（八上预习篇）第1章 1.3 几何证明举例-【假期好时光】2025年新教材数学七升八暑假作业（青岛版2024）

所以AM=AC+CM -AC+(AB-AC)-(AB+AC). 自主检测 1.D2.C 3.证明：A-B=4a2-5a+2-(3a2-5a-3) =4a2-5a+2-3a2+5a+3 =a2+5。 因为a2≥0， 所以a2+5>0,即A-B>0。 所以无论a为何值，A>B始终成立 4.解：已知对顶角相等等量代换已知 角平分线的定义已知垂直的定义 5.解：已知这个两位数为10a+b(a≠0，b≠0)，则新 的两位数为10b+a。 因为(10a+b)-(10b+a) =10a+b-10b-a =9(a-b), 所以这个两位数与新的两位数之差能被9整除。 6.解：(1)设两个连续偶数为2m,2m+2(m为整 数)。 所以(2m+2)2-(2m)2=4(2m+1)。 因为m为整数，所以2m+1是奇数。 所以“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数 倍”是真命题。 (2)设两个连续奇数为2n-1,2n+1(n为整数)。 所以(2n+1)2-(2n-1)2=4×2n 因为n为整数，所以2n是偶数。 所以“任意两个连续奇数的平方差都是4的偶数 倍”是真命题。 7.证明：因为∠AOC=a, 所以∠BOD=∠AOC=a, ∠B0C=180°-∠A0C=180°-a。 因为∠BOE:∠DOE=∠BOG:∠COG=4:5, 所以LBOE=4 ∠LB0D=4a 9, ∠B0G=号LB0C=号(180-a)。 所以∠EOG=∠BOE+∠BOG -号a+号(180-a)=80 4 所以∠EOG的度数为定值。 16 1.3几何证明举例 知识点讲解 知识点一 【跟踪练习1】已知：如图，AB∥CD,直线MN分别交 直线AB,CD于点E,F,OE,OF分别平分 LAEF,∠CFE。 求证：OE⊥OF。 证明：因为AB∥CD, 所以∠AEF+∠CFE=180°。 因为OE,OF分别平分∠AEF,∠CFE, 所以L0EF+L0FE=号LAEF+2∠CFE=90。 因为∠OEF+∠OFE+∠EOF=180°， 所以∠E0F=90°，即OE⊥OF。 知识点二互逆命题原命题逆命题逆定理 【跟踪练习2】C 知识点三辅助线推论 【跟踪练习3】证明：因为AD是边BC上的高， 所以∠DMC+∠DCM=90°。 因为∠DCM=∠EAM,∠DMC=∠AME, 所以∠AME+∠EAM=90°。 所以△AEM是直角三角形。 知识点四反证法 【跟踪练习4】A 自主检测 1.B【解析】命题“如果a>0,b>0,那么a+b>0” 是真命题；其逆命题“如果a+b>0,那么a>0, b>0”是假命题。故选B。 2.D【解析】A.由EF∥AB,得∠ACE=∠A,∠BCF= ∠B。由∠ACE+∠ACB+∠BCF=18O°，得∠A+ ∠ACB+∠B=180°。故本选项不符合题意； B.由CE∥AB,得∠A=∠ECF,∠B=∠BCE。由 ∠ECF+∠BCE+∠ACB=18O°，得∠A+∠B+ ∠ACB=180°。故本选项不符合题意； C.由DE∥BC,得LADE=∠B,∠C=∠AED。由 DF∥AC,得∠EDF=∠AED,∠A=∠BDF。所以 ∠C=∠EDF。由∠ADE+∠EDF+∠BDF=18O°， 得∠B+∠C+∠A=180°。故本选项不符合题意； D.由CD⊥AB,得∠ADC=∠BDC=90°，无法证明 三角形内角和等于180°。故本选项符合题意。 故选D。 3.B 4.真5.a2≥46.同旁内角互补，两直线平行 7.证明：因为∠1=∠C,∠BAC=90°， 所以∠C+∠CAD=∠1+∠CAD=90°。 在△ADC中， 因为∠ADC=180°-（∠C+∠CAD)=90°， 所以AD⊥BC。 8.解：垂直的定义180°三角形内角和定理90° ∠2同角的余角相等等量代换 内错角相等，两直线平行 章未预习自测 1.D2.C3.A4.A5.D6.C7.D8.C 9.C【解析】因为BD⊥AC,EF⊥AC, 所以BD∥EF。所以∠CBD=∠CEF。 若∠BDG=∠CEF,则∠BDG=∠CBD。 所以DG∥BC。故小明说法错误； 若∠AGD=∠ABC,则DG∥BC。 所以∠BDG=∠CBD。 所以∠BDG=∠CEF。故小亮说法正确。 故选C。 10.D【解析】如图，过点E作EC∥AB,过点F作 FH∥CD。 E -B 2 H-3》 —D 因为AB∥CD,所以AB∥CD∥EG∥FH。 所以∠1=∠AEG。