 4=2,且7≠6，所以7564是双减数。因此N(7564)=75-64=11。 (1)判断8631是否是双减数。若是，请求出N(8631)的值；若不是，请说明理由； (2)命题“对于任意双减数A,N(A)都能被11整除”是真命题还是假命题？说明你的理由。 22.(9分)如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,AF是△ABC的角平分线， 过点D作DG∥AF交BC于点G。求证：∠CEF=∠CGD。请补全下面的证明过程。 证明：因为CD⊥AB(已知)， 所以∠ADC=90( 所以∠DAE+∠AED=90°( 因为∠ACB=90°（已知）， 所以∠CAF+∠CFA=90°( 因为AF是△ABC的角平分线（已知）， 所以∠CAF=∠DAE( 所以∠AED=∠CFA( 因为∠AED=∠CEF( 所以∠CEF=∠CFA( 因为DG∥AF(已知)， 所以∠CFA=∠CGD( 所以∠CEF=∠CGD( 41得∠B+∠C+∠A=180°。故本选项不符合题意； D.由CD⊥AB,得∠ADC=∠BDC=90°，无法证明 三角形内角和等于180°。故本选项符合题意。 故选D。 3.B 4.真5.a2≥46.同旁内角互补，两直线平行 7.证明：因为∠1=∠C,∠BAC=90°， 所以∠C+∠CAD=∠1+∠CAD=90°。 在△ADC中， 因为∠ADC=180°-（∠C+∠CAD)=90°， 所以AD⊥BC。 8.解：垂直的定义180°三角形内角和定理90° ∠2同角的余角相等等量代换 内错角相等，两直线平行 章未预习自测 1.D2.C3.A4.A5.D6.C7.D8.C 9.C【解析】因为BD⊥AC,EF⊥AC, 所以BD∥EF。所以∠CBD=∠CEF。 若∠BDG=∠CEF,则∠BDG=∠CBD。 所以DG∥BC。故小明说法错误； 若∠AGD=∠ABC,则DG∥BC。 所以∠BDG=∠CBD。 所以∠BDG=∠CEF。故小亮说法正确。 故选C。 10.D【解析】如图，过点E作EC∥AB,过点F作 FH∥CD。 E -B 2 H-3》 —D 因为AB∥CD,所以AB∥CD∥EG∥FH。 所以∠1=∠AEG。所以∠GEF=∠2-∠1。 因为EG∥FH, 所以∠EFH=180°-∠GEF =180°-（∠2-∠1）=180°-∠2+∠1。 所以∠CFH=∠3-∠EFH =∠3-(180°-∠2+∠1)=∠2+∠3-∠1 -180° 因为FH∥CD, 所以∠4=∠2+∠3-∠1-180°。 故选D。 11.错误不能12.同位角相等，两直线平行 13.a=-2,b=-4(答案不唯一) 14.如果a+c=b+c,那么a=b 15.③④①②16.④ 17.证明：因为∠A+∠B+∠AOB=180°， 所以∠A+∠B=180°-∠A0B。 同理可得∠C+∠D=180°-∠C0D。 又因为∠AOB=∠COD, 所以180°-∠A0B=180°-∠C0D。 所以∠A+∠B=∠C+∠D。 18.解：等角的补角相等内错角相等，两直线平行 ∠ADE两直线平行，内错角相等等量代换 同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角 相等 19.解：LACD=∠A+∠B。 证明：假设∠ACD≠∠A+∠B。 所以∠ACD≠180°-∠ACB。 因为∠ACD+∠ACB=180°， 即∠ACD=180°-∠ACB, 所以假设不成立。 所以∠ACD=∠A+∠B。 20.解：(1)①②为条件，③为结论；①③为条件，② 为结论；②③为条件，①为结论。 (2)因为AB∥CD,所以∠B=∠CDF。 因为∠B=∠C,所以∠C=∠CDF。 