2.2 等腰三角形（教学课件）数学浙教版2024八年级上册

2.2等腰三角形 第2章 特殊的三角形 浙教版2024·八年级上册 章节导读 学 习 目 标 理解等腰三角形的定义与构成 能准确识别 等腰三角形（两条边相等的三角形），明确其组成部分（腰、底边、顶角、底角）。 理解等边三角形的定义 能区分 等边三角形（三条边均相等）是特殊的等腰三角形，理解其“三边相等、三角相等”的构成特征。 通过观察与操作建立直观认识 通过实物模型、几何画图或折叠操作，直观感知等腰三角形的 对称性（单轴对称）与等边三角形的 多轴对称性（三条对称轴）。 课堂导入 同学们，仔细观察这些图片，它们在结构上有什么共同特点？ 屋顶的侧面是一个等腰三角形 金字塔的每一个面都是等腰三角形 等腰三角形有什么特点呢，同学们交流一下 知识回顾 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形 等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。 腰 腰 底边 两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 底角 底角 顶角 做一做 如图，点 D 在 AC 上，AB＝AC，AD＝BD。你 能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角。 因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形 腰：AB、AC，底边：BC，顶角：∠A 因为AD=BD，所以△ADB是等腰三角形 腰：AD、DB，底边：AB，顶角：∠ADB 例1如图，已知锐角△ABC，请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P，使△ABP，△CBP都是等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 典例分析 分析：本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和作法，分别作AB、BC边的垂直平分线相较于点P，连接AP、BP、CP即可 P 变式训练 如图，图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． 在图1中，以AB为腰画一 个等腰锐角三角形△ABC 在图2中，以AB为腰画一 个等腰直角三角形△ABD 在图3中，以AB为腰画一 个等腰钝角三角形△ABE C D E 例2 在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24cm和30cm的两部分，求BC的长． 典例分析 解：∵BD为AC边上的中线，所以AD=DC=AC 又∵AB=AC，∴AB=2AD 分两种情况讨论： ①当AB+AD=24cm，2AD+AD=24cm 解得AD=8cm，CD=8cm，∵BC+CD=30cm ∴BC=30-CD=22cm ②当AB+AD=30cm时，2AD+AD=30cm 解得AD=10cm，∴CD=10cm ∵BC+CD=24cm，∴BC=24-CD=14cm ∴BC的长为14cm或22cm 因为不知道哪部分是24cm，哪部分是30cm，所以需要分情况讨论 变式训练 将一台带有保护套的平板电脑按图1所示的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示，经测量，得到AB=10cm，BC=12cm．若移动支点C的位置，使△ABC是一个等腰三角形，则△ABC的周长为（        ） A .32cm B .34cm C . 32cm或36cm D . 32cm或34cm D 当AB=AC=10, 周长为10+10+12=32 当BC=AC=10, 周长为10+12+12=34 例3 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD∥AB，DE⊥AC，垂足为E，且AB=CE，连接AD求证：△ACD为等腰三角形． 典例分析 根据CD∥AB，所以∠DCA=∠BAC 由平行线的性质推出∠BAC=∠DCE，由垂直的定义得到∠B=∠DEC=90°，判定△ABC≌△CED（ASA），推出AC=CD即可求证 证明：∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCE，∵DE⊥AC ∴∠B=∠DEC=90° ∵AB=CE，∴△ABC≌△CED（ASA） ∴AC=CD ∴△ACD是等腰三角形 要证明等腰三角形，只需要证明两腰相等 变式训练 如图，已知：△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC和∠DAE都是顶角且∠BAC=∠DAE．求证：BD=CE 由等腰三角形的性质可得AD=AE，AB=AC，求出∠CAE=∠DAB，再证明△DAB≌△EAC（SAS）,即可得证。 证明：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC和∠DAE都是顶角且∠BAC=∠DAE ∴AD=AE，AB=AC，∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE ∴∠CAE=∠DAB 在△DAB和△EAC中，,△DAB≌△EAC（SAS） ∴DB=CE 新知探究 在透明纸上任意画一个等腰三角形 ABC，画出它的顶角平分线AD，然后沿着AD所在的直线把△ABC 对折。你发现了什么？由此你得出什么结论？ 因为∠BAD＝∠CAD，所以射线AB与AC重合。又因为AB＝AC，所以点 B 与点 C 重合，即直线 AD 两侧的图形能够完全重合。 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的 对称轴。 新知探究 三条边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形 特性 等腰三角形 等边三角形 边 两边相等 三边相等 角 两底角相等 三个角均为60° 对称轴 1条对称轴 3条对称轴 三边相等，AB=AC=BC 60° 60° 60° 例3 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数为_________． 典例分析 C1 C2 C3 C4 C5 5个 变式训练 如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个4×4方格纸中，找出格点P使△MNP为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数 。 P1 P2 P3 P4 P5 5个 例4 如图，已知△ABC和△ADE，点C在边AD上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE，若∠BAC=60°，求∠ACE的度数． 典例分析 根据SAS证明△ABC≌△ADE，由全等三角形的性质得AC=AE，∠BAC=∠DEA=60°，即可证△ACE为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解。 解：在△ABC和△ADE中，, ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴AC=AE，∠BAC=∠DAE=60° ∴△ACE是等腰三角形。∴∠ACE=60° 变式训练 如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． (1)求∠F的度数； (2)若CD=2，求DE的长 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°,∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60° ∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°， ∴∠F=90-∠EDC=30° 解：∵∠ACB=60°，∠EDC=60° ∴△EDC是等边三角形 ∴ED=DC=2 课堂练习 1．在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若△ABC的周长为24，一边长为6，则此等腰三角形的底边长是 . 6 当腰长为6时，则底边长为24-6-6=12cm，∵6+6=12，所以不能形成三角形（舍） 当底边为6时，则腰长为（24-6）÷2=9cm，∵6+9＞9，所以能形成三角形 课堂练习 2．给出下列三角形：①有两条边相等的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③有两个外角相等的三角形；④一条腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（     ） A .①② B . ②④ C . ①③ D . ②③ 两条边相等的三角形是等腰三角形，不能证明是等边三角形 一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 两个外角相等只能说明与这两个外角相邻的内角相等，故只能说明是等腰三角形 如图所示：由题意知：AB=AC，CD⊥AB，DB=DA,可得△ADC≌△BDC，故AC=CB=AB B 课堂练习 3．一个等腰三角形一条腰上的中线把这个三角形的周长分成了6和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 解题思路：设等腰三角形的腰长为x,底边长为y，分两种情况：当腰和腰的一半的和为6与当腰和腰的一半的和为12时，分别列出方程组结合三角的三边关系即可。 2 解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y ①当腰和腰的一半为6时，则 解得x=4，y=10, 此时三角形的三边为4、4、10，不能构成三角形（舍） ②当腰和腰的一半为12时，则 解得x=8，y=2 此时三角形的三边为8、8、2，能构成三角形 所以三角形的底边长为2 课堂练习 4 .如图，△ABC中，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm．将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，与边AB、BC相交于E，F并构成以为底边的等腰△EBF，则△EBF的周长为________． 解：∵线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF 又∵DC=4cm，∴DC=EF=4，且CF=7cm 又∵BC=12cm。∴BF=12-7=5cm ∵△EBE是以BF为底边的等腰三角形 ∴BE=EF=4cm 则△EBF的周长为BE+EF+BF=4+4+5=13cm 13cm 由图形平移，即DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，可得到2个信息，DC=EF=4，且CF=7,再结合等腰三角形的腰长相等计算周长即可。 课堂练习 5．已知线段a、b．求作等腰三角形ABC，使底边AB=a，底边上的高CD=b．（要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） A B C 作线段AB=a，再作线段AB的垂直平分线，垂足为点D，再在线段AB的垂直平分线上截取CD=b，连接AC、BC，即可得到等腰三角形ABC 课堂练习 6．已知，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别用a、b、c表示，其中a、b满足（a-5）2+|b-10|=0。 （1）直接写出a= ，b= 。 （2）若△ABC为等腰三角形，请求出△ABC的周长 解：由（1）得，a=5，b=10, 若5是腰长，则三角形的三边长为：5、5、10 5+5=10，不能组成三角形； 若5是底边长，则三角形的三边长为：5、10、10 5+10＞10，能组成三角形 ∴△ABC的周长为5+10+10=25 5 10 利用平方和绝对值的非负性即可求解 课堂练习 7．如图，△AOB和△COD均为等边三角形，连接AC、BD交于点P． （1）求证：△AOC≌△BOD 解：证明：∵△AOB和△COD均为等边三角形 ∴OA=OB,OC=OD，∠AOB=∠COD=60° ∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC ∴∠AOC=∠BOD ∴△AOC≌△BOD（SAS） （2）求∠APB的度数 解：∵△AOB是等边三角形 ∴∠OAB=∠OBA=60° ∵△AOC≌△BOD ∴∠OAC=∠OBD ∴∠APB=180°-∠PAB-∠PBA =180°-（∠BAO-∠CAO）-(∠ABO+∠OBD) =180°-60°+∠OAC-60°-∠OBD=60° 课堂小结 边长判定： 若三角形有两条边相等 → 等腰三角形； 若三条边均相等 → 等边三角形。 角度判定（初步）： 若三角形有两个角相等 → 等腰三角形（不展开证明）； 若三个角均为60° → 等边三角形。 简单分类与识别方法 等腰三角形：有且只有两条边长度相等的三角形，相等的边称为腰，第三边称为底边，两腰的夹角为顶角，底边对的两个角为底角。 等边三角形：三条边长度均相等的三角形（是等腰三角形的特例），其三个内角均为60°。 基础定义与构成要素 等腰三角形： 具有1条对称轴（顶角平分线所在直线，同时也是底边的垂直平分线、中线和高）。通过折叠可验证两底角重合，体现对称性。 等边三角形：具有3条对称轴（每条边的垂直平分线），旋转对称性为120°。所有边长、角度均相等，结构完全对称。 直观特征与对称性 01 03 04 02 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $$