第二十四章 相似三角形（复习讲义）数学沪教版五四制九年级上册

第二十四章 相似三角形（复习讲义） 相似三角形在整个初中数学中占据着重要的地位，是整个初中几何里解决线段、角度、周长、面积等问题的重要抓手，本章共分为以下几个内容：相似型、比例线段、相似三角形的判定与性质、平面向量的线性运算.根据课表要求，着重掌握以下知识点：相似三角形的判定定理：AA（两角相等）；SAS（两边成比例且夹角相等）；SSS（三边成比例），性质定理：对应高、中线、角平分线的比都等于相似比k，周长比同样等于相似比k。尤其要牢记面积比等于相似比的平方（k²），这是极易出错的核心要点，在涉及面积计算问题时需格外谨慎运用。同时，在近两年的中考中也高频出现，如2024年中考第15题考察了平面向量的线性运算、23题、25题考察了平行线段分线段成比例和相似三角形的判定与性质；2025年中考第5题考察了平面向量的线性运算、23题、25题考察了平行线段分线段成比例和相似三角形的判定与性质.所以在复习本章节时，要做到有的放矢，让学生能复述本章节的知识点以及来龙去脉，并会推到其中的公式、定理、以及重要的二级结论等，重点熟悉A字型、斜A型、8字型等核心模型，进一步理解并应用到实战中去。 知识点 重点归纳 常见易错点 放缩与相似 1.放缩：图形的放大和缩小； 2.相似：形状相同、大小不一定相同； 对应角相等、对应边成比例； 3.相似比：两条对应边的比. 1.放大缩小是使图形相似的操作，而相似是指图形之间的关系； 2.相似比指对应边的比指，而非任意两边. 相似三角形的判定 1.两个角对应相等（AA相似）； 2.（平行线截相似）； 3.相似两组边成比例+夹角相等（SAS）； 4.相似三组边对应成比例（SSS）； 5.直角三角形两边成比例. 特别强调是指对应边、对应角，而不是任意边、任意角. 相似三角形的性质 1. 相似三角形对应高的比、角平分线的比、中线的比=相似比； 2. 面积比=相似比的平方； 3. 相似传递性：若△ABC∽△DEF，△DEF∽△GHI，则△ABC∽△GHI. 相似三角形对应高的比、角平分线的比、中线的比=相似比，面积比=相似比的平方的前提条件是在相似三角形中. 比例线段 1. 线段的比：两条线段长度相除所得的商叫做两条线段的比值； 2. 成比例线段：如果a：b=c:d，那么就说a、b、c、d成比例. 1. a，d叫比例外项，b、c叫比例内项，要注意顺序； 2. 成比例线段要注意顺序性. 三角形一边的平行线 1.平行于三角形一边的直线截其它两边所在直线，截得的对应线段成比例； 2.平行于三角形一边的直线截其它两边所在直线，截得的三角形的三边与元三角形三边对应成比例； 3.如果一条直线截三角形的两边（同侧两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 4.平行线分线段成比例：两条直线被三条平行直线所截，解得的对应线段成比例；如果在一条直线上所截的线段相等，那么在另一条直线上所截的线段也相等. 1.前提条件都是在一条直线平行与三角的一边（或延长线）； 2.注意都是对应边. 重心 1. 三角形三条中线的交点叫重心； 2. 三角形的重心到一个顶点的距离等于它到这个顶点对边中点的距离的2倍. 重心是指三角形三条中线的交点，注意和其它特殊线段交点的混淆. 实数与向量相乘 1.k是一个实数，是一个向量，那么k与的乘积是一个向量，记作k； 2.如果k≠0，且≠0，那么k的长度，k的方向：当k>0时，与的方向相同；当k<0时，与的方向相反； 3.如果k=0或=0，那么k=0； 4.m(n)=(mn); (m+n)=m+n; m（+）=m+m; 5.平行向量定理：如果向量与非0向量平行，那么存在唯一的实数m使得=m. 实数与向量相乘的结合律 实数与向量相乘对实数加法的分配律 实数与向量相乘对向量加法的分配律 向量的线性运算 向量的加法，减法，实数与向量相乘，以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 注意运算顺序 题型一 放缩与相似形 【例1】如图，以点O为位似中心的与的周长比为，则的值是多少？ 【解析】解： 与是以点为位似中心的位似图形，与的周长比为， ，，且相似比为， ， ， ， 【变式1-1】2．如图，在舞台设计中，有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，那么与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是， ∴与的面积之比是， 故选：B． 【变式1-2】如图，与是位似图形，位似中心是点O，若，且的周长为6，则的周长为（   ） A．12 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【解析】解：∵与是位似图形，位似中心是点O，， ∵的周长与的周长之比为， ∵的周长为6， ∴的周长为3， 故选：D． 【变式1-3】在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】解：以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标为 或，即或， 故选：C． 题型二 相似图形的判断 【例2】两个下列图形必定互为相似形的是（ ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】C 【解析】解：A．两个等腰三角形的内角不一定对应相等，因此两个等腰三角形不一定相似，故A不符合题意； B．两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定对应成比例，因此两个平行四边形不一定相似，故B不符合题意； C．两个正方形对应角相等，对应边成比例，因此两个正方形一定相似，故C符合题意； D．两个等腰梯形的对应角不一定相等，对应边不一定对应成比例，因此两个等腰梯形不一定相似，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】下列图形一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 【答案】C 【解析】解：A、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； B、两个面积相等的三角形不一定相似，不符合题意； C、两个正方形一定相似，符合题意； D、两个菱形不一定相似，不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】下列图形，相似的一组是（  ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．有一个内角为的两个菱形 D．