（七上预习篇）第3章 3 勾股定理的应用举例-【假期好时光】2025年新教材数学六升七暑假作业（鲁教版五四学制2024）

AB2=152=225,BC2=202=400,AC2=252=625, 225+400=625.即AB2+BC2=AC2 所以△ABC是直角三角形，且AC为斜边，∠B为 直角。 所以∠A+∠C=90°。 知识点二勾股数 【跟踪练习2】 1.C 2.27,36.45 【跟踪练习3】 解：甲船2小时的路程AC=30×2=60海里， 乙船2小时的路程AB=40×2=80海里。 因为602+802=1002，所以∠BAC=90° 因为C岛在港口A北偏东35°方向， 所以B岛在港口A南偏东55°方向。 所以乙船航行的角度是南偏东55°。 自主检测 1.B2.A3.C4.D5.C 6.267.15(答案不唯一) 8.北偏西60°【解析】0A=400×15=6000(m), 0B=400×20=8000(m)。 因为60002+80002=100002， 所以甲和乙两狼客轮的航行路线呈垂直关系。 因为甲客轮沿着北偏东30°的方向航行， 所以乙客轮的航行方向是北偏西60°。 9.解：如图，连接AC 在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=62+82=102。 在△4BC中，AB2=262,BC2=242, 而102+242=262， 即AC2+BC=AB2, 所以∠ACB=90°。 S-=AC BG-ADCD =2×10×24-2×8x6=96(m)。 答：该空地的面积为96m。 10.解：如图，连接BE。 B :D E 由勾股定理，得BC2=CE2=32+12=10. BE2=22+42=20, 所以BC2+CE2=BE。 所以∠BCE=90°。所以BC⊥CE。 11.解：(1)如图，连接BD 因为边AB上的垂直平分线为DE, 所以AD=BD 因为BC2=AD2-CD2,所以BC2=BD2-CD2。 所以BC2+CD2=BD。所以∠C=90°。 (2)设CD=x,则AD=BD=4-x 在Rt△BCD中.BD2-CD=BC2, 即(4-x)2-x2=32 解得x=8 所以D的长为好 3勾股定理的应用举例 知识点讲解 【跟踪练习1】 解：由题意，得BC+BA=16米，AC=8米，BC⊥AC。 由勾股定理，得BC2+AC2=AB, 即BC2+82=(16-BC)2。 解得BC=6, 即这棵树在离地面6米处被折断。 【跟踪练习2】 解：将长方体侧面展开如图所示，连接AB。 根据勾股定理，得AB2=42+32=25。 所以AB=5cm。 19 所以所用细线最短为5cm。 自主检测 1.C2.B3.A 4.B【解析】如图，过点D作DH⊥AB于点H」 图为∠DCB=∠B=∠DHB=90°， 感应器，A 所以四边形CDHB是长方形。 所以BC=DH=1.2米， CD=BH=1.5米。 因为AB=2米， 所以AH=AB-BH=2-1.5=0.5米。 所以AD2=Af+DM=0.52+1.22=1.32。 所以AD=1.3米。 故选B。 5.36.x2+52=(x+1)27.2.5 8.解：由题意知，CD=BF-DE=1-0.5=0.5m。 设AD=AB=xm,则AC=(x-0.5)m。 在Rt△ACB中，由勾股定理，得AC2+BC=AB, 即(x-0.5)2+1.52=x2。 解得x=2.5。 所以绳索AD的长度为2.5m。 9.解：(1)因为AC=48cm,CB=36cm,AB=60cm, 所以AC2+BC=482+362=3600,AB2=3600。 所以AC+BC2=AB 所以△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）。 所以AC⊥BC。 (2)如图，过点C作CD⊥AB于点D。 因为△ABC的面积=2AC·BC=2AB·CD, 所以48×36=60CD,解得CD=144 20 即点C到A让的距离为cm。 10.解：如图，将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一 半，作点A关于EG的对称点A',连接A'B交EG 于点F,过点A'作A'D⊥BG的延长线于点D,则 蚂蚊吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的 长，即A'F+BF=A'B=20cm。 --.D 因为AE=A'E=DG=4cm, 所以BD=16cm。 R△A'DB中， 由勾股定理，得A'D=12cm, 即该圆柱底面周长为24cm。 11.解：(1)△BCD为直角三角形。理由如下： 因为BC=20cm,D是腰AB上一点， 且CD=16cm,BD=12cm, 所以BD2+CD2=162+122=400,BC2=202=400。 所以BD+CD2=BC2。 所以△BCD为直角三角形。 (2)设腰长AB=AC=xcm, 则AD=(x-12)cm。 由(1)可知∠ADC=∠BDC=90°， 由勾股定理，可知AD+CD=AC, 即(x-12)2+162=x2,解得x=50 所以三角形腰AB的长度为m 章末预习自测 1.D2.D3.C4.B 5.D【解析】如图，由题意，得ED=a,AE=b。 因为大正方形的面积为17，所以AD=17」 因为AD=AE2+ED2=a2+62,所以a2+62=17。 因为(a+b)2=23 所以(a-b)2=2(a2+b2)-(a+b)2=2×17-23 =11 因为EF=ED-DF=a-b.第三章勾股定理 预习篇 3勾股定理的应用举例 学习目标一 1.会用勾股定理求解立体图形上两点的最短距离问题。 2.应用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题。 