第二章 直线与圆的位置关系 单元测试2024-2025学年浙教版九年级数学下册

浙教版九年级下册 第二章 直线与圆的位置关系 单元测试 一、选择题 1.如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝62°，则∠BAC的度数为（　　） A.28° B.30° C.31° D.32° 2.如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠FDE＝α，则（AF+CD﹣AC）的值和∠A的大小分别为（　　） A.0，180°﹣2α B.r，180°﹣α C. D. 3.已知⊙O的半径r为3cm，圆心O到直线l的距离d为4cm，直线l与⊙O的公共点个数为（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.以上都不对 4.如图，CD切⊙O于点D，OC交⊙O于点A，AB垂直平分OD．若，则线段OC的长为（　　） A. B.4 C. D.8 5.在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（5，6），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是（　　） A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 6.已知OA平分∠BOC，P是OA上一点，以P为圆心的⊙P与OC相切，则⊙P与OB的位置关系为（　　） A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 7.“生活处处皆学问”．如图，如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，太阳在升起离开地平线后，太阳和地平线的位置关系是（　　） A.内含 B.相切 C.相交 D.相离 8.已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l上某点的距离为8cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（ 　） A.0 B.1或0 C.0或2 D.1或2 9.如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（　　） A.13 B.12 C.11 D.10 10.如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD＝BC；③PB＝PF；④AD2＝4AB•DC．其中正确的是（　　） A.①②③④ B.只有①② C.只有①②④ D.只有③④ 11.如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（　　） A.2 B.3 C.4 D.6 12.如图，PA，PB分别为⊙O1的切线，切点为A，B，点C为弧AB上一动点，过点C作⊙O1的切线，分别交PA，PB于点D，E，作△PDE的内切圆⊙O2，若∠P＝2α，⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，则△PDE的面积是（　　） A.Rrsinα B. C.Rrtanα D. 二、填空题 13.已知⊙O的圆心坐标为（3，0），直径为6，则⊙O与y轴的位置关系是 　  　． 14.已知圆的直径为12cm，如果圆心到直线的距离为4cm，那么直线与圆有　　个交点． 15.如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠A＝70°，连结OE、OF、DE、DF，则∠EDF的度数＝　 　°． 16.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F，若∠CBE＝24°，则∠F的度数为 　　． 17.如图，BC为△ABC外接圆⊙O的直径，点M为△ABC的内心，连接AM并延长交⊙O于点D，①若∠ABC＝30°，⊙O的直径为4，则扇形AOC的面积为 　　； ②若∠ABC＝30°，AC＝2，则＝　　． 三、解答题 18.⊙O的半径为r，⊙O的一条弦长也为r，以点O为圆心，为半径作圆，试判断这个圆与这条弦的位置关系． 19.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，PA＝6，∠APB＝90°．点C是上一动点（C与点A、B不重合），过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点M、N，设AM＝x，BN＝y． 求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 20.如图，东海中某小岛上有一灯塔A，灯塔附近方圆25海里范围内有暗礁．一艘渔船在O处测得灯塔在其北偏西60°方向，距离灯塔60海里．若渔船一直向正西方向航行，是否有触礁的危险？ 21.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D，与AC相交于点F． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若BE＝AE＝2，求图中阴影部分的面积． 22.已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E． （1）如图，求证：EB＝EC＝ED； （2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF•DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由． 浙教版九年级下册 第二章 直线与圆的位置关系 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝62°，则∠BAC的度数为（　　） A.28° B.30° C.31° D.32° 【答案】A 【解析】连接OC，如图，先根据切线的性质得到∠OCD＝90°，利用互余计算出∠OCA＝28°，然后根据等腰三角形的性质得到∠BAC的度数． 连接OC，如图， ∵直线CD与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， ∵∠ACD＝62°， ∴∠OCA＝90°﹣62°＝28°， ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠OCA＝28°． 故选：A． 2.如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠FDE＝α，则（AF+CD﹣AC）的值和∠A的大小分别为（　　） A.0，180°﹣2α B.r，180°﹣α C. D. 【答案】A 【解析】连接IE、IF，根据切线长定理和切线的性质定理得AF＝AE，CD＝CE，AB⊥IF，AC⊥IE，则AF+CD＝AF+CE＝AC，所以AF+CD﹣AC＝0，而∠FIE＝2∠FDE＝2α，则∠A＝360°﹣∠AEI﹣∠AFI﹣∠FIE＝180°﹣2α，于是得到问题的答案． 连接IE、IF， ∵△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∠FDE＝α， ∴AF＝AE，CD＝CE，AB⊥IF，AC⊥IE， ∴AF+CD＝AF+CE＝AC， ∴AF+CD﹣AC＝AC﹣AC＝0， ∵∠AEI＝∠AFI＝90°，∠FIE＝2∠FDE＝2α， ∴∠A＝360°﹣∠AEI﹣∠AFI﹣∠FIE＝360°﹣90°﹣90°﹣2α＝180°﹣2α， 故选：A． 3.已知⊙O的半径r为3cm，圆心O到直线l的距离d为4cm，直线l与⊙O的公共点个数为（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.以上都不对 【答案】A 【解析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断． ∵⊙O的半径r为3cm，圆心O到直线l的距离d为4cm， 即圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∴直线l和⊙O相离， ∴直线l与⊙O没有公共点． 故选：A． 4.如图，CD切⊙O于点D，OC交⊙O于点A，AB垂直平分OD．若，则线段OC的长为（　　） A. B.4 C. D.8 【答案】B 【解析】连接AD，根据垂直平分线的性质得到△AOD为等边三角形，可得∠AOD＝60°，再利用垂径定理得到，求得OD的长，即可求得OC． ∵AB垂直平分OD， ∴， ∵OA＝OD， ∴△AOD为等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∴， ∴OD＝2OE＝2， ∴OC＝2OD＝4， 故选：B． 5.在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（5，6），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是（　　） A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 【答案】A 【解析】由题意易得⊙P的圆心到x的距离为6，半径为5，进而可根据直线与圆的位置关系可求解． ∵⊙P的圆心坐标为（5，6）， ∴⊙P的圆心到x的距离为d＝6， ∵⊙P的半径为r＝5， ∴6＞5，即d＞r， ∴x轴与⊙P的位置关系是相离； 故选：A． 6.已知OA平分∠BOC，P是OA上一点，以P为圆心的⊙P与OC相切，则⊙P与OB的位置关系为（　　） A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 【答案】B 【解析】由切线的判定，结合角平分线的性质，即可证明． 连接NP． ∵⊙P与OC相切． ∴PN⊥OC． 即PN为圆半径， 作PM⊥OB． 又∵OA平分∠BOC，并由角平分线的性质． ∴PM＝PN＝圆半径． ∴⊙P与OB的位置关系为相切． 故选：B． 7.“生活处处皆学问”．如图，如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，太阳在升起离开地平线后，太阳和地平线的位置关系是（　　） A.内含 B.相切 C.相交 D.相离 【答案】D 【解析】根据直线与圆的公共点数量与直线的圆的位置关系的性质进行解答便可． 根据直线和圆没有公共点，则直线和圆相离， 故选：D． 8.已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l上某点的距离为8cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（ 　） A.0 B.1或0 C.0或2 D.1或2 【答案】D 【解析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断． ∵⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为8cm， 即圆心O到直线l的距离小于或等于圆的半径， ∴直线l和⊙O相切或相交， ∴直线l与⊙O公共点的个数为1或2． 故选：D． 9.如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（　　） A.13 B.12 C.11 D.10 【答案】D 【解析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC＝90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解． ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠BCD，BE＝BF，CG＝CF， ∴∠OBC+∠OCB＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∴BC＝＝10， ∴BE+CG＝10（cm）． 故选：D． 10.如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD＝BC；③PB＝PF；④AD2＝4AB•DC．其中正确的是（　　） A.①②③④ B.只有①② C.