（七上预习篇）第1章 3 探索三角形全等的条件-【假期好时光】2025年新教材数学六升七暑假作业（鲁教版五四学制2024）

假期好时光 L·数学·七年级·上 3 探索三角形全等的条件 一学习目标 1.掌握三角形全等的条件，了解三角形的稳定性。 2.在探索三角形全等的条件及其应用的过程中，能有条理地思考并进行简单的推理。 3.在分别给出三边、两角及其夹边和两边及其夹角的条件下，能够利用尺规作出三角形。 厂知识点讲解☐ 知识点一三角形全等的条件：“边边边”(“SSS”) 1.三边分别相等的两个三角形全等，简写为“ ”或“ 2.三角形三边的长度确定了，它的形状和大小就完全确定了，这个性质叫作三角形的 3.已知三角形的三条边，用尺规作三角形。 【典型例题1】工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB是一 个任意角，在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺两边相同的刻 度分别与点M,N重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分 线，请说明理由。 小斗点拨：由SSS可得△OPM≌△OPV,再根据全等三角形的性质证得OP平分∠AOB。 解：在△OPM与△OPN中，因为OM=ON,PM=PN,OP=OP,所以△OPM≌△OPN(SSS)。 所以∠AOP=∠BOP。所以OP平分∠AOB。 【跟踪练习1】 1.如图，AB=DC,若要依据“SSS”证明△ABC≌△DCB,则需要补充的条件是 2.雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC,支撑杆0E=0P,4E=4B,AF=了AC,当点0沿AD 滑动时，雨伞开闭。在雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由。 34 第一章三角形 预习篇 3.如图，在线段BC上有两点E,F,在线段BC的异侧有两点A,D,且满足AB=CD,AE=DF, CE=BF,连接AF。 (1)∠B与∠C相等吗？请说明理由； (2)若∠B=40°，∠DFC=20°，AF平分∠BAE,求∠BAF的度数。 4.用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是 A.作一个角等于已知角 B.作已知直线的垂线 C.作一条线段等于已知线段 D.作角的平分线 5.根据下列条件，能画出唯一△ABC的是 A.AB=4,BC=5,AC=9 B.AC=4,BC=6,∠A=60 C.∠A=45°，∠B=60°，∠C=75 D.AB=5,BC=4,AC=6 6.如图，已知线段a,b,c。作△ABC,使得AB=a,BC=b,AC=c。(尺规作图，保留作图痕迹，不 写作法)》 b 知识点二三角形全等的条件：“角边角”(“ASA”】 1.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“ ”或“ 2.已知三角形的两角及其夹边，用尺规作三角形。 【典型例题2】如图，∠B=∠E,BF=EC,AC∥DF。试说明：△ABC≌△DEF。 小斗点拔：用“ASA”证明两个三角形全等，即要找两个角及其夹边对应 相等，找边相等与“SSS”中找边相等的方式相同。 解：因为AC∥DF,所以∠ACB=∠DFE。 因为BF=EC,所以BF+FC=EC+CF,即BC=EF。 在△ABC和△DEF中，因为∠B=∠E,BC=EF,∠ACB=∠DFE, 所以△ABC≌△DEF(ASA)。 35 假期好时光 ·数学·七年级·上 【跟踪练习2】 1.如图，AB=AC,∠1=∠2，∠B=∠C。试说明：△ABD≌△ACE。 2.如图，EC=AC,∠BCE=∠ACD,∠A=∠E,BC=3,求DC的值。 3.用尺规作图，作一个△ABC,使AB=a,∠A=∠1，∠B=∠2。（不要求写作法，保留作图痕迹） 1 知识点三三角形全等的条件：“角角边”(“AAS”)】 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“ ”或 【典型例题3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,M为对角线AC上一点，连接BM。 若AC=BC,∠AMB=∠BCD,试说明：△ADC≌△CMB。 小斗点拨：根据平行线的性质求出∠DAC=∠MCB,求出∠D=∠BMC,根据全 等三角形的判定定理证明即可。 解：因为AD∥BC,所以∠DAC=∠MCB,∠D+∠BCD=180°。 因为∠AMB+∠BMC=180°，∠AMB=∠BCD,所以∠D=∠BMC。 在△ADC和△CMB中，因为∠D=∠BMC,∠DAC=∠MCB,AC=CB, 所以△ADC≌△CMB(AAS)。 36 第一章三角形 预习篇 【跟踪练习3】 1.如图，∠A=∠D,∠ACB=∠DBC。试说明：△ABC≌△DCB。 2.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点 F。试说明：△BDE≌△CDF。 知识点四三角形全等的条件：“边角边”(“SAS”)】 1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“ ”或“ 2.已知三角形的两边及其夹角，用尺规作三角形。 【典型例题4】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC,AD=AE,连接BD,CE。 试说明：△ABD≌△ACE。 小斗点拨：根据等腰直角三角形求出∠BAC=∠DAE=90°，求出∠BAD= ∠CAE,再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可。 解：因为△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， 所以AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°。 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE。 在△ABD和△ACE中，因为AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,所以△ABD≌△ACE(SAS)。 【跟踪练习4】 1.如图，在△ABC中，D为边BC上的一点，AD=AC,以线段AD为边作△ADE,使得AE=AB, ∠BAE=∠CAD。试说明：DE=CB。 37 假期好时光 L·数学·七年级·上 2.如图，BE⊥CD,BE=DE,EC=EA。试说明： (1)△BEC≌△DEA; (2)DF⊥BCe 3.已知：线段m,n,∠ao 求作：△ABC,使AB=m,AC=n,∠A=180°-a。 一 自主检测☐ 一、选择题 1.如图，已知AB=DC,∠ABC=∠DCB,能直接判断△ABC≌△DCB的方法是 A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA D 心223 第1题图 第2题图 第3题图 2.一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整碎片（如图所示），聪明的小强经过 仔细的考虑，认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样 板。你认为下列四个答案中考虑最全面的是 () A.带其中的任意两块去都可以 B.带1,2或2,3去就可以了 C.带1,4或2,4去就可以了 D.带1,4或2,4或3,4去均可 3.如图，已知AC=DB,下列四个条件：①∠A=∠D:②∠ABD=∠DCA;③∠ACB=∠DBC; ④∠ABC=∠DCB。其中能使△ABC≌△DCB的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 38 第一章三角形 预习篇 4.如图，AB=AC,AD=AE,∠A=55°，∠C=35°，则∠D0E的度数是 () A.105 B.115 C.125° D.130 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，点D在线段BC上，若∠ACE=180°-∠ABC-2x°，且BC=ED,AC=CD,AB=CE,则下 列角中，大小为x的角是 ( A.∠EFC B.∠ABC C.∠FDC D.∠DFC 6.如图，D为△ABC边BC上一点，∠B=∠C,∠BAC=56°，且BF=CD,BD=CE,则∠EDF等于 ) A.62 B.56° C.34° D.124° 二、填空题 7.如图，如果AD=AE,BE⊥AC,CD⊥AB,垂足分别为E,D,那么△ABE≌△ACD,依据是 D 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 8.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在BC上（不与点B,C重合）。只需添加一个条件即可证明 △ABD≌△ACD,这个条件可以是 。(写出一个即可) 9.如图，在△ABD和△ABC中，∠DAB=∠CAB,点A,B,E在同一条直线上。若使△ABD兰≌ △ABC,则还需添加的一个条件是 。(写出一个即可) 10.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB。若AB=4,CF=3,则BD= 三、解答题 11.如图，在△ABC中，AB>AC,点D在边AB上，且BD=CA,过点D作DE∥AC,并截取DE= AB,且点C,E在AB同侧，连接BE。试说明：△DEB≌△ABC 39 假期好时光 L·数学·七年级·上 12.如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，请你画一个与他画的一样的 (全等的)三角形，你能做到吗？ 13.如图，已知线段a,b和∠a=40°，你能作出如下要求的唯一的△ABC吗？AB=a,BC=b,∠A= ∠α。若能，写出作法；若不能，说明理由。 14.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，连接AD并延长到点E,使DE=AD,连接CE。 (1)试说明：△ABD≌△ECD; (2)若△ABD的面积为5，求△ACE的面积。 40(2)因为△ACF≌△DBE, 所以CA=BD 所以CA-BC=BD-BC,即AB=CD。 因为AD=9cm,BC=5cm, 所以AB+CD=9-5=4cma 所以AB=2cm 自主检测 1.D2.D3.C4.A5.B 6.D【解析】因为CD平分∠BCA, 所以LACD=LBCD=3LBC1 因为△ABC≌△DEF,所以∠D=∠A=30°。 所以∠BCD=180°-∠CGD-∠D=58°。 所以∠BCA=116°。 所以∠B=180°-30°-116°=34° 因为△ABC≌△DEF,所以∠E=∠B=34°。 故选D。 7.95°8.89.9010.2DF 1L.解：由图知△ADE与△CDE,△EHK与△JFC, △ADC与△ABC,四边形AGKE与四边形CFKE, 四边形AGKD与四边形CFKD,四边形JFKH和 四边形KECF是重合的，即是全等的图形。 12.解：如图所示。 3探索三角形全等的条件 知识点讲解 知识点一 1.边边边SSS2.稳定性 【跟踪练习1】 1.AC =DB 2.解：∠BAD=∠CAD。理由如下： 因为AB=AC,AE=3AB,AF=了AC. 所以AE=AF。 在△AOE和△AOF中， 因为AE=AF,A0=AO,OE=O0F, 所以△AOE≌△AOF(SSS)。 所以∠BAD=∠CAD 3.解：(1)∠B=∠C。理由如下： 因为CE=BF,所以BE=CF。 在△AEB和△DFC中， 因为AB=DC,AE=DF,BE=CF, 所以△AEB≌△DFC(SSS)。 所以∠B=∠C (2)因为△AEB≌△DFC, 所以∠AEB=∠DFC=20°。 所以∠BAE=180°-∠B-∠AEB=120°。 因为AF平分∠BAE, 所以LBAF=∠BAE=60P。 4.C5.D 6.小斗提示：先截取线段AB=a,再分别以点A和点 B为圆心，c和b为半径作圆，两圆的交点为C和 C',然后连接AC和BC或AC'和BC',即可得到 △ABC或△ABC',两者均可作为要画的三角形。 解：如图所示。 知识点二角边角ASA 【跟踪练习2】 1.解：因为∠1=∠2， 所以∠1+∠BAE=∠2+∠BAE, 即∠BAD=∠CAE 在△ABD和△ACE中， 因为∠BAD=∠CAE,AB=AC,∠B=∠C. 所以△ABD≌△ACE(ASA) 2.解：因为∠BCE=∠ACD, 所以∠ACB=∠ECD。 在△ACB和△ECD中， 因为∠A=∠E,AC=EC,∠ACB=∠ECD, 所以△ACB≌△ECD(ASA). 所以BC=DC=3. 9 3.解：如图，△ABC即为所求作。 人2 知识点三角角边AAS 【跟踪练习3】 1.解：在△ABC和△DCB中， 因为∠A=∠D,∠ACB=∠DBC,BC=CB, 所以△ABC≌△DCB(AAS)。 2.解：因为CF∥AB, 所以∠BED=∠F,∠B=∠FCD. 因为D是BC的中点，所以BD=CD 在△BDE和△CDF中， 因为∠BED=∠F,∠B=∠FCD,BD=CD, 所以△BDE≌△CDF(AAS). 知识点四边角边SAS 【跟踪练习4】 1.解：因为∠BAE=∠CAD, 所以∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD. 即∠DAE=∠CAB. 在△ADE和△ACB中， 因为AD=AC,∠DAE=∠CAB,AE=AB, 所以△ADE≌△ACB(SAS)。所以DE=CB 2.解：(1)因为BE⊥CD,所以∠BEC=∠DEA=90。 在△BEC和△DEA中， 因为BE=DE,∠BEC=∠DEA,EC=EA, 所以△BEC≌△DEA(SAS)。 (2)因为△BEC≌△DEA,所以∠B=∠D 因为∠D+∠DAE=90°，∠DAE=∠BAF, 所以∠BAF+∠B=90°，即DF⊥BC。 3.解：作法：①画一条射线AN,在AW上取AC=n: ②反向延长∠x的一条边，得到∠B=180°-a: ③作∠MAN=∠B: ④在AM上取AB=m: ⑤连接BC。 △ABC即为所求作。 自主检测 1.A2.D3.A4.C 10 5.C【解析】在△ABC和△CED中， 因为AC=CD,AB=CE,BC=ED, 所以△ABC≌△CED(SSS). 所以∠B=∠E,∠ACB=∠CDE。 图为∠ACE=180°-∠ABC-2.x =180°-∠E-∠CFE,所以∠CFE=2x°。 所以∠DFC=180°-2x° 所以∠FDC+∠FCD=180°-∠DFC=2x°。 所以∠FDC=∠FCD=x°。故选C。 6,A【解析】根据题意，得∠B=∠C=(180- ∠BMC)=2(180°-56)=62。 在△BFD和△CDE中， 因为BF=CD,∠B=∠C,BD=CE, 所以△BFD≌△CDE(SAS)。 所以∠BFD=∠EDC 所以∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=I80°- ∠B=180°-62°=118° 所以∠EDF=180°-（∠FDB+∠EDC)=180°- 118°=62°。故选A。 7.ASA(或角边角) 8.答案不唯一，如∠BAD=∠CAD或BD=CD等。 9.答案不唯一，如AD=AC或∠D=∠C等。 10.1【解析】因为CF∥AB, 所以∠A=∠FCE,∠ADE=∠F。 在△ADE和△CFE中， 因为∠A=∠FCE,∠ADE=∠F,DE=FE, 所以△ADE≌△CFE(AAS)。 所以AD=CF=3。 因为AB=4, 所以BD=AB-AD=4-3=1。 11.解：因为DE∥AC,所以∠EDB=∠A。 在△DEB和△ABC中， 因为DE=AB,∠EDB=∠A,BD=CA, 所以△DEB≌△ABC(SAS)。 12.解：已知：线段AB和∠A,∠B。 求作：△A'B'C,使∠A'=∠A,∠B=∠B, A'B=AB。 8 D 作法：①作∠DA'E=∠A: ②在射线A'D上截取线段A'B=AB: ③以B'为顶点，以BA'为一边作∠A'B'F=∠B, BF交A'E于点C。 △A'B'C'就是所求作的三角形 13.解：不能。理由：已知两边和其中一边的对角。 不能作出唯一确定的三角形。 14.解：(1)因为D是BC中点，所以BD=CD。 在△ABD和△ECD中， 因为BD=CD,∠ADB=∠EDC,AD=ED, 所以△ABD≌△ECD(SAS)。 (2)因为在△ABC中，D是边BC的中点， 所以S△ABD=S△ADa 因为△ABD≌△ECD,所以SAAm=SAFCH 因为S△A脚=5， 所以SA4E=Sm+S6n=5+5=I0。 4利用三角形全等测距离 知识点讲解 【跟踪练习】 1.B2.C3.B 4.80 5.解：(1)5 (2)在Rt△ABC和Rt△EDC中， 因为∠ABC=∠EDC=90°，BC=DC, ∠ACB=∠ECD 所以△ABC≌△EDC(ASA)。 所以AB=ED,即他们的做法是正确的。 自主检测 1.D2.C3.A4.C 5.D【解析】如图，连接AB。 在△AOB和△DOC中， 因为OA=OD. ∠AOB=∠DOC,0B=OC, 所以△AOB≌△DOC(SAS)。 所以AB=DC=a。 因为EF=b, 所以圆形容器的壁厚是(6-)。 故选D 6.C【解析】因为BC∥AD,所以∠DAE=∠ACB。 又因为BC⊥AB,DE⊥AC, 所以∠ABC=∠DEA=90°。 在△ABC和△DEA中， 因为∠ACB=∠DAE,∠ABC=∠DEA,AB=DE, 所以△ABC≌△DEA(AAS)。 所以EA=BC=300m。 所以CE=AC-AE=200m。 从B到E有两种走法：①BA+AE=7O0m; ②BC+CE=500m。所以最近的路程是500m。 故选C。 7.SSS8.4 9.450【解析】由题图2知小明从点D走到点E的 速度为300÷2=150（米/分钟）， 所以DE=150×3=450(米)。 因为C是AE的中点，也是BD的中点， 所以AC=EC,BC=DC 在△ACB和△ECD中， 因为AC=EC,∠ACB=∠ECD,BC=DC, 所以△ACB≌△ECD(SAS)。 所以AB=DE=450米。 10.8或15【解析】设BM=21cm,则BN=31cm, 因为∠A=∠B=90°， 使△ACM与△BMN全等，可分两种情况： 情况一：当BM=AC,BN=AM时， 因为BN=AM,AB=20cm,所以31=20-21 解得1=4。所以AC=BM=21=2×4=8cm: 情况二：当BM=AM,BN=AC时， 因为BM=AM,AB=20cm,所以21=20-2t。 解得1=5。所以AC=BN=31=3×5=15cm 综上所述，AC=8cm或AC=15cm。 11.解：在△AOE和△COE中， 因为AE=CE,AO=CO,OE=OE. 所以△AOE≌△COE(SSS)。 所以∠AOE=∠COE。 11