第二十一章 一元二次方程 单元测试卷 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第 1页（共 4页） 第二十一章 一元二次方程 单元测试卷 （考试时间为 90 分钟，满分为 100 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A．3x（x﹣4）＝0 B．x+y﹣5＝0 C． 1 �2 + 2� = 0 D．4x﹣9＝0 2．用配方法解方程 x2+4x﹣3＝0，配方后的方程可以是（ ） A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝7 3．关于 x一元二次方程 x2+kx﹣7＝0的一个根是 x＝1，则另一个根是（ ） A．﹣7 B．6 C．7 D．﹣6 4．方程 x2+2x+1＝0的根的情况是（ ） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 5．若关于 x的一元二次方程（m+2）x2﹣mx+m2﹣4＝0的一个根为 0，则 m的值为（ ） A．2 B．﹣2 C．±2 D．2或 0 6．一件商品的成本是 100元，经过两次技术革新后成本为 81元，如果每次成本降低的百分率都是 x，根 据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A．100（1+x）＝81 B．100（1﹣x）＝81 C．100（1+x）2＝81 D．100（1﹣x）2＝81 7．如图，在长 70m、宽 40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如图中阴影部分），要使空白部分 面积是 2450m2，若设路宽为 x m，则 x应满足的方程是（ ） A．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2450 B．（40﹣x）（70﹣x）＝350 C．（40﹣2x）（70﹣3x）＝350 D．（40﹣x）（70﹣x）＝2450 8．已知关于 x的一元二次方程 x2﹣2x+m＝0有实数根，则 m的取值范围是（ ） A．m≥1 B．m≤﹣1 C．m≥﹣1 D．m≤1 9．一个小组有若干人，新年互相发送 1条祝福信息，已知全组共发送 306条信息，则这个小组有多少人？ 设这个小组有 x人，根据题意可列方程（ ） A．x（x+1）＝306 B． 1 2 �(� + 1) = 306 第 2页（共 4页） C．x（x﹣1）＝306 D． 1 2 �(� − 1) = 306 10．已知α，β是方程 x2+x﹣1＝0的两个实数根，则式子α4﹣3β的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分。 11．方程 x2＝x的解是 ． 12．关于 x的方程 x2﹣4x+m+2＝0有一个根为﹣1，则 m的值为 ． 13．当 m＜0时，关于 x的方程 x2﹣2x+m＝0根的情况是 ． 14．若关于 x的方程 kx2+2x﹣1＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是 ． 15．若关于 x的一元一次方程 x2+5x+m＝0有两个实数根 x1，x2，若 x1x2＝﹣2，则 m＝ ． 16．方程 x2+5x﹣6＝0的两个根分别为 x1，x2，则�12 + �22 = ． 17．已知 m是方程 x2+x﹣3＝0的根，则 m3﹣2m2﹣6m﹣2016的值为 ． 18．如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点 E从 A点出发，沿射线 AB运动，速度 为 2cm/s，点 F从点 C出发，沿线段 CA运动，速度为 1cm/s，连接 EF．E、F两点同时出发， 当点 F到达点 A时，点 E也停止运动，请问经过 s后，△AEF的面积恰为 12cm2． 三、解答题：本题共 6 小题，共 64 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．(本小题��分)解方程： （1）2x2﹣5x+2＝0（配方法）； （2）﹣3x＝1﹣x2（用公式法）． 20．(本小题��分)解下列一元二次方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）2x（x﹣3）+x＝3． 21．(本小题��分)关于 x的一元二次方程 x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0． （1）证明：不论 m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为 x1、x2且满足 1 �1 + 1 �2 = 1 2 ，求 m的值． 第 3页（共 4页） 22．(本小题��分) 2025年成都世运会吉祥物是“蜀宝”和“锦仔”，它们以大熊猫、川金丝猴为原型，不 仅承载着四川的文化基因，更凝聚着设计师对国际赛事精神的深刻理解．“蜀宝”和“锦仔”玩偶自发 售以来深受大家喜爱，小安在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）某电商平台 2025年 3月份吉祥物的销售量是 5万套，5月份吉祥物的销售量是 7.2万套，若这三 个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每套 60元，若售价定为每套 100元，则每 天能销售 20套，通过市场调查发现，售价每降价 1元，每天可多售出 2套，为了进一步推广宣传，商 家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利 1200元，请你分析售价应降低多少元？ 23．(本小题�2 分)商场某种商品平均每天可销售 30件，每件盈利 50元，为了尽快减少库存，商场决定采 取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价 1元，商场平均每天可多售出 2件． （1）若某天该商品每件降价 3元，当天可获利多少元？ （2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2000元？ 第 4页（共 4页） 24．(本小题�2 分)在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是 2024年 10月份的日历．我 们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相 乘，再相减，例如：9×11﹣3×17＝48，13×15﹣7×21＝48．不难发现，结果都是 48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出 5个数字，其中最小数与最大数的积为 435，求出这 5 个数中 的最大数． 答案与解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A A A D A D C C 二．填空题（共8小题） 11．