精品解析：河南省南阳市邓州市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

邓州市2024~2025学年第二学期期末考试八年级 数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 若点在第二象限，则a的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 人工智能大模型：是深度求索公司开发的智能助手，关于其使用的电子元件中，有一种是中国自主研发并生产制造的28纳米芯片．其中1纳米米，28纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 某校准备在暑假补齐跳绳、篮球、足球三种体育器材，它们的单价分别为20元、80元、60元，据统计所需的数量比为，则预计这批器材的平均单价为（ ） A. 60元 B. 52元 C. 30元 D. 无法确定 4. 在一次训练中，甲、乙、丙三人各射击10次的成绩（单位：环）如图，在这三人中，此次射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法判断 5. 下列四个选项中，说法不正确的是（ ） A. 在匀速运动公式中，s是t的函数，v是常量 B. 入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为，反射角的角度为，那么是的函数 C. 在圆的周长公式中，2是常量，，r，C均为变量 D. 一种金属，其质量是体积的函数 6. 下列说法一定正确的是（　　） A. 平行四边形的对角线互相垂直 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 矩形的对角线相等 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 7. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. y随着x的增大而增大 B. 图象经过点 C. 图象位于第一、三象限 D. 它与直线没有交点 8. 若a为负整数，且，则的值落在图中数轴上的部分可能为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 9. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是（ ） A. ，或 B. ，或 C. ，或 D. ，或 10. 如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分）· 11. 要使代数式在实数范围内有意义，则x应满足的条件是______． 12. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为：把一份文件用慢马送到里外的城市需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需时间比规定时间少天，已知快马速度是慢马速度的倍，求规定时间是多少天？若设规定时间为天，则可列方程为________． 13. 如图，在中，对角线，相交于点，，垂足为点，过点，交于点，交于点．若，，则图中阴影部分的面积是______． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数（），且，点C，D在轴上，四边形面积为5，则 _____． 15. 如图，已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为______． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简：． 17. 沐浴书香，“悦读”美好时光．某校为了解学生的课外阅读的情况，随机抽取了40名学生，对他们每周的课外阅读时间进行了调查，根据调查结果，绘制出如下统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：图①中m的值为______，统计的这组学生每周阅读时间数据的众数和中位数分别为______和______． （2）求统计的这组每周阅读时间数据的平均数； （3）根据样本数据，该校共有1200名学生，估计该校学生每周课外阅读时间大于6h的学生人数约为多少？ 18. 如图，已知在平行四边形中，平分交于点E，点F在上，，连接交于点O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 19. 如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． （1）分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； （2）根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 20. 暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．假设这两位家长带领名学生去旅游，选择甲旅行社实际收费（元），选择乙旅行社实际收费 （元）． （1）分别求出，与的关系式． （2）你认为他们应该选择哪家旅行社更合算？为什么？ 21. “路通百业兴，道顺民心畅”，甲、乙两个工程队负责修建某段道路．已知甲工程队每天比乙工程队多修1千米，如果甲工程队修2千米所用的天数是乙工程队修3千米所用天数的一半． （1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少千米？ （2）现计划再修建长度为20千米的公路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为36万元，乙队每天所需费用为45万元，求在总费用不超过180万元的情况下，至少安排甲工程队施工多少天？ 22. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“闪光点”．例如求：的“闪光点”：联立方程，解得，则的“闪光点”为． （1）由定义可知，一次函数的“闪光点”为______； （2）若一次函数的“闪光点”为，求m、n的值； （3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“闪光点”，若点P为平面内一个动点，使得以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 23. 综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动，探究求某条线段长度的不同方法，体验数学的无穷魅力． 已知矩形，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． （1）操作发现： 如图1，当时，______，如图2，当时，______； （2）初步探究： 如图3，当边经过点时，求的长； （3）拓展延伸： 如图4，若，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积和的长．（结果用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邓州市2024~2025学年第二学期期末考试八年级 数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 若点在第二象限，则a的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据坐标系中各象限点的坐标符号特征，第二象限点的横坐标为负，纵坐标为正，由此确定a的取值范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：点在第二象限， ∴，故A符合题意， 故选：A． 2. 人工智能大模型：是深度求索公司开发的智能助手，关于其使用的电子元件中，有一种是中国自主研发并生产制造的28纳米芯片．其中1纳米米，28纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：28纳米米米． 故选：C． 3. 某校准备在暑假补齐跳绳、篮球、足球三种体育器材，它们的单价分别为20元、80元、60元，据统计所需的数量比为，则预计这批器材的平均单价为（ ） A. 60元 B. 52元 C. 30元 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求加权平均数，熟练掌握求加权平均数的计算方法是解题的关键．根据求加权平均数的计算方法即可求解． 【详解】解：由题意得，该中学购买这批体育用品的均价为 （元）． 故选：B． 4. 在一次训练中，甲、乙、丙三人各射击10次的成绩（单位：环）如图，在这三人中，此次射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】根据统计图数据的集中趋势得到此次射击成绩最稳定的是乙． 【详解】根据统计图波动情况来看，此次射击成绩最稳定的是乙，波动比较小，比较稳定． 故选：B ． 【点睛】本题考查了折线统计图，解决本题的关键是从图中得到三个人的波动情况． 5. 下列四个选项中，说法不正确的是（ ） A. 在匀速运动公式中，s是t的函数，v是常量 B. 入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为，反射角的角度为，那么是的函数 C. 在圆的周长公式中，2是常量，，r，C均为变量 D. 一种金属，其质量是体积的函数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数概念及常量与变量的判断，根据各选项的描述逐一分析即可． 【详解】解：A． 在匀速运动公式中，速度是固定值，为常量；路程随时间变化，故是的函数．说法正确． B． 根据反射定律，反射角恒等于入射角，即，每个对应唯一的，因此是的函数．说法正确． C． 在圆的周长公式中，半径和周长是变量，而2和均为固定常数，因此是常量而非变量．原说法错误． D． 金属质量由密度和体积决定，密度固定时，质量随体积变化，故质量是体积的函数．说法正确． 综上，不正确的选项为C． 故选：C 6. 下列说法一定正确的是（　　） A. 平行四边形的对角线互相垂直 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 矩形的对角线相等 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形的性质和菱形、正方形的判定定理判定，理解相关知识是解答关键． 根据平行四边形、矩形的性质和菱形、正方形的判定定理来进行判定求解． 【详解】解：A．平行四边形的对角线互相平分，故原说法错误，此项不符合题意； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误，此项不符合题意； C．矩形的对角线相等，故原说法正确，此项符合题意； D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原说法错误，此项不符合题意． 故选：C． 7. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. y随着x的增大而增大 B. 图象经过点 C. 图象位于第一、三象限 D. 它与直线没有交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，涉及增减性、图象位置、点的坐标验证及与直线的交点问题．需逐一分析各选项是否符合反比例函数的性质． 【详解】解：选项A：反比例函数中，当时，在每一象限内随的增大而增大．但若未限定“在每一象限内”，当跨象限变化时（如从负数变为正数），会减小，因此选项A表述不严谨，错误． 选项B：将点代入函数，得，故该点不在图象上，错误． 选项C：因，图象位于第二、四象限，而非第一、三象限，错误． 选项D：联立方程与，得，无实数解，说明两图象无交点，正确． 故选：D 8. 若a为负整数，且，则的值落在图中数轴上的部分可能为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，数轴上的数的分布等．根据题意先将分式除法进行化简计算，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， 为负整数，且，， ，即， ， 故选：C． 9. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是（ ） A. ，或 B. ，或 C. ，或 D. ，或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据函数图象的交点确定不等式的解集．由求关于x的不等式的解集，即为求一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围，再结合图象即可求解． 【详解】解：求关于x的不等式的解集，即为求一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围． ∵， 由图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴关于x的不等式的解集是或． 故选D． 10. 如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数图象，熟练掌握函数图象表示的意义是解题的关键，根据动点从点出发，首先在上运动，此时随的增加而增大，当点在上运动时，不变，当点在上运动时，随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：点在上运动，即时，随着的增大而增大， 点在上运动，即时，， 当点在上运动，即时，随着的增大而减小， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分）· 11. 要使代数式在实数范围内有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查了分式有意义条件，根据分式的分母不等于0进行解答即可． 【详解】解：要使代数式在实数范围内有意义， x应满足的条件，即． 故答案为： 12. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为：把一份文件用慢马送到里外的城市需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需时间比规定时间少天，已知快马速度是慢马速度的倍，求规定时间是多少天？若设规定时间为天，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列分式方程，理解题意，找到等量关系是解答的关键． 设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的2倍列方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 可得慢马的速度为， 快马的速度为， ∵快马速度是慢马速度的倍， 可得方程， 故答案为：． 13. 如图，在中，对角线，相交于点，，垂足为点，过点，交于点，交于点．若，，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，只要证明，可得，则可推出，由勾股定理求出的长，再根据平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数（），且，点C，D在轴上，四边形面积为5，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，正确理解反比例函数的几何意义是解答本题的关键，连结，，，设与y轴相交于点E，由可得，再根据反比例函数的几何意义得到，进而得到，再根据即可求得答案． 【详解】解：连结，，，设与y轴相交于点E， ，四边形面积为5， ∵等底等高， ， ∵等底等高， ， ，， ， 解得， ∵， ， 故答案为：． 15. 如图，已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为______． 【答案】或3 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理的运用，掌握矩形与折叠的性质是关键． 根据矩形与折叠，分类讨论：如图所示，，点在线段上，为直角三角形；如图所示，，为直角三角形；数形结合分析是关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 如图所示，，点在线段上，为直角三角形， ∵将沿所在的直线折叠，连接， ∴，垂足为点，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴，整理得，， 解得，， ∴； 如图所示，，为直角三角形， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴； 综上所述，当为直角三角形时，线段的长为或， 故答案为：或 ． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算以及分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根、零次幂、负整数幂，再运算加减法，即可作答． （2）先通分括号内，再进行除法运算，然后化简作答即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 沐浴书香，“悦读”美好时光．某校为了解学生的课外阅读的情况，随机抽取了40名学生，对他们每周的课外阅读时间进行了调查，根据调查结果，绘制出如下统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：图①中m的值为______，统计的这组学生每周阅读时间数据的众数和中位数分别为______和______． （2）求统计的这组每周阅读时间数据的平均数； （3）根据样本数据，该校共有1200名学生，估计该校学生每周课外阅读时间大于6h的学生人数约为多少？ 【答案】（1）20，5，6 （2） （3）估计该校学生每周课外阅读时间大于6h的学生人数约为360人 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握某项百分比，众数，中位数，加权平均数，由样本估算总体数量的方法是关键． （1）根据扇形图中某项的百分比计算，众数，中位数的计算求解即可； （2）根据加权平均数的计算求解； （3）根据样本百分比估算总体数量的方法求解即可． 【小问1详解】 解：随机抽取了40名学生，对他们每周的课外阅读时间进行了调查，课外阅读时间为的有人， ∴，即， ∵课外阅读时间为的有人， ∴众数为， ∵中位数是第人的阅读时间的平均数， ∴中位数为， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：， ∴每周阅读时间数据的平均数是； 【小问3详解】 解：1（人）， 答：估计该校学生每周课外阅读时间大于6h的学生人数约为360人． 18. 如图，已知在平行四边形中，平分交于点E，点F在上，，连接交于点O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理， （1）根据平行四边形得，有，由角平分线得，则有，进一步得，即可证明菱形； （2）由菱形的性质得和，利用勾股定理求得，则． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， 是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ∴， ， ， ， ∴的长为5． 19. 如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． （1）分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； （2）根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 【答案】（1）该材料加热过程中对应的函数解析式为，停止加热过程中对应的函数解析式为 （2）对该材料进行特殊处理的时间为12分钟 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据可以先求出反比例函数的解析式，再求出时对应的的值，即可得到一次函数对应的解析式，注意要写出自变量的取值范围； （2）将代入（1）中的两个函数解析式，即可得到相应的的值，然后作差即可． 【小问1详解】 解：设停止加热过程中对应的函数解析式为， 点在该函数的图象上， ， 解得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 当时，，解得， 当时，，解得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 设该材料加热过程中对应的函数解析式为， 点、在该函数的图象上， ，得， 该材料加热过程中对应的函数解析式为； 【小问2详解】 解：将代入中，，得， 将代入中，，得， （分钟）， 答：对该材料进行特殊处理的时间为12分钟． 20. 暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．假设这两位家长带领名学生去旅游，选择甲旅行社实际收费（元），选择乙旅行社实际收费 （元）． （1）分别求出，与的关系式． （2）你认为他们应该选择哪家旅行社更合算？为什么？ 【答案】（1）， （2）当学生人数小于4人时，选择乙旅行社更合算；当学生人数等于4人时，选择两个旅行社一样合算；当学生人数大于4人时，选择甲旅行社更合算，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据两个旅行社所给的收费标准列出对应的关系式即可； （2）根据（1）所列关系式建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， ∴当学生人数小于4人时，选择乙旅行社更合算； 时，， 解得， ∴当学生人数大于4人时，选择甲旅行社更合算； 时，， 解得， ∴当学生人数等于4人时，选择两个旅行社一样合算； 综上所述，当学生人数小于4人时，选择乙旅行社更合算；当学生人数等于4人时，选择两个旅行社一样合算；当学生人数大于4人时，选择甲旅行社更合算． 【点睛】本题主要考查了列关系式，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键． 21. “路通百业兴，道顺民心畅”，甲、乙两个工程队负责修建某段道路．已知甲工程队每天比乙工程队多修1千米，如果甲工程队修2千米所用的天数是乙工程队修3千米所用天数的一半． （1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少千米？ （2）现计划再修建长度为20千米的公路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为36万元，乙队每天所需费用为45万元，求在总费用不超过180万元的情况下，至少安排甲工程队施工多少天？ 【答案】（1）甲工程队每天修，乙工程队每天修 （2）天 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设乙工程队每天修，则甲工程队每天修，根据题意列出分式方程计算并检验即可； （2）设安排甲工程队施工天，则乙施工天，根据题意列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设乙工程队每天修，则甲工程队每天修， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲工程队每天修，乙工程队每天修； 【小问2详解】 解：设安排甲工程队施工天，则乙施工天， 由题意得：， 解得， 的最小值为， 答：至少安排甲工程队施工天． 22. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“闪光点”．例如求：的“闪光点”：联立方程，解得，则的“闪光点”为． （1）由定义可知，一次函数的“闪光点”为______； （2）若一次函数的“闪光点”为，求m、n的值； （3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“闪光点”，若点P为平面内一个动点，使得以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，联立方程，求解即可； （2）根据题意，一次函数的“闪光点”为，先求出n的值，得到“闪光点”的坐标，再将坐标代入一次函数求解即可； （3）先根据直线与正比例函数无交点，得出k的值，分别求出A，B的坐标，设，分别讨论、、为对角线，再根据 平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：联立方程，解得， 则的“闪光点”为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵一次函数的“闪光点”为， ∴， 解得， ∴一次函数的“闪光点”为， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵直线上没有“闪光点”， ∴直线与正比例函数无交点， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 如图所示，点P为平面内一个动点，使得以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形， 设， ①当为对角线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ②当为对角线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ③当为对角线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 综上，或或． 23. 综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动，探究求某条线段长度的不同方法，体验数学的无穷魅力． 已知矩形，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． （1）操作发现： 如图1，当时，______，如图2，当时，______； （2）初步探究： 如图3，当边经过点时，求的长； （3）拓展延伸： 如图4，若，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积和的长．（结果用含的式子表示） 【答案】（1）， （2） （3）四边形的面积为；的长为 【解析】 【分析】（1）根据矩形，旋转的性质，当时，是等边三角形，当时，点共线，运用勾股定理即可求解； （2）根据旋转得到，，由勾股定理得到，则，在中由勾股定理即可求解； （3）根据题意可证，，结合面积的计算得到四边形的面积为；由勾股定理得到，由等面积法得到，根据，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点按逆时针方向旋转， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 将矩形绕点按逆时针方向旋转， ∴， ∵， ∴点共线， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵旋转， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， ∵将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形， ∴， ∵点落在的延长线上， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 如图所示，连接交于点， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，四边形的面积为；的长为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质等知识的综合，掌握矩形，旋转的性质，数形结合分析是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $