专题12 图形的变化（山西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题12 图形的变化（原卷版） 考点1 轴对称/中心对称图形的识别 1．（2021·山西·中考真题）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会．在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 2．（2020·山西·中考真题）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山西·中考真题）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（2024·山西·中考真题）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．山西煤炭化学研究所 B．东北地理与农业生态研究所 C．西安光学精密机械研究所 D．生态环境研究中心 5．（2022·山西·中考真题）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山西·中考真题）科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 考点2 三视图 1．（2020·山西·中考真题）下列几何体都是由个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（    ） A． B． C． D． 考点3 利用旋转的性质求解 1．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为 ． 2．（2023·山西·中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．    (1)数学思考：谈你解答老师提出的问题； (2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．      ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；    ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．        3．（2022·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 4．（2020·山西·中考真题）综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 考点4 解直角三角形及其应用 1．（2023·山西·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为 ．    2．（2021·山西·中考真题）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通．如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯的坡度（为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端，则王老师上升的铅直高度为 米． 3．（2022·山西·中考真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）． 4．（2023·山西·中考真题）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）． 课题 母亲河驳岸的调研与计算 调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解 功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物 驳岸剖面图         相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，， 计算结果 交流展示 5．（2025·山西·中考真题）项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 6．（2021·山西·中考真题）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌．某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得，，，，四边形为矩形，且．请帮助该小组求出指示牌最高点到地面的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 7．（2020·山西·中考真题）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为． （1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，）； （2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 一、单选题 1．（2025·山西·模拟预测）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·一模）“巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案，将两个“巳”字对称摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，饱含喜庆美满的家国祝福．下列“巳”字图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B．C．D． 3．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，将边长为8的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到．当两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为16时，移动的距离等于（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 4．（2025·山西长治·模拟预测）如图，将一张矩形纸条折叠，折痕分别与交于点M，N，点A，B分别落在点E，F处，与交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山西临汾·二模）利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线，下列说理中错误的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．平行于同一条直线的两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 6．（2025·山西运城·二模）十八世纪，德国物理学家恩斯特·克拉德尼做过一个实验，他安放一块较宽的金属薄片，在上面均匀地撒上沙子．然后开始拉动弓弦，结果这些细沙自动排列成不同的美丽图案，并随着弓弦拉出的节奏的不断增加，图案也不断变幻和越趋复杂——这就是著名的克拉尼图形，下列四幅克拉尼图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是（   ） A．B．C．D． 7．（2025·山西晋中·二模）中国传统纹样承载着对称美学的精髓，同时也体现了古代工匠对几何对称的深刻认知．下列传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．寿字纹B．万字纹C．冰裂纹 D．柿蒂纹 8．（2025·山西吕梁·二模）2025年春晚的主题是“巳巳如意，生生不息”，如图为春晚主标识，巧妙组合的两个“巳”字象征中国传统的如意纹样，寓意双巳合璧，带来事事如意的吉祥．下列关于该标识的说法正确的是（    ） A．是轴对称图形不是中心对称图形 B．是中心对称图形不是轴对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 9．（2025·山西吕梁·一模）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点，，恰好在一条直线上．若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 10．（2025·山西晋中·二模）如图，将绕点逆时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·山西运城·一模）如图，直线与x轴，y轴分别交于B，A两点，的长为5，将绕着点B逆时针旋转得到，点A的对应点为点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·山西运城·二模）如图，在平面直角坐标系中，坐标轴刚好为矩形的两条对称轴，边，分别与x轴、y轴交于点E和F，以E为旋转中心，将矩形绕点E顺时针旋转，使的对应边且经过点F．若点C的坐标，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·山西大同·二模）随着2025年全民健身热潮兴起，运动备受欢迎．下列运动的图标中，是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 14．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在正方形中，点为上一点，将正方形沿所在直线折叠后，点的对应点恰好落在边的垂直平分线上．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·山西运城·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 16．（2025·山西朔州·一模）如图，向正六边形外作正方形，连接，交于点，则线段与一定满足的关系为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·山西·一模）如图，在中，，平分，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点．连接，则的长为（   ） A． B．6 C． D． 18．（2025·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，连接对角线，是上一点，已知点的坐标为，若将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 19．（2025·山西运城·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 20．（2025·山西长治·三模）如图，四边形是的内接四边形，，，，则（    ） A． B． C． D． 21．（2025·山西忻州·一模）如图，在中，，以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，将绕点O逆时针旋转得到．若点B的横坐标为3，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 22．（2024·山西太原·一模）下面是一个由长方体和四棱柱组合成的几何体，它的主视图如图所示，则该几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 23．（2025·山西大同·三模）如图是由5个相同小立方体搭成的几何体，若将小立方体①放到小立方体②的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图不变，左视图、俯视图改变 B．左视图、俯视图不变，主视图改变 C．主视图、俯视图不变，左视图改变 D．主视图、俯视图、左视图都发生改变 二、填空题 24．（2025·山西阳泉·一模）如图，在等腰中，，，将沿方向平移，得到，交的中点于点，则点到点的距离为 ． 25．（2025·山西忻州·二模）如图，在平面直角坐标系中放置一块直角三角尺，且，顶点的坐标为，现将三角尺向左平移，使点与点重合，得到，则点的对应点的坐标为 ． 26．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，是上的一点，将沿翻折得到，交于点．若，则的值为 ． 27．（2025·山西晋中·一模）如图，小明设计了一个“蝴蝶”的平面图案，整体为轴对称图形．将其放在平面直角坐标系中，点的坐标依次为，则点的坐标为 ． 28．（2025·山西忻州·模拟预测）在矩形中，，，对角线，交于点，过点作，垂足为，为中点，连接交于点，则的长为 ． 29．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，，则的长为 ． 30．（2025·山西·一模）已知直角三角板中，现将一个量角器和该三角板按照如图方式摆放，其中点与量角器的中心重合，点落在量角器的外边缘圆弧上，边与圆弧交于点．若点是的中点，，则图中阴影部分的面积为 ． 31．（2025·山西吕梁·一模）如图，在矩形中，E是边上的一点，将矩形沿折叠，使点C落在点F处，延长，交的延长线于点H．若，，，则的长为 32．（2025·山西晋中·二模）如图，在矩形中，，，点是边的中点，点在线段上，且，则线段的长度为 ． 33．（2025·山西朔州·三模）如图，在中，，，分别为，边上的点，且，，若，，则的长为 ． 34．（2025·山西晋城·一模）如图，中，，，点E在边上，沿直线折叠，使的对应边，垂足为F，交与点G，当点G恰好为的中点时，长为 ． 35．（2025·山西长治·二模）如图：中，，，平分，交于点E，若，则长为 ． 36．（2025·山西·模拟预测）如图，为了测量交通指示牌支撑杆的高度，小亮利用测角仪在点处测得点处的仰角分别为和．已知点在同一竖直平面内，测角仪始终与水平地面垂直．测角仪的高度，则支撑杆的高度约为 ．（结果精确到，参考数据：） 37．（2025·山西朔州·模拟预测）如图是传送带和水平地面所成斜坡的示意图．传送带和地面所成斜坡的坡度为，若该传送带把某物体从地面传送到离地面15米高的地方，那么该物体所经过的路程恰好是 米． 38．（2025·山西大同·三模）如图，在中，，，．点E是上一点，若，则的长为 ． 39．（2025·山西大同·二模）如图，在矩形中，，点是的中点，将矩形沿折叠，点落在点处，延长交于点，则的长为 ． 三、解答题 40．（2025·山西晋中·一模）综合与探究 问题情境： 如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决： （3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 41．（2025·山西·三模）阅读与思考 “算两次”原理 富比尼原理（Fubini's Principle），也称为“算两次”原理，是数学中一种重要的思想方法，其核心在于通过两种不同的方式计算同一量，从而建立等量关系． 例1：计算图1所示图形的面积，既可以将其看成一个大正方形，也可以将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，通过不同的方法计算这个图形的面积可以得到一个乘法公式． 例2：如图2，有一块锐角三角形余料，，高．现把它加工成正方形零件，其中正方形的一边在上，它的两个顶点，分别在，上，高与交于点，求加工成的正方形的边长是多少厘米． 思路：我们可以利用“算两次”原理用两种方式计算的面积来求解． 方式一：． 方式二：． 解：设正方形的边长为，则． 四边形是正方形， ． ， 四边形是矩形． ． ． …… 任务： (1)例1中得到的乘法公式是______（用含的式子表示）． (2)请将例2中的剩余过程补充完整． (3)请尝试使用“算两次”原理解决下面的问题．如图3，在纸片中，对角线，相交于点，，，将纸片沿折叠，点的对应点为点，连接，若，则点到的距离为______． 42．（2025·山西·一模）综合与实践 问题情境：数学活动课上，活动小组探究平行四边形折叠过程中的一些结论，如图1，已知平行四边形，，将平行四边形沿过点D的直线折叠，使点C落在边上的点E处，折痕与交于点F． 初步探究： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究：如图2，取线段边上的一点O（不含点D，F），过点O作边的垂线分别与交于点I，J，将平行四边形沿直线折叠，使点C落在边上的点H处，使点D落在边上的点G处，连接． （2）若随着点O的运动，与始终保持平行，请求的度数； （3）在（2）的条件下，如图3，若，与交于点M，连接，当时，请直接写出的值． 43．（2025·山西朔州·一模）综合与实践 数学课上，白老师提出如下问题：如图和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．若为的中点，求的值． 数学思考： （1）解答白老师的问题． 深入探究： （2）白老师让同学们绕点逆时针旋转，旋转角度为，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，研究发现点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动，当与相切时，求的值． ②“智慧小组”提出问题：如图3，当绕点旋转时，所在直线与所在直线之间的夹角是否发生变化？若不变，请直接写出该夹角（锐角）的度数；若变化，请说明理由． 44．（2024·山西运城·三模）综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们利用准备好的两个矩形纸片进行探究活动． 智慧小组准备了两张矩形纸片和，其中，将它们按如图所示的方式放置，点落在上，点落在的延长线上，连接和． 观察发现： （1）如图连接，则和的位置关系是__________，___________． 操作探究： （2）如图，将矩形绕点按顺时针方向旋转（），试探究（1）中和的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 拓展延伸： （3）在矩形旋转的过程中，当三点共线时，直接写出线段的长． 45．（2025·山西·模拟预测）综合与探究 问题情境 如图1，在矩形中，，延长至点．使得．点是边上一点，且，连接，． 操作发现 （1）若，则的长为________，的长为________． 拓展探索 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，使点在矩形内部．若，分别与，相交于点，． ①请判断和的数量关系，并说明理由． ②如图3，在旋转过程中，若点恰好在矩形对角线上．请探索并直接写出图3中所有与图1中相等的线段． 46．（2025·山西朔州·模拟预测）综合与探究 问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 47．（2025·山西大同·二模）综合与探究 问题情境： 如图1，两块全等的三角形纸片叠放在一起，，． 初步探究： （1）如图2，将沿方向平移，当点与点重合时，连接．试判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图2位置的绕点顺时针旋转得到．的对应点分别是，． ①如图3，当时，垂足为，与交于点，求线段的长； ②当时，请直接写出点到直线的距离． 48．（2025·山西大同·三模）综合与探究 问题情境：如图1，在等腰直角三角形中，，点在边上，于点，将绕点顺时针旋转． 猜想证明： （1）如图2，已知点分别是的中点，连接，取的中点，连接，试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 深入探究： （2）如图2，连接，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用： （3）如图3，设直线与直线交于点，若，将绕点旋转一周，当三点共线时，直接写出的长． 49．（2025·山西晋中·二模）综合与探究 问题情境：学习完特殊的平行四边形和相似三角形有关知识后，老师组织了一节富有创意的数学活动课，引导同学们从图形变换的角度展开深度探究． 创新小组以矩形边的旋转变换为研究对象，并观察由此产生的几何性质． 如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转（）得到线段，过点作，交直线于点． 猜想证明： 小组内同学探究思路遵循特殊到一般的探究： （1）当时，四边形的形状最特殊，此时形状为________； （2）如图2，当时，连接，猜想，和之间的数量关系，并说明理由； 综合应用： （3）在旋转过程中，当直线经过边的中点时，与直线交于点，直接写出的长． 50．（2025·山西·一模）综合与探究 问题情境 在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板和重合放置，其中．将绕点顺时针旋转，旋转角为．如图2，当的直角顶点刚好落在边上时，的延长线交于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 数学思考 （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究 （2）老师将继续绕点顺时针旋转到图3位置，作射线交于点．此时“善思小组”的同学认为点是的中点．请判断“善思小组”的观点是否正确，并说明理由． （3）在绕点顺时针旋转的过程中，连接，是否存在某一时刻，使得是一个以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出此时的长；若不存在，请说明理由． 51．（2025·山西运城·二模）在广袤的海洋中，航海者依赖海图来寻找航道．我国大型远洋综合测量船“海巡08”轮的建成交付和使用，有效填补了我国在深远海海事测量船舶领域的空白．如图为“海巡08”轮某次海道测量示意图，其吃水深度米，测得海底山丘C与E两点到船底探测器的声音往返所用时间分别为秒和秒，声音在海水中传播的速度约为1500米/秒，若两次声波发出的角度，，，，点B、C、D三点在一条直线上．（图中点A，M，B，C，D，E在同一平面内，参考数据：，，结果精确到1米）    (1)本次海道测量，海平面距离海底的深度是多少米？ (2)试求海底山丘CE的坡度是多少？   52．（2025·山西·模拟预测）研学实践：迎泽大桥是太原迎泽大街上的标志性桥梁，而新建的桥头堡作为其重要组成部分，已成为太原市的新地标．某校研学小组在了解“桥头堡”的历史背景后，利用测量工具测量了桥头堡的相关数据． 数据采集：如图，点A是桥头堡的顶端，是桥面，在点B处用测角仪测得顶端A的仰角为，然后沿方向后退，在点C处用测角仪测得顶端A的仰角为，用皮尺测得测角仪的高，点B与点C之间的距离为． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点M，C，B，N在同一水平直线上．请根据上述数据，计算桥头堡顶端到桥面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，） 53．（2025·山西长治·模拟预测）综合与探究 问题情境： 在正方形中，是边上的一个动点，连接将沿直线翻折，得到，点的对应点落在正方形内． 猜想证明： （1）如图，连接并延长，交边于点求证：． （2）如图，当是边的中点时，连接并延长，交边于点，将沿直线翻折，点恰好落在直线上的点处，交于点，交于点试判断四边形的形状，并说明理由． 问题解决： （3）在（2）的条件下，若，请直接写出四边形的面积． 54．（2025·山西吕梁·一模）综合与探究 综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答． 【初步研究】 （1）如图1，在正方形中，点M，N分别在线段，上，且，则的值为_____． 【知识迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在线段，，，上，且．求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在四边形中，，，当时，请直接写出边的长． 55．（2025·山西晋中·一模）研学实践：钟鼓楼作为中国古代的传统建筑，一般都成为当地的地标，在古时主要承担报时之责．太原钟楼坐落于太原市府东街南侧，它始建于明代中期，是由傅山先生的祖父傅霖筹集资金修建而成．周末某学校研学小组对太原钟楼的高度进行测量． 方案设计：如图，观察员在地面上的点处观察点的仰角为．观察员在点处竖直向上升起一架无人机，当无人机到达离地面的点处时，测得钟楼顶端点的俯角为， 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，两点的水平距离，．请根据上述数据，计算太原钟楼的顶端到地面的距离．（结果精确到；参考数据：，，，，，） 56．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 项目主题：图1所示是某学校植物园的一部分，现要对植物种植区域加装围栏，学校面向全体同学征集围栏设计方案． 方案设计：图2是小慧设计的围栏的一部分，说明如下： ①围栏下部是等腰三角形，且，，垂足为G； ②围栏上部由两段形状相同的抛物线和组成（点D在的延长线上），且抛物线和关于直线对称； ③米，米，米，米（，均与垂直）． ④抛物线的函数表达式为．… 解决问题： 请你根据小慧的设计方案，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，解决下列问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图3，小慧想在设计的围栏上加装一块社会主义核心价值观宣传展板，展板是扇形的一部分、展板整体关于对称．点P，Q分别在抛物线，上，点M，N分别在，上，线段，是所在圆的半径的一部分，且，． ①请求出线段的最大值； ②当线段取得最大值时，直接写出所在圆的半径长． 57．（2023·山西大同·三模）综合与实践 问题情境：四边形是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点，旋转后的对应点分别为，．旋转角为．    (1)观察思考：如图1，连接，当点第一次落在对角线上时，__________． (2)探究证明：如图2，当，且时，与交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，连接．在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且，请直接写出线段的长． 58．（2025·山西大同·二模）2024年游戏《黑神话：悟空》火爆出圈，游戏取景地云冈石窟迎来文旅产业的“泼天”流量，2024年共接待了近450万名游客．为了更好地服务游客，景区在游客排队区放置了遮阳伞．已知遮阳伞中截面是如图所示的伞骨结构：（、均在竖直方向上），伞顶杆始终平分，，当时，伞完全打开，M与D在同一高度，此时．请问伞顶A到地面的高度是多少（结果保留整数，参考数据：，，） 59．（2024·山西运城·模拟预测）随着人民生活质量的不断提高，国家越来越重视“全民运动”，其中篮球运动是一项深受市民喜欢的球类运动，图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知，，，，，篮板顶端P点到篮框F的距离，支架垂直水平地面，支架与水平地面平行，求篮框F到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 60．（2025·山西大同·三模）综合与实践 为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分． (1)求a的值． (2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？ (3)若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？ （提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移） 61．（2025·山西运城·二模）学科实践 驱动任务：在日益繁华的城市，“冲上云霄”的商楼随处可见，往往让人产生视觉疲劳．太原市某中学为了减缓同学们的视觉疲劳和学习压力，特在校园中修建了赏心悦目的花园，并将花园大门的顶部设计成了抛物线型（如图1所示）．数学兴趣小组协助工人师傅进行装饰大门的工作． 研究步骤：1．如图2是花园大门的截面图，兴趣小组测得大门的宽米，，为大门两旁的立柱，其高度为2米，抛物线型拱顶最高处点C距地面的距离为米． 2．根据设计要求，要在C点处插一面红旗，在抛物线拱顶上挂一对红灯笼．两个悬挂点到地面的距离相等．同时做好花园大门的加固工作． 问题解决：请根据研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)为了安全起见，工人师傅要给大门加固，如图3，线段，可看成是加固时所用的钢筋（不考虑接口处所需钢筋长度），则给大门加固需要的钢筋长度为______米，若连接，则______°； (2)如图3，因为要悬挂灯笼，考虑到安全因素，工人师傅要用钢筋对大门进行二次加固，若保证二次加固的钢筋与第一次加固的钢筋垂直，即于点P，于点Q（，为二次加固的钢筋）．请你通过计算，确定二次加固时大门一侧所需钢筋的最大长度（不考虑其他因素，结果保留根号）． 62．（2024·山西晋城·一模）“读万卷书，行万里路”，实验中学为了提升学生的自理能力、创新精神和实践能力，组织了一次研学活动，第一组前往地（红色文化教育基地），第二组前往地（人工智能教育基地），如图，已知地位于学校的东北方向，地位于学校的南偏东方向，地在地的南偏西方向，，两地相距，求学校到红色文化教育基地的距离． 63．（2025·山西阳泉·模拟预测）综合与探究 在数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究．如图1，在矩形中，，，点，分别是边上的点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点为． 【初步探究】 （1）如图2，若点与点重合，点恰好落在边上，求证：四边形是正方形． 【深入探究】 （2）如图3，若点是的中点，改变点的位置，延长交于点，猜想与的数量关系，并说明理由． （3）如图4，若点是的中点，改变点的位置，在折叠的过程中，若以为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出线段的长． 64．（2025·山西朔州·模拟预测）某校数学实践活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王华同学带领甲、乙、丙三位小组成员进行此项实践活动，并做出下面的实践报告单． 课题 测量校园内一棵大树的高度 测量工具 测角仪、皮尺 测量图例 测量方法 某一时刻，大树在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，甲同学在点处竖立一根标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，丙同学站在点处，他的眼睛在点处，观察得知，树顶的仰角为． 测量数据 标杆米，标杆的影长为2米，米，米，仰角 说明 点，，，在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同一平面内．（参考数据：，，） (1)请你根据所学知识用直尺和圆规在图中画出点的位置；（不写画法，保留作图痕迹） (2)根据报告单的测量数据，计算这棵大树的高度．（结果精确到0.1米） 65．（2025·山西·模拟预测）在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过道？下课后，数学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下： 【问题】如何将物品搬过直角过道？ 【情境】如图是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是，矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 【操作】： 步骤 动作 目标 靠边 将如图中矩形的一边靠在上 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上 转弯 如图，将矩形绕点旋转，当线段、线段长度都不大于过道宽度时，可以顺利转弯． 推移 将矩形沿方向继续推移 【探究】： (1)如图，若，，则 ______． (2)在的条件下，思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道，你赞同思思同学的结论吗？请通过计算说明． (3)如图，物品转弯时被卡住、分别在墙面与上，若，求的长． (4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值______结果保留根号 66．（2025·山西晋中·二模）研学实践：在“传承红色文化，弘扬革命精神”的主题研学实践活动中，某中学数学社团的师生们怀着崇敬的心情，专程前往山西省阳泉市狮脑山的百团大战纪念馆开展实地研学，在参观结束后，同学们利用测量工具测量了百团大战纪念碑的相关数据． 数据采集：在阳光下，小华在纪念碑的影子顶端处竖立一根标杆，的影长，标杆，然后在纪念碑影子上的处安装测倾器，测得纪念碑顶端的仰角为，量得，． 数据应用：已知图中各点在同一竖直平面内，点，，，在同一水平直线上．请根据上述数据，计算百团大战纪念碑顶部点到地面的距离．（结果精确到；参考数据：，，） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 图形的变化（解析版） 考点1 轴对称/中心对称图形的识别 1．（2021·山西·中考真题）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会．在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的概念可直接进行排除选项． 【详解】解：A、文字上方的图案既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； B、文字上方的图案既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； C、文字上方的图案是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意； D、文字上方的图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键． 2．（2020·山西·中考真题）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、是轴对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 3．（2023·山西·中考真题）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念知，C选项中文字上方的图案是轴对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形，理解此概念是关键． 4．（2024·山西·中考真题）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．山西煤炭化学研究所 B．东北地理与农业生态研究所 C．西安光学精密机械研究所 D．生态环境研究中心 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意； B．不中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．（2022·山西·中考真题）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中心对称图形的定义直接判断． 【详解】解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B选项的图形绕着某点旋转180°后能与原来的图形重合， 故选B． 【点睛】本题考查中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 6．（2025·山西·中考真题）科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 考点2 三视图 1．（2020·山西·中考真题）下列几何体都是由个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别画出四个选项中简单组合体的三视图即可． 【详解】、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意； 、左视图为，主视图为，左视图与主视图相同，故此选项符合题意； 、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意； 、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意； 故选B． 【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图和主视图的画法． 考点3 利用旋转的性质求解 1．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则，，，然后通过，，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则， ∵点的坐标为， ∴， 由题意得，，， ∴，， ∴点对应点的坐标为， 故答案为：． 2．（2023·山西·中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．    (1)数学思考：谈你解答老师提出的问题； (2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．      ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；    ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．    【答案】(1)正方形，见解析 (2)①，见解析；② 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形； （2）①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；②设的交点为M，过M作于G，则易得，点G是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果． 【详解】（1）解：四边形为正方形．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴． ∴矩形为正方形． （2）：①． 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴． ②解：如图：设的交点为M，过M作于G， ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点G是的中点； 由勾股定理得， ∴； ∵， ∴，即； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即的长为．      【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键． 3．（2022·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 【答案】（1）四边形AMDN为矩形；理由见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）由三角形中位线定理得到，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论； （2）证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长ND，使DH=DN，证明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明∠MBH=90°，设AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）四边形AMDN为矩形． 理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点， ∴， ∴∠AMD+∠A=180°， ∵∠A=90°， ∴∠AMD=90°， ∵∠EDF=90°， ∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°， 四边形AMDN为矩形； （2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8， ∴∠B+∠C=90°，． ∵点D是BC的中点， ∴CD=BC=5． ∵∠EDF=90°， ∴∠MDB+∠1=90°． ∵∠B=∠MDB， ∴∠1=∠C． ∴ND=NC． 过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°． ∴CG=CD=． ∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°， ∴△CGN∽△CAB． ∴，即， ∴； （3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH， ∵MD⊥HN，∴MN=MH， ∵D是BC中点， ∴BD=DC， 又∵∠BDH=∠CDN， ∴△BDH≌△CDN， ∴BH=CN，∠DBH=∠C， ∵∠BAC=90°， ∵∠C+∠ABC=90°， ∴∠DBH+∠ABC=90°， ∴∠MBH=90°， 设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x， 在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2， ∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2， 解得x=， ∴线段AN的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 4．（2020·山西·中考真题）综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是正方形，理由详见解析；（2），证明详见解析；（3）． 【分析】（1）由旋转可知：，,再说明可得四边形是矩形，再结合即可证明； （2）过点作，垂足为，先根据等腰三角形的性质得到，再证可得，再结合、即可解答； （3）过E作EG⊥AD，先说明∠1=∠2，再设EF=x、则BE=FE＇=EF=BE＇=x、CE＇=AE=3+x，再在Rt△AEB中运用勾股定理求得x，进一步求得BE和AE的长，然后运用三角函数和线段的和差求得DG和EG的长，最后在Rt△DEG中运用勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形 理由：由旋转可知：，， 又， 四边形是矩形． ∵． 四边形是正方形； （2）． 证明：如图，过点作，垂足为， 则， ． 四边形是正方形， ，． ， ． ． ∵， ； （3）如图：过E作EG⊥AD ∴GE//AB ∴∠1=∠2 设EF=x，则BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x 在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15 ∴AB2=BE2+AE2，即152=x2+（x+3）2，解得x=-12（舍），x=9 ∴BE=9,AE=12 ∴sin∠1= ,cos∠1= ∴sin∠2= ,cos∠2= ∴AG=7.2,GE=9.6 ∴DG=15-7.2=7.8 ∴DE=． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、解三角形等知识，综合应用所学知识是解答本题的关键． 考点4 解直角三角形及其应用 1．（2023·山西·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为 ．    【答案】 【分析】证明，，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，， 由作图知平分，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，尺规作图—作角平分线，等边三角形的判定和性质，正切函数的定义，求得是解题的关键． 2．（2021·山西·中考真题）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通．如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯的坡度（为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端，则王老师上升的铅直高度为 米． 【答案】 【分析】根据坡比列比例求解即可． 【详解】解：∵的坡度， ∴， ∵米， ∴， 解得：， 故答案为：． ． 【点睛】本题主要考查坡比的概念，根据坡比列出比例是解决本题的关键． 3．（2022·山西·中考真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）． 【答案】58m 【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则，再根据图形应用三角函数即可求解． 【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则． 又∵， ∴四边形ACHG是矩形． ∴． 由题意，得． 在中，， ∴（m）﹒ ∵是的外角， ∴． ∴． ∴m． 在中， ∴(m)． ∴． 答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m． 【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键． 4．（2023·山西·中考真题）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）． 课题 母亲河驳岸的调研与计算 调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解 功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物 驳岸剖面图         相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，， 计算结果 交流展示 【答案】的长约为的长约为． 【分析】过点作于点，延长交于点，首先根据的三角函数值求出，，然后得到四边形是矩形，进而得到，然后在中利用的三角函数值求出，进而求解即可． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，      ∴． 由题意得，在中，． ∴． ∴． 由题意得，，四边形是矩形． ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∵． ∴． ∴， ∴． 答：的长约为的长约为． 【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段． 5．（2025·山西·中考真题）项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 【答案】内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得，四边形为矩形，则，，所以，，设米，则米，米，然后通过， ，  列出方程，  解出方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，四边形为矩形， ∴，， ∴，， 设米，则米，米， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，解得， ∴（米）， 答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 6．（2021·山西·中考真题）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌．某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得，，，，四边形为矩形，且．请帮助该小组求出指示牌最高点到地面的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】 【分析】过点作于点，交直线于点；过点B作于点，于点，此时构造出两个矩形和，根据矩形的性质可得，，，进而求得的度数，在，中，利于三角函数即可求得，的长度，最终求得AH的值即为指示牌最高点到地面的距离． 【详解】解：过点作于点，交直线于点； 过点作于点，于点； 则四边形和四边形均为矩形． ∴，，， ∴． ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∴． ∴． 答：指示牌最高点到地面的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造所给角度以及相关角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键． 7．（2020·山西·中考真题）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为． （1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，）； （2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】（1）与之间的距离为；（2）一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人． 【分析】（1）连接，并向两方延长，分别交，于点，,则，,根据的长度就是与之间的距离，依据解直角三角形，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据“一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟”列出分式方程求解即可；还可以设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程求解． 【详解】解：连接，并向两方延长，分别交，于点，． 由点与点在同一水平线上，，均垂直于地面可知，，，所以的长度就是与之间的距离．同时，由两圆弧翼成轴对称可得． 在中，，，， ， ． ． 与之间的距离为． （1）解法一：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人． 根据题意，得 解，得． 经检验是原方程的解 当时， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人． 解法二：设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人． 根据题意，得． 解，得 经检验是原方程的解． 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人． 【点睛】本题考查了解直角三角形及列分式方程解应用题，关键是掌握含30度的直角直角三角形的性质． 一、单选题 1．（2025·山西·模拟预测）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，则此项不符合题意； C、是轴对称图形，则此项符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：C． 2．（2025·山西·一模）“巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案，将两个“巳”字对称摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，饱含喜庆美满的家国祝福．下列“巳”字图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 3．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，将边长为8的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到．当两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为16时，移动的距离等于（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、图形的平移、平行四边形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握正方形和平移的性质是解题关键．先证出两个三角形重叠部分（阴影部分），即四边形是平行四边形，再证出，设，则，利用平行四边形的面积公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵四边形是边长为8的正方形， ∴，， 由平移的性质得：， ∴两个三角形重叠部分（阴影部分），即四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为16， ∴， 解得，符合题意， 即， 故选：A． 4．（2025·山西长治·模拟预测）如图，将一张矩形纸条折叠，折痕分别与交于点M，N，点A，B分别落在点E，F处，与交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质．由折叠的性质得到，，由邻补角的性质求得，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得到：，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．（2025·山西临汾·二模）利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线，下列说理中错误的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．平行于同一条直线的两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 先根据折叠的性质得到折痕都垂直于过点的直线，根据平行线的判定方法求解． 【详解】解：如图， 由题图（2）的操作可知， 所以， 由题图（3）的操作可知， 所以， 所以， 所以可依据同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行，或同旁内角互补，两直线平行判定， 故选：C． 6．（2025·山西运城·二模）十八世纪，德国物理学家恩斯特·克拉德尼做过一个实验，他安放一块较宽的金属薄片，在上面均匀地撒上沙子．然后开始拉动弓弦，结果这些细沙自动排列成不同的美丽图案，并随着弓弦拉出的节奏的不断增加，图案也不断变幻和越趋复杂——这就是著名的克拉尼图形，下列四幅克拉尼图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形的识别．根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与自身重合；由此问题可求解． 【详解】解：A、原图既是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； B、原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、原图是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、原图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 7．（2025·山西晋中·二模）中国传统纹样承载着对称美学的精髓，同时也体现了古代工匠对几何对称的深刻认知．下列传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．寿字纹 B．万字纹 C．冰裂纹 D．柿蒂纹 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 8．（2025·山西吕梁·二模）2025年春晚的主题是“巳巳如意，生生不息”，如图为春晚主标识，巧妙组合的两个“巳”字象征中国传统的如意纹样，寓意双巳合璧，带来事事如意的吉祥．下列关于该标识的说法正确的是（    ） A．是轴对称图形不是中心对称图形 B．是中心对称图形不是轴对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键． 根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义判断即可得． 【详解】解：由图可知，春晚主标识是中心对称图形不是轴对称图形， 故选：B． 9．（2025·山西吕梁·一模）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点，，恰好在一条直线上．若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点A作于点H，得到，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由旋转得，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， 过点A作于点H， ∴， ∴， 故选：C． 10．（2025·山西晋中·二模）如图，将绕点逆时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和平行线的性质． 利用旋转的性质得出，，再利用平行线的性质和等腰三角形的性质得出和，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵旋转角度， ∴，， ∵， ， ∴， ， ， ， 故选：B． 11．（2025·山西运城·一模）如图，直线与x轴，y轴分别交于B，A两点，的长为5，将绕着点B逆时针旋转得到，点A的对应点为点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，一次函数图象上点坐标的特征．求出，由，可得，，根据将绕着点B逆时针旋转得到，点A的对应点为点D，知，，，即可得． 【详解】解：在中，令得， ， ， ， ， ， 将绕着点B逆时针旋转得到，点A的对应点为点D， ，，， ； 故选：A． 12．（2025·山西运城·二模）如图，在平面直角坐标系中，坐标轴刚好为矩形的两条对称轴，边，分别与x轴、y轴交于点E和F，以E为旋转中心，将矩形绕点E顺时针旋转，使的对应边且经过点F．若点C的坐标，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与x轴的交点为M，过点作轴于点N，先证明，得到，设，，根据题意，得，，解得，得到即，利用三角函数解答即可． 【详解】解：∵坐标轴刚好为矩形的两条对称轴，边，分别与x轴、y轴交于点E和F，点C的坐标， ∴，， ∵以E为旋转中心，将矩形绕点E顺时针旋转，使的对应边且经过点F． ∴，， 设与x轴的交点为M，过点作轴于点N， ∵， ∴， ∴， 设，， 根据题意，得，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵在第二象限， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 13．（2025·山西大同·二模）随着2025年全民健身热潮兴起，运动备受欢迎．下列运动的图标中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解即可得到答案．熟记中心对称图形定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是中心对称图形，符合题意； C、图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 14．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在正方形中，点为上一点，将正方形沿所在直线折叠后，点的对应点恰好落在边的垂直平分线上．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质及三角函数求得，从而求得求；再由折叠的性质及三角函数求得结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴； ∵垂直平分线段， ∴； ∴四边形是矩形， ∴，； 由折叠知，，； 在中，， ∴，； ∴； ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，矩形的判定与性质，垂直平分线的性质，锐角三角函数；熟练掌握这些知识是解题的关键． 15．（2025·山西运城·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据正弦的定义求出，进而求出，再根据圆内接四边形的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接，   是的直径， ， ， ， ， ， ， 四边形内接于， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，求角的正弦值，根据特殊角三角函数值求角的度数，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 16．（2025·山西朔州·一模）如图，向正六边形外作正方形，连接，交于点，则线段与一定满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，作交与点M，如图所示：设正六边形的边长为a，则，由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，解直角三角形求出，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：如图，连接，作交与点M， ∵六边形是正六边形， 设正六边形的边长为a，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 同理可得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴B、H、D三点共线，， ∴ ， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，正方形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等等，正确作出辅助线是解题的关键． 17．（2025·山西·一模）如图，在中，，平分，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点．连接，则的长为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形的性质，特殊角的三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的基本作图，角的平分线的意义解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 根据基本作图，得垂直平分线段， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的基本作图，角的平分线的意义，熟练掌握性质是解题的关键． 18．（2025·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，连接对角线，是上一点，已知点的坐标为，若将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了旋转的性质、解直角三角形、菱形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和旋转的性质是解题的关键．令线段绕点顺时针旋转后，与轴的交点为点，过点作轴于点．求出点的坐标为，证明．即可得到答案． 【详解】解：如图，令线段绕点顺时针旋转后，与轴的交点为点，过点作轴于点．   点的坐标为， ． 四边形是菱形， ， 点的坐标为， ，， ． 由旋转性质可得，， ， ． 点的坐标为， 点的坐标为，即点的坐标为． 故选：D 19．（2025·山西运城·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角和弧的关系、扇形的面积公式、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据弧和圆心角的关系可得，即，进而得到，根据直角三角形的性质以及勾股定理可得、、进而得到；在中解直角三角形可得，最后根据求解即可． 【详解】解：如图： ∵在扇形中，，点为的三等分点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ． 故选A． 20．