10.3.3 直线与平面所成的角（题型专练）数学沪教版2020必修第三册

10.3.3直线与平面所成的角 题型一 线面角的概念及其辨析 1．已知空间中两条直线，无公共点，则“直线，与平面所成的角相等”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据线面角的概念结合充分条件、必要条件的概念即可得结果. 【详解】如图所示：在正方体中，令直线，，下底面为平面， 显然“直线，与平面所成的角相等”，但是“”不成立； 由线面角的定义可知：若“”，则“直线，与平面所成的角相等”成立； 即“直线，与平面所成的角相等”是“”的必要不充分条件， 故选：B 1．设P是直线外一定点，过点P且与成30°角的异面直线(　　) A．有无数条 B．有两条 C．至多有两条 D．有一条 【答案】A 【分析】利用模型圆锥即可得到答案. 【详解】过点P且与成30°角的异面直线有无数条，并且异面直线在以P为顶点的圆锥的侧面上. 故选A 【点睛】本题考查了异面直线的概念，属于基础题. 3．已知是锐角，则“直线与平面所成角的大小为”是“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”的（   ）条件. A．必要不充分 B．充分不必要 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】利用线面角的定义结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】如下图所示： 设直线交平面于点，过直线上异于点的点作，垂足为点， 则为直线与平面所成的角， 若直线与平面所成角的大小为，则直线与所有平行于直线的直线所成的角都为， 即“直线与平面所成角的大小为”“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”， 若直线与平面内无数条直线所成角的大小为， 但直线与平面内所有直线所成的最小角为直线与平面所成的角， 所以，不一定是直线与平面所成的角， 即“直线与平面所成角的大小为”“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”， 因此，“直线与平面所成角的大小为”是“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”的充分不必要条件. 故选：B. 4．若直线与平面所成的角为，直线与平面上的直线所成的角为，则总有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与平面所成角的定义，结合题意，即可判断. 【详解】由直线与平面所成的角为， 根据直线与平面所成角的定义，可得直线与平面内的直线所成的最小角为， 又直线与平面上的直线所成的角为，所以. 故选：B 5．平面的斜线与平面所成的角是，则与平面内所有不过斜足的直线所成的角的范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出斜线与射影所确定的平面，则当平面内的直线与射影平行时，夹角最小为，当直线与射影垂直时，夹角最大为． 【详解】设平面的斜线的斜足为，过斜线上点作平面的垂线，垂足为，则， 当平面内的直线与平行时，直线与斜线所成的角为，此时最小； 当平面内的直线与垂直时，则此直线与平面垂直，直线与斜线所成的角为，此时最大. 因此，. 故选：D． 题型二 求线面角 1．直线l与平面相交，A，B在l上，，在内的射影长为，与夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面角的定义，结合条件求线面角的余弦值，即可求解. 【详解】设直线与的夹角为，则，， 所以. 故选：B 2．从点出发的三条射线，，，其中，，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角. 【详解】如图，设直线在平面的射影为，则即为所求的线面角， 作于点G，于点H，连接， 易得，又平面，则平面， 又平面，则， 有 故． 已知， 故为所求． 故选：B 3．在长方体中，与平面所成的角为与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助线面角定义与等角定理可得，，结合线面垂直的性质定理计算即可得. 【详解】 连接，由长方体的性质可得平面， 所以与平面所成的角为， 又平面，所以，即， 因为，故与所成的角与与所成角相等， 所以与所成的角为， 又， 所以. 故选：C. 4．直线是平面的一条斜线，与平面内的直线所成角的取值范围是 . 【答案】 【分析】由直线和平面所成角的知识点即可得. 【详解】由直线和平面所成角的概念可得与平面内的直线所成角的取值范围是. 故答案为： 5．已知点到平面的距离是2，动点、在平面内，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据图形，比较线面角和线和平面内其他角的正弦值，即可求解. 【详解】如图，，，，过点作，垂足为点， 因为，，， 所以， 当点重合时，等号成立，所以，， 所以的最小值为 故答案为： 6．在正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/0.8 【分析】利用正方体的性质，容易判断直线与平面所成角的平面角就是，然后利用余弦定理计算即可. 【详解】 由正方体的性质可得：平面，平面， 所以平面平面，即直线在平面的射影就是， 所以直线与平面所成角的平面角就是， 设正方体的棱长为，因为E是的中点，所以由勾股定理可得， 由余弦定理可得：， 因为为锐角，所以， 故答案为：. 7．已知四面体，若，，则直线与平面所成角为 ． 【答案】 【分析】证明为的角平分线且为直线与平面所成的角，根据三余弦定理求出即可求解. 【详解】由得直线在平面上的投影为的角平分线且为直线与平面所成的角， 因为平面平面， 所以由三余弦定理 得， 故直线与平面所成角为． 故答案为：. 8．在矩形中，，⊥平面，，则与平面所成的角为 【答案】 【分析】根据题意可知为与平面所成的角，在中求解即可. 【详解】∵⊥平面， ∴为与平面所成的角， ， 因为为锐角， ∴. 故答案为： 9．在正方体中，是上靠近的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】利用线面垂直，构造线面角，再根据几何关系，即可求解. 【详解】如图，连接．平面，所以直线与平面所成的角为． 设，易得， ， 所以． 故答案为： 10．已知长为3的线段AB的两个端点到平面的距离分别为1和2，则直线AB与平面的所成角大小为 . 【答案】或 【分析】分类讨论在平面同侧和异侧的情况，即可得到答案. 【详解】当在平面同侧时， 延长与平面交于点，分别过作平面的垂线，垂足为， 如图所示： 则为直线与平面的所成角. 设，则， 所以，解得.所以，. 所以直线AB与平面的所成角大小为. 当在平面异侧时， 设与平面交于点，分别过作平面的垂线，垂足为， 如图所示： 设，则，即，解得， