（八上预习篇）第1章 1 探索勾股定理-【假期好时光】2025年新教材数学七升八暑假作业（北师大版2024）

第一章勾股定理 预习篇 预习篇 八年级上册 第一章 勾股定理 「衔接思维导图] 内容两直角边的平方和=斜边的平方 公式2+h2e2 (c是斜边) 概念 图丞刻 一正整数a,b,e 勾股数定义 a2+h2-e2 a,b,c为勾股数 -例如：3,4.5：6,8,10：5,12,13 。知识 「年领下研西京角形】 赵奥弦图 4xab+(a-by-c2 :三角系直角三角形三边关系勾股定理 证明 毕达拉斯州图 一a+h2-4x号ah+c2 -2b2e2 一三角形是雀角三角形 逆定理 1定确定最长边 过程 2算最长边的平方。 另外两边的平方和 3比较敏水边的平方，用空是直角三角形 另外两边的平方和 条件 在直角三角形中 应用 一已知两边求第三边 类型 L表示无理数 1探索勾股定理 学习目标☐ 1.探索并掌握勾股定理的内容。 2.能运用勾股定理由已知直角三角形的两边长求第三边的长（仅限于勾股数）。 3.在探索勾股定理时，通过测量直角三角形三边长度并进行数据分析，发现三边平方之间的关 系，培养学生对数据的分析和处理能力，从数据中归纳总结出数学规律。 4.历经探索勾股定理及验证勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。 厂知识点讲解了 知识点一勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于 如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边.那么 31 假期好时光 BS·数学·八年级·上 【典型例题1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,CD⊥AB,则CD等于() A.4.8 B.14 C.10 D.2.4 解析：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8, 所以AB2=AC2+BC2=62+82=100。所以AB=10。 D 根据三角形面积，知4C,BC=)AB·CD,即×6x8=3×10×CD, 解得CD=4.8。 答案：A 【跟踪练习1】 1.直角三角形的一直角边长是24，斜边长是25，则另一直角边长是 A.7 B.8 C.9 D.10 2.已知直角三角形的两直角边长分别为6cm和8cm,则斜边长为 知识点二勾股定理的验证 1.验证方法： 等，其中拼图验证是最常见的方法。 2.拼图法验证勾股定理的一般步骤：构造图形→写出同一图形面积的两种表示形式→列出等式 →恒等变形→推导出勾股定理。 【典型例题2】如图1是两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,图2是 以℃为直角边长的等腰直角三角形。你可以将它们拼成一个能验证勾股定理的图形吗？并 用这个图形完成验证。 小斗提示：可以将三个三角形拼成一个新图形，这个图形除了用三个三角形的面积和来表 示图形总面积以外，还可以直接用，b,c表示总面积，从而得到一个等式以验证勾股定理。 (注意拼凑图形时，不要出现重叠或者空隙。) 图1 图2 图3 解：可以将图1，图2中的三个三角形拼成如图3所示的梯形。 因为SW形ABD=SAAD+S△EC+S△BCD, 所以a+b)(a+b)=之b+b+,即(a+b2=2ab+。所以d+B=C。 【跟踪练习2】 右图中的直角边长分别为，b的四个三角形形状、大小完全相同，斜边长为c,图中的三个正方 形的边长分别为a,b,c,请尝试用该图证明勾股定理。 32 第一章勾股定理 预习篇 知识点三勾股定理的应用 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算问题、说明问题以及实际应用的问题。 【典型例题3】一条河的宽度处处相等，一条小鱼想从河的南岸游到北岸，由于水流影响，小鱼到 北岸的地方离目标地点300米，它在水中实际游了500米，那么河的宽度为 ) A.300米 B.330米 C.400米 D.440米 小斗提示：根据实际问题，构造出直角三角形，再根据题目中的数据找到已知边长，从而求 出未知边长。 解析：如图，小鱼的实际路线为AB=500米，在直角三角形ABC中，由勾股定理，得AB= BC+AC2,也就是500=3002+AC2。所以AC=400,即河的宽度为400米。 答案：C 【跟踪练习3】 如图，两艘军舰在海上进行为时2h的军事演习，一军舰以160 n mile/h的速度从港口A出发， 向北偏东60°方向航行到达点B,另一军舰以120 n mile/h的速度同时从港口A出发，向南偏东 30°方向航行到达点C,则此时两艘军舰相距多远？ 北1 B 东 南 自主检测☐ 一、选择题 1.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对应边分别是a,b,c,下列条件中，不能说明△ABC是直角三角 形的是 () A.b2=a2-c2 B.∠C=∠A+∠B C.∠A:∠B:∠C=3:4:5 D.a:b:c=5:12:13 33 假期好时光 BS·数学·八年级·上 2.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若BE=1,CE=3,则正方形ABCD的面积是() A.4 B.8 C.10 D.12 B D D B E - 16T 第2题图 第3题图 第4题图 3.新考法〔数学文化〕如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解 决的数学问题是 () A.三角形内角和定理 B.勾股定理 C.三角形全等判定 D.等腰三角形判定 4.在城市规划建设中，有一片区域要打造一个独特的景观带。设计师计划在这个景观带里构建 三个相互关联的半圆形休闲区域，这三个半圆形区域的直径恰好构成一个直角三角形的三条 边。这样的设计既美观又能合理利用空间，还能让游客在不同的半圆区域中体验到不同的景 观视角。如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为9π，16π和S,则S为 () A.7m B.8m C.12m D.25m 二、填空题 5.如图，一根筷子长17cm,斜放在半径为2.5cm的圆形水杯中，露出水杯外面的部分AD的长 为4cm,则水杯的高AC= cm D B 第5题图 第6题图 6.如图，在Rt△ABC中，AC=6,BC=8,则其内部五个小直角三角形的周长之和为 主题情境古堡中的图案请完成第7~8题 7.在一个古老的城堡建筑设计图里，有一个独特的四边形区域ABCD,其中∠ADC和∠ABC均 为90°。这个区域有着特殊的用途，建筑师为了让城堡更具对称性和美感，以四边形ABCD的 四条边为边长，向外建造了四个正方形建筑装饰区域，将它们的面积分别标记为S,S2,S, S4。现在城堡修复团队拿到了这份设计图，已知S,=8,S2=11,S3=15,他们需要计算出S 的大小，以便进行后续的修复和重建工作。你计算出的S,的值为 D B 第7题图 第8题图 8.进人古堡中，某间屋子的底面铺满了花纹如图所示的地砖，这是用面积为6的四个全等的 △ABE,Rt△BCF,Rt△CDG和Rt△DAH拼成的“赵爽弦图”，如果AB=5,那么正方形EFGH 的边长为 0 34 第一章勾股定理 预习篇 三、解答题 9.为了美化校园环境，学校打算在一块空地上建造一个直角三角形形状的花园。施工人员在确 定直角三角形花园的边长时，先确定了两条直角边的位置。已知一条直角边沿着校园的围墙 建造，长度为12米：另一条直角边垂直于围墙，长度为5米。现在需要在这个直角三角形花 园的斜边位置安装一排栅栏，每米栅栏的成本是20元，那么购买安装斜边栅栏所需的费用是 多少元？ 10.新考法〔拓展探究)综合与实践 探索：将边长分别为a,b(a>b)的正方形纸片叠合在一起，你能表达出未重叠（阴影）部分的 面积吗？ (1)阅读并完成下面填空： 方法①：如图1，用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积 为 ； 方法②：如图2，将阴影分割成2个梯形，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表 示为 即阴影部分面积为 由此我们可以得到平方差公式 总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公 式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”： (2)巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明： (3)拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较 长的直角边长为a,较短的直角边长为b,斜边长为c,试说明：a2+2=c2。 图1 图2 图3 图4 35(3)12-10=2(分钟)。 故答案为2。 (4)当h=9.8时，t=-38.8, 所以飞机所处高空的气温为-38.8℃。 23.解：(1)当AD⊥BC时，如图1所示， 则∠ACB+∠CAD=90°。 因为∠ACB=30°， 所以∠CAD=90°-∠ACB=60°。 又因为∠DAE=45°， 所以旋转角∠CAE=a=∠CAD+∠DAE=1O5°。 故答案为105°。 图1 图2 (2)①当AD∥BC时，如图2所示，记DE与AC 的交点为F,DE与BC的交点为G。 因为AD∥BC,所以∠DAF=∠C=30°。 因为∠DAE=45°，所以∠CAE=15°， 即a=15°； ②当DE∥BC时，如图3所示。 