3.在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力。 厂知识点讲解☐ 知识点利用勾股定理解决实际问题 【典型例题1】一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是6cm,内壁高8cm。 若这支铅笔在笔简外面部分长度是5cm,求这支铅笔的长度是多少？ 小斗提示：在实际问题中抽象出直角三角形，并找出斜边与直角边，列出等量 关系完成计算。 解：根据题意，可得AB=8cm,BC=6cm,所以AC2=AB2+BC2=100。 所以AC=10cm。 因为这支铅笔在笔简外面部分长度是5cm,所以这支铅笔的长度是10+5=15(cm)。 【跟踪练习1】 箭素养〔抽象能力〕如图，一棵垂直于地面且高度为16米的“风景树”被台风从B处折断，树顶A 落在离树底部C的8米处，求这棵树在离地面多高处被折断。 【典型例题2】如图，一圆柱的高为8m,底面半径为号cm,一只蚂蚊从点A爬到点 B处吃食，要爬行的最短路程是多少？ 小斗分析：需要知道圆柱体的侧面展开图，并找出A,B两点在侧面展开图上的 位置，构造直角三角形，通过已知长度解决问题。 解：圆柱的侧面展开图如图所示。 因为圆柱的高为8cm,底面半径为cm, 所以AD=6cm,BD=8cmo 所以AB2=36+64=100。所以AB=10cm。 答：要爬行的最短路程是10cm。 79 假期好时光 ·数学·七年级·上 【跟踪练习2】 箭素养〔空间观念〕如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm。如果用一根细线从 点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,请利用侧面展开图计算所用细线最短为多少。 3 cm cm 一 自主检测☐ 一、选择题 1.如图是一块长为80米，宽为60米的长方形菜地ABCD,王大伯要从A处到C处去，则沿AC 比沿AB→BC少走 () A.20米 B.30米 C.40米 D.50米 北 60米 西 东 B B 80米 南 第1题图 第2题图 2.如图，在水塔0的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工地 B,在AB间建一条水管，则水管的长为 () A.45m B.40m C.50m D.56m 3.如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平桌面上，固定两端A和B,然后把中点C垂直向上拉 升3cm至点D,则橡皮筋被拉长了 () A.2 cm B.3 cm C.4cm D.6 cm 感应器，A DO C B水平桌面 第3题图 第4题图 4.如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A,离地距离AB=2米，当人体进入感应范围内 时，感应门就会自动打开，一个身高1.5米的学生CD刚走到离门间距BC=1.2米的地方时， 感应门自动打开，则AD为 ( A.1.2米 B.1.3米 C.1.5米 D.2米 80 第三章勾股定理 预习篇 二、填空题 5.如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端与墙角的距离AC长为4米，梯子的长为5米，则梯子与 墙角的距离BC为 米。 B 第5题图 第6题图 6.如图，在实践活动课上，小红打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还 多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部 5m,若设学校旗杆的高度是xm,则可列方程为 7.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是2米，0.35米，0.15米，A,B是这个台阶 上两个相对的顶点，点A处有一只蚂蚁，它想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行 到点B最短路程是 米。 0.35 0.15f 三、解答题 8.新情境〔趣味情境〕如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=0.5m,将它往 前推1.5m(水平距离BC=1.5m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=1m,秋千的绳索始 终拉得很直，求绳索AD的长度。 Ch...... 81 假期好时光 L·数学·七年级·上 9.如图是某超市购物车的侧面简化示意图。测得支架AC=48cm,CB=36cm,两轮中心的距离 AB=60 cmo (1)判断支架AC,BC是否垂直； (2)求点C到AB的距离。 10.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm,在容器内壁离容器底部 4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4cm 的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm,则该圆柱底面周长为多少？ 11.数学课上老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片ABC,已知底边BC=20cm,D是腰AB 上一点，且CD=16cm,BD=12cm。 (1)请你判断△BCD的形状，并说明理由； (2)求三角形腰AB的长度。 82