所以∠GEF=∠2-∠1。 因为EG∥FH, 所以∠EFH=180°-∠GEF =180°-（∠2-∠1）=180°-∠2+∠1。 所以∠CFH=∠3-∠EFH =∠3-(180°-∠2+∠1)=∠2+∠3-∠1 -180° 因为FH∥CD, 所以∠4=∠2+∠3-∠1-180°。 故选D。 11.错误不能12.同位角相等，两直线平行 13.a=-2,b=-4(答案不唯一) 14.如果a+c=b+c,那么a=b 15.③④①②16.④ 17.证明：因为∠A+∠B+∠AOB=180°， 所以∠A+∠B=180°-∠A0B。 同理可得∠C+∠D=180°-∠C0D。 又因为∠AOB=∠COD, 所以180°-∠A0B=180°-∠C0D。 所以∠A+∠B=∠C+∠D。 18.解：等角的补角相等内错角相等，两直线平行 ∠ADE两直线平行，内错角相等等量代换 同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角 相等 19.解：LACD=∠A+∠B。 证明：假设∠ACD≠∠A+∠B。 所以∠ACD≠180°-∠ACB。 因为∠ACD+∠ACB=180°， 即∠ACD=180°-∠ACB, 所以假设不成立。 所以∠ACD=∠A+∠B。 20.解：(1)①②为条件，③为结论；①③为条件，② 为结论；②③为条件，①为结论。 (2)因为AB∥CD,所以∠B=∠CDF。 因为∠B=∠C,所以∠C=∠CDF。 所以CE∥BF。所以∠E=∠F。 所以由①②得到③是真命题； 因为AB∥CD,所以∠B=∠CDF。 因为∠E=∠F,所以CE∥BF。 所以LC=∠CDF。所以∠B=∠C。 所以由①③得到②是真命题： 因为∠E=∠F,所以CE∥BF。 所以∠C=∠CDF。 因为∠B=∠C,所以∠B=∠CDF。 所以AB∥CD。 所以由②③得到①是真命题。 21.解：(1)因为8-6=2,3-1=2，且8≠1， 所以8631是双减数。 因此N(8631)=86-31=55。 (2)是真命题。理由如下： 设千位数字为a,十位数字为b,且a≠b, 17假期好时光 QD·数学·八年级·上 1.3几何证明举例 一学习目标☐ 1.通过具体实例，了解推论的意义。 2.了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定 成立。 3.通过实例体会反证法的含义。 4.进一步熟悉证明的格式。 厂知识点讲解了 知识点一证明平行线的性质定理和判定定理 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 【典型例题1】证明：两条平行线被第三条直线所截，所得同位角的角平分线互相平行。 解：已知：如图，AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点G,H,GM平分∠BGE,HN平 分∠DHG。 求证：GM∥HN。 G 证明：因为AB∥CD(已知)， B 所以∠BGE=∠DHG(两直线平行，同位角相等)。 因为GM平分∠BGE,HN平分∠DHG(已知)， 所以∠ECM=LBGE,LGHN=3LDHC(角平分线的定义)。 所以∠EGM=∠GHN(等量代换)。 所以GM∥HN(同位角相等，两直线平行)。 【跟踪练习1】 新素养〔推理能力〕证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直。 知识点二逆命题和逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个 命题叫作 。如果把其中一个命题叫作 ,那么另一个命题叫作它的 34 第1章推理与证明 预习篇 如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题叫作原定理的 原命题成立，逆命题不一定成立。 【典型例题2】关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法不正确的是 ( A.逆命题是“两直线平行，同旁内角互补” B.原命题是真命题 C.逆命题是“两直线不平行，同旁内角不互补” D.逆命题是真命题 解析：逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”，原命题与逆命题都是真命题。 答案：C 【跟踪练习2】 下列说法，正确的是 A.每个定理都有逆定理 B.真命题的逆命题都是真命题 C.每个命题都有逆命题 D.