边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 【答案】C 【解析】解：A、两个直角三角形不一定相似，不符合题意； B、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； C、有一个内角为的两个菱形对应边成比例，相似，符合题意； D、边长分别为2厘米和3厘米的两个菱形对应角不一定相等，不符合题意． 故选：C． 题型三 比例的性质 【例3】已知a、b是不等于0的实数，，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、由得，，故本选项不符合题意； B、由得，，整理得，，故本选项符合题意； C、由得，，整理得，，故本选项不符合题意； D、由得，，整理得，，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】若，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（1）若，则___________； （2）若，则___________； （3）若，则___________． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）∵， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：． （3）∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 题型四 成比例线段 【例4】下列四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、， ∴四条线段不成比例； B、， ∴四条线段不成比例； C、， ∴四条线段成比例； D、， ∴四条线段不成比例． 故选：C． 【变式1-1】下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意； 故选：． 【变式1-2】已知线段a＝0.3m，b＝60cm，c＝12dm． （1）求线段a与线段b的比． （2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长． （3）b是a和c的比例中项吗？为什么？ 【答案】（1）a：b＝1：2；（2）d＝240cm；（3）是，理由见解析. 【解析】（1）∵a＝0.3m＝30cm；b＝60cm， ∴a：b＝30：60＝1：2； （2）∵线段 a、b、c、d 是成比例线段， ∴， ∵c＝12dm＝120cm， ∴， ∴d＝240cm； （3）是，理由： b2＝3600，ac＝30×120＝3600， ∴b2＝ac， ∴b是a和c的比例中项． 题型五 平行线分线段成比例 【例5】如图，如果D、E分别在的两边、上，由下列条件中可以推出的有（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、由，不能得到，故本选项不合题意， B．由不能得到，故本选项不合题意， C．由，能得到，故本选项合题意， D．由，不能得到，故本选项符不合题意， 故选：C； 【变式1-1】如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D，E，F．若 ，，则的长为 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】已知，AD与BC相交于点O.若，AD=10，则AO= ． 【答案】4 【解析】解：根据平行线分线段成比例定理，由AB∥CD可得， ∵AD=10， ∴OD=10-OA， 代入可得， 解得OA=4，经检验，符合题意； 故答案为4． 【变式1-3】如图，在中，，，，，求．    【答案】4 【解析】解：∵， ∴，即， ∴． 题型六 相似三角形的判定 【例6】如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：与都是等边三角形， ， 又， ， 与相似的三角形是， 故选：D． 【变式1-1】下列两个三角形一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 【答案】B 【解析】解：A、两个直角三角形不一定相似，不符合题意； B、根据两角相等的两个三角形相似，可以得到有一个内角为的两个直角三角形一定相似，符合题意； C、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； D、有一个内角是的两个等腰三角形不一定相似，比如一个的角是顶角，一个的角为底角，不符合题意； 故选B． 【变式1-2】如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：由图知：，，， ，，． ， ． 【变式1-3】如图，在中，，，，求证：．    【答案】证明见解析； 【解析】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型七 相似三角形的实际应用 【例7】如图，已知小君的身高是米，他在路灯下的影长为米，小君与灯杆的距离为米，那么路灯距地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】解： ，， ， ，， ， ， ，即， 米， 路灯距地面的高度为米， 故选：A． 【变式1-1】“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图， 由题意得，，，，，， ， ，即， 故选：D 【变式1-2】如图，用手电来测量古城墙高度，将平面镜水平放置在点处，光线从点出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙的顶端处．若，，米，米，米，根据物理学中光的反射定律，可计算出该古城墙的高度是 米． 【答案】 【解析】解：，， ， 由题意得，， ， ，即， 解得：米． 该古城墙的高度是米． 故答案为：． 【变式1-3】《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【解析】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 题型八 相似三角形的判定与性质综合 【例8】如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径．如果，且量得，则零件的厚度x为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵外径为， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1-1】如图，能推出DEBC的比例式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 又， 故选C 【变式1-2】如图，，、相交于点，如果，那么的值是 ．    【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型九 利用相似三角形的性质求解应用 【例9】如图，D是边上点，已知，，．    (1)求边的长； (2)如果（点A、C、D对应点C、B、D），求的度数． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∵，即 ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【变式1-1】如图，在中，点D，E分别在边和上，且． （1）若，则等于多少？ （2）若，则，各等于多少？ 【答案】（1）；（2），． 【解析】解：（1）∵DE//BC， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【变式1-2】如图，在中，点、分别在边、上，且，，，．    (1)如果，求线段的长； (2)设的面积为2，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：，， ， 且， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 题型十 平面向量及其运算 【例10】下列命题中，真命题为（   ） A． B．若，则． C．若，则或 D．若，则构成平行四边形 【解析】解：A：，故A错误； B：，则它们的大小和方向相同，成立，故B正确； C：，它们的方向不确定，因此向量不一定相等，故C错误； D：，只能说明向量平行且相等，但四点位置可能不在同一平面或形成其他图形（如三点共线），无法保证构成平行四边形，故D错误； 故选：B． 【变式1-1】计算： 【答案】 【解析】解： ， 故答案为：． 【变式1-2】已知：如图，EF是的中位线，设，． （1）求向量、（用向量、表示）； （2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）      【答案】（1）；；（2）作图见解析． 【解析】解：（1）∵EF是的中位线，． ∴==， ∵， ∴ （2）如图，过点E作EM∥AC， 则与即为向量在、方向上的分向量． 【变式1-3】如图，在平行四边形中，点E在边上，，相交于点F． (1)求的值； (2)如果 ，试用a，b表示 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 基础巩固通关测 1．下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个圆 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【答案】B 【解析】解：A、两个平行四边形不一定相似，例如没有内角是直角的菱形和矩形不相似，不符合题意； B、两个圆一定相似，符合题意； C、两个菱形不一定相似，例如没有内角是直角的菱形和正方形不相似，不符合题意； D、两个等腰三角形不一定相似，例如等腰直角三角形和等边三角形不相似，不符合题意； 故选B． 2．如果两个相似多边形的面积比为9∶4，那么这两个相似多边形的相似比为(　　) A．9∶4 B．2∶3 C．3∶2 D．81∶16 【答案】C 【解析】根据题意得：． 故选C． 3．如果，那么下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设，（）， A. ，式子成立，故选项不符合题意； B. ，式子成立，故选项不符合题意； C. ，式子成立，故选项不符合题意； D. ，式子不成立，故选项符合题意； 故选：D． 4．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．，，， B．，，，； C．，．，； D．，，， 【答案】B 【解析】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项符合题意； C． ，故该选项不符合题意； D．，故该选项不符合题意； 故选B． 5．如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点、、都在横线上，如果线段的长为，那么的长是（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【解析】解：如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点，根据题意，， ∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴， ∴． 解得． 故选：C． 6．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A选项符合判定方法（4），符合题意． B选项相等的角不是对应边的夹角，不符合题意． C选项相等的角不是对应角，不符合题意． D选项相等的角不是对应角，不符合题意． 7．下列命题中，真命题是（    ） A．如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似 B．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似 C．如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似 D．如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似 【答案】A 【解析】解：A． 如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似，是真命题； B．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形不一定相似，是因为没有说明相等的角是顶角还是底角，是假命题； C． 如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，缺少各边成比例，那么这两个梯形不一定相似，是假命题； D． 如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，缺少各边成比例，那么这两个梯形不一定相似，是假命题； 故选A． 8．如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：两个相似三角形对应边之比是， 两个相似三角形的相似比为， 它们对应面积之比为． 故选：C． 9．若两个相似三角形的相似比是，则这两个三角形的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：两个相似三角形的相似比是， 这两个三角形的周长比是， 故选：B． 10．如图，在中，点D在边上，点E在线段上，点F，G在边上，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、∵， ∴， ∴， ∴，故A不正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴，故B不正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴，则， 当时，，故C不正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∴，故D正确，符合题意； 故选：D． 11．如果，，且与反向，那么下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：，， ， 与反向， ． 故选：D． 12．下列判断错误的是（     ）． A． B．如果（为非零向量），那么 C．设为单位向量，那么 D．如果，那么或 【答案】D 【解析】解：、与任何向量的乘积都是零向量，故原选项正确，不符合题意； 、方向相同或相反的非零向量叫平行向量，因为（为非零向量），所以，故原选项正确，不符合题意； 、单位向量的模为，所以设为单位向量，那么，故原选项正确，不符合题意； 、两个向量的模相等，则两个向量的长度相等，当方向不确定，故原选项错误，符合题意； 故选：． 13．甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是 ． 【答案】 【解析】解：甲图与乙图的相似比． 故答案为：． 14．如果6是3和x的比例中项，那么 ． 【答案】12 【解析】解：∵6是3和的比例中项， ∴， 解得：． 故答案为：12． 15．如图，在中，点分别在边延长线上， ，如果，，那么的长是 ．    【答案】4 【解析】解：， ， ； 故答案为：4． 16．如图，为平行四边形的对角线上一点，的延长线交边于点．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形: ． 【答案】△ABE∽△FDE 【解析】解：∵ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∴∠ABD=∠CDB． ∵∠AEB=∠FED， ∴△ABE∽△FDE． 故答案为：△ABE∽△FDE. 17．两个相似三角形的相似比为，则对应的角平分线之比为 ． 【答案】 【解析】解：两个相似三角形的相似比为， 它们的对应角的角平分线的比为． 故答案为：． 18．若向量与单位向量的方向相反，且，则 （用表示） 【答案】 【解析】解：∵向量与单位向量的方向相反，且， ∴． 故答案为：． 19．如图，在平行四边形中，M是的中点，，垂足为E，设，，则 ． 【答案】/ 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 20．计算： ． 【答案】/ 【解析】解：． 故答案为：． 21．如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小． 【答案】x=24，y=28，α=75° 【解析】∵两个四边形相似， ∴20：5=x：6=y：7， 解得：x=24，y=28， ∵四边形内角和等于360°， ∴α= =75°， ∴x=24，y=28，α=75°． 22．已知，求． 【答案】 【解析】解：因为， ， 所以． 23．如图，已知AD∥EB∥FC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的长． 【答案】EC的长为． 【解析】∵AD∥EB∥FC， ∴EC：AC= BF：DF， ∴EC：12=7：10， ∴EC=． 24．如图，在中，点分别是边上的点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：，， ， 又∵为公共角， ． 25．如图，点在平行四边形的对角线上． (1)填空：______；______； (2)求作：． 【答案】(1)， (2)见解析 【解析】（1）；， 故答案为：，； （2）如图，即为所求． 26．如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H． （1）求HD的长； （2）设的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示） 【答案】（1）2；（2） 【解析】解：（1）∵平行四边形ABCD，BC=8， ∴，=8， ∴，， ∴，， ∵BE=EF=FD， ∴，， ∴BG=AD=4，HD=BG， ∴HD=2； （2）∵BE=EF， ∴=a， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴四边形AEFH的面积=-=． 能力提升进阶练 1．下列命题正确的是（   ） A．两个菱形相似 B．各有一个角的两个等腰三角形相似 C．一角相等的两个直角三角形相似 D．腰对应成比例的两个等腰三角形相似 【答案】B 【解析】解：A、两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似，故选项不符合题意； B、有一个角的三角形中，角必须为顶角，两个底角分别是，可判定三角形相似，故选项符合题意； C、如果相等的这个角是直角，则这两个直角三角形不一定相似，故选项不符合题意； D、腰对应成比例但是顶角不相等的两个等腰三角形不一定相似，故选项不符合题意； 故选：B． 2．若，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 3．已知，点P是线段的黄金分割点且，则线段的长为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ∴， 故选：A． 4．下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【解析】解：A．由于，则，，，不成比例，故A选项不符合题意； B．由于，则，，，成比例，故B选项符合题意； C．由于，则，，，不成比例，故C选项不符合题意； D．由于，则，，，不成比例，故D选项不符合题意． 故选：B． 5．已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、，不能判断，本选项不符合题意； B、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； C、，即，能判断，本选项符合题意； D、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； 故选：C． 6．如图，在正方形网格中，A、B、C、D、M、N都是格点，从A、B、C、D四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：①；②．关于这两个三角形，下列判断正确的是（　　） A．