（2025·山西长治·三模）如图，四边形是的内接四边形，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角、勾股定理及其逆定理、三角函数等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，根据“90度的圆周角所对的弦是直径”可知为直径，并利用勾股定理解得的值，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可知，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵，，， ∴为直径，且， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 21．（2025·山西忻州·一模）如图，在中，，以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，将绕点O逆时针旋转得到．若点B的横坐标为3，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，解直角三角形的相关计算，把握旋转的不变性是解题的关键． 过点分别作，垂足为，根据旋转得到，，导角得到，再通过等角正切值相等列式求解即可． 【详解】解：过点分别作，垂足为， ∵点B的横坐标为3， ∴由旋转得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 由旋转得，， ∴， 故选：C． 22．（2024·山西太原·一模）下面是一个由长方体和四棱柱组合成的几何体，它的主视图如图所示，则该几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三视图，根据俯视图是从物体的上面观察得到的图形，结合选项进行判断即可，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 该几何体的俯视图是： 故选：． 23．（2025·山西大同·三模）如图是由5个相同小立方体搭成的几何体，若将小立方体①放到小立方体②的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图不变，左视图、俯视图改变 B．左视图、俯视图不变，主视图改变 C．主视图、俯视图不变，左视图改变 D．主视图、俯视图、左视图都发生改变 【答案】B 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：根据图形可知，将小立方体①放到小立方体②的正上方，左视图、俯视图不变，主视图改变． 故选：B． 二、填空题 24．（2025·山西阳泉·一模）如图，在等腰中，，，将沿方向平移，得到，交的中点于点，则点到点的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，平行线分线段成比例，勾股定理；根据平移可得，，根据为的中点，可得，则，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵将沿方向平移，得到， ∴，， ∵为的中点，， ∴， ∴是的中点，即， ∴， 即是的中点，， 如图，连接，∵，， 则中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（2025·山西忻州·二模）如图，在平面直角坐标系中放置一块直角三角尺，且，顶点的坐标为，现将三角尺向左平移，使点与点重合，得到，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用勾股定理解直角三角形，坐标平移等知识，利用勾股定理解直角三角形求出的长即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 平移后，，， ∴， 故答案为：． 26．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，是上的一点，将沿翻折得到，交于点．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接，过点P作，交的延长线于点H，设，则，，解答即可． 【详解】解：连接，过点P作，交的延长线于点H， ∵边长为4的菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵沿翻折得到， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，， ∴ 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 27．（2025·山西晋中·一模）如图，小明设计了一个“蝴蝶”的平面图案，整体为轴对称图形．将其放在平面直角坐标系中，点的坐标依次为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到点关于轴对称，点关于轴对称，根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可得到答案． 【详解】解：“蝴蝶”的平面图案，整体为轴对称图形，点的坐标依次为， 点关于轴对称， 点关于轴对称， 点的坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． 28．（2025·山西忻州·模拟预测）在矩形中，，，对角线，交于点，过点作，垂足为，为中点，连接交于点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】如图，延长交于点，先利用三角函数求得，得出为等边三角形，得出，再证出和，得出，进而即可得解． 【详解】如图，延长交于点， 在矩形中， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， 为中点， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 29．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，先证明得，，再在中利用正切的定义得到，设，，则，，，接着证明得到，然后在中利用正切的定义得到，解得，然后在中利用勾股定理可计算出． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵在中，， 设，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， 在中，， 即的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理定理，平行线的判定和性质，灵活运用锐角三角函数的定义和勾股定理，构建是解题的关键． 30．（2025·山西·一模）已知直角三角板中，现将一个量角器和该三角板按照如图方式摆放，其中点与量角器的中心重合，点落在量角器的外边缘圆弧上，边与圆弧交于点．若点是的中点，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、解直角三角形、扇形的面积公式等知识点，正确作出辅助线、将阴影部分进行分割成为解题的关键． 如图：连接，过作于E，先说明是等边三角形可得、，进而得到、；然后根据计算即可． 【详解】解：如图：连接，过作于E， ∵， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 31．（2025·山西吕梁·一模）如图，在矩形中，E是边上的一点，将矩形沿折叠，使点C落在点F处，延长，交的延长线于点H．若，，，则的长为 【答案】 【分析】利用矩形性质，折叠的性质，以及解直角三角形得到，，进而得到，记交于点，结合等腰三角形性质得到，设，则，，利用勾股定理求出的值，再证明，利用相似三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，，， 由折叠的性质可知，，，，， ， ， 解得， ， ， 记交于点， ， ， ， 设，则，， ， ， ， 解得， ， ， ， ， 解得． 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形性质，折叠的性质，等腰三角形性质，勾股定理，相似三角形性质和判定，以及解直角三角形，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 32．（2025·山西晋中·二模）如图，在矩形中，，，点是边的中点，点在线段上，且，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算是关键． 根据矩形，勾股定理得到，如图所示，过点作于点，根据解直角三角形的计算得到，设，则，再证明，得到，即，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 解得，， 故答案为： ． 33．（2025·山西朔州·三模）如图，在中，，，分别为，边上的点，且，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要查了平行线分线段成比例，角平分线的性质，解直角三角形．作，交于点F，过点E作于点G，则，可得，从而得到，再由角平分线的性质可得，设，则，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，作，交于点F，过点E作于点G，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 故答案为： 34．（2025·山西晋城·一模）如图，中，，，点E在边上，沿直线折叠，使的对应边，垂足为F，交与点G，当点G恰好为的中点时，长为 ． 【答案】14 【分析】由平行四边形的性质可知，，进而可知，则设，，在中，，得，即，过点作垂直于，交延长线于，，由折叠可知，，，，得，设，则，，再证，得，，由平行四边形的性质可知，则，得，，则，由，得，解方程即可求解． 【详解】解：在中，，，，，， ∵，， ∴， 则设，， 在中，， ∴，即， 过点作垂直于，交延长线于，， 由折叠可知，，，， ∴，则， 设，则， 在中，， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴，则， 又∵， ∴，解得：， 即：， ∴， 故答案为：14． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，根据直角三角形，利用，表示边的长度，列方程是解决问题的关键． 35．（2025·山西长治·二模）如图：中，，，平分，交于点E，若，则长为 ． 【答案】/ 【分析】过点A作于点H．根据，解直角三角形求出再利平行线分线段成比例定理求出，利用勾股定理求出，，求出，进而可求出的长． 【详解】解：过点A作于点H． ，， 四边形都是平行四边形， ， 平分， ，，      ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线分线段成比例定理，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 36．（2025·山西·模拟预测）如图，为了测量交通指示牌支撑杆的高度，小亮利用测角仪在点处测得点处的仰角分别为和．已知点在同一竖直平面内，测角仪始终与水平地面垂直．测角仪的高度，则支撑杆的高度约为 ．（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于点，根据题意可得．四边形，四边形是矩形，根据，，得出，进而求得，，进而根据，即可求解． 【详解】如图，延长交于点． 根据题意可得．四边形，四边形是矩形， 故答案为：． 37．（2025·山西朔州·模拟预测）如图是传送带和水平地面所成斜坡的示意图．传送带和地面所成斜坡的坡度为，若该传送带把某物体从地面传送到离地面15米高的地方，那么该物体所经过的路程恰好是 米． 【答案】30 【分析】本题主要考查斜坡的坡度和勾股定理，根据题意求得水平距离，再利用勾股定理求得经过的路程即可． 【详解】解：∵传送带和地面所成斜坡的坡度，把某物体从地面送到离地面15米高的地方， ∴水平距离为米， 则该物体所经过的路程米， 故答案为：30米． 38．（2025·山西大同·三模）如图，在中，，，．点E是上一点，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】如图所示，延长，交于点H，过点D作于点F，过点E作交延长线于点G，由设，，勾股定理求出，，然后求出，然后得出，设，，表示出，，证明出，得到，然后代数求出，，勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，延长，交于点H，过点D作于点F，过点E作交延长线于点G ∵ ∴， ∴设， ∴，即 ∴（负值舍去）， ∴， ∵在中，， ∴ ∴ ∵在中， ∴ ∴ ∵ ∴ 设， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，即 ∴（负值舍去） ∴， ∴ ∵在中， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 39．（2025·山西大同·二模）如图，在矩形中，，点是的中点，将矩形沿折叠，点落在点处，延长交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，三角函数以及相似三角形，过点作于点，连接交于点，可得，即可得出答案； 【详解】如图，过点作于点，连接交于点，则． 四边形是矩形， ． ． 点是的中点， ． 由折叠，可知． ． ． ． ． ． 设，则 ． 在中，由勾股定理，得，即． 解得（不合题意，舍去）． ． ， ． ． ，即． ． 三、解答题 40．（2025·山西晋中·一模）综合与探究 问题情境： 如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决： （3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 【答案】四边形是正方形．理由见解析； ，理由见解析； 或． 【分析】根据矩形的性质可得：，根据折叠的性质可证：，，从而可证四边形是正方形； 根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可得：，从而可证，根据平行线的性质可得，根据旋转的性质可得，，从而可证，根据相似三角形的性质可得； 利用勾股定理可得，根据旋转的性质可得：，从而可求，，，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：，， 四边形是矩形， 四边形是正方形； ， 理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ． 由旋转的性质，得，，， ， ， ， 由折叠的性质，知， 在中，， ，即； 解：或， 理由如下： 如下图所示， ， ， 在中，， 根据旋转的性质可得：， 则， ，， ，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据折叠的性质和旋转的性质找到边之间的关系． 41．（2025·山西·三模）阅读与思考 “算两次”原理 富比尼原理（Fubini's Principle），也称为“算两次”原理，是数学中一种重要的思想方法，其核心在于通过两种不同的方式计算同一量，从而建立等量关系． 例1：计算图1所示图形的面积，既可以将其看成一个大正方形，也可以将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，通过不同的方法计算这个图形的面积可以得到一个乘法公式． 例2：如图2，有一块锐角三角形余料，，高．现把它加工成正方形零件，其中正方形的一边在上，它的两个顶点，分别在，上，高与交于点，求加工成的正方形的边长是多少厘米． 思路：我们可以利用“算两次”原理用两种方式计算的面积来求解． 方式一：． 方式二：． 解：设正方形的边长为，则． 四边形是正方形， ． ， 四边形是矩形． ． ． …… 任务： (1)例1中得到的乘法公式是______（用含的式子表示）． (2)请将例2中的剩余过程补充完整． (3)请尝试使用“算两次”原理解决下面的问题．