（八上预习篇）第1章 勾股定理 章末预习自测-【假期好时光】2025年新教材数学七升八暑假作业（北师大版2024）

问题解决策略：反思 知识点讲解 【跟踪练习】 解：将长方体侧面展开如图所示，连接AB。 根据勾股定理，得AB2=42+32=25。 所以AB=5cm。 所以所用细线最短为5cm。 自主检测 1.D2.B3.A4.B 5.10cm 6.10cm【解析】如图，将杯子侧面展开，作点A关 于EF的对称点A',连接A'B, A' D 则A'B即为最短距离。 在Rt△A'DB中，由勾股定理，得A'B=10cmo 所以蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距 离为10cm。 7.5 8.解：根据题意，路径有以下三种情况： B 图1 图2 图3 (I)沿AM',A'C',CB',B'B,BC,CA剪开，得图1， AB2=AB2+BB2=(4+2)2+82=100。 (2)沿AC,CC,CB,BD,DA',A'A剪开，得图2， AB2=AC+BC=42+(8+2)2=16+100=116。 (3)沿AD,DD',DB',BC,CA',A'A剪开，得图3， AB2=AD+BD=22+(4+8)2=4+144=148。 综上所述，最短路径应为图1所示，所以AB2= 100,即AB'=10dm。因此最短路程是10dm。 9.解：如图，将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一 半，作点A关于EG的对称点A',连接A'B交EG 于F,延长BG,点过A'作A'D⊥BG于点D,则蚂蚁 吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即 A'F+BF=A'B=20cm。 A'5:D 因为AE=A'E=DG=4cm, 所以BD=16cm。 Rt△A'DB中， 由勾股定理，得A'D=12cm, 即该圆柱底面周长为24cm。 10.解：如图，将木块展开，相当于是AB与2个正方 形的宽之和， M 所以长为7+2×0.5=8（米），宽AD=6米。 82+62=100,102=100。 所以最短路程是10米。 章末预习自测 1.D2.D3.C4.A 5.D【解析】如图，由题意，得ED=a,AE=ba H G 因为大正方形的面积为17，所以AD2=17。 因为AD2=AE2+ED2=a2+b2,所以a2+b2=17。 因为(a+b)2=23, 所以(a-b)2=2(a2+b2)-(a+b)2=2×17-23 =11。 因为EF=ED-DF=a-b, 所以小正方形的面积为EF=(a-b)2=11。 故选D。 6.D【解析】因为“远航”号沿东北方向航行，“海 天”号沿西北方向航行， 所以∠1=∠2=45°. 所以∠RPQ=∠1+∠2=90°。 因为“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每 小时航行12海里，它们离开港口1,5小时， 所以PQ=16×1.5=24(海里)， 11 PR=12×1.5=18(海里)。 在直角三角形PRQ中，由勾股定理，得 QR2=PR2+PQ2=242+182=302, 所以QR=30海里。 所以此时两船的距离是30海里。 故选D。 7.C【解析】因为7=49,152=225,202=400， 242=576,252=625, 所以72+242=252,152+202=252。 所以用7,24,25三根木棒能摆成直角三角形， 用15,20,25三根木棒能摆成直角三角形。 故选C。 8.A【解析】因为A01OB, 所以△AOB是直角三角形。 所以AB2=A0+BO。所以AB=10。 因为以点A为圆心，AB的长为半径画孤，交射线 A0于点C, 所以AC=AB=10。所以0C=AC-A0=10-8=2 故选A。 9.5 10.2【解析】如图，过D作DH⊥AC于点H, AH C 所以∠HAB=∠ABD=∠AHD=90°. 所以四边形ABDH是长方形。 所以AH=BD,AB=DH。 设AH=BD=x米。 因为D+CH=CD2, 所以152+(10-x)2=(19-x)2, 解得x=2。 所以点D与点B的水平距离为2米。 11.1412.17 13.45【解析】如图，连接AC。 由题意，得AC2=12+22=5,BC2=12+2=5, AB2=12+32=10, 所以AC2+BC2=AB。 12 所以△ABC是直角三角形。所以∠ACB=90°。 因为AC2=BC2=5,所以AC=BC。 所以∠ABC=∠CAB=45°. 14.139【解析】根据题意知，AB2=25,AC2=144, 所以AB=5,AC=12。所以BC=13。 所以S影=BC-AB:AC=132-7×5x12= 139。 15.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3, BC=4, 所以AB2=AC2+BC2=25。所以AB=5。 (2)因为Sw=24C,BC=2CD·AB, 所以3×3x4=号CDx5,解得cD=号。 故高CD的长为导。 16.解：因为AC=10米，BC=24米，AB=26米， 所以AC2+BC2=AB2=676。 所以∠ACB=90°。 当CD⊥AB时，水渠的造价最低， 此时Sam=24B.CD=4C,BC, 则04GC.10g24-8米。 AB 26 gx130=120(元). 答：当水果的造价最低时，CD的长为米，最低 造价是1200元。 17.解：如图，连接AC。 因为∠B=90°，AB=9m,BC=12m,CD=8m, AD=17 m, 所以△ABC是直角三角形。 所以AC=AB2+BC2=92+12=152。 因为AC2+CD2=152+82=289=172=AD2, 所以△ACD是直角三角形，∠ACD=90°。 所以Sg助形cD=SABc+S△4cD =7AB·BC+24C.CD =x9x2+分x15x8 =54+60=114(m2)。 