只有①②④ D.只有③④ 【答案】C 【解析】根据直径所对的圆周角是直角，以及切线长定理，相似三角形的性质即可作出判断． ∵BA，BE是圆的切线． ∴AB＝BE，BO是△ABE顶角的平分线． ∴OB⊥AE ∵AD是圆的直径． ∴DE⊥AE ∴DE∥OF 故①正确； ∵CD＝CE，AB＝BE ∴AB+CD＝BC 故②正确； ∵OD＝OF ∴∠ODF＝∠OFD＝∠BFP 若PB＝PF，则有∠PBF＝∠BFP＝∠ODF 而△ADP与△ABO不一定相似，故PB＝PF不一定成了． 故③不正确； 连接OC．可以证明△OAB∽△CDO ∴ 即：OA•OD＝AB•CD ∴AD2＝4AB•DC 故④正确． 故正确的是：①②④． 故选：C． 11.如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（　　） A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】A 【解析】根据切线长定理求出AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，得出等边三角形ADF，推出AD＝AF＝DF，根据BC＝6，求出BD+CF＝6，求出AD+AF＝4，即可求出答案． ∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点， ∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF， ∵BC＝BE+CE＝6， ∴BD+CF＝6， ∵AD＝AF，∠A＝60°， ∴△ADF是等边三角形， ∴AD＝AF＝DF， ∵AB+AC+BC＝16，BC＝6， ∴AB+AC＝10， ∵BD+CF＝6， ∴AD+AF＝4， ∵AD＝AF＝DF， ∴DF＝AF＝AD＝×4＝2， 故选：A． 12.如图，PA，PB分别为⊙O1的切线，切点为A，B，点C为弧AB上一动点，过点C作⊙O1的切线，分别交PA，PB于点D，E，作△PDE的内切圆⊙O2，若∠P＝2α，⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，则△PDE的面积是（　　） A.Rrsinα B. C.Rrtanα D. 【答案】D 【解析】设⊙O2与△PDE的三边分别相切于G、H、F点，连接O2G，O2H，O2F，PO1，PO2，根据切线的性质得△PDE的面积为PD•r+DE•r+PE•r＝r•（PD+DE+PE），再利用切线长定理说明PD+DE+PE＝2PA，利用三角函数表示出PA的长即可． 如图，设⊙O2与△PDE的三边分别相切于G、H、F点，连接O2G，O2H，O2F，PO1，PO2， 则O2G⊥PD，O2H⊥DE，O2F⊥PE， ∴△PDE的面积为PD•r+DE•r+PE•r＝r•（PD+DE+PE）， ∵DA、DE、EB分别是⊙O1的切线， ∴DA＝DC，EC＝EB， ∴△PDE的周长为PA+PB， ∵PA，PB分别为⊙O1的切线， ∴PA＝PB， ∵PO1是∠APB的平分线， ∴∠APO1＝α， 在Rt△APO1中，tanα＝， ∴AP＝， ∴△PDE的面积为＝． 故选：D． 二、填空题 13.已知⊙O的圆心坐标为（3，0），直径为6，则⊙O与y轴的位置关系是 　  　． 【答案】相切 【解析】由已知条件可证得圆心O到y轴的距离为等于⊙O的半径，根据直线与圆的位置关系可得结论． ∵⊙O的圆心坐标为（3，0）， ∴圆心O到y轴的距离为3， ∵⊙O的直径为6， ∴⊙O的半径为3， ∴圆心O到y轴的距离为等于⊙O的半径， ∴⊙O与y轴相切． 故答案为：相切． 14.已知圆的直径为12cm，如果圆心到直线的距离为4cm，那么直线与圆有　　个交点． 【答案】两 【解析】先确定圆的半径为6cm，而圆心到直线的距离为4cm，即圆心O到直线l的距离小于圆的半径，根据直线与圆的位置关系得到直线与圆相交，则直线与圆有两个交点． ∵圆的直径为12cm， ∴圆的半径为6cm， ∵圆心到直线的距离为4cm， ∴直线与圆相交， ∴直线与圆有两个交点． 故答案为：两． 15.如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠A＝70°，连结OE、OF、DE、DF，则∠EDF的度数＝　 　°． 【答案】55 【解析】由切线的性质得AB⊥OF，AC⊥OE，则∠AFO＝∠AEO＝90°，而∠A＝70°，可求得∠EOF＝110°，则∠EDF＝∠EOF＝55°，于是得到问题的答案． ∵⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，∠A＝70°， ∴AB⊥OF，AC⊥OE， ∴∠AFO＝∠AEO＝90°， ∴∠EOF＝360°﹣∠AFO﹣∠AEO﹣∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°， ∴∠EDF＝∠EOF＝×110°＝55°， 故答案为：55． 16.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F，若∠CBE＝24°，则∠F的度数为 　　． 【答案】42° 【解析】连接OE，证明AC∥OE，进而根据切线的性质，直角三角形中两个锐角互余，即可求解． 如图所示，连接OE， ∵∠CAB的平分线交BC于点D， ∴∠CAE＝∠BAE， ∵OE＝OA， ∴∠OEA＝∠OAE， ∴∠OEA＝∠CAE， ∴AC∥OE， ∵∠CBE＝24°，∠CAB的平分线交BC于点D， ∴∠CAE＝∠CBE＝24°，∠CAB＝2∠CAE＝48°， ∴∠EOF＝∠CAB＝48°， ∵EF是⊙O的切线， ∴OE⊥EF， ∴∠F＝90°﹣∠EOF＝42°， 故答案为：42°． 17.如图，BC为△ABC外接圆⊙O的直径，点M为△ABC的内心，连接AM并延长交⊙O于点D，①若∠ABC＝30°，⊙O的直径为4，则扇形AOC的面积为 　　； ②若∠ABC＝30°，AC＝2，则＝　　． 