（八上预习篇）第3章 2 平面直角坐标系-【假期好时光】2025年新教材数学七升八暑假作业（北师大版2024）

第三章位置与坐标 预习篇 2平面直角坐标系 学习目标☐ 1.理解平面直角坐标系的有关概念，并会正确地画出平面直角坐标系。 2.理解平面内点的坐标的意义，会根据平面内已知点的位置写出它对应的坐标。 3.根据实际问题建立适当的坐标系，并能写出各点的坐标。 厂知识点讲解☐ 知识点一平面直角坐标系及相关概念 1.在平面内，两条 且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常，两条数轴分别 置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴称为 铅直的数轴称为 ,x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点0称为平 面直角坐标系的 2.建立了平面直角坐标系，平面内的点就可以用 来表示了。如图1，对于平面 内任意一点P,过点P分别向x轴y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a,b分别称为点 P的横坐标、纵坐标，有序实数对（α，b)称为点P的坐标。 第二象限 2 第一象限 3 P(a,b) 3-20123 第三象限-2外 第四象限 0 -3 图1 图2 3.如图2，在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分。右上方的部分称为第 一象限，其他三部分按逆时针方向依次称为第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点 不在任何一个象限内。 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 在第一象限 × 在第二象限 × 在第三象限 在第四象限 + 在正半轴上 0 在x轴上 在负半轴上 0 在正半轴上 0 + 在y轴上 在负半轴上 0 - 原点 0 0 73 假期好时光 BS·数学·八年级·上 【典型例题1】如图所示，点A、点B所在的位置分别是 A.第二象限，y轴上 B.第四象限，y轴上 C.第二象限，x轴上 D.第四象限，x轴上 解析：根据坐标平面的四个象限来判定。点A在第四象限，点B在x轴正 半轴上。故选D。 答案：D 【跟踪练习1】 1.若点(x,y)在第四象限内，则 ( A.x,y同是正数 B.x,y同是负数 C.x是正数，y是负数 D.x是负数，y是正数 2.横坐标是正数，纵坐标的绝对值是正数的点在 A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第二、三象限 D.第一、四象限 【典型例题2】已知点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1。如果过点P作两坐标轴的垂线， 垂足分别在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上，那么点P的坐标是 A(2,-1) B.(1,-2) C.(-2,-1) D.(1,2) 解析：由点P到x轴的距离为2，可知点P的纵坐标的绝对值为2。又因为垂足在y轴的负 半轴上，则纵坐标为-2。由，点P到y轴的距离为1，可知，点P的横坐标的绝对值为1。又因 为垂足在x轴的正半轴上，则横坐标为1。故点P的坐标是(1，-2)。故选B。 答案：B 【跟踪练习2】 1.点M(x,y)在第二象限，且1x=2,Iyl=2,则点M的坐标是 A.(-2,2) B.(2,-2) C.(2,2) D.(-2,-2) 2.点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且在y轴的左侧，则P点的坐标是 知识点二特殊点的坐标 1.如果直线l1∥x轴，那么直线11上的所有点到x轴的距离都相等，即 相等。 2.如果直线L2∥y轴，那么直线L2上的所有点到y轴的距离都相等，即 相等。 【典型例题3】已知点A(m+1,-2),B(3,m-1)。 (1)若直线AB∥x轴，则m的值为 (2)若直线AB∥y轴，则m的值为 解析：(1)因为直线AB∥x轴，所以A,B两点的纵坐标相等，即m-1=-2,解得m=-1。 (2)因为直线AB∥y轴，所以A,B两，点的横坐标相等，即m+1=3,解得m=2。 答案：(1)-1(2)2 【跟踪练习3】 1.平行于x轴的直线上任意两点坐标的关系是 A.纵坐标相等 B.横坐标相等 C.横坐标和纵坐标都相等 D.横坐标和纵坐标都不相等 74 第三章位置与坐标 预习篇 2.过点A(-3,2)和点B(-3,5)作直线，则直线AB () A.平行于y轴 B.平行于x轴 C.与y轴相交 D.与x轴，y轴均相交 知识点三建立适当的平面直角坐标系表示图形中点的位置 描述位置的方法是多种的。建立直角坐标系适合于描述具体不动的事物的位置，也适合比 较几个事物之间的位置和距离关系。一般地，可以建立平面直角坐标系，用坐标表示地理位置。 这在现实生活中有着广泛的应用。建立坐标系表示地理位置的基本步骤： 定：确定原点、坐标轴、正方向、单位长度，一般地，两坐标轴的单位长度要统一，选定比例尺 后，画图尽可能准确些； 画：画出相应的点； 写：写出各点的坐标和各地点的名称。 需要注意的是，选择坐标原点不同，建立的平面直角坐标系也不同，得到的点坐标也不同， 但它们相对应的位置始终不变。 【典型例题4】如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位长度的正方形，若学校的位置坐标 为点A(2,1),图书馆的位置坐标为点B(-1,-2),请解答以下问题： (1)在图中试找出坐标系的原点，并建立平面直角坐标系； (2)若体育馆的位置坐标为点C(1,-3),请在平面直角坐标系中标出 体育馆的位置： (3)顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到三角形ABC,求三角形ABC的 面积。 小斗点拨：(1)根据，点A,B的坐标确定坐标原点的位置，进而建立平面直角坐标系； (2)根据点的坐标的意义描出点C; (3)利用长方形的面积减去三个三角形的面积得到△ABC的面积。 解：(1)原点和直角坐标系如图所示。 (2)点C的位置如图所示。 (3)5am=3x4-7×2x1-7×1x4-7×3x3=45. 图书 【跟踪练习4】 在一次夏令营活动中，主办方告诉营员们A,B两点的位置坐标分别为(-3,1)，(-2，-3)，同 时只告诉营员们活动中心C的坐标为(3,2)（单位：km)。 (1)请在图中建立平面直角坐标系并确定点C的位置； (2)若营员们打算从点B处直接赶往点C处，请用方向角和距离描述点C相对于点B的位置。 75 假期好时光 BS·数学·八年级·上 【典型例题5】如图，已知等腰三角形ABC,AB=AC=5,BC=4,请建立适当的平面直角坐标系， 并求出A,B,C三点坐标。 解：如图，以点B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，过点B与x轴垂直的直线为y轴建立 平面直角坐标系。由题意，可知BC=4,AB=AC=5,作AD⊥BC于点D。则BD=2,AD= √52-2=√2I。所以点A的坐标是(2，√21)，点B的坐标是(0,0)，点C的坐标是(4,0)。 小斗提示：也可以以BC的 中点为坐标原点，BC所在 直线为x轴等，还有多种不 同做法，同学们可以自己动 手尝试 【跟踪练习5】 长方形ABCD的长为4，宽为3，能否建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(2,0)且点B的坐标 为(-2,0)？若不能，请说明理由；若能，请写出C,D两点的坐标。 自主检测一☐ 一、选择题 1.下列各点在第二象限的是 ( A.(-3,0) B.(-2,1) C.(0,-1) D.(2,-1) 2.在第四象限内的点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是4，则点P的坐标为 A.(1,4) B.(4,-1) C.(-4,1) D.(4,1) 3.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-4,3)，AB∥y轴，AB=5,则点B的坐标为 A.(1,3) B.(-4,8) C.(-4,8)或(-4，-2) D.(1,3)或(-9,3) 4.如图所示，平面直角坐标系中四边形的面积是 A.15.5 B.20.5 C.26 D.31 76 第三章位置与坐标 预习篇 5.如图，△ABC顶点C的坐标是(-3,2)，过点C作AB上的高线CD,则垂足D的坐标为() C(-3.2) A.(2,0) B.(-3,0) C.(0,2) D.(0,-3) 二、填空题 6.在平面直角坐标系中，轰炸机机群的一个飞行队形如图所示，若其中两架轰炸机的坐标分别 表示为A(-2,3),B(2,1),则轰炸机C的坐标是 第6题图 第8题图 7.已知点P的坐标为(2-a,6),且点P到两坐标轴的距离相等，则a的值为 8.如图，点A(0,1),点A(2,0),点A2(3,2),点A(5,1),…,按照这样的规律下去，点A2m的坐 标为 三、解答题 9.在平面直角坐标系中，有A(-2,a+1),B(a-1,4),C(b-2,b)三点。 (1)当点C在y轴上时，求点C的坐标； (2)当AB∥x轴时，求A,B两点间的距离； (3)当CD⊥x轴于点D,且CD=1时，求点C的坐标。 10.长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，AD∥x轴，AB∥y轴，已知长方形ABCD 的长为3，宽为2，并且点A的坐标为(-1.5,2)，求长方形的顶点B,C,D的坐标及长方形 AEOM的面积。 7710.解：(1)由图可知，A(5,30).B(2,90), D(4,240),E(3,300), 故答案为(5,30)，(2,90)，(4,240°)， (3,300°)。 (2)根据上北下南左西右东确定方向，用第1个 数乘300确定距离， 所以目标A的实际位置为北偏东60距观测站 1500米，目标B的实际位置为正北方向距观测 站600米，目标D的实际位置为南偏西30°距观 测站1200米，目标E的实际位置为南偏东30 距观测站900米。 (3)用(2)的反向方法计算可得G(2.5,315), H(3.290°)。 11.解：(1)学校在小明家北偏东45°方向，距离为 2km处，博物馆在小明家南偏东50°方向，距离 为4km处。 (2)图中到小明家距离相同的是学校、公园和 影院。 (3)如图，点F即为小强家。 北 小强家F60 净8 西你东 650 .E公园 影院 B 高铁站 南 博物馆 2平面直角坐标系 知识点讲解 知识点一 1.互相垂直x轴或横轴y轴或纵轴原点 2.一组有序实数对 【跟踪练习1】 1.C2.D 【跟踪练习2】 1.A 2.(-3,2)或(-3，-2) 知识点二 1.纵坐标2.横坐标 【跟踪练习3】 1.A2.A 知识点三 【跟踪练习4】 解：(1)根据点A(-3,1),点B(-2,-3)画出平面 直角坐标系，描出点C(3,2),如图所示。 (2)如图，连接BC。因为BC=5、2km,所以点C在 点B北偏东45°方向上，距离点B52km处。 【跟踪练习5】 解：能建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(2,0) 且点B的坐标为(-2,0)。根据已知条件符合要求 的有两种情况： 第一种情况如图所示。 由图可知，点C的坐标为(-2,3)，点D的坐标为 (2,3)。 第二种情况如图所示。 由图可知，点C的坐标为(-2，-3)，点D的坐标为 (2,-3)。 自主检测 1.B2.B 3.C【解析】因为AB∥y轴，所以A,B两点的横坐 标相同。又因为AB=5,所以，点B的纵坐标为3+ 5=8或3-5=-2。所以点B的坐标为(-4，-2) 或(-4,8)。故选C。 4.A【解析】图中四边形可以视为由两个直角三角 形和一个梯形构成，则其面积为2×2×3+)× (6+4)x3+2x1x4=3++2=15.5。 故选A。 5.B【解析】因为点C(-3,2),所以点D的横坐标 与点C的横坐标相等。又因为点D在x轴上，所 以，点D(-3,0)。故选B。 6.(-2,-1)【解析】由A,B的坐标可知平面直角 坐标系的位置。如图所示，轰炸机C的坐标是 19 (-2,-1)。 7.-4或8【解析】因为点P到两坐标轴的距离相 等，所以12-al=6。所以2-a=6或2-a=-6, 解得a=-4或a=8。 8.(3038,1012)【解析】观察图形，得点A,(2,0), A3(5,1),As(8,2),…,A24-1(3n-1,n-1): A2(3,2),A(6,3),A6(9,4),…,A2.(3n,n+1)。 因为2025是奇数，且2025=2n-1,所以n= 1013。所以点A2s(3038,1012)。 9.解：(1)因为点C在y轴上， 所以b-2=0,解得b=2。 所以点C的坐标为(0,2)。 (2)因为AB∥x轴，所以A,B两点的纵坐标相同。 所以a+1=4,解得a=3。 所以点A(-2,4),B(2,4) 所以A,B两点间的距离=2-（-2)=4 (3)因为CD⊥x轴.CD=1,所以1b1=1, 解得b=±1。 所以点C的坐标为(-1,1)或(-3，-1)。 10.解：因为AD∥x轴，AB∥y轴， 点A的坐标为(-1.5,2)， 所以AM=1.5,AE=2。 因为长方形ABCD的长为3，宽为2， 所以AB=CD=3,AD=BC=2。 所以BE=CF=1,MD=CN=0.5。 所以点B的坐标为(-1.5，-1)，点C的坐标为 (0.5,-1),点D的坐标为(0.5,2)。 故长方形AE0M的面积=1.5×2=3。 3轴对称与坐标变化 知识点一 相同互为相反数相同互为相反数分别互 为相反数 【跟踪练习1】 1.C2.A 知识点二坐标点 【跟踪练习2】 解：如图所示，点A,(2,3),B,(3,2),C,(1,1)。 20 自主检测 1.C2.A3.B 4.C【解析】如图，过点C作CD⊥B0,垂足为D。 因为∠OCB=90°，OC=BC,CD⊥B0,所以BD= D0,∠DC0=∠COD=45°。所以DC=BD= D0=4。所以点C(-4,4)。所以点C关于y轴 对称的点的坐标是(4,4)。故选C。 5.D【解析】由点A,E的坐标分别为(a,b),(-a,b) 知A,E两点关于y轴对称，则B,D两点也关于y 轴对称。因为点B(3,1),所以点D(-3,1)。 故选D。 6.-1【解析】因为点P,(a-1,6)和点P(3,b-1) 关于x轴对称，所以a-1=3,b-1=-6,解得 a=4,b=-5。所以(a+b)205=-1。 7.(-5,-3)【解析】因为点A在第二象限，且距 x轴3个单位长度，距y轴5个单位长度，所以点 A的横坐标是-5，纵坐标是3。所以，点A的坐标 为(-5,3)。所以，点A关于x轴的对称点A'的坐 标为(-5，-3)。 8.(-2,9)【解析】由题意知，A,B的横坐标相同， 纵坐标互为相反数，可知该对称图形的对称轴为 x轴。所以点C(-2,-9)关于x轴的对称，点为 (-2.9)。 9.(1)(-a,-b)(2)(a,-b)【解析】由图可知， 4次变换为一个循环组依次猜环，因为10÷4= 2…2,所以第10次变换为第3循环组的第2次 变换，此时点A在第三象限，坐标为(-，-b)。 因为2025÷4=506…1，所以第2025次变换为 第507次循环组的第1次变换，此时点A在第四 象限，坐标为(a,-b)。 10.解：因为△ABC关于x轴进行轴对称变换后，得 到△A,B,C,△ABC三个顶点坐标分别为点A