答：四边形ABCD展区的面积为114m2。 18.解：(1)如图1所示，过点A作AE⊥CD于点E, 则四边形ABDE是长方形， 所以AE=BD=8米，AB=DE=1.5米。 在Rt△ACE中，CE2=AC2-AE2=102-82=62, 所以CE=6米。 所以CD=CE+CD=6+1.5=7.5米。 -E QE B ■ p 图1 图2 (2)能成功。理由如下： 假设能上升9米，如图所示，延长DC至点F,连 接AF,则CF=9米， 所以EF=CE+CF=6+9=15米。 在RL△AEF中，AF2=AE2+EF2=82+152=17 所以AF=17米。 因为AC=10米，剩余线仅剩7.5米， 所以10+7.5=17.5>17。 所以能上升9米，即能成功。 19.解：(1)因为AB=12m,BC=9m,∠ABC=90°， 所以AC2=AB2+BC2=122+92=152。 所以AC=15米。 答：这条直道AC的长度为15m。 (2)因为AC=15m,CD=8m,AD=17m, 所以CD2+AC=82+152=289=17=AD2。 所以∠ACD=90°。 所以整块空地的面积为Saac+SA4cm=2×9× 12+7x15x8=114(m)。 400×30%=120(m2)。 因为114<120， 所以上述设计方案不符合规划要求。 20.解：(1)第一、二小组的方案都可行。理由如下： 第-小组：因为0B2+0A2=(3a)2+(4a)2=25a2, 若AB2=(5a)2=25a2,则0B2+0A2=AB2, 所以∠AOB=90°。所以OA⊥OB,即M0⊥PN。 第二小组：因为AC=BC, 若OC=BC,则AC=OC=BC, 所以∠OAC=∠AOC,∠BOC=∠OBC. 又因为∠OAC+∠B0C+∠AOC+∠OBC=180°， 所以∠OAC+∠OBC=∠AOC+∠BOC=90°。 所以∠AOB=90°。所以OA⊥OB,即MO⊥PN。 (2)如图，在射线OM, ON,OP上分别取点A, B,C,放置绳子AB,AC, 使AB=AC,用叠合法比 P C O B N 较OC与OB的长度，若OC=OB,则墙体与地面 垂直，即M0⊥PN于点O,否则不垂直。 因为AB=AC,所以△ABC是等腰三角形。若 OB=OC,则OA是△ABC的中线。所以由等腰 三角形性质可知OA⊥BC,即MO⊥PN。 第二章实数 1认识实数 知识点讲解 知识点一 1.有限小数无限循环小数 2.无理数 【跟踪练习1】 1.C 2解：1)有理数有-，-1.42,3.1416，号，0,4， (-1)2。 (2)无理数有π，-1.424224222…（相邻两个4 之间2的个数逐次加1)。 知识点二 【跟踪练习2】 1.23【解析】由勾股定理可知a2=12+22=5。 因为22=4<5,32=9>5，所以2<a<3。所以这 两个相邻的整数为2和3。 2.解：由正方形的面积公式可知a2=13。 因为32=9<13,42=16>13，所以3<a<4。 所以a的整数部分为3。 因为3.62=12.96<13,3.7=13.69>13， 所以3.6<a<3.7。 所以估计面积为13的正方形的边长a的值为3.6。 自主检测 1.A2.D3.A4.D5.A 6.π+1（答案不唯一） 7.π-2（答案不唯一） 13第一章勾股定理 预习篇 章未预习自测 (时间：60分钟满分：100分)】 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.下列各组数是勾股数的是 ( A.13,14,15 B.6,8,11 C.0.3,0.4,0.5 D.5,12,13 2.△ABC的三边长分别为a,b,c,下列不能判断△ABC为直角三角形的是 A.a:b:c=3:4:5 B.a2=(b-c)(b+c) C.∠A-∠B=∠C D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 3.某茅屋的屋顶剖面呈等腰三角形，如图，如果屋檐AB=AC=10米，横梁BC=16米，那么从梁 BC上的任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处（连接处的损耗不计），这根木头的长度可能 是 () A.5米 B.12米 C.8米 D.16米 20 P 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 4.新素养〔空间观念〕如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是20dm,3dm,2dm,A 和B是这个台阶上两个相对的端点，A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁沿台阶 面爬行到B处的最短路程为 ( ) A.25 dm B.26 dm C.24 dm D.27 dm 5.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲。如图所示的“赵 爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形 较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=23,大正方形的面积为17，则小正方形的 面积为 A.5 B.7 C.9 D.11 6.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一 固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行16海里，“海天”号沿西北方向航行，每 小时航行12海里。它们离开港口1.5小时后分别位于点Q,R处，此时两船的距离是() A.32海里 B.42海里 C.40海里 D.30海里 7.