方程x2＝x的解是 　x1＝0，x2＝1　 ． 【解答】解：x2＝x， x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， x1＝0，x2＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝1． 12．关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有一个根为﹣1，则m的值为 　﹣7　 ． 【解答】解：由条件可知（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m+2＝0， 解得：m＝﹣7． 故答案为：﹣7． 13．当m＜0时，关于x的方程x2﹣2x+m＝0根的情况是 　有两个不相等的实数根　 ． 【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4m＝4﹣4m， 又∵m＜0， ∴4﹣4m＞0， 即Δ＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 14．若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＞﹣1且k≠0　 ． 【解答】解：关于x的方程kx2+2x﹣1＝0（k为常数）有两个不相等的实数根， ∴Δ＝22﹣4k×（﹣1）＞0，k≠0， 解得k＞﹣1且k≠0． 故答案为：k＞﹣1且k≠0． 15．若关于x的一元一次方程x2+5x+m＝0有两个实数根x1，x2，若x1x2＝﹣2，则m＝ 　﹣2　 ． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元一次方程x2+5x+m＝0有两个实数根x1，x2， 所以x1x2＝m． 又因为x1x2＝﹣2， 所以m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 16．方程x2+5x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2，则 　37　 ． 【解答】解：∵方程x2+5x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2， ∴x1+x25，x1•x26， 2x1x2＝25﹣2×（﹣6）＝25+12＝37． 故答案为：37． 17．已知m是方程x2+x﹣3＝0的根，则m3﹣2m2﹣6m﹣2016的值为 　﹣2025　 ． 【解答】解：根据题意可知，m2+m﹣3＝0， ∴m2+m＝3，m2＝3﹣m． 原式＝（3﹣m）m﹣2m2﹣6m﹣2016 ＝﹣3m2﹣3m﹣2016 ＝﹣3（m2+m）﹣2016 ＝﹣3×3﹣2016 ＝﹣2025． 故答案为：﹣2025． 18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　4或6　 s后，△AEF的面积恰为12cm2． 【解答】解：过E作EH⊥AC于H，如图： 设运动时间为t s， ∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm， ∴AC＝2BC＝10cm， 根据题意得：AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴AF＝（10﹣t）cm，EHAE＝t cm， ∵△AEF的面积恰为12cm2， ∴t（10﹣t）＝12， 解得t＝4或t＝6， ∴经过4s或6s后，△AEF的面积恰为12cm2． 故答案为：4或6． 三．解答题（共6小题） 19．解方程： （1）2x2﹣5x+2＝0（配方法）； （2）﹣3x＝1﹣x2（用公式法）． 【解答】解：（1）2x2﹣5x+2＝0， x2x+1＝0， x2x＝﹣1， x2x1，即（x）2， ∴x， ∴x1＝2，x2； （2）﹣3x＝1﹣x2， x2﹣3x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0， ∴x， ∴x1，x2． 20．解下列一元二次方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）2x（x﹣3）+x＝3． 【解答】解：（1）x2﹣4x+2＝0， x2﹣4x＝﹣2， x2﹣4x+4＝﹣2+4， （x﹣2）2＝2， x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2； （2）2x（x﹣3）+x＝3， 2x2﹣6x+x﹣3＝0， 2x2﹣5x﹣3＝0， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）＝25+24＝49， ∴x， ∴x1＝3，x2． 21．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0． （1）证明：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值． 【解答】（1）证明：关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0， ∵（m﹣1）2≥0， ∴Δ＝（m﹣2）2﹣4×（﹣m） ＝m2﹣4m+4+4m ＝m2+4＞0， 则方程有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系可得：x1+x2＝m﹣2，x1x2＝﹣m， ∵， ∴，即． 解得m． 22． 2025年成都世运会吉祥物是“蜀宝”和“锦仔”，它们以大熊猫、川金丝猴为原型，不仅承载着四川的文化基因，更凝聚着设计师对国际赛事精神的深刻理解．“蜀宝”和“锦仔”玩偶自发售以来深受大家喜爱，小安在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）某电商平台2025年3月份吉祥物的销售量是5万套，5月份吉祥物的销售量是7.2万套，若这三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每套60元，若售价定为每套100元，则每天能销售20套，通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2套，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【解答】解：（1）设月平均增长率为x， 由题意得：5（1+x）2＝7.2， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为20%； （2）设售价应降低y元，则可售出（20+2y）件， 由题意得：（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200， 整理得：y2﹣30y+200＝0， 解得：y1＝10，y2＝20， ∵尽量减少库存， ∴y＝20， 答：售价应降低20元． 23．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【解答】解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）． 