只有①是 B．只有②是 C．①和②都是 D．①和②都不是 【答案】B 【解析】如图，连接，，，，， 在中，，，， 由网格可知：，， ，， ， ∴，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与不相似， 故选：． 7．如图，在中，，D是边的中点，于点E，交边于点F，连接，则图中与相似的三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】解：∵，D是AB边的中点， ∴， ∴． 又∵于点E， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴图中与相似的三角形共有3个． 故选B． 8．如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， A、， ∴， ∴，正确，不符合题意； B、， ∴，正确，不符合题意； C、， ∴， ∴，正确，不符合题意； D、根据上述论证，故该选项错误，符合题意； 故选：D ． 9．如图，在中，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∴ ∴，故C符合题意，D不符合题意； ∵无法证明与相似， ∴无法得出，故A不符合题意； ∵无法证明与相似， ∴无法得出，故B不符合题意； 故选：C． 10．在正方形中，的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】解：设正方形边长为，由勾股定理得：； 在正方形中， 表示从A到B再到C的路径，其结果为向量，即； ∴． 故选：C． 11．已知命题： ①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（   ） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】C 【解析】解：①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； 如图所示，在中，是边上的中线，， 如图所示，延长至点，使得，连接， ∴， ∴， ∴， 同理，延长至点，使得，连接， ，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，故①是真命题； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 如图所示，在中，，是边上的高， ∴，但与不相似，故②是假命题； 综上所述，①是真命题，②是假命题， 故选：C ． 12．某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【答案】D 【解析】∵四边形和四边形是相似的图形，， ∴四边形和四边形是相似比为， ∴四边形和四边形的面积比等于，四边形和四边形的两条对角线之比等于， ∴四边形和四边形的两条对角线的和之比等于，则①和②都正确， 故选：D． 13．如图是两个形状相同的举重图案，则x的值是 ． 【答案】 【解析】解：由题意得， ∴． 故答案为：． 14．我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形ABCD中，ADBC，AD＝1，BC＝2，E、F分别是边AB、CD上的点，且EFBC，如果四边AEFD与四边形EBCF相似，那么的值是 ． 【答案】 【解析】解：∵四边AEFD与四边形EBCF相似， ∴， ∵AD=1，BC=2， ∴ ， 解得：EF=， ∵四边AEFD与四边形EBCF相似， ∴， 故答案为：． 15．黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 根据黄金分割的概念，可得，由此列方程即可求解． 【解析】解：如图：设米， 由题意知 米，米， 由黄金分割可得：， ， 故答案为：． 16．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在B的黄金分割点处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【解析】∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：． 17．如图，矩形中，对角线、相交于，那么图中的相反向量是 ． 【答案】 【解析】解：在矩形中，．则图中与相反向量是． 故答案为：． 18．如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 ． 【答案】 【解析】解：如下图所示，过点作交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ， 解得：， ， 故答案为： ． 19．若，其中、、为已知向量，求未知向量． 【答案】 【解析】解： 20．如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 21．如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）证明：∵，， ∴． 又∵， ∴∽， ∴，即． （2）证明：∵平分， ∴． 又∵，， ∴≌， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴∽， ∴，即， ∴． 22．如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【解析】（1） （2） ， ， 23．如图，在梯形ABCD中，， DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且． (1)求证：； (2)点G在底边BC上， ，，连接，如果与的面积相等，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明： （2）根据题意得， 和面积相等 解得： 24．在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心，如果四边形有重心，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：四边形也有重心；在平面内，图形与图形拼成一个图形，那么图形的重心一定在图形的重心与图形的重心连接的线段上．根据以上信息，解决下列问题： 如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为，为直角顶点，，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合． (1)请画出所有符合要求的四边形，并作出所作四边形的重心；（不用写作法，保留痕迹，写出结论） (2)直接写出线段与线段之比的比值． 【答案】(1)见解析； (2)或． 