如图3，在纸片中，对角线，相交于点，，，将纸片沿折叠，点的对应点为点，连接，若，则点到的距离为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意分两种方法表示大正方形的面积即可求解； （2）根据题意，分两种方式表示出的面积，建立方程，解方程，即可求解； （3）根据折叠以及平行四边形的性质，先的得出，，，过点作于点，过点作于点，证明，进而证明四边形是矩形，中，勾股定理求得，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）解：将其看成一个大正方形则面积， 将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，面积为 ∴ 故答案为：． （2）∵ 解得： ∴正方形的边长为 （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， 如图，过点作于点，过点作于点， ∴ 在中，， ∵折叠， ∴， 又∵， 在中， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ 在中，, 设点到的距离为为， ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，正方形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握等面积法求解是解题的关键． 42．（2025·山西·一模）综合与实践 问题情境：数学活动课上，活动小组探究平行四边形折叠过程中的一些结论，如图1，已知平行四边形，，将平行四边形沿过点D的直线折叠，使点C落在边上的点E处，折痕与交于点F． 初步探究： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究：如图2，取线段边上的一点O（不含点D，F），过点O作边的垂线分别与交于点I，J，将平行四边形沿直线折叠，使点C落在边上的点H处，使点D落在边上的点G处，连接． （2）若随着点O的运动，与始终保持平行，请求的度数； （3）在（2）的条件下，如图3，若，与交于点M，连接，当时，请直接写出的值． 【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据翻折得到，则由平行四边形，根据平行线+角平分线得到等腰三角形，那么，则，结合平行，先证明为平行四边形，再根据一组邻边相等即可证明； （2）先证明四边形为平行四边形，结合翻折可得，那么为等边三角形，即可求解； （3）过点O作于点N，过点M作于点K，四边形为菱形，可得为等边三角形，则设，可证明，那么，，则，用勾股定理表示，，，最后由建立方程求解，再由平行四边形的性质结合翻折即可求解． 【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下： 由翻折得：， ∵平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由翻折得，而 ∴， ∴为等边三角形， ∴； （3）解：过点O作于点N，过点M作于点K， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 设 ∵， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∵菱形， ∴平分， ∵，翻折得： ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， 解得：或（舍）， ∴， 由上知四边形为平行四边形， ∴， ∴由翻折得：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，翻折变换，菱形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，难度较大，正确和合理添加垂线解直角三角形是解题的关键． 43．（2025·山西朔州·一模）综合与实践 数学课上，白老师提出如下问题：如图和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．若为的中点，求的值． 数学思考： （1）解答白老师的问题． 深入探究： （2）白老师让同学们绕点逆时针旋转，旋转角度为，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，研究发现点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动，当与相切时，求的值． ②“智慧小组”提出问题：如图3，当绕点旋转时，所在直线与所在直线之间的夹角是否发生变化？若不变，请直接写出该夹角（锐角）的度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）所在直线与所在直线之间的夹角不发生变化，为； 【分析】（1）证明，，可得； （2）①由是的切线，可得，可得，再进一步可得答案； ②如图，延长交于，交于，证明，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：（1）∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②所在直线与所在直线之间的夹角不发生变化，为，理由如下： 如图，延长交于，交于， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，，，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 44．（2024·山西运城·三模）综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们利用准备好的两个矩形纸片进行探究活动． 智慧小组准备了两张矩形纸片和，其中，将它们按如图所示的方式放置，点落在上，点落在的延长线上，连接和． 观察发现： （1）如图连接，则和的位置关系是__________，___________． 操作探究： （2）如图，将矩形绕点按顺时针方向旋转（），试探究（1）中和的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 拓展延伸： （3）在矩形旋转的过程中，当三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】（1）；；（2）成立，见解析；（3）或 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，计算较复杂，做出正确的辅助线是解题的关键． （1）由矩形性质得到的长度，求的长度，用勾股定理求解的长度，可得，用勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故． （2）连接和，结合矩形性质和勾股定理可求的长度，求得，且，故，可得、，求得，故，得证； （3）有两种情况，若当点在的延长线上，在直角三角形中求，则，结合（2）中，可求；若点在线段上，在直角三角形中求，则，结合（2）中，可求． 【详解】解：如下图，连接，延长相交于， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴在中，， 同理：， ， ∴ ∵， ∴是直角三角形， ∴，． 故答案为：垂直，； （2）成立 理由：如下图，连接和． 四边形是矩形，， ∴，， ∴ 四边形是矩形，， ∴， ∴ 在和中， ，， ∴． ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴ （3）的长为或 情况一：如下图，当点在的延长线上时， ， ∴为直角三角形， ∴，即， ∴， ∴． 由（2）得， ∴． 情况二：如图，当点在线段上时， ， ∴为直角三角形， ∴，即， ∴， ∴． 由（2）得， ∴． 综上所述，当三点共线时，线段的长为或． 【点睛】本体考查图像旋转问题，用到旋转的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形全等的判定和性质，孰料掌握知识点、正确做出辅助线是解题关键． 45．（2025·山西·模拟预测）综合与探究 问题情境 如图1，在矩形中，，延长至点．使得．点是边上一点，且，连接，． 操作发现 （1）若，则的长为________，的长为________． 拓展探索 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，使点在矩形内部．若，分别与，相交于点，． ①请判断和的数量关系，并说明理由． ②如图3，在旋转过程中，若点恰好在矩形对角线上．请探索并直接写出图3中所有与图1中相等的线段． 【答案】（1）；；（2）①，理由见解析；②、 【分析】（1）由矩形的性质可得，结合题意得出垂直平分，由垂直平分线的性质可得，证明为等腰直角三角形，得出，求出，即可得解； （2）①连接，由题意结合旋转的性质可得为等腰直角三角形，，从而得出，推出，，证明，即可得解； ②由（1）可得：，解直角三角形得出，由题意结合旋转的性质可得为等腰直角三角形，，证明，得出，由①可得：，即可得解． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 故答案为，； （2）①，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， 连接，如图： ， 由题意结合旋转的性质可得：为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴； ②由（1）可得：， ∵四边形为矩形， ∴，， 连接，如图： ， ∵，， ∴， ∴， 由题意结合旋转的性质可得：为等腰直角三角形，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①可得：， ∴图3中所有与图1中相等的线段为、． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 46．（2025·山西朔州·模拟预测）综合与探究 问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）存在；理由见解析；（3）或 【分析】（1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）过点作交于点，同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作，交的延长线于点， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）存在， 理由如下：如图，过点作交于点， 由旋转得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）或 解析：如图，当在的延长线上（点在点的右侧）时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ， ， ． 当在的延长线上（点在点的左侧）时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ，， ， ， 综上：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． 47．（2025·山西大同·二模）综合与探究 问题情境： 如图1，两块全等的三角形纸片叠放在一起，，． 初步探究： （1）如图2，将沿方向平移，当点与点重合时，连接．试判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图2位置的绕点顺时针旋转得到．的对应点分别是，． ①如图3，当时，垂足为，与交于点，求线段的长； ②当时，请直接写出点到直线的距离． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见详解 （2）①；②点到直线的距离为或． 【分析】（1）根据等边对等角得到，由平移的性质得到，，则，，所以四边形是平行四边形，结合菱形的判定方法即可求解； （2）①如图所示，连接，过点作于点，由勾股定理，锐角三角函数的计算得到，则，，在中，，则，由此即可求解； ②分类讨论：第一种情况，如图所示，与重合，则，延长交于点，过点作延长线于点，过点作延长线于点，延长交于点，则四边形是矩形；第二种情况，如图所示，与重合，连接，过点作，过点作；由勾股勾股定理，锐角三角函数的计算，数学结合分析即可求解． 【详解】解：（1）四边形是菱形，理由如下， ∵， ∴， ∵将沿方向平移，当点与点重合， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①如图所示，连接，过点作于点，设与交于点， 根据旋转得到，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴； ②由（1）可知，四边形是菱形， ∴， 第一种情况，如图所示，与重合，则，延长交于点，过点作延长线于点，过点作延长线于点，延长交于点，则四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，且， ∴四边形，是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点到直线的距离为； 第二种情况，如图所示，与重合，连接，过点作，过点作， 根据计算，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为； 综上所述，点到直线的距离为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，旋转的性质，锐角三角函数的计算，掌握旋转的性质，锐角三角函数的计算，数形结合分析，分类讨论思想是关键． 48．（2025·山西大同·三模）综合与探究 问题情境：如图1，在等腰直角三角形中，，点在边上，于点，将绕点顺时针旋转． 猜想证明： （1）如图2，已知点分别是的中点，连接，取的中点，连接，试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 深入探究： （2）如图2，连接，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用： （3）如图3，设直线与直线交于点，若，将绕点旋转一周，当三点共线时，直接写出的长． 【答案】（1）数量关系：，位置关系：；理由见解析 （2），理由见解析 （3）或． 【分析】（1）利用三角形中位线定理及直角三角形斜边中线性质来求解； （2）连接，，利用等腰直角三角形的性质，旋转的性质和中位线定理求得，再利用全等三角形的性质求解； （3）等腰直角三角形的性质，旋转的性质和勾股定理求出，，，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，此时在的延长线上，利用相似三角形的性质求解． 【详解】猜想证明： （1）数量关系：，位置关系：． 理由：在等腰直角三角形中，，是斜边的中点， ． 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ． 是的中位线， ． 是等腰直角三角形的中线，也是边上的高， ． 深入探究： （2）． 理由：连接，，如下图 是中点，是中点， 是的中位线， ，． 绕点旋转，且是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， ， ． 是的中点， ， ， ． 又是中位线， ，， ， ， ，， 即． ， ， ， ． 在和中 ， ． 拓展应用： （3）在等腰直角中，， ， ． 三点共线时，当点在线段上时， 和都是等腰直角三角形， ． ， ， ． 设， 则，， ， 整理得， 解得或． ， ． 当点在线段上时，此时在的延长线上， 和都是等腰直角三角形， ． ， ， ． 设， 则 ，， ， 整理得， 解得， 即． ， 综上可得，或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作图辅助线是解答关键． 49．（2025·山西晋中·二模）综合与探究 问题情境：学习完特殊的平行四边形和相似三角形有关知识后，老师组织了一节富有创意的数学活动课，引导同学们从图形变换的角度展开深度探究． 创新小组以矩形边的旋转变换为研究对象，并观察由此产生的几何性质． 如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转（）得到线段，过点作，交直线于点． 猜想证明： 小组内同学探究思路遵循特殊到一般的探究： （1）当时，四边形的形状最特殊，此时形状为________； （2）如图2，当时，连接，猜想，和之间的数量关系，并说明理由； 综合应用： （3）在旋转过程中，当直线经过边的中点时，与直线交于点，直接写出的长． 