答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元； （2）根据题意，得：（50﹣x）（30+2x）＝2000， 整理，得：x2﹣35x+250＝0， 解得：x1＝10，x2＝25， ∵商城要尽快减少库存， ∴x＝25． 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 24．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11﹣3×17＝48，13×15﹣7×21＝48．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【解答】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7）， ∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7）， ＝a2﹣1﹣（a2﹣49）， ＝48． （2）解：设这5个数中的最大数为x，则最小数为（x﹣14）， 依题意得：x（x﹣14）＝435， 解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）． 答：这5个数中的最大数为29． 声明： 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程 单元测试卷 （考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．3x（x﹣4）＝0 B．x+y﹣5＝0 C． D．4x﹣9＝0 2．用配方法解方程x2+4x﹣3＝0，配方后的方程可以是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝7 3．关于x一元二次方程x2+kx﹣7＝0的一个根是x＝1，则另一个根是（　　） A．﹣7 B．6 C．7 D．﹣6 4．方程x2+2x+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 5．若关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣mx+m2﹣4＝0的一个根为0，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．2或0 6．一件商品的成本是100元，经过两次技术革新后成本为81元，如果每次成本降低的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A．100（1+x）＝81 B．100（1﹣x）＝81 C．100（1+x）2＝81 D．100（1﹣x）2＝81 7．如图，在长70m、宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如图中阴影部分），要使空白部分面积是2450m2，若设路宽为x m，则x应满足的方程是（　　） A．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2450 B．（40﹣x）（70﹣x）＝350 C．（40﹣2x）（70﹣3x）＝350 D．（40﹣x）（70﹣x）＝2450 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤﹣1 C．m≥﹣1 D．m≤1 9．一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（　　） A．x（x+1）＝306 B． C．x（x﹣1）＝306 D． 10．已知α，β是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则式子α4﹣3β的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 11．方程x2＝x的解是 　 　 ． 12．关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有一个根为﹣1，则m的值为 　 　 ． 13．当m＜0时，关于x的方程x2﹣2x+m＝0根的情况是 　 　 ． 14．若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　 ． 15．若关于x的一元一次方程x2+5x+m＝0有两个实数根x1，x2，若x1x2＝﹣2，则m＝ 　 　 ． 16．方程x2+5x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2，则 　 　 ． 17．已知m是方程x2+x﹣3＝0的根，则m3﹣2m2﹣6m﹣2016的值为 　 　 ． 18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　 　 s后，△AEF的面积恰为12cm2． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．本小题分)解方程： （1）2x2﹣5x+2＝0（配方法）； （2）﹣3x＝1﹣x2（用公式法）． 20．本小题分)解下列一元二次方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）2x（x﹣3）+x＝3． 21．本小题分)关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0． （1）证明：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值． 22．本小题分) 2025年成都世运会吉祥物是“蜀宝”和“锦仔”，它们以大熊猫、川金丝猴为原型，不仅承载着四川的文化基因，更凝聚着设计师对国际赛事精神的深刻理解．“蜀宝”和“锦仔”玩偶自发售以来深受大家喜爱，小安在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）某电商平台2025年3月份吉祥物的销售量是5万套，5月份吉祥物的销售量是7.2万套，若这三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每套60元，若售价定为每套100元，则每天能销售20套，通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2套，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 23．本小题2分)商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 24．本小题2分)在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11﹣3×17＝48，13×15﹣7×21＝48．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$