【分析】当两个直角三角形拼成一个矩形时，两个三角形的重心连接的线段与斜边的交点就是拼成的四边形的重心；当两个直角三角形拼成一个任意四边形时，四边形的两条对边线把四边形分成两对三角形，与的重心连接的线段与，与的重心连接的线段的交点就是四边形的重心； 根据重心的定义，可知四边形的重心是两个直角三角形的重心与直角三角形斜边的交点，分两种情况求出与的比值． 【解析】（1）解：如下图所示， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 两个完全相同直角三角形拼成一个矩形， 当两个的直角三角形的斜边重合时，两个直角三角形的重心连接的线段与斜边的交点就是四边形的重心； 如下图所示， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 由题意可知和是等腰三角形且，， 和的重心都在边上， 四边形的重心是线段与的交点； （2）解：当两个直角三角形拼成一个矩形时， 如下图所示， 矩形对角线互相平分， ， ． 当直角三角形拼成如下图所示的四边形时， ， 是的垂直平分线， ， ， 设，则， ， ，， 点是重心， ， ，， 设， 则有， ， ， 整理得：， 解得：， ， ． 综上所述线段与线段的比值是或． 25．如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，．    (1)求证：； (2)设，，试用向量、表示向量． 【答案】(1)见解析． (2) 【分析】（1）由平行线分线段成比例进行证明． （2）由三角形法则求得，然后由与的比例关系求得向量． 【解析】（1）证明： （2）， ∴ 26．已知：如图，平行四边形，、、、分别是、、、上的点，且、．（不要求写出作法，只需写出结论即可．） (1)写出与相反的向量； (2)写出与平行的向量； (3)在图中求作． 【答案】(1)或 (2)、、 (3)见解析 【解析】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴，， ∴与相反的向量为或． （2）解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴，，，， ∵、， ∴，， 即，， ∴，， ，， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∴， ∴与平行的向量为、、． （3）解：连接HF，则向量即为所求作的向量，如图所示： 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 相似三角形（复习讲义） 相似三角形在整个初中数学中占据着重要的地位，是整个初中几何里解决线段、角度、周长、面积等问题的重要抓手，本章共分为以下几个内容：相似型、比例线段、相似三角形的判定与性质、平面向量的线性运算.根据课表要求，着重掌握以下知识点：相似三角形的判定定理：AA（两角相等）；SAS（两边成比例且夹角相等）；SSS（三边成比例），性质定理：对应高、中线、角平分线的比都等于相似比k，周长比同样等于相似比k。尤其要牢记面积比等于相似比的平方（k²），这是极易出错的核心要点，在涉及面积计算问题时需格外谨慎运用。同时，在近两年的中考中也高频出现，如2024年中考第15题考察了平面向量的线性运算、23题、25题考察了平行线段分线段成比例和相似三角形的判定与性质；2025年中考第5题考察了平面向量的线性运算、23题、25题考察了平行线段分线段成比例和相似三角形的判定与性质.所以在复习本章节时，要做到有的放矢，让学生能复述本章节的知识点以及来龙去脉，并会推到其中的公式、定理、以及重要的二级结论等，重点熟悉A字型、斜A型、8字型等核心模型，进一步理解并应用到实战中去。 知识点 重点归纳 常见易错点 放缩与相似 1.放缩：图形的放大和缩小； 2.相似：形状相同、大小不一定相同； 对应角相等、对应边成比例； 3.相似比：两条对应边的比. 1.放大缩小是使图形相似的操作，而相似是指图形之间的关系； 2.相似比指对应边的比指，而非任意两边. 相似三角形的判定 1.两个角对应相等（AA相似）； 2.（平行线截相似）； 3.相似两组边成比例+夹角相等（SAS）； 4.相似三组边对应成比例（SSS）； 5.直角三角形两边成比例. 特别强调是指对应边、对应角，而不是任意边、任意角. 相似三角形的性质 1. 相似三角形对应高的比、角平分线的比、中线的比=相似比； 2. 面积比=相似比的平方； 3. 相似传递性：若△ABC∽△DEF，△DEF∽△GHI，则△ABC∽△GHI. 相似三角形对应高的比、角平分线的比、中线的比=相似比，面积比=相似比的平方的前提条件是在相似三角形中. 比例线段 1. 线段的比：两条线段长度相除所得的商叫做两条线段的比值； 2. 成比例线段：如果a：b=c:d，那么就说a、b、c、d成比例. 1. a，d叫比例外项，b、c叫比例内项，要注意顺序； 2. 成比例线段要注意顺序性. 三角形一边的平行线 1.平行于三角形一边的直线截其它两边所在直线，截得的对应线段成比例； 2.平行于三角形一边的直线截其它两边所在直线，截得的三角形的三边与元三角形三边对应成比例； 3.如果一条直线截三角形的两边（同侧两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 4.平行线分线段成比例：两条直线被三条平行直线所截，解得的对应线段成比例；如果在一条直线上所截的线段相等，那么在另一条直线上所截的线段也相等. 1.前提条件都是在一条直线平行与三角的一边（或延长线）； 2.注意都是对应边. 重心 1. 三角形三条中线的交点叫重心； 2. 三角形的重心到一个顶点的距离等于它到这个顶点对边中点的距离的2倍. 重心是指三角形三条中线的交点，注意和其它特殊线段交点的混淆. 实数与向量相乘 1.k是一个实数，是一个向量，那么k与的乘积是一个向量，记作k； 2.如果k≠0，且≠0，那么k的长度，k的方向：当k>0时，与的方向相同；当k<0时，与的方向相反； 3.如果k=0或=0，那么k=0； 4.m(n)=(mn); (m+n)=m+n; m（+）=m+m; 5.平行向量定理：如果向量与非0向量平行，那么存在唯一的实数m使得=m. 实数与向量相乘的结合律 实数与向量相乘对实数加法的分配律 实数与向量相乘对向量加法的分配律 向量的线性运算 向量的加法，减法，实数与向量相乘，以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 注意运算顺序 题型一 放缩与相似形 【例1】如图，以点O为位似中心的与的周长比为，则的值是多少？ 【变式1-1】2．如图，在舞台设计中，有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，那么与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，与是位似图形，位似中心是点O，若，且的周长为6，则的周长为（   ） A．12 B．6 C．4 D．3 【变式1-3】在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 题型二 相似图形的判断 【例2】两个下列图形必定互为相似形的是（ ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．等腰梯形 【变式1-1】下列图形一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 【变式1-2】下列图形，相似的一组是（  ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．有一个内角为的两个菱形 D．边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 题型三 比例的性质 【例3】已知a、b是不等于0的实数，，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若，则的值为 ． 【变式1-2】（1）若，则___________； （2）若，则___________； （3）若，则___________． 题型四 成比例线段 【例4】下列四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】已知线段a＝0.3m，b＝60cm，c＝12dm． （1）求线段a与线段b的比． （2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长． （3）b是a和c的比例中项吗？为什么？ 题型五 平行线分线段成比例 【例5】如图，如果D、E分别在的两边、上，由下列条件中可以推出的有（　　）    A． B． C． D． 【变式1-1】如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D，E，F．若 ，，则的长为 ． 【变式1-2】已知，AD与BC相交于点O.若，AD=10，则AO= ． 【变式1-3】如图，在中，，，，，求．    题型六 相似三角形的判定 【例6】如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列两个三角形一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 【变式1-2】如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【变式1-3】如图，在中，，，，求证：．    题型七 相似三角形的实际应用 【例7】如图，已知小君的身高是米，他在路灯下的影长为米，小君与灯杆的距离为米，那么路灯距地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1-1】“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，用手电来测量古城墙高度，将平面镜水平放置在点处，光线从点出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙的顶端处．若，，米，米，米，根据物理学中光的反射定律，可计算出该古城墙的高度是 米． 【变式1-3】《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 题型八 相似三角形的判定与性质综合 【例8】如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径．如果，且量得，则零件的厚度x为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，能推出DEBC的比例式是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，，、相交于点，如果，那么的值是 ．    【变式1-3】如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 题型九 利用相似三角形的性质求解应用 【例9】如图，D是边上点，已知，，．    (1)求边的长； (2)如果（点A、C、D对应点C、B、D），求的度数． 【变式1-1】如图，在中，点D，E分别在边和上，且． （1）若，则等于多少？ （2）若，则，各等于多少？ 【变式1-2】如图，在中，点、分别在边、上，且，，，．    (1)如果，求线段的长； (2)设的面积为2，求的面积． 题型十 平面向量及其运算 【例10】下列命题中，真命题为（   ） A． B．若，则． C．若，则或 D．若，则构成平行四边形 【变式1-1】计算： 【变式1-2】已知：如图，EF是的中位线，设，． （1）求向量、（用向量、表示）； （2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）      【变式1-3】如图，在平行四边形中，点E在边上，，相交于点F． (1)求的值； (2)如果 ，试用a，b表示 基础巩固通关测 1．下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个圆 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 2．如果两个相似多边形的面积比为9∶4，那么这两个相似多边形的相似比为(　　) A．9∶4 B．2∶3 C．3∶2 D．81∶16 3．如果，那么下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．，，， B．，，，； C．，．，； D．，，， 5．如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点、、都在横线上，如果线段的长为，那么的长是（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 6．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（    ）    A． B． C． D． 7．下列命题中，真命题是（    ） A．如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似 B．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似 C．如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似 D．如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似 8．