（八上预习篇）第1章 3 勾股定理的应用-【假期好时光】2025年新教材数学七升八暑假作业（北师大版2024）

假期好时光 BS·数学·八年级·上 3勾股定理的应用 一学习目标 1.会用勾股定理求解立体图形上两点的最短距离问题。 2.应用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题。 3.在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力。 厂知识点讲解了 知识点利用勾股定理解决实际问题 勾股定理解决实际问题的关键是准确地找出直角三角形的相应边长的等量关系。 【典型例题】一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是6cm,内壁高8cm。 若这支铅笔在笔筒外面部分长度是5cm,求这支铅笔的长度是多少？ 小斗提示：在实际问题中抽象出直角三角形，并找出斜边与直角边，列出等量 关系完成计算。 解：根据题意，可得AB=8cm,BC=6cm,所以AC2=AB2+BC=100。 所以AC=10cm。 因为这支铅笔在笔筒外面部分长度是5cm,所以这支铅笔的长度是10+5=15(cm)。 【跟踪练习】 新素养〔抽象能力〕如图，一棵垂直于地面且高度为16米的“风景树”被台风从B处折断，树顶A 落在离树底部C的8米处，求这棵树在离地面多高处被折断。 B 一自主检测 一、选择题 1.如图是一块长为80米，宽为60米的长方形菜地ABCD,王大伯要从A处到C处去，则沿AC 比沿AB→BC少走 () A.20米 B.30米 C.40米 D.50米 北 60米 西 B 80米 南 第1题图 第2题图 2.如图，在水塔0的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工地 B,在AB间建一条水管，则水管的长为 A.45m B.40m C.50m D.56m 40 第一章勾股定理 预习篇 3.如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B,然后把中点C垂直向上拉升 3cm至点D,则橡皮筋被拉长了 () A.2 cm B.3 cm C.4cm D.6 cm 感应器 A DO C B水平面 B C 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 4.如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A,离地距离AB=2米，当人体进入感应范围内 时，感应门就会自动打开，一个身高1.5米的学生CD刚走到离门间距CB=1.2米的地方时， 感应门自动打开，则该感应器感应长度AD为 () A.1.2米 B.1.3米 C.1.5米 D.2米 二、填空题 5.如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端与墙角的距离AC长为4米，梯子的长为5米，则梯子与 墙角的距离BC为 米。 6.如图，在实践活动课上，小红打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还 多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部 5m,若设学校旗杆的高度是xm,则可列方程为 三、解答题 7.断情境〔趣味情境〕如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=0.5m,将它往 前推送1.5m(水平距离BC=1.5m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=1m,秋千的绳索 始终拉得很直，求绳索AD的长度。 8.如图是某超市儿童玩具购物车的侧面简化示意图。测得支架AC=24cm,CB=18cm,两轮中 心的距离AB=30cm。 (1)判断支架AC,BC是否垂直； (2)求点C到AB的距离。 9.数学课上老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片ABC,已知底边BC=20cm,D是腰AB上 一点，且CD=16cm,BD=12cme (1)请你判断△BCD的形状，并说明理由： (2)求三角形腰AB的长度。 4110.解：如图，连接BE。 B :DL E.. 由勾股定理，得BC2=EC2=32+12=10, BE2=22+42=20, 所以BC2+EC=BE。 所以∠BCE=90°。所以BC⊥CE。 11.解：(1)如图，连接BD。 A D 因为边AB上的垂直平分线为DE,所以AD=BD。 因为CB2=AD2-CD2,所以CB2=BD2-CD。 所以CB2+CD2=BD。所以∠C=90°。 (2)设CD=龙，则AD=BD=4-x。 在Rt△BCD中，BD2-CD2=BC2, 即(4-x)2-x2=32 潮得名。 所以cD的长为名。 3勾股定理的应用 知识点讲解 【跟踪练习】 解：由题意，得BC+BA=16米，AC=8米，BC⊥AC。 由勾股定理，得BC2+AC=AB2, 即BC2+82=(16-BC)2。 解得BC=6, 即这棵树在离地面6米处被折断。 自主检测 1.C2.B3.A 4.B【解析】如图，过，点D作DH⊥AB于点H。 因为∠DCB=∠B=∠DHB=90°， 感应器，A 所以四边形CDHB是长方形。 所以BC=DH=1.2米， CD=BH=1.5米。 10 因为AB=2米， 所以AH=AB-BH=2-1.5=0.5米。 所以AD2=AH+DH=0.52+1.22=1.3。 所以AD=1.3米。 故选B。 5.36.x2+52=(x+1)2 7.解：由题意知，CD=BF-DE=1-0.5=0.5m。 设AD=AB=xm,则AC=(x-0.5)m。 在Rt△ACB中，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2, 即(x-0.5)2+1.52=x2。 解得x=2.5。 所以绳索AD的长度为2.5m。 8.解：(1)因为AC=24cm,CB=18cm,AB=30cm, 所以AC2+BC2=242+182=900,AB2=900。 所以AC2+BC2=AB2。 所以△ABC是直角三角形（∠ACB=90)。 所以AC⊥BC。 (2)如图，过点C作CD⊥AB于点D。 因为△ABC的面积=之AC·BC=2AB·CD, 所以24×18=30CD,解得CD-号 即点C到AB的距离为}号em。 9.解：(1)△BCD为直角三角形。 理由如下： 因为BC=20cm,D是腰AB上一点， 且CD=16cm,BD=12cm, 所以BD2+CD2=162+122=400,BC2=202=400。 所以BD2+CD2=BC。 所以△BCD为直角三角形。 (2)设腰长AB=AC=xcm, 则AD=(x-12)cm。 由(1)可知∠ADC=∠BDC=90°， 由勾股定理，可知AD2+CD2=AC2, 即(x-12)2+162=2,解得x=9。 所以三角形腰AB的长度为智cm。