第2章 直线与圆的位置关系 单元综合诊断自查卷 2025-2026学年 浙教版九年级数学下册

**基本信息** 本卷为初中数学“直线与圆的位置关系”单元综合诊断卷，覆盖切线性质、判定、圆与三角形综合等核心知识点，通过基础题与分层综合题结合，适配单元复习，培养几何直观与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|切线性质（第1题）、直线与圆位置关系（第2题）|基础巩固，结合图形辨析| |填空题|6/18|内切圆半径（第15题）、动态圆与坐标（第12题）|注重知识应用与空间观念| |解答题|8/72|切线判定与相似（第17题）、圆与等腰三角形综合（第25题）|多知识点综合，培养逻辑推理与模型意识|

第2章 直线与圆的位置关系 单元综合诊断自查卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，PA、PC是⊙O的两条切线，点A、C为切点，点B为⊙O上任意一点，连接AB、BC，若∠B=52°，则∠P的度数为（　　）． A．68° B．104° C．70° D．76° 2．已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 3．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，∠APB=60°，PA=8，则⊙O的半径OA长为（　　） A．4 B．8 C． D． 4．把宽为2cm 的刻度尺在圆O上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与圆的两个交点处的刻度恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm ），则该圆的半径是（　　） A．3 cm B．3.25 cm C．2 cm D．4 cm 5．如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（　　） A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50° 6．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，若OP=4，PA=2，则∠AOB的度数为（　　） A．60° B．90° C．120° D．无法确定 7．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，且BC⊥OA，过BC的延长线上一点D作⊙O的切线DE，切点为E，连接AB，BE，若∠BDE=52°，则∠ABE的度数是（　　） A．52° B．58° C．60° D．64° 9．如图，点为的内心，连接并延长，交的外接圆于点，点为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（　　） A．5 B．4.5 C．4 D．3.5 10．如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B.点P为 上一动点（A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是：①PB＝PD；② 的长为 π；③∠DBE＝45°；④当P为 中点时EC=EF；⑤∠DFB＝∠CBP.其中正确的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图，已知的直径AB为8，点M是外一点，若MB是的切线，B为切点，且，Q为上一动点，则MQ的最小值为　 　. 12．如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=　 　，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m的取值范围是　 　． 13．已知PA，PB是⊙O切线，点C为圆上不同于A，B的一点，若∠P=40°，则∠ACB的度数为　 　． 14．如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， 与 相切于点 ，过 作 的垂线，与 的延长线交于 ，若 的半径为 ，则 的长为　 　. 15．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，⊙O是ABC的内切圆，则这个圆的半径是　 　． 16．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，以AD为直径在矩形内作半圆，点E为半圆上的一动点（不与A、D重合），连接DE、CE，当△DEC为等腰三角形时，DE的长为　 　. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D．连接OE、AC，且∠P=∠E，∠POE=2∠CAB． （1）求证：CE⊥AB； （2）求证：PC是⊙O的切线； （3）若BD=2OD，PB=9，求⊙O的半径及tan∠P的值． 18．如图，在中，，在上，以为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，交于点，过作，垂足为． （1）与有什么位置关系，请写出你的结论并证明； （2）若的半径长为，，求的长． 19．如图，点O为斜边上的一点，以为半径的⊙O与交于点D，与交于点E，连接，且平分 （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求阴影部分的面积（结果保留π）． 20．在⊙O中直径AB与弦CD交于点E，连接AD，过点B作⊙O的切线与AD的延长线相交于点F，CD的延长线与BF的延长线相交于点G. （1）若求的度数； （2）连接CO，AC，再连接DO并延长交AC于点M， ①证明： ②若求⊙O的直径. 21．如图，CE，CB是半圆O的切线，切点分别为D，B，AB为半圆O的直径．CE与BA的延长线交于点E，连结OC，OD． （1）求证：△OBC≌△ODC． （2）若DE=a，AE=b，BC=c，请你思考后，从a，b，c三个已知数中选用适当的数，设计出计算半圆O的半径r的一种方案： ①方案中你选用的已知数是 ▲ ②写出求解过程(结果用字母表示)． 22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的一点，以BD为直径的半圆与BC相交于点F，且AC切于点E. （1）求证：. （2）若∠A=30°，AB=6，求CF的长. 23． 如图，已知的边所在的直线是的切线，切点为，经过圆心并与圆相交点，，过点作直线，交的延长线于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 24．如图，是的外接圆，AB是的直径，分别过A，C两点作的切线，交于点，连接OP，交AC于点. （1）求证：； （2）若，求PA的长. 25．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：DE与⊙O相切； （2）若CD=BF，AE=3，求DF的长． 答案 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，PA、PC是⊙O的两条切线，点A、C为切点，点B为⊙O上任意一点，连接AB、BC，若∠B=52°，则∠P的度数为（　　）． A．68° B．104° C．70° D．76° 【答案】D 【解析】【解答】解：如图，连接OA，OC， ∵PA、PC 是⊙O的两条切线，点A、C为切点， ∴∠PAO=∠PCO=90°， ∵∠B=52°， ∴∠AOC=2∠B=104°， ∴∠P=360°-90°-90°-104°=76°. 故答案为：D. 【分析】连接OA，OC，根据切线的性质得出∠PAO=∠PCO=90°，根据圆周角定理得出∠AOC=2∠B=104°，再根据四边形内角和为360°即可得出∠P=76°. 2．已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【解析】【解答】解： ∵直线与相交 ∴圆心到直线的距离小于的半径5. 故答案为：A. 【分析】根据定义判断即可，的半径为r，圆心O到直线的距离为d，若直线与相离，则d>r；若直线与相切，则d=r；若直线与相交，则d<r. 3．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，∠APB=60°，PA=8，则⊙O的半径OA长为（　　） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：连接OA、OP ∵PA、PB是⊙O的切线 ∴∠OAP=90°，∠APO= ∠APB=30° Rt△OAP中， ∵tan∠APO= ， ∴OA=PA•tan30°=8× = ， 故选D． 【分析】连接OA、OP，根据切线长定理即可求得∠OPA= ∠APB，在Rt△OAP中利用三角函数即可求解． 4．把宽为2cm 的刻度尺在圆O上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与圆的两个交点处的刻度恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm ），则该圆的半径是（　　） A．3 cm B．3.25 cm C．2 cm D．4 cm 【答案】B 【解析】【解答】解：连接OA交BC于点E， 设OB=r， ∵AB=8﹣2=6cm，OD⊥AB， ∴BE= AB= ×6=3cm， 在Rt△BOE中， OE2+BE2=OB2，即（r﹣2）2+9=r2， 解得r= =3.25cm． 故选B． 【分析】连接OA交BC于点E，根据垂径定理得BE的长，再根据勾股定理列方程求解即可． 5．如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（　　） A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50° 【答案】C 【解析】【解答】解：∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠EAD， ∴∠EAD=∠ODA， ∴OD∥AE， ∴AE⊥DE，故选项A、B都正确； ∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°， ∴∠BOD=2∠OAD=50°，故选项D正确； 如图： 过点D作DF⊥AB于点F ∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB， ∴DE=DF<OD，故选项C不正确； 故答案为：C. 【分析】根据切线的性质可得OD⊥DE，根据等腰三角形的性质得∠OAD=∠ODA，根据角平分线的概念得∠OAD=∠EAD，则∠EAD=∠ODA，推出OD∥AE，据此判断A、B；根据等腰三角形的性质以及角平分线概念得∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，由圆周角定理得∠BOD=2∠OAD=50°，据此判断D；根据角平分线的性质可得DE=DF，据此判断C. 6．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，若OP=4，PA=2，则∠AOB的度数为（　　） A．60° B．90° C．120° D．无法确定 【答案】C 【解析】【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线， ∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO． 又∵OP=4，PA=2， ∴∠APO=30°． ∴∠APB=60°，∠AOB=120°． 故选C． 【分析】根据切线的性质得到直角△AOP，再根据锐角三角函数求得∠APO的度数；根据切线长定理求得∠APB的度数． 根据四边形的内角和定理即可求解． 7．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB＝60°， ∴△OAB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝2， 设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB， ∴OG＝OA•sin60°＝2× ＝ ， ∴S阴影＝S△OAB−S扇形OMN＝ ×2× − ＝ . 故答案为：C. 【分析】设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，解直角三角形OAG可求得OG的值，再根据阴影部分图形的构成S阴影＝S△OAB−S扇形OMN可求解. 8．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，且BC⊥OA，过BC的延长线上一点D作⊙O的切线DE，切点为E，连接AB，BE，若∠BDE=52°，则∠ABE的度数是（　　） A．52° B．58° C．60° D．64° 【答案】D 【解析】【解答】解：如图连接OE，设OA交BC于H． ∵DE是⊙O的切线， ∴OE⊥DE， ∴∠OED=90°， ∵BC⊥OA于H， ∴∠OHD=90°， ∴∠EOH=360°﹣∠OHD﹣∠D﹣∠OED=360°﹣90°﹣52°﹣90°=128°， ∴∠ABE= ∠AOE=64°， 故选D． 【分析】如图连接OE，设OA交BC于H．根据四边形内角和定理求出∠HOD，再根据∠ABE= ∠AOE即可解决问题． 9．如图，点为的内心，连接并延长，交的外接圆于点，点为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（　　） A．5 B．4.5 C．4 D．3.5 【答案】C 【解析】【解答】解：延长ID到M，使DM=ID，连接CM． 是的内心， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， 故答案为：C. 【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM，根据内心的概念可得∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，由外角的性质可得∠DIC=∠IAC+∠ICA，根据角的和差关系可得∠DCI=∠BCD+∠ICB，结合圆周角定理得∠DIC=∠DCI，推出DI=DC=DM，进而得到∠ICM=90°，利用勾股定理可得CM，进而推出IE为△ACM的中位线，据此求解. 10．如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B.点P为 上一动点（A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是：①PB＝PD；② 的长为 π；③∠DBE＝45°；④当P为 中点时EC=EF；⑤∠DFB＝∠CBP.其中正确的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】【解答】解：①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图1， ∵M，C是半圆上的三等分点， ∴∠BAH=30°， ∵BD与半圆O相切于点B. ∴∠ABD=90°， ∴∠H=60°， ∵∠ACP=∠ABP，∠ACP=∠DCH， ∴∠PDB=∠H+∠DCH=∠ABP+60°， ∵∠PBD=90°-∠ABP， 若∠PDB=∠PBD，则∠ABP+60°=90°-∠ABP， ∴∠ABP=15°， ∴P点为 的中点，这与P为 上的一动点不完全吻合， ∴∠PDB不一定等于∠ABD， ∴PB不一定等于PD， 故①错误； ②∵M，C是半圆上的三等分点， ∴∠BOC= ×180°＝60°， ∵直径AB=8， ∴OB=OC=4， ∴ 的长度= ， 故②正确； ③∵∠BOC=60°，OB=OC， ∴∠ABC=60°，OB=OC=BC， ∵BE⊥OC， ∴∠OBE=∠CBE=30°， ∵∠ABD=90°， ∴∠DBE=60°， 故③错误； ④∵ M，C是半圆上的三等分点， ∴∠BPC=30°，∠COB=60° ∴△COB为等边三角形， ∴∠OBC=60° 又CF⊥OC， ∴∠CBF=30°， 又∠PCB=∠BCF， ∴△PCB∽△BCF， ∴∠CFB=∠CBP， 又P为 的中点， ∴∠PBC=45°， ∴∠CFE=45°， 又∠CEF=90°， ∴∠FCE=45°， ∴EF=EC， 故④ 正确； ⑤由④可得出，∠DFB＝∠CBP正确， 故⑤ 正确. ∴②④⑤正确. 故答案为：C. 【分析】①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，若PD=PB，得出P为 的中点，与实际不符，即可判定正误；②先求出∠BOC，再由弧长公式求得 的长度，进而判断正误；③由∠BOC=60°，得△OBC为等边三角形，再根据三线合一性质得∠OBE，再由角的和差关系得∠DBE，便可判断正误；④通过条件可证明△ BCF∽△ PCB，可得到∠ CFE=∠ FCE，便可判断正误；⑤通过④可得∠DFB＝∠CBP. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图，已知的直径AB为8，点M是外一点，若MB是的切线，B为切点，且，Q为上一动点，则MQ的最小值为　 　. 【答案】1 【解析】【解答】解：连接OM，交⊙O于Q，此时MQ值最小， ∵BM是⊙O的切线， ∴OB⊥BM， ∵的直径AB=8， ∴OQ=OB=4， ∵BM=3， 由勾股定理，得OM=5， ∴MQ=OM-OQ=5-4=1， 故答案为：1. 【分析】连接OM，交⊙O于Q，此时MQ值最小，根据切线的性质得OB⊥BM，在Rt△OBM中，由勾股定理算出OM，进而根据MQ=OM-OQ即可算出答案. 12．如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=　 　，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m的取值范围是　 　． 【答案】±2；－2<m<2 【解析】【解答】解：∵⊙M的圆心坐标为（m，0），⊙M与y轴所在直线相切 ∴d=r ∵⊙M的半径r=2 ∴m=±2； ∵⊙M与y轴所在直线相交， ∴−2<m<2 故答案为：±2，－2<m<2。 【分析】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径：又该圆可以在y轴的左侧，也可能在y轴的右侧，可求得m的值；若直线和圆相交，则圆心应介于相切的两个切点之间，求出m的取值范围。 13．已知PA，PB是⊙O切线，点C为圆上不同于A，B的一点，若∠P=40°，则∠ACB的度数为　 　． 【答案】70°或110° 【解析】【解答】解：连接OA、OB，在AB弧上任取一点C，连接AC、BC， ∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∵∠APB=40°， ∴在四边形OAPB中，∠AOB=360°-∠APB-∠OAP-∠OBP=140°． ①若C点在优弧AB上，则∠ACB=∠AOB=70°； ②若C点在劣弧AB上，则∠ACB=180°-70°=110°， 故答案为：70°或110°． 【分析】连接OA、OB，在AB弧上任取一点C，连接AC、BC，根据切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，再利用圆内接四边形的性质求出∠AOB的度数，最后分两种情况求解即可。 14．如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， 与 相切于点 ，过 作 的垂线，与 的延长线交于 ，若 的半径为 ，则 的长为　 　. 【答案】4 【解析】【解答】如图所示，连结OD ∵PD与⊙O相切于点D， ∴OD⊥PC， ∴OD∥BC， ∴△POD∽△PBC， ∴ ， 设PA为x，则PO=4+x，PB=4+4+x=8+x， ∴ ， 解得x=4. 故答案为：4. 【分析】根据题意连结OD，由切线的性质可得OD⊥PC，从而可得△POD∽△PBC，可得 ，设PA为x，求出即可. 15．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，⊙O是ABC的内切圆，则这个圆的半径是　 　． 【答案】2 【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=13，AC=5， ∴BC= = =12， 设内切圆半径为r，则有 •BC•AC= （AB+BC+AC）•r， ∴r= =2． 故答案为2 【分析】根据三角形面积公式S△ABC= •BC•AC= （AB+BC+AC）•r计算即可． 16．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，以AD为直径在矩形内作半圆，点E为半圆上的一动点（不与A、D重合），连接DE、CE，当△DEC为等腰三角形时，DE的长为　 　. 【答案】4或 【解析】【解答】解：①当DE=DC时，△CDE是等腰三角形，此时DE=DC=AB=4. ②当CD=CE时，△CDE是等腰三角形. 此时CD、CE是⊙O的切线，连接OC交DE于F. ∵CD=CE，OD=OE， ∴OC垂直平分线段DE， ∴DF=EF= ， ∴ . ③当EC=ED时，△ECD是等腰三角形. 作EH⊥CD于H，交⊙O于E′，作OF⊥EE′. 在Rt△EFO中， ， ∴ ， ∴ ， ， 综上所述，DE的长为4或 或 或 . 故答案为：4或 或 或 . 【分析】因为三角形DEC是等腰三角形，所以根据等腰三角形的性质可分三种情况讨论求解： ①当DE=DC时，结合题意得DE=DC=AB可求解； ②当CD=CE时，△CDE是等腰三角形，连接OC交DE于F.由切线长定理易证OC垂直平分线段DE，由两个角相等的两个三角形相似可得△ODF∽△OCD，可得比例式求得DF=EF的长，再根据DE=2DF可求解； ③当EC=ED时，△ECD是等腰三角形，作EH⊥CD于H，交⊙O于E′，作OF⊥EE′，在Rt△EFO中，用勾股定理可求得EF的值；则由图得HE=HF-EF，HE´=HF+FE´=HF+EF，于是在Rt△DHE´中，用勾股定理可求得DE´的值；综合三种情况可求解. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D．连接OE、AC，且∠P=∠E，∠POE=2∠CAB． （1）求证：CE⊥AB； （2）求证：PC是⊙O的切线； （3）若BD=2OD，PB=9，求⊙O的半径及tan∠P的值． 