所以CE∥BF。所以∠E=∠F。 所以由①②得到③是真命题； 因为AB∥CD,所以∠B=∠CDF。 因为∠E=∠F,所以CE∥BF。 所以LC=∠CDF。所以∠B=∠C。 所以由①③得到②是真命题： 因为∠E=∠F,所以CE∥BF。 所以∠C=∠CDF。 因为∠B=∠C,所以∠B=∠CDF。 所以AB∥CD。 所以由②③得到①是真命题。 21.解：(1)因为8-6=2,3-1=2，且8≠1， 所以8631是双减数。 因此N(8631)=86-31=55。 (2)是真命题。理由如下： 设千位数字为a,十位数字为b,且a≠b, 17 则百位数字为a-2,个位数字为b-2。 所以双减数A=1000a+100(a-2)+10b+ (b-2)。 所以N(A)=10a+(a-2)-[10b+(b-2)] =11(a-b),即N(A)能被11整除。 22.解：垂直的定义直角三角形的两个锐角互余 直角三角形的两个锐角互余角平分线的定义 等角的余角相等对顶角相等等量代换 两直线平行，同位角相等等量代换 第2章全等三角形 2.1全等三角形 知识点讲解 知识点一全等形 【跟踪练习1】 1.D2.B 知识点二全等三角形对应顶点对应边对 应角 【跟踪练习2】解：因为△ABC≌△ADE, 所以对应边：AB和AD,AC和AE,BC和DE: 对应角：∠BAC和∠DAE,∠B和∠D, ∠C和∠E。 知识点三 【跟踪练习3】解：(1)因为△ABC≌△DEF, 所以∠A=∠D=95°，∠F=∠ACB=55°。 所以∠DEF=180°-∠D-∠F=30°。 (2)因为△ABC≌△DEF, 所以BC=EF=6。 因为E是BC的中点， 所以CB=7BC=3。 所以CF=EF-CE=6-3=3。 自主检测 1.B2.B3.C4.A 5.D【解析】因为△ACE≌△DBF,AB=4,BC=3, 所以BD=AC=AB+BC=4+3=7. 所以AD=AB+BD=4+7=11。 故选D。 6.D【解析】因为两个三角形全等， 所以3x-2=5,2y-1=7或3x-2=7,2y-1=5, 7 解得x=3)=4或x=3,y=3。 18 所以x+y= 6 故选D。 7.80°【解析】因为∠BAC=30°，∠B=70°， 所以∠ACB=180°-∠BAC-∠B=80°。 又因为△ABC≌△ADE, 所以∠AED=∠ACB=80°。 8.6【解析】因为折叠△ABD≌△ACD, 所以AC=AB=5,CD=BD。 因为AE=7, 所以CE=AE-AC=7-5=2。 因为BE=4, 所以△CDE的周长=CD+DE+CE=BD+DE+ CE=BE+CE=6 9.解：(1)因为△ABD≌△EBC, 所以EB=AB=3cm,BD=BC=5cm。 所以DE=BD-BE=5-3=2cm。 (2)AC⊥BD。理由如下： 因为△ABD≌△EBC, 所以∠ABD=∠EBC。 又因为∠ABD+∠EBC=180°， 所以∠ABD=∠EBC=90°，即AC⊥BD。 10.(1)证明：因为△ABC≌△EDF, 所以AC=EF。 所以AC-CF=EF-CF,即AF=CE。 (2)解：因为△ABC≌△EDF, 所以∠B=∠EDF。 因为∠AFD=2∠B=∠EDF+∠E, 所以∠E=∠EDF=∠B。 因为∠DAF=∠ADE=2∠B=2∠E, ∠DAF+∠ADE+∠E=180°」 所以2∠E+2∠E+∠E=180°，解得∠E=36°。 2.2三角形全等的判定 知识点讲解 知识点一 【跟踪练习1】证明：因为AB∥DE, 所以∠A=∠D。 因为AF=CD, 所以AF+CF=CD+CF,即AC=DF。 AB DE, 在△ABC和△DEF中，{∠A=∠D, LAC DF,