【答案】（1）正方形（2），理由见解析（3）的长为或 【分析】（1）当时，落在边上，易得四边形为正方形； （2）连接, 过点作于点，由旋转的性质得，再证明，可得，再证明是等腰直角三角形，可得，再由三点在同一直线上，可得，在中，,可得，再求解即可； （3）分两种情况：当点在的延长线上时；当点在上时；利用旋转的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图，当时，落在边上， 由旋转得：， ， ， 四边形为正方形； 故答案为：正方形； （2）. 理由：如图，连接, 过点作于点. 四边形是矩形， ， 由旋转得， 在和中，, ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 三点在同一直线上， 在中，, ； （3）设 如图，当点在的延长线上时，连接， ， ， ， ， ， ， 由（2）得， ，， ， ， ， ， ， 中，， ， 解得：（舍去）， ； 如图，当点在上时，连接， 同理可得， ， ， 由（2）得， ，， ， ， ， ， ， 中，， ， 解得：（舍去）， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识，熟练运用这些知识是关键． 50．（2025·山西·一模）综合与探究 问题情境 在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板和重合放置，其中．将绕点顺时针旋转，旋转角为．如图2，当的直角顶点刚好落在边上时，的延长线交于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 数学思考 （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究 （2）老师将继续绕点顺时针旋转到图3位置，作射线交于点．此时“善思小组”的同学认为点是的中点．请判断“善思小组”的观点是否正确，并说明理由． （3）在绕点顺时针旋转的过程中，连接，是否存在某一时刻，使得是一个以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），见解析；（2）正确，见解析（3）或 【分析】（1）解法1连接，证明即可； 解法2 根据勾股定理，得，得到，利用三角函数求得的长度，比较解答即可． （2）过点E作，交的延长线于点G，则，根据旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，三角形全等的判定和性质，证明即可． （3）当，根据旋转的性质，得，取的中点N，连接，交于点P，利用等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，三角函数的应用解答即可；当，根据旋转的性质，得，取的中点M，连接，交于点Q，则，根据矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】（1）解：解法1：连接， ∵ ∴， ∴． 解法2：根据题意，得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点E作，交的延长线于点G， 则， ∵继续绕点顺时针旋转到如图位置，作射线交于点． ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点． （3）解：当， 根据旋转的性质，得， 取的中点N，连接，交于点P， 则， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得； 当， 根据旋转的性质，得， 取的中点M，连接，交于点Q， 则， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理的应用，三角函数的应用，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 51．（2025·山西运城·二模）在广袤的海洋中，航海者依赖海图来寻找航道．我国大型远洋综合测量船“海巡08”轮的建成交付和使用，有效填补了我国在深远海海事测量船舶领域的空白．如图为“海巡08”轮某次海道测量示意图，其吃水深度米，测得海底山丘C与E两点到船底探测器的声音往返所用时间分别为秒和秒，声音在海水中传播的速度约为1500米/秒，若两次声波发出的角度，，，，点B、C、D三点在一条直线上．（图中点A，M，B，C，D，E在同一平面内，参考数据：，，结果精确到1米）    (1)本次海道测量，海平面距离海底的深度是多少米？ (2)试求海底山丘CE的坡度是多少？ 【答案】(1)海平面距离海底的深度是米； (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解坡度概念是关键． （1）先求解，结合，再进一步可得答案； （2）如图，过作于，连接，结合题意可得：，，求解，结合，进一步求解，，从而可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴（米）； ∴海平面距离海底的深度是米； （2）解：如图，过作于，连接，结合题意可得： ，， ∵，，    ∴，， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴海底山丘CE的坡度是． 52．（2025·山西·模拟预测）研学实践：迎泽大桥是太原迎泽大街上的标志性桥梁，而新建的桥头堡作为其重要组成部分，已成为太原市的新地标．某校研学小组在了解“桥头堡”的历史背景后，利用测量工具测量了桥头堡的相关数据． 数据采集：如图，点A是桥头堡的顶端，是桥面，在点B处用测角仪测得顶端A的仰角为，然后沿方向后退，在点C处用测角仪测得顶端A的仰角为，用皮尺测得测角仪的高，点B与点C之间的距离为． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点M，C，B，N在同一水平直线上．请根据上述数据，计算桥头堡顶端到桥面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】桥头堡顶端到桥面的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，连接，并延长交于点，先证出，，，再设，解直角三角形可得的长，然后根据建立方程，解方程可得的值，最后根据求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，并延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意得：，， 设， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：桥头堡顶端到桥面的距离约为． 53．（2025·山西长治·模拟预测）综合与探究 问题情境： 在正方形中，是边上的一个动点，连接将沿直线翻折，得到，点的对应点落在正方形内． 猜想证明： （1）如图，连接并延长，交边于点求证：． （2）如图，当是边的中点时，连接并延长，交边于点，将沿直线翻折，点恰好落在直线上的点处，交于点，交于点试判断四边形的形状，并说明理由． 问题解决： （3）在（2）的条件下，若，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）四边形是矩形；理由见解析；（3） 【分析】（1）设和相交于点O，证明，即可得到； （2）证明，即可证明四边形是矩形； （3）连接交于点G，求出，证明，得到，由等积法求出，由求出，即可求出，得到四边形的面积． 【详解】（1）证明：如图，设和相交于点， 四边形是正方形， ，， ， 由折叠可知，垂直平分， ， ， ， 在和中， ， ∴， ； （2）解：四边形是矩形；理由如下： 四边形是正方形， ，， ， 是边的中点， ， 由折叠的性质可知：，， ， ， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形； （3）解：连接交于点，如图， 四边形是正方形， ， 是边的中点， ， 由（2）得，，， ，， ， ， 由折叠可知：， ， ， 在和中， ， ， 同理可证，， ， ，， ， ， ， ， 由折叠可知：，， ，， ， ， 解得， ， ， 四边形的面积为． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定和性质、轴对称的性质等知识，添加必要的辅助线构造全等是解题的关键． 54．（2025·山西吕梁·一模）综合与探究 综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答． 【初步研究】 （1）如图1，在正方形中，点M，N分别在线段，上，且，则的值为_____． 【知识迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在线段，，，上，且．求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在四边形中，，，当时，请直接写出边的长． 【答案】（1）1；（2）；（3）或 【分析】（1）先证明，再证明，可得，从而可得答案； （2）作于点M，作于点N，记的交点为，证明即可得到结论； （3）当时，如图，过作的平行线交的延长线于，过作于，证明，证明，如图，当时，过作的平行线交的延长线于，过作于，再仿照（2）的方法结合三角函数可得答案． 【详解】证明：（1）∵四边形正方形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； ∴； （2）解：作于点M，作于点N，记的交点为， 则， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即； （3）当时，如图，过作的平行线交的延长线于，过作于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得：， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，过作的平行线交的延长线于，过作于， 同理可得：，四边形为矩形，，， ∴， 设，则，， ∴， 解得：； 综上：为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形和相似三角形． 55．（2025·山西晋中·一模）研学实践：钟鼓楼作为中国古代的传统建筑，一般都成为当地的地标，在古时主要承担报时之责．太原钟楼坐落于太原市府东街南侧，它始建于明代中期，是由傅山先生的祖父傅霖筹集资金修建而成．周末某学校研学小组对太原钟楼的高度进行测量． 方案设计：如图，观察员在地面上的点处观察点的仰角为．观察员在点处竖直向上升起一架无人机，当无人机到达离地面的点处时，测得钟楼顶端点的俯角为， 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，两点的水平距离，．请根据上述数据，计算太原钟楼的顶端到地面的距离．（结果精确到；参考数据：，，，，，） 【答案】太原钟楼的顶端到地面的距离约为 【分析】本题考查三角函数测高，涉及矩形的判定与性质，过点作于点，延长交于点，如图所示，由矩形的判定与性质得到相关角度与线段长度，数形结合，由正切函数定义列式求解即可得到答案，熟练掌握三角函数测高题型的解法是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，如图所示： 则四边形、四边形都是矩形，， ∴，，． 设，则． 在中，，，， ∴． 在中，，，， ∴． ∵， ∴，解得． ∴． ∴． 答：太原钟楼的顶端到地面的距离约为． 56．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 项目主题：图1所示是某学校植物园的一部分，现要对植物种植区域加装围栏，学校面向全体同学征集围栏设计方案． 方案设计：图2是小慧设计的围栏的一部分，说明如下： ①围栏下部是等腰三角形，且，，垂足为G； ②围栏上部由两段形状相同的抛物线和组成（点D在的延长线上），且抛物线和关于直线对称； ③米，米，米，米（，均与垂直）． ④抛物线的函数表达式为．… 解决问题： 请你根据小慧的设计方案，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，解决下列问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图3，小慧想在设计的围栏上加装一块社会主义核心价值观宣传展板，展板是扇形的一部分、展板整体关于对称．点P，Q分别在抛物线，上，点M，N分别在，上，线段，是所在圆的半径的一部分，且，． ①请求出线段的最大值； ②当线段取得最大值时，直接写出所在圆的半径长． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为；（2）①的最大值为；②所在圆的半径长为米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，再由题意得出点的坐标为，继而得到点，后将其代入二次函数解析式中即可得出； （2）①过点作，垂足为点，交于，再勾股定理求出，再求出直线的解析式，后设点，点，再利用二次函数最值即可，再利用相似三角形判定及性质即可求出； ②作轴于W，作轴于V，作轴于T，延长与轴交于即为圆心，此时即为所在圆的半径，由线段取得最大值时，，可求出，，，，由求出，证明，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， ， 由题意得：， ∴点的坐标为， ∵，， ∴点， ∵抛物线经过，， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：①过点作，垂足为点，交于， ， ∵，， ∴在中，， ∵，， 设直线的解析式为， ∵图象经过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，点， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴的最大值为：； ②作轴于W，作轴于V，作轴于T，延长与轴交于即为圆心，此时即为所在圆的半径， ∵线段取得最大值时，，即，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设所在圆的半径为，则， ∵， ∴， ∴，即：，解得：， ∴所在圆的半径长为米． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数最值，勾股定理，相似三角形判定及性质，以及锐角三角函数的知识，难度较大，属中考压轴题． 57．（2023·山西大同·三模）综合与实践 问题情境：四边形是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点，旋转后的对应点分别为，．旋转角为．    (1)观察思考：如图1，连接，当点第一次落在对角线上时，__________． (2)探究证明：如图2，当，且时，与交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，连接．在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)的长为或或． 【分析】（1）连接，根据菱形的性质得出，根据旋转的性质得出，进而可得是等边三角形，即可求解； （2）根据菱形的性质得出，由旋转可得，，则，进而证明，即可得证 （3）①当时，如图所示，设交于点，过点作于点，勾股定理求得的长，进而求得的长，勾股定理即可求解；②当时，证明三点共线，即可求解．③当，且在上方时，过点E作于点G，得到，设，，利用勾股定理求出，，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接，    ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即， 故答案为：． （2）四边形是菱形， 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）①当时，如图所示，设交于点，过点作于点，    ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又，， ∴， ∴， ∴， ②如图所示，当时，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴； ③如图，当，且在上方时，过点E作于点G ∴ ∴ ∴设， ∵，即 ∴ ∴， ∴ ∴ ∴综上所述，的长为或或． 【点睛】本题考查了正切的定义，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 58．（2025·山西大同·二模）2024年游戏《黑神话：悟空》火爆出圈，游戏取景地云冈石窟迎来文旅产业的“泼天”流量，2024年共接待了近450万名游客．