【答案】（1）证明：连接OC， ∴∠COB=2∠CAB， 又∠POE=2∠CAB． ∴∠COD=∠EOD， 则弧BC=弧BE， 即CE⊥AB； （2）证明：∵CE⊥AB，∠P=∠E， ∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°， 又∠OCD=∠E， ∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°， ∴PC是⊙O的切线； （3）解：设⊙O的半径为r，OD=x，则BD=2x，r=3x， ∵CD⊥OP，OC⊥PC， ∴Rt△OCD∽Rt△OPC， ∴OC2=OD•OP，即（3x）2=x•（3x+9）， 解之得x= ， ∴⊙O的半径r= ， 在Rt△OCP中， PC= = =9 ， tan∠P= = . 【解析】【分析】（1）此题方法不唯一，主要是运用“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”，题中给出的是证明弧BC和弧BE所对的圆心角相等，则所对的弧相等，则由垂径定理可证得； 2）证明相切，需证明半径OC⊥CP，即证明∠PCO=90°；而由（1）可得∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，而由半径OE=OC，根据等边对等角，可得∠OCD=∠E，则可证得∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°； 3）要求⊙O的半径，可考虑运用勾股定理的方法和相似三角形的方法，题中给出的是运用相似三角形的判定和性质解答，由BD=2OD，可得边BD，半径与OD的关系，则证明Rt△OCD∽Rt△OPC，可得边 OC2=OD•OP，代入相关数据，求出半径OC和OD；在Rt△OCP中，tan∠P= ，OC已求，则PO=OB+PB，则可求出PC，代入即可解出. 18．如图，在中，，在上，以为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，交于点，过作，垂足为． （1）与有什么位置关系，请写出你的结论并证明； （2）若的半径长为，，求的长． 【答案】（1）解：与相切； 理由如下： 连接， ， ； ， ， ， ； ， ， 与相切． （2）解：连接，； ，是的切线， ，， 又， 四边形为矩形， ； 在中，， ， ，， ． 答：长度为． 【解析】【分析】（1）由已知可证得OD⊥DE，OD为圆的半径，根据切线的判定得DE与⊙O相切. （2）连接OD， OF，先证明四边形ODEF为矩形，从而得到EF的长，再利用勾股定理求得AO的长，从而可求得AC的长，从而得解. 19．如图，点O为斜边上的一点，以为半径的⊙O与交于点D，与交于点E，连接，且平分 （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】（1）证明：连接，如图 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∵是⊙O的半径， ∴是⊙O的切线； （2）解：如图，连接，，交于点M， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 又由（1）知，，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ， ∴， ∴ 【解析】【分析】（1）根据切线的判定证明。连接，利用角平分线和半径之间关系推出，结合得，根据切线的判定推出即可； （2）根据扇形的面积公式、菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质求解。连接、，证明为等边三角形，利用半径相等得四边形是菱形，采用割补法得：阴影部分的面积=扇形的面积，求出扇形的面积即可． 20．在⊙O中直径AB与弦CD交于点E，连接AD，过点B作⊙O的切线与AD的延长线相交于点F，CD的延长线与BF的延长线相交于点G. （1）若求的度数； （2）连接CO，AC，再连接DO并延长交AC于点M， ①证明： ②若求⊙O的直径. 【答案】（1）解：是直径，BG是的切线， （2）①证明：∵ ∴∠AOC=2∠BOD=2∠AOM， ∴∠COM=∠AOM， 又∵OA=OC， ∴DM⊥AC； ②连接BD， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°. ∴∠ADB=∠ABF. 又∵∠BAD=∠BAD， ∴△ABD∽△AFB. 由①知， ∠CAD=∠ACD， ∴AD=CD. 【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到，即可得到即可得到然后根据角的和差解答即可； （2）①得到∠COM=∠AOM，然后根据等腰三角形的三线合一得到结论即可； ②连接BD，根据两角对应相等得到△ABD∽△AFB.即可得到对应边成比例再根据①得到AD=CD，代入计算解答即可. 21．如图，CE，CB是半圆O的切线，切点分别为D，B，AB为半圆O的直径．CE与BA的延长线交于点E，连结OC，OD． （1）求证：△OBC≌△ODC． （2）若DE=a，AE=b，BC=c，请你思考后，从a，b，c三个已知数中选用适当的数，设计出计算半圆O的半径r的一种方案： ①方案中你选用的已知数是 ▲ ②写出求解过程(结果用字母表示)． 【答案】（1）解：证明：∵CD，CB是半圆O的切线， ∴∠ODC=∠OBC=90°． ∵OD=OB，OC=OC， ∴△OBC≌△ODC(HL)． （2）解：①方案中选用的已知数是a，b(答案不唯一)． ②在Rt△ODE中，由勾股定理，得a2+r2=(b+r)2， ∴a2=b2+2br， ∴r=. 