精品解析：河南省郑州市新郑市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

新郑市2024－2025学年下学期学业质量评价试卷 八年级数学 注意事项：本试卷共6页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形，将一个图形沿着某条直线对折，直线两边的图形能够完全重叠，则这个图形就是轴对称图形；将一个图形围绕某一点旋转后能与原图形完全重叠，则这个图形就是中心对称图形．据此解答即可． 【详解】解：A、轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 若，则下列各不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式的基本性质：（1）不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质逐一分析判断即可． 【详解】解： ， ，故A不符合题意； ， ，故B不符合题意； ， ，故C不符合题意； ， ，，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，掌握“不等式的基本性质”是解本题的关键． 3. 如果把中的x与y都扩大为原来的10倍，那么这个分式的值（ ） A. 不变 B. 是原来的50倍 C. 是原来的10倍 D. 是原来的 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出分式的分子、分母的变化情况． 首先分别判断出x与y都扩大为原来的10倍后，分式的分子、分母的变化情况，然后判断出这个代数式的值和原来代数式的值的关系即可． 【详解】解：∵x与y都扩大为原来的10倍， ∴扩大为原来的10倍，扩大为原来的10倍， ∴的值不变， 故选A． 4. 如图，中，于点D，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD=∠A=60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°， ∴∠BCD=∠A=60°， ∴∠ACD=∠B=30°， ∵AD=1， ∴AC=2AD=2， ∴AB=2AC=3， ∴BC==， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键． 5. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质及等腰三角形性质，熟练掌握旋转前后对应角、对应边相等是解题的关键．由旋转得，，，再根据等腰三角形性质求出角度即可． 【详解】解：由旋转性质得，， ，，， ， 故选：B． 6. 如图，的周长为，，，，，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 的面积是 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理，利用平行四边形的对边相等是解题的关键． 由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为20，设为未知数，利用两种方法得到平行四边形的面积相等，可得的长，乘以4即为平行四边形的面积，再利用勾股定理通过计算的长，即可判断． 【详解】解：∵的周长为， ， 设为x， ， ， 解得：， 即，，故选项A、B正确，不符合题意； ∴平行四边形的面积是，故选项C正确，不符合题意； 在中，， ， 在中，， ，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 7. 某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，设提速前列车的平均速度为，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据提速前后所用时间相等列式即可． 【详解】根据提速前列车的平均速度为，得提速后的速度为，列车用相同时间比提速前多行驶，列方程得． 故选：A． 【点睛】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键． 8. 一个多边形内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是（ ）． A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的问题．熟练掌握多边形的内角和公式和外角和是解题的关键．设这个多边形的边数是n，根据“一个多边形的内角和是它外角和的2倍”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得： 解得： 即这个多边形是六边形． 故选：D 9. 关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解不等式组的方法是解题的关键．先解不等式组，再根据仅有4个整数解得出的不等式组，再求解． 【详解】解：解不等式组得：， 该不等式组解集的整数解仅有4个， 解得：， 故选：A． 10. 已知：平行四边形的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点． ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点 ③画射线，交于点，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图．也考查了坐标与图形性质和平行四边形的性质．交轴于点，如图，利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，所以，设，则，，在中利用勾股定理得到，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】解：交轴于点，如图， 由作法得平分， ， 四边形为平行四边形， ∴， ， ， 设，则， ， ，， ， ， 在中，， 解得， 点坐标为． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个满足下列条件的分式：分式有意义时，；分式的值不可能为0．你写的分式是_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分式的值、分式有意义的条件，根据分式的性质进行求解即可． 【详解】解：分式值不等于，则分式的分子不等于． 取值范围要，则分式分母满足时，分母． 可得， 故答案为：． 12. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，结合图象信息，解题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值大，图象在下方的部分对应的函数值小．根据两直线的交点坐标和函数的图象即可求出答案． 【详解】解：当时，直线在直线下方， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 13. 关于的分式方程有增根，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据已知有增根，即使分式方程分母为0的根，即满足x-2=0；解题中分式方程，先通分，再去分母，化成整式方程后，用x表示出未知参数m，最后将x的值代入即可求得m的值． 