（八上预习篇）第1章 2 一定是直角三角形吗-【假期好时光】2025年新教材数学七升八暑假作业（北师大版2024）

假期好时光 BS·数学·八年级·上 2 一定是直角三角形吗 学习目标☐ 1.探索直角三角形的判别方法。 2.了解勾股数，能够识别一组数是否为勾股数。 3.能够通过判断直角三角形来解决一些实际问题。 厂知识点讲解一 知识点一直角三角形的判别条件 如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是直 注意：一般情况下，a,b 角三角形。 分别表示三角形中较 利用三角形的边长判定一个三角形是否为直角三角形的一般步骤： 短两边的长，c表示三 (1)确定最长边； 角形中最长边的长 (2)计算较短两边的平方和及最长边的平方； (此时∠C为直角)。 (3)比较计算结果，做出判断，相等则是，否则不是。 【典型例题1】下列各组数能作为三角形的三边长构成直角三角形的是 ( A.12,16,22 B.2,2.4,2.5 C.1,2,5 D.0.6,0.8,1 小斗提示：根据利用三角形边长判定一个三角形是否为直角三角形的一般步骤，进行计算 并判断。 解析：A.最长边为22,122=144,162=256,222=484,144+256=400≠484，所以此三角形不 是直角三角形； B.最长边为2.5,22=4,2.42=5.76,2.52=6.25,4+5.76=9.76≠6.25，所以此三角形不是 直角三角形； C.1,2,5无法构成三角形； D.最长边为1,0.62=0.36,0.82=0.64,12=1,0.36+0.64=1，所以此三角形是直角三角形。 答案：D 【跟踪练习1】 1.下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是 A.1,2,3 B.6,12,13 C.40,50,60 D.1.5,3.6,3.9 2.在△ABC中，AB=15,BC=20,AC=25,求∠A+∠C的度数。 知识点二勾股数 小贴士：一组勾股数中的各数同时扩 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为 大相同的整数倍能得到一组新的勾 【典型例题2】判断下列各组数是否为勾股数。 股数，即若a,b,c是一组勾股数，则 0345(2)分45(3)34,5：49.4041。 ka,b,hc(k为正整数)也是勾股数。 36 第一章勾股定理 预习篇 小斗提示：判断勾股数时，需要从两个方面入手： ①它们是不是正整数； ②是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方。 解：(1)32+42=9+16=25=52，且3,4,5均为正整数，所以这组数是勾股数。 (2)号，4号不是正整数，所以这组数不是勾股数。 (3)32=9,42=16,52=25,92+162=81+256=337,252=625,337≠625，所以这组数不是勾 股数。 (4)92+402=81+1600=1681=412,且9,40,41均为正整数，所以这组数是勾股数。 【跟踪练习2】 1.下列各组数属于勾股数的是 A.1,2,3 B.0.3,0.4.0.5 C.7,24,25 D.9,12,13 2.观察以下勾股数，并寻找规律：①3,4,5：②6,8,10：③9,12,15④12,16,20…请你写出具有 以上规律的第9组勾股数： 知识点三直角三角形判定的应用 【典型例题3】一木工师傅做了一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm,宽为32cm,对角线长 为68cm,则这个长方形的桌面合格吗？为什么？ 小斗提示：判断长方形的桌面是否合格，需要根据已知数据，判断是否为直角。因此需要用 到直角三角形的判定。 解：这个长方形的桌面合格。理由如下： 因为602=3600,322=1024,682=4624，且3600+1024=4624， 所以602+322=682。 所以这三条边可以构成一个直角三角形，最长边为长方形的对角线。 所以这个长方形的桌面合格。 【跟踪练习3】 如图所示，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以30海里/时的速度向北偏东35°的方向航行， 乙船以40海里/时的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C,B两 岛相距100海里，则乙船航行的角度是南偏东多少度？ 