【答案】， 【解析】①首先根据圆周角定理得到∠AOC＝60°，然后利用扇形面积公式求解即可； ②作ME⊥AC交AC于点E，作CF⊥AD交AD于点F，根据三角形内心的性质求出，进而得到，然后利用勾股定理和等腰直角三角形的性质得到，进而求解即可． ①∵∠ABC＝30°，， ∴∠AOC＝2∠ABC＝60°， ∵⊙O的直径为4， ∴⊙O的半径为2， ∴扇形AOC的面积为； ②如图所示，作ME⊥AC交AC于点E，作CF⊥AD交AD于点F， ∵∠ABC＝30°，AC＝2，∠BAC＝90°， ∴BC＝2AC＝4， ∴， ∵点M为△ABC的内心， ∴ME是△ABC内切圆的半径， ∴， ∵点M为△ABC的内心， ∴AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD＝45°，， ∵CF⊥AD， ∴∠ACF＝45°， ∴△ACF是等腰直角三角形， ∵AC＝2， ∴， ∵， ∴∠ADC＝∠ABC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 三、解答题 18.⊙O的半径为r，⊙O的一条弦长也为r，以点O为圆心，为半径作圆，试判断这个圆与这条弦的位置关系． 【答案】解：∵点O到这条弦的距离＝r， 而所作的圆的半径为r， ∴这个圆与这条弦相切． 【解析】 19.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，PA＝6，∠APB＝90°．点C是上一动点（C与点A、B不重合），过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点M、N，设AM＝x，BN＝y． 求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【答案】解：∵MA＝MC＝x，BN＝CN＝y，则MN＝x+y． ∴MP＝6﹣x，NP＝6﹣y． 在直角△MNP中，根据勾股定理可得：（6﹣x）2+（6﹣y）2＝（x+y）2． 即72﹣12x﹣12y＝2xy ∴y＝ 即y＝，（0＜x＜6） 【解析】 20.如图，东海中某小岛上有一灯塔A，灯塔附近方圆25海里范围内有暗礁．一艘渔船在O处测得灯塔在其北偏西60°方向，距离灯塔60海里．若渔船一直向正西方向航行，是否有触礁的危险？ 【答案】解：如图，过A作AD⊥OB于D， 则∠ADO＝90°，∠AOD＝90°﹣60°＝30°，OA＝60海里， ∴AD＝OA×sin30°＝30海里， ∵30＞25， ∴渔船一直向正西方向航行，没有触礁的危险． 【解析】 21.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D，与AC相交于点F． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若BE＝AE＝2，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接OD， ∵⊙O与BC相切于点D， ∴OD⊥BC， 即∠ODB＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∴∠DAC＝∠ODA， ∵OD＝OA， ∴∠BAD＝∠ODA， ∴∠BAD＝∠DAC， ∴AD平分∠BAC； （2）解：设OD与EF交于M，连接OF， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠AFE＝90°， ∵OD∥AC， ∴∠OME＝∠AFE＝90°，即OD⊥EF， ∵OE＝OF， ∴∠DOE＝∠DOF，ME＝MF， ∵BE＝AE＝2， ∴OD＝OA＝OE＝AE＝2， ∴OB＝BE+OE＝4， 在Rt△OBD中，cos∠DOE＝＝， ∴∠DOE＝∠DOF＝60°， ∴ME＝MF＝OE•sin60°＝2×＝， OM＝OE•cos60°＝2×＝1，∠EOF＝∠DOE+∠DOF＝120°， ∴EF+ME+MF＝2， ∴S扇形OEF＝＝π，S△OEF＝EF•OM＝1＝， ∴S阴影＝S扇形OEF﹣S△OEF＝π﹣． 【解析】 22.已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E． （1）如图，求证：EB＝EC＝ED； （2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF•DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：连接BD． 由于ED、EB是⊙O的切线，由切线长定理，得 ED＝EB，∠DEO＝∠BEO， ∴OE垂直平分BD． 又∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BD． ∴AD∥OE． 即OE∥AC． 又O为AB的中点， ∴OE为△ABC的中位线， ∴BE＝EC， ∴EB＝EC＝ED．（4分） （2）解：在△DEC中，由于ED＝EC， ∴∠C＝∠CDE， ∴∠DEC＝180°﹣2∠C． ①当∠DEC＞∠C时，有180°﹣2∠C＞∠C，即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在点F 满足条件． 在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF＝∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求． 这是因为： 在△DCE和△DEF中， ∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF， ∴△DEF∽△DCE． ∴DE2＝DF•DC． 即（BC）2＝DF•DC ∴BC2＝4DF•DC．（6分） ②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC＝∠C＝60°， 此时，C点即为满足条件的F点，于是，DF＝DC＝DE，仍有BC2＝4DE2＝4DF•DC．（7分） ③当∠DEC＜∠C时，即180°﹣2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°；所作的∠DEF＞∠DEC，此时点 F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F．（8分） 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$