为了更好地服务游客，景区在游客排队区放置了遮阳伞．已知遮阳伞中截面是如图所示的伞骨结构：（、均在竖直方向上），伞顶杆始终平分，，当时，伞完全打开，M与D在同一高度，此时．请问伞顶A到地面的高度是多少（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】伞顶到地面的高度为 【分析】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定及性质，矩形的性质，如图，过点作于点，延长与交于点，连接，可知，再证明，得，，在中，，，由，可得，再根据即可求解，构造直角三角形，利用三角函数值求解是解决问题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，延长与交于点，连接， 根据题意，得四边形是矩形， ∴， ∵平分，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， 则， ∴， 在中，，， 则， ∵， ∴， 则， 答：伞顶到地面的高度为． 59．（2024·山西运城·模拟预测）随着人民生活质量的不断提高，国家越来越重视“全民运动”，其中篮球运动是一项深受市民喜欢的球类运动，图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知，，，，，篮板顶端P点到篮框F的距离，支架垂直水平地面，支架与水平地面平行，求篮框F到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】篮框F到水平地面的距离约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长交于点M，先求出，再解得到，根据线段的和差关系得到，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点M． 由题意可知， ， ． 在，，， ． ，， ， ， ∴篮框F到水平地面的距离约为． 60．（2025·山西大同·三模）综合与实践 为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分． (1)求a的值． (2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？ (3)若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？ （提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移） 【答案】(1) (2)不能 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，待定系数法，勾股定理，解直角三角形； （1）通过待定系数法将点坐标代入抛物线中计算即可； （2）将起火点高度代入抛物线方程，求出的解与16作比较，从而确定水流是否能到达； （3）通过伸缩臂伸长量与坐标变化的关系，设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米，建立新的抛物线方程，当时，，代入求解，与10进行比较即可求出． 【详解】（1）解：根据题意得喷水口在抛物线上， 代入中得， ， 解得：； （2）解：不能，理由如下： ∵ ∴抛物线解析式为： ∵该楼距离地面21米处出现一个起火点， ∴代入抛物线中， 得：， 整理： 解得：， ∴， ∴消防车需要再向前行进米或米才能灭掉该起火点； （3）解：∵伸缩臂与水平方向的夹角为，且， 设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米． 则长伸缩臂后新抛物线的解析式为：， 根据题意得： 当时， ，即， 解得：， 当时， ，伸缩臂长为米， ∵，符合题意． 当时， ，伸缩臂长为米， ∵>10， 不符合题意，舍去． 故伸缩臂应伸长米． 61．（2025·山西运城·二模）学科实践 驱动任务：在日益繁华的城市，“冲上云霄”的商楼随处可见，往往让人产生视觉疲劳．太原市某中学为了减缓同学们的视觉疲劳和学习压力，特在校园中修建了赏心悦目的花园，并将花园大门的顶部设计成了抛物线型（如图1所示）．数学兴趣小组协助工人师傅进行装饰大门的工作． 研究步骤：1．如图2是花园大门的截面图，兴趣小组测得大门的宽米，，为大门两旁的立柱，其高度为2米，抛物线型拱顶最高处点C距地面的距离为米． 2．根据设计要求，要在C点处插一面红旗，在抛物线拱顶上挂一对红灯笼．两个悬挂点到地面的距离相等．同时做好花园大门的加固工作． 问题解决：请根据研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)为了安全起见，工人师傅要给大门加固，如图3，线段，可看成是加固时所用的钢筋（不考虑接口处所需钢筋长度），则给大门加固需要的钢筋长度为______米，若连接，则______°； (2)如图3，因为要悬挂灯笼，考虑到安全因素，工人师傅要用钢筋对大门进行二次加固，若保证二次加固的钢筋与第一次加固的钢筋垂直，即于点P，于点Q（，为二次加固的钢筋）．请你通过计算，确定二次加固时大门一侧所需钢筋的最大长度（不考虑其他因素，结果保留根号）． 【答案】(1)，45 (2) 【分析】（1）过点C作于点G，交于点D，证明四边形是矩形，四边形都是矩形，后利用等腰三角形的性质解答即可． （2）过点F作交于点I，交于点H，以M为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立坐标系，根据题意，得，，设抛物线解析式为，确定解析式，设直线的解析式为，确定直线的解析式．设点，则，则，求得有最大值为，再利用三角函数解答即可． 【详解】（1）解：过点C作于点G，交于点D， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证，四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米，米， 故米， 故答案为：，45． （2）解：过点F作交于点I，交于点H， 以M为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立坐标系， 根据题意，得，， 设抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设点，则， 则， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值为， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，构造二次函数求最值，三角函数的应用，熟练掌握待定系数法，二次函数的最值，三角函数的应用是解题的关键． 62．（2024·山西晋城·一模）“读万卷书，行万里路”，实验中学为了提升学生的自理能力、创新精神和实践能力，组织了一次研学活动，第一组前往地（红色文化教育基地），第二组前往地（人工智能教育基地），如图，已知地位于学校的东北方向，地位于学校的南偏东方向，地在地的南偏西方向，，两地相距，求学校到红色文化教育基地的距离． 【答案】学校到红色文化教育基地的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； 作于，求出，，设，则，求出，，然后根据，两地的距离求出x，进而求出即可． 【详解】解：如图，作于， 依题意，得，，， ， ， 在中，，， ， ， 设，则， 在中，，则， ，， ， ∵， ， ， ， ， 答：学校到红色文化教育基地的距离为． 63．（2025·山西阳泉·模拟预测）综合与探究 在数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究．如图1，在矩形中，，，点，分别是边上的点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点为． 【初步探究】 （1）如图2，若点与点重合，点恰好落在边上，求证：四边形是正方形． 【深入探究】 （2）如图3，若点是的中点，改变点的位置，延长交于点，猜想与的数量关系，并说明理由． （3）如图4，若点是的中点，改变点的位置，在折叠的过程中，若以为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）或或 【分析】（1）根据矩形性质得出，，，根据折叠得出，，，，证明四边形是菱形，根据，四得出边形是正方形即可； （2）连接，证明即可； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】证明：（1）∵四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）；理由如下： 连接，如图所示： ∵E为中点， ∴， 根据折叠可知：，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）∵点F为的中点， ∴， 根据折叠可知：，， 当时，过点作于点G，延长，交于点H，过点F作于点M，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 同理得：四边形为矩形， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即此时； 当时，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：； 当时，过点F作，连接，交于点H，如图所示： ∵，， ∴， 根据勾股定理得：， ∵F为的中点，， ∴， 根据折叠可知：垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：． 综上分析可知：或或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 64．（2025·山西朔州·模拟预测）某校数学实践活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王华同学带领甲、乙、丙三位小组成员进行此项实践活动，并做出下面的实践报告单． 课题 测量校园内一棵大树的高度 测量工具 测角仪、皮尺 测量图例 测量方法 某一时刻，大树在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，甲同学在点处竖立一根标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，丙同学站在点处，他的眼睛在点处，观察得知，树顶的仰角为． 测量数据 标杆米，标杆的影长为2米，米，米，仰角 说明 点，，，在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同一平面内．（参考数据：，，） (1)请你根据所学知识用直尺和圆规在图中画出点的位置；（不写画法，保留作图痕迹） (2)根据报告单的测量数据，计算这棵大树的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】(1)见解析 (2)这棵大树的高度约为9.5米 【分析】本题考查了平行投影，解直角三角形的应用，解题的关键： （1）根据平行投影作即可； （2）由平行投影可得出，根据同角的正切值相等可得出，设米，则米，米，米，在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求： （2）解：如图，延长交于点，则，米， 由题意知， ， ， ，即． 设米，则米， 米，米， 在中，， ， 解得， 米， 答：这棵大树的高度约为9.5米． 65．（2025·山西·模拟预测）在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过道？下课后，数学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下： 【问题】如何将物品搬过直角过道？ 【情境】如图是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是，矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 【操作】： 步骤 动作 目标 靠边 将如图中矩形的一边靠在上 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上 转弯 如图，将矩形绕点旋转，当线段、线段长度都不大于过道宽度时，可以顺利转弯． 推移 将矩形沿方向继续推移 【探究】： (1)如图，若，，则 ______． (2)在的条件下，思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道，你赞同思思同学的结论吗？请通过计算说明． (3)如图，物品转弯时被卡住、分别在墙面与上，若，求的长． (4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值______结果保留根号 【答案】(1)1 (2)不赞同思思同学的结论，计算见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据勾股定理，即可求解； （2）连接，根据勾股定理求出，然后与过道的宽度进行比较，即可得出答案； （3）过点作于，交于点，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案； （4）若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点为的中点，，，根据勾股定理求出此时的长度即可． 【详解】（1）解：如图，四边形是矩形， ，， ， ∴； （2）解：不赞同思思同学的结论，理由如下： 如图，连接， 由可求得， ，， ， ， ， 过道宽度都是， 该物品不能顺利通过直角过道， 不赞同思思的结论； （3）解：如图，过点作于，交于点， 中，， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 设，则， 由勾股定理得：， ， 负值舍， ； 答：的长是； （4）解：若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点为的中点，，，且， ∴， ， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质以及物体的三视图等知识，充分理解题意正确列式是解题的关键． 66．（2025·山西晋中·二模）研学实践：在“传承红色文化，弘扬革命精神”的主题研学实践活动中，某中学数学社团的师生们怀着崇敬的心情，专程前往山西省阳泉市狮脑山的百团大战纪念馆开展实地研学，在参观结束后，同学们利用测量工具测量了百团大战纪念碑的相关数据． 数据采集：在阳光下，小华在纪念碑的影子顶端处竖立一根标杆，的影长，标杆，然后在纪念碑影子上的处安装测倾器，测得纪念碑顶端的仰角为，量得，． 数据应用：已知图中各点在同一竖直平面内，点，，，在同一水平直线上．请根据上述数据，计算百团大战纪念碑顶部点到地面的距离．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】点到地面的距离约为 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，解一元一次方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 过点作于点，根据矩形的性质得、，利用设、，先证得，可得，把各个值代入得，解方程，通过即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点． ∵由题意得，四边形是矩形，                                                                                                                                                                                                                                                                   ∴，． 在，，， ∴， ∴． 设，， ∴，，， ∵太阳光线是平行的， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴解得：． ∴． 答：点到地面的距离约为． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$