北 37 假期好时光 BS·数学·八年级·上 自主检测一 一、选择题 1.下列各组线段中，可以组成直角三角形的是 A.4 cm,5 cm,6 cm B.1.5 cm,2 cm,2.5 cm C.2 cm,4 cm,4 cm D.1 cm,1.5 cm,3 cm 2.三角形的三边长分别为a,b,c,下列条件不能判断它是直角三角形的是 A.a:b:c=8:16:17 B.a2-b2=c2 C.a2=(b+c)(b-c) D.a:b:c=13:5:12 3.下列四组数中，不是勾股数的是 A.3,4,5 B.9,12,15 C.5,6,7 D.7,24,25 4.在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格 中。当a=24时，b+c的值为 6 8 10 12 14 *中 b 8 15 24 35 48 + 10 17 26 37 50 A.162 B.200 C.242 D.288 5.如图，在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A,B,C,D,E,F,G七个点，则在下列 任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是 ( G A.点A,点B,点D B.点A,点C,点G C.点B,点E,点FD.点B,点G,点E 二、填空题 主题情境《周髀算经》请完成第6~7题 6.勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五。”我国古代把直角三角形的直角 边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”。观察下列勾股数：3,4,5； 5,12,13;7,24,25；…,这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差1。柏拉图研究了勾为偶 数，弦与股相差为2的一类勾股数：6,8,10；8,15,17；…，若此类勾股数的勾为10，则其弦 是 7.勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”。对任意正整数α (a≠1)，6，当a为偶数，号=6+6+2，则a6,6+2为一组~勾股数”。若-组“勾股数“中的a 为偶数，且其中一个数为8，则b对应的数为 。(写出一个符合题意的数即可) 38 第一章勾股定理 预习篇 8.如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min,甲客轮用15min到达点A, 乙客轮用20min到达点B。若A,B两点的直线距离为1000m,甲客轮沿着北偏东30°的方 向航行，则乙客轮的航行方向是 -o 北 B 0 东 三、解答题 9.如图所示，某中学有一块空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量AD=8m, CD=6m,∠D=90°，AB=26m,BC=24m。求出该空地的面积。 D 10.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△CDE的顶点均在网 格格点上。试说明：BC⊥CE。 11.如图，在△ABC中，边AB上的垂直平分线DE与AB,AC分别交于点E,D,CB2=AD-CD。 (1)试说明：∠C=90°； (2)若AC=4,BC=3,求CD的长。 39根据题意，得子×(2)m=9m,3x(2 =16m, 所以a2=72,b2=128。所以a2+b2=c2=200。 所以=7×(2)m=gm=g×20m =25T。 故选D。 5.126.24 7.18【解析】如图，连接AC。 S D 因为S=8,S2=11,S=15, 所以AD2=8,AB2=11,BC2=15。 在Rt△ABC与Rt△ADC中， 由勾股定理，得AC2=AB2+BC2=26, CD2=AC2-AD2=18。 所以S4=18。 8.1【解析】因为S玉齐形EGa=S者形BCD-4S△ABs= 52-4×6=1, 所以正方形EFGH的边长为1。 9.解：已知直角三角形花园的两条直角边长度分别 为12米和5米，设斜边长度为c米。 根据勾股定理，可得 c2=122+52=144+25=169, 所以c=13。 20×13=260(元)。 答：购买安装斜边栅栏所需的费用是260元。 10.解：(1)a2-b2（a+b)(a-6) 2 (a+b)(a-b)a2-b2=(a+b)(a-b) (2)阴影部分面积a2-b2=a(a-b)+b(a-b) =(a+b)(a-b), 所以a2-b2=(a+b)(a-b)。 (3)由题意，得(a-b)2+4×分×ab=2, 所以a2-2ab+b2+2ab=c2。所以a2+b2=c2。 2一定是直角三角形吗 知识点讲解 知识点一a2+b2=c2 【跟踪练习1】 1.D 2.解：△ABC中的最长边为AC=25, AB2=152=225,BC2=202=400,AC2=252=625, 225+400=625,即AB2+BC2=AC2, 所以△ABC是直角三角形，且AC为斜边，∠B为 直角。 所以∠A+∠C=90°。 知识点二勾股数 【跟踪练习2】 1.C 2.27,36,45 【跟踪练习3】 解：甲船2小时的路程AC=30×2=60(海里)，乙船 2小时的路程AB=40×2=80(海里)。 因为602+802=1002，所以∠BAC=90°。 因为C岛在港口A北偏东35°方向， 所以B岛在港口A南偏东55°方向。 所以乙船航行的角度是南偏东55°。 自主检测 1.B2.A3.C4.D5.C 6.267.15(答案不唯一) 8.北偏西60°【解析】0A=40×15=600(m), 0B=20×40=800(m)。 因为6002+8002=10002， 所以甲和乙两艘客轮的航行路线呈垂直关系。 因为甲客轮沿着北偏东30°的方向航行， 所以乙客轮的航行方向是北偏西60°。 9.解：如图，连接AC。 在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=62+82=102。 在△ABC中，AB2=262,BC2=242, 而102+242=262， 即AC2+BC2=AB2, 所以∠ACB=90°。 SaEa=Sa-Saa=24C·BC-2AD·CD =7×10x24-2×8x6=6(m)。 答：该空地的面积为96m2。 10.解：如图，连接BE。 B :DL E.. 由勾股定理，得BC2=EC2=32+12=10, BE2=22+42=20, 所以BC2+EC=BE。 所以∠BCE=90°。所以BC⊥CE。 11.解：(1)如图，连接BD。 A D 因为边AB上的垂直平分线为DE,所以AD=BD。 因为CB2=AD2-CD2,所以CB2=BD2-CD。 所以CB2+CD2=BD。所以∠C=90°。 (2)设CD=龙，则AD=BD=4-x。 在Rt△BCD中，BD2-CD2=BC2, 即(4-x)2-x2=32 潮得名。 所以cD的长为名。 3勾股定理的应用 知识点讲解 【跟踪练习】 解：由题意，得BC+BA=16米，AC=8米，BC⊥AC。 由勾股定理，得BC2+AC=AB2, 即BC2+82=(16-BC)2。 解得BC=6, 即这棵树在离地面6米处被折断。 自主检测 1.C2.B3.A 4.B【解析】如图，过，点D作DH⊥AB于点H。 因为∠DCB=∠B=∠DHB=90°， 感应器，A 所以四边形CDHB是长方形。 所以BC=DH=1.2米， CD=BH=1.5米。 10 因为AB=2米， 所以AH=AB-BH=2-1.5=0.5米。 所以AD2=AH+DH=0.52+1.22=1.3。 所以AD=1.3米。 故选B。 5.36.x2+52=(x+1)2 7.解：由题意知，CD=BF-DE=1-0.5=0.5m。 设AD=AB=xm,则AC=(x-0.5)m。 在Rt△ACB中，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2, 即(x-0.5)2+1.52=x2。 解得x=2.5。 所以绳索AD的长度为2.5m。 8.解：(1)因为AC=24cm,CB=18cm,AB=30cm, 所以AC2+BC2=242+182=900,AB2=900。 所以AC2+BC2=AB2。 所以△ABC是直角三角形（∠ACB=90)。 所以AC⊥BC。 (2)如图，过点C作CD⊥AB于点D。 因为△ABC的面积=之AC·BC=2AB·CD, 所以24×18=30CD,解得CD-号 即点C到AB的距离为}号em。 9.解：(1)△BCD为直角三角形。 理由如下： 因为BC=20cm,D是腰AB上一点， 且CD=16cm,BD=12cm, 所以BD2+CD2=162+122=400,BC2=202=400。 所以BD2+CD2=BC。 所以△BCD为直角三角形。 (2)设腰长AB=AC=xcm, 则AD=(x-12)cm。 由(1)可知∠ADC=∠BDC=90°， 由勾股定理，可知AD2+CD2=AC2, 即(x-12)2+162=2,解得x=9。 所以三角形腰AB的长度为智cm。