【解析】【分析】（1）利用切线的性质可得∠ODC=∠OBC=90°，再利用“HL”证出 △OBC≌△ODC即可； （2）①根据题意进行选择即可（答案不唯一）； ②利用勾股定理可得a2+r2=(b+r)2，再求出r=即可. 22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的一点，以BD为直径的半圆与BC相交于点F，且AC切于点E. （1）求证：. （2）若∠A=30°，AB=6，求CF的长. 【答案】（1）证明： ∵BD为直径， ∴∠DFB=90°. ∵∠ACB=90°， ∴AC//DF. ∵ AC切于点E ， ∴OE⊥AC， ∴DF⊥EO. ∴. （2）设AD=x，连结DE，BE， ∵AB=6， ∴BD=6-x， ∴OD=OE=. ∴AO=AD+OD=. ∵∠A=30°， ∴OE=AO=. ∴=，解得x=2. ∴OD=. ∵∠A=30°，DF//AC， ∴∠GDO=30°， ∵DF⊥EO， ∴OG=1. ∵∠DFB=90°， ∴∠GFC=90°， ∵OE⊥AC， ∴∠GEC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴四边形EGFC是矩形. ∴CF=EG=OE-OG=1. 【解析】【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角，说明∠DFB=90°，结合∠ACB=90°，可说明AC//DF，再结合切线，可说明OE⊥AC，再根据平行线的性质，可说明DF⊥EO，从而有结论成立； （2）设AD=x，在Rt△AOE中结合30度角用x表示出OE，由OE为半径，又可用x表示出OE，列关于x的方程求解，求得x，从而可求得OE，结合30度角求出OG，再证明四边形EGFC为矩形，从而可得CF=EG，利用EG=OE-OG求解. 23． 如图，已知的边所在的直线是的切线，切点为，经过圆心并与圆相交点，，过点作直线，交的延长线于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：连接， ∵边所在的直线是的切线， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分 （2）解：连接， ∵经过圆心并与圆相交点，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴即， 解得：， ∴的半径为 【解析】【分析】(1)连接OB，根据切线的性质可得OB⊥AB，进而可证得OB//CE，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到∠BCE=∠OCB即可证得结论； (2)连接BD，先利用圆周角定理和勾股定理求得BC=5，再证明△BCE∽△DCB得到，进而求得CD即可求解. 24．如图，是的外接圆，AB是的直径，分别过A，C两点作的切线，交于点，连接OP，交AC于点. （1）求证：； （2）若，求PA的长. 【答案】（1）证明：∵AB是的直径， . 是的切线， . ​​​​​​​ （2）解：∵AP，CP是的切线， 易证 是AC中点，是AB的中点，是的中位线.. 即 即 【解析】【分析】（1）根据圆周角定理及推论可得∠CAB+∠B=∠ACB=90°，根据切线长定理和切线性质可得PA=PC，∠PAB=90°，根据等腰三角形性质和角的和差即可得到结论； （2）根据切线长定理证得OD⊥AC，AD=CD，OD//BC.证明OD为中位线可求得OD长，求得∠APO=∠DAO，利用正切值的定义得，于是可求得AD长，进而求出AO长.最后证明△PAO∽△ADO，利用相似三角形的性质即可求得PA的长. 25．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：DE与⊙O相切； （2）若CD=BF，AE=3，求DF的长． 【答案】（1）证明：连接OD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， 又∵AB=AC， ∴∠1=∠2， ∵OA=OD， ∴∠2=∠ADO， ∴∠1=∠ADO， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴∠ODF=∠AED=90°， ∴OD⊥ED， ∵OD过0， ∴DE与⊙O相切. （2）解：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠1=∠2，CD=BD， ∵CD=BF， ∴BF=BD， ∴∠3=∠F， ∴∠4=∠3+∠F=2∠3， ∵OB=OD， ∴∠ODB=∠4=2∠3， ∵∠ODF=90°， ∴∠3=∠F=30°，∠4=∠ODB=60°， ∵∠ADB=90°， ∴∠2=∠1=30°， ∴∠2=∠F， ∴DF=AD， ∵∠1=30°，∠AED=90°， ∴AD=2ED， ∵AE2+DE2=AD2，AE=3， ∴AD=2 ， ∴DF=2 ． 【解析】【分析】（1）连接OD，利用OD=AO，得到 ∠1=∠ADO， 进而得到OD平行AC，结合垂直关系和切线的判定，即可得出答案。 （2）根据等腰三角形的三线重合可知CD=BD，结合条件又知BD=BF，从而有∠3=∠F=30° ，进而得到 ∠2=∠1=30°，故DF=AD，AD=2ED，在Rt△AED中利用30°的性质计算边长AD，即可得出答案。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 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