【详解】解：分式方程有增根 得：x=2 通分得： 去分母得： 化简得： 将x=2代入得m=5 故答案为5． 【点睛】这道题考查的是分式方程增根的概念和分式方程未知参数的解法．解决这类题的关键在于：确定增根，化分为整，增根代入． 14. 如图，中，，分别是，的中点，平分，交于点，若，，，则的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质、角平分线的定义，根据三角形中位线定理求出、，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，计算即可． 【详解】解：∵D、E分别是、的中点， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知等边的边长为，点是边上的动点，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．根据旋转的性质，即可得到，当时，的长最小，再根据勾股定理，即可得到的最小值． 【详解】点是边的中点， ， 当时，的长最小（如图）， 由旋转可得， 此时，， ， ， 的最小值是， 故答案为． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解； （1）先提取公因式，后套用完全平方公式分解即可； （2）先运用平方差公式，然后运用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 17. 下面是某同学解不等式组的部分解答过程，请阅读并完成相应的任务． 解：…… 由不等式②得，． 第一步 移项，得． 第二步 合并同类项得， 第三步 所以： 第四步 （1）任务一：小明的解答过程中，第一步的依据是 ，第 步开始出现错误，错误的原因是 ． （2）任务二：请你求出这个不等式组正确解集． 【答案】（1）不等式的基本性质2，四，化系数为1时没有变号 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤结合不等式的性质判断即可 （2）分别求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解：小明的解答过程中，第一步的依据是不等式的基本性质2，第四步开始出现错误，错误的原因是化系数为1时没有变号， 故答案为：不等式的基本性质2，四，化系数为1时没有变号； 【小问2详解】 解： 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 18. 先化简：，再从中选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，当时，值为 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，把握分式的运算顺序与运算法则，正确运算是解题的关键．按运算顺序先计算加法，再计算除法，最后化简并代入字母的值即可求解． 【详解】解： ； 符合范围的整数有，，0， 但是在原代数式中，且， 所以， 把代入． 19. 如图，的顶点的坐标为． （1）将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，请在图中画出； （2）将绕点顺时针旋转得到，请在图中画出，并连接，直接写出的长为 ． 【答案】（1）见解析 （2）作图见解析，的长为 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换，勾股定理． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点， ，然后依次连接得到；利用两点间的距离公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 线段的长． 故答案为：． 20. 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个式子的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．“作差法”就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，如要比较式子，的大小，只要求出的值即可．若，则；若，则；若，则． （1）若，试判断： （填“”“”或“”）． （2）已知，，当时，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解． （1）计算两式之差 ，根据差值符号进行判断； （2）化简 ，由 可得 ，进而求解． 【小问1详解】 解： ， ， ， 则， ∴， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： ， ， ∴， ． 21 操作与发现 如图，在中，，点D，E分别是上的点，且． （1）尺规作图：请根据下列要求完成作图，并标出相应的字母．（保留作图痕迹） ①作线段的垂直平分线交于点F； ②在边上取一点G，使得； ③连接． （2）观察与思考：线段间满足怎样的等量关系，请直接写出你发现的结论． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）按要求完成作图即可； （2）分别连接AF、BF，易得四边形EFBG是平行四边形，则可得BF=EG，由线段垂直平分线的性质定理得AF=BF=EG，则在由勾股定理即可得三线段的关系． 【小问1详解】 如图所示，即为所求作的图形． ①分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，连接MN，交DE于F，线段的垂直平分线MN即为所作，如图所示． ②以B为圆心，EF长为半径画弧，交BC于点G，则BG=EF． ③连接EG． 【小问2详解】 ． 分别连接AF、BF，如图所示， ∵DE∥BC，BG=EF， ∴四边形EFBG是平行四边形， ∴BF=EG， ∵MN是线段AB的垂直平分线， ∴AF=BF， ∴AF=EG． ∵DE∥BC，∠C=90°， ∴∠AEF=90°， 在中，由勾股定理得： ， 即． 【点睛】本题考查了尺规作图：作线段的垂直平分线，作线段等于已知线段，平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的性质定理，勾股定理等知识，连接AF、BF并运用线段垂直平分线性质定理及判定平行四边形是关键． 22. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 （2）购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， (元)． 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元． 【小问2详解】 设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． 根据题意，得， 解得． 设共花费w元，则， ∵， ∴w随m的减小而减小， ∵， ∴当时，w值最小． ， (台)． 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 23. 