如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应面积之比是（    ） A． B． C． D． 9．若两个相似三角形的相似比是，则这两个三角形的周长比是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，点D在边上，点E在线段上，点F，G在边上，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如果，，且与反向，那么下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 12．下列判断错误的是（     ）． A． B．如果（为非零向量），那么 C．设为单位向量，那么 D．如果，那么或 13．甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是 ． 14．如果6是3和x的比例中项，那么 ． 15．如图，在中，点分别在边延长线上， ，如果，，那么的长是 ．    16．如图，为平行四边形的对角线上一点，的延长线交边于点．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形: ． 17．两个相似三角形的相似比为，则对应的角平分线之比为 ． 18．若向量与单位向量的方向相反，且，则 （用表示） 19．如图，在平行四边形中，M是的中点，，垂足为E，设，，则 ． 20．计算： ． 21．如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小． 22．已知，求． 23．如图，已知AD∥EB∥FC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的长． 24．如图，在中，点分别是边上的点，．求证：． 25．如图，点在平行四边形的对角线上． (1)填空：______；______； (2)求作：． 26．如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H． （1）求HD的长； （2）设的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示） 能力提升进阶练 1．下列命题正确的是（   ） A．两个菱形相似 B．各有一个角的两个等腰三角形相似 C．一角相等的两个直角三角形相似 D．腰对应成比例的两个等腰三角形相似 2．若，则的值为 ． 3．已知，点P是线段的黄金分割点且，则线段的长为（   ） A． B． C．或 D． 4．下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 5．已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形网格中，A、B、C、D、M、N都是格点，从A、B、C、D四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：①；②．关于这两个三角形，下列判断正确的是（　　） A．只有①是 B．只有②是 C．①和②都是 D．①和②都不是 7．如图，在中，，D是边的中点，于点E，交边于点F，连接，则图中与相似的三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．在正方形中，的值为（   ） A． B．1 C． D．2 11．已知命题： ①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（   ） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 12．某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 13．如图是两个形状相同的举重图案，则x的值是 ． 14．我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形ABCD中，ADBC，AD＝1，BC＝2，E、F分别是边AB、CD上的点，且EFBC，如果四边AEFD与四边形EBCF相似，那么的值是 ． 15．黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是 ． 16．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在B的黄金分割点处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 17．如图，矩形中，对角线、相交于，那么图中的相反向量是 ． 18．如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 ． 19．若，其中、、为已知向量，求未知向量． 20．如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 21．如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 22．如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 23．如图，在梯形ABCD中，， DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且． (1)求证：； (2)点G在底边BC上， ，，连接，如果与的面积相等，求的长． 24．在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心，如果四边形有重心，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：四边形也有重心；在平面内，图形与图形拼成一个图形，那么图形的重心一定在图形的重心与图形的重心连接的线段上．根据以上信息，解决下列问题： 如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为，为直角顶点，，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合． (1)请画出所有符合要求的四边形，并作出所作四边形的重心；（不用写作法，保留痕迹，写出结论） (2)直接写出线段与线段之比的比值． 25．如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，．    (1)求证：； (2)设，，试用向量、表示向量． 26．已知：如图，平行四边形，、、、分别是、、、上的点，且、．（不要求写出作法，只需写出结论即可．） (1)写出与相反的向量； (2)写出与平行的向量； (3)在图中求作． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$