假命题的逆命题都是假命题 知识点三推论 为了证明的需要，在原来图形上添加的线叫作 辅助线通常画成虚线。 由基本事实或定理直接推出的真命题叫作 ,推论可以作为定理使用。 【典型例题3】如图，在证明“△ABC的内角和等于180°”时，延长BC到点D,过点C作CE∥AB, 得到∠ABC=∠ECD,∠BAC=∠ACE。由∠BCD=180°，得∠ABC+∠ACB+∠BAC=I80°。 这个证明方法体现的数学思想是 D A.转化思想 B.特殊到一般的思想 C.一般到特殊的思想 D.方程思想 解析：由平行线性质可知∠ABC=∠ECD,∠BAC=∠ACE。 因为∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°，所以∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°。 此方法体现了转化的思想。 答案：A 【跟踪练习3】 如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E是边AB上的一点，CE交AD于点M,∠DCM= ∠EAM。求证：△AEM是直角三角形。 35 假期好时光 QD·数学·八年级·上 知识点四反证法 这种先提出与命题的结论相反的假设，再从假设出发推出矛盾，从而证明命题成立的方法 叫作 用反证法证明一个命题，一般有三个步骤： ①否定结论一假设命题的结论不成立； ②推出矛盾一从假设出发，根据已知条件，经过推理，得出一个与命题的条件、定义、基本 事实、定理等相矛盾的结果； ③肯定结论一由矛盾判定假设不成立，从而证明命题成立。 【典型例题4】用反证法证明“在△ABC中，若∠A>∠B,则BC>AC”,应假设 A.BC=AC B.BC<AC C.∠A<∠B D.BC≤AC 解析：反证法是假设结论不成立，所以应假设BC≤AC。 答案：D 【跟踪练习4】 用反证法证明“a,b至少有一个为0”，应假设 A.a,b两个都不为0 B.a,b只有一个为0 C.a,b至多一个为0 D.a,b两个都为0 自主检测☐ 1.对于命题“如果a>0,b>0,那么a+b>0”,下列判断正确的是 () A.该命题及其逆命题都是真命题 B.该命题是真命题而其逆命题是假命题 C.该命题及其逆命题都是假命题 D.该命题是假命题而其逆命题是真命题 2.在探究证明“三角形的内角和等于180”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线， 其中不能证明“三角形的内角和等于180”的是 A.过点C作EF∥AB B.延长AC到点F,过点C作CE∥AB B C.过AB上一点D作DE∥BC,DF∥AC D.作CD⊥AB于点D 3.如图，已知BC∥DE,∠D+∠B=180°。求证：AB∥CD。以下是排乱的证明过程：①因为∠D+ ∠B=180°：②所以∠D+∠C=180°；③所以AB∥CD;④因为BC∥DE;⑤所以∠B=∠C。正 确的顺序应是 A.①②③④⑤ B.④②①⑤3 C.④⑤①2③ D.①2④5③ 36 第1章推理与证明 预习篇 4.“如果m,n互为相反数，那么m+n=0”的逆命题是 (填“真”或“假”)命题。 5.用反证法证明“若1al<2,则a2<4”时，应假设 6.如图，直线a,b被直线l所截，∠1=60°，∠2=120°。求证：a∥b。下面是某同学的证明过程， 则①为 证明：因为∠1=60（已知）， 所以∠1=∠3=60（对顶角相等）。 因为∠2=120（已知）， 所以∠2+∠3=120°+60°=180（等量代换）。 所以a∥b(①)。 7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠1=∠C,求证：AD⊥BC。 8.把下面的说理过程补充完整。 已知：如图，点E,F分别在AB,CD上，AF⊥CE于点G,∠1=∠B,∠A+∠2=90°。 求证：AB∥CD。 证明：因为AF⊥CE(已知)， 所以∠AGE=90°( 因为∠A+∠1+∠AGE= 所以∠A+∠1= 又因为∠A+∠2=90（已知）， 所以∠1= 又因为∠1=∠B(已知)， 所以∠B=∠2( 所以AB∥CD( 章末预习自测 (时间：60分钟满分：100分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列语言叙述是命题的是 A.画两条相等的线 B.等于同一个角的两个角相等吗？ C.延长线段OA到点C,使OC=OA D.两直线平行，内错角相等 37