综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）观察发现：如图1，四边形是长方形，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点的对应点落在上，则 ． （2）探究迁移：如图2，在图1的条件下，延长与的延长线相交于点，连接．试说明四边形是平行四边形，并求的度数． （3）拓展应用：如图3，四边形是边长为2的正方形，，，，分别为，，，的中点，连接，．点是边上一点，连接，将沿折叠，使点的对应点落在或上时，直接写出 ． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠的问题、正方形与折叠的问题、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，解答本题的关键是明确题意、掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）利用矩形的性质、，再根据折叠的性质，如图：取的中点O，连接，易得是等边三角形，即，则，再根据折叠的性质求解即可求； （2）由矩形的性质可得、，即，进而得到；再根据折叠的性质可得、，即，由等角对等边可得，易证四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的对角相等即可解答． （3）由正方形的性质以及中点四边形的性质可得、四边形是矩形，易得，再分当点落在上和上两种情况，分运用折叠的性质、勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵点是边上一点，连接，沿折叠，使点的对应点落在上，， ∴，， 如图：取的中点O，连接，则， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图：∵四边形是矩形， ∴，，即， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问3详解】 解：∵正方形的边长为2，E、F、G、H分别为、、、的中点， ∴，四边形是矩形， ∴， ①如图：当点落在上时， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∴， 如图：取的中点O，连接，则， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴； ②当点落在上时， 由折叠的性质可得：， 利用（1）的方法进而得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． 综上，的值为或． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新郑市2024－2025学年下学期学业质量评价试卷 八年级数学 注意事项：本试卷共6页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列各不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果把中的x与y都扩大为原来的10倍，那么这个分式的值（ ） A. 不变 B. 是原来的50倍 C. 是原来的10倍 D. 是原来的 4. 如图，中，于点D，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的周长为，，，，，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 的面积是 D. 7. 某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，设提速前列车的平均速度为，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是（ ）． A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 9. 关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知：平行四边形的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点． ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点 ③画射线，交于点，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个满足下列条件的分式：分式有意义时，；分式的值不可能为0．你写的分式是_____． 12. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是_____． 13. 关于的分式方程有增根，则______． 14. 如图，中，，分别是，的中点，平分，交于点，若，，，则的长是_____． 15. 已知等边的边长为，点是边上的动点，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 因式分解： （1） （2） 17. 下面是某同学解不等式组部分解答过程，请阅读并完成相应的任务． 解：…… 由不等式②得，． 第一步 移项，得． 第二步 合并同类项得， 第三步 所以： 第四步 （1）任务一：小明的解答过程中，第一步的依据是 ，第 步开始出现错误，错误的原因是 ． （2）任务二：请你求出这个不等式组正确的解集． 18. 先化简：，再从中选取一个合适整数作为的值代入求值． 19. 如图，的顶点的坐标为． （1）将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，请在图中画出； （2）将绕点顺时针旋转得到，请在图中画出，并连接，直接写出的长为 ． 20. 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个式子的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．“作差法”就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，如要比较式子，的大小，只要求出的值即可．若，则；若，则；若，则． （1）若，试判断： （填“”“”或“”）． （2）已知，，当时，比较与的大小，并说明理由． 21. 操作与发现 如图，在中，，点D，E分别是上点，且． （1）尺规作图：请根据下列要求完成作图，并标出相应的字母．（保留作图痕迹） ①作线段的垂直平分线交于点F； ②在边上取一点G，使得； ③连接． （2）观察与思考：线段间满足怎样等量关系，请直接写出你发现的结论． 22. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 23. 综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）观察发现：如图1，四边形是长方形，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点的对应点落在上，则 ． （2）探究迁移：如图2，在图1条件下，延长与的延长线相交于点，连接．试说明四边形是平行四边形，并求的度数． （3）拓展应用：如图3，四边形是边长为2的正方形，，，，分别为，，，的中点，连接，．点是边上一点，连接，将沿折叠，使点的对应点落在或上时，直接写出 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$