五根小木棒的长度分别为7,15,20,24,25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的 是 ( 15 24 24 20 15 24 25 C.15 24 25 20 25 45 假期好时光 BS·数学·八年级·上 8.如图，直线AO⊥OB,垂足为O,线段A0=8,B0=6,以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交射 线AO于点C,则OC的长为 () A.2 B B.3 C.4 D.5 C O 二、填空题（每小题4分，共24分） 9.如图，AB⊥L1,CB⊥l2,且AB=12,AC=5,BC=13,则点C到直线AB的距离是 C 主题情境人民英雄一消防员请完成第10~11题 10.如图，在地面1上有一口井，井口位于点A的位置，井身与地面垂直。一个孩子在玩耍时不 慎掉入井中卡在距离地面15米的点B位置。救援人员接到通知后迅速赶到商讨救援方案， 由于井身太窄，救援人员无法直接进人，在井身附近挖掘又怕引起塌方伤到孩子。最终决定 从距离井口10米的点C处开始斜向径直挖掘到与点B同一水平高度的点D处，再横向挖 掘到点B。若计划挖掘隧道的总长度为19米，则点D与点B的水平距离为 米。 D BD 第10题图 第11题图 11.新情现〔实际情境〕高楼层发生火灾时，救援人员通常会使用云梯来解救被困在屋子里的人。 一辆臂长AB=26m,底座高AG=2m的曲臂高空云梯在AG处，解救离地面高12m的点B 处(BF=12m)的被困人员，解救成功后发现点B正上方14m高的D处还有一个被困人员， 若要保持臂长不变，即CD=26m,则救援车水平行驶的距离（即AC长）为 m 12.如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，若正方形A,B,C,D的面积分别是4,6,3,4，则最大正方形E的面积是 0 E 第12题图 第13题图 13.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，A,B,C 是小正方形的顶点，则∠ABC=°。 46 第一章勾股定理 预习篇 14.如图，以Rt△ABC的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形ABFG,正方形 ACDE的面积分别为25,144，则阴影部分的面积为 0 三、解答题（共52分） 15.(6分)在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高。 (1)求斜边AB的长； (2)求高CD的长。 16.(8分)学校内有一块如图所示的三角形空地，计划开辟为生物园，测得AC=10米，BC=24 米，AB=26米。如果沿CD修一条水渠且点D在边AB上，水渠的造价为130元/米，当水渠 的造价最低时，CD的长为多少米？最低造价是多少元？ AD B 17.(8分)怀仁民俗博物馆是一座集历史、人文、民俗、民风、书画艺术为一体的综合性博物馆。 馆内收藏文物20000多件，其中近一万件为红色文物。该博物馆将一块四边形场地布置成 展区，反映怀仁传统民俗、民间技艺，现测得AB=9m,BC=12m,CD=8m,AD=17m,且 ∠B=90°。求四边形ABCD展区的面积。 47 假期好时光 BS·数学·八年级·上 18.(8分)天天和津津放风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度。 以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5米。 D 已知A,B,C,D四点在同一平面内。 (1)求风筝离地面的垂直高度CD; (2)在测高的过程中天天提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要 风筝沿射线DC方向再上升9米，BD长度不变，能否成功呢？请你帮助解决他提出的 问题。 19.(10分)某占地面积为400m2的办公区准备建设一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化，该办 公区的规划如图所示。已知AB=12m,BC=9m,CD=8m,AD=17m,∠ABC=90°。 (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条连接点A到点C的直道，求 这条直道AC的长度； (2)若规划时，要求该办公区的绿化面积不低于30%，请判断上述设计方案是否符合规划要 求？并说明理由。 办公楼 绿化因B 值 街道 8 第一章勾股定理 预习篇 20.(12分)新情境〔项目式学习〕为了测量如图墙体是否与地面垂直，即M0是否垂直PN于点 0,在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个 数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案，其中第一、二小组的设计方案如表。 问题 如何测量墙体是否与地面垂直？ 工具 若干条无弹性的绳子 小组 第一小组 第二小组 第三小组 模仿古埃及人用结绳的方法，在 如图2，在射线OM,ON上分 一条绳子上打13个结，得到12 别取点A,B,放置绳子AB, 条线段，且用叠合法使得这12条 对折AB得到相等的两段 线段都相等，设每一条线段长为 测量 AC,BC,放置绳子OC,用叠 a。如图1，放置这总长是12a的 方案 合法比较OC与BC的长度， 绳子，使在OM上的绳子OA= 若OC=BC,则墙体与地面 4a,在ON上的绳子0B=3a,若 垂直，即M0⊥PN于点O, AB=5a,则OA⊥OB,即M0⊥PN 否则不垂直。 于点0，否则不垂直。 测量 示意图 0 图1 图2 图3 (1)第一、二小组的方案可行吗？请说明理由； (2)请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案， 并画出测量示意图，然后说明方案的可行性。 M 49