因为DE∥BC,∠D=90°， 所以AD⊥BC。所以a=105°； 图3 图4 ③当DE∥AB时，如图4所示，a=45°； ④当DE∥AC时，如图5所示， a=∠EAD+∠BAC=135°； 图5 图6 ⑤当AE∥BC时，如图6所示。 因为∠C=30°， 所以∠EAC=150°，即ax=150°。 综上，旋转角α的所有可能的度数是15°，45°， 105°，135°，150°。 8 (3)设AC,AE与BD分别交于点M,N,如图7 所示。 图7 因为∠AMN是△MBC的一个外角，∠ACB=30°， 所以∠AMN=∠DBC+∠ACB=∠DBC+30°. 因为∠ANM是△NDE的一个外角，∠E=45°， 所以∠ANM=∠BDE+∠E=∠BDE+45°。 在△AMN中，∠AMN+∠ANM+∠CAE=180°， 所以∠DBC+30°+∠BDE+45°+∠CAE=180°。 所以∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°。 预习篇 第一章勾股定理 1探索勾股定理 知识点讲解 知识点一斜边的平方a2+62=2 【跟踪练习1】 1.A 2.10cm 知识点二 1.测量数格子拼图 【跟踪练习2】 解：设此图形的面积为S。 因为一方面S=a+公+2×(2b)=a2+公+ab, 另-方面s=+2×(分)=6+a山， 所以a2+b2+ab=c2+ab,即a2+b2=c2。 【跟踪练习3】 解：由题意，得∠BAC=90°， AB=160×2=320(n mile）, AC=120×2=240(n mile)。 在Rt△ABC中， BC2=AB2+AC2=3202+2402=160000=4002, 所以BC=400 n mile。 所以两艘军舰相距400 n mile。 自主检测 1.C2.B3.B 4.D【解析】设直角三角形的三边分别为a,b,co 根据勾股定理，可知c2=a2+b2, 根据题意，得子×(2)m=9m,3x(2 =16m, 所以a2=72,b2=128。所以a2+b2=c2=200。 所以=7×(2)m=gm=g×20m =25T。 故选D。 5.126.24 7.18【解析】如图，连接AC。 S D 因为S=8,S2=11,S=15, 所以AD2=8,AB2=11,BC2=15。 在Rt△ABC与Rt△ADC中， 由勾股定理，得AC2=AB2+BC2=26, CD2=AC2-AD2=18。 所以S4=18。 8.1【解析】因为S玉齐形EGa=S者形BCD-4S△ABs= 52-4×6=1, 所以正方形EFGH的边长为1。 9.解：已知直角三角形花园的两条直角边长度分别 为12米和5米，设斜边长度为c米。 根据勾股定理，可得 c2=122+52=144+25=169, 所以c=13。 20×13=260(元)。 答：购买安装斜边栅栏所需的费用是260元。 10.解：(1)a2-b2（a+b)(a-6) 2 (a+b)(a-b)a2-b2=(a+b)(a-b) (2)阴影部分面积a2-b2=a(a-b)+b(a-b) =(a+b)(a-b), 所以a2-b2=(a+b)(a-b)。 (3)由题意，得(a-b)2+4×分×ab=2, 所以a2-2ab+b2+2ab=c2。所以a2+b2=c2。 2一定是直角三角形吗 知识点讲解 知识点一a2+b2=c2 【跟踪练习1】 1.D 2.解：△ABC中的最长边为AC=25, AB2=152=225,BC2=202=400,AC2=252=625, 225+400=625,即AB2+BC2=AC2, 所以△ABC是直角三角形，且AC为斜边，∠B为 直角。 所以∠A+∠C=90°。 知识点二勾股数 【跟踪练习2】 1.C 2.27,36,45 【跟踪练习3】 解：甲船2小时的路程AC=30×2=60(海里)，乙船 2小时的路程AB=40×2=80(海里)。 因为602+802=1002，所以∠BAC=90°。 因为C岛在港口A北偏东35°方向， 所以B岛在港口A南偏东55°方向。 所以乙船航行的角度是南偏东55°。 自主检测 1.B2.A3.C4.D5.C 6.267.15(答案不唯一) 8.北偏西60°【解析】0A=40×15=600(m), 0B=20×40=800(m)。 因为6002+8002=10002， 所以甲和乙两艘客轮的航行路线呈垂直关系。 因为甲客轮沿着北偏东30°的方向航行， 所以乙客轮的航行方向是北偏西60°。 9.解：如图，连接AC。 在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=62+82=102。 在△ABC中，AB2=262,BC2=242, 而102+242=262， 即AC2+BC2=AB2, 所以∠ACB=90°。 SaEa=Sa-Saa=24C·BC-2AD·CD =7×10x24-2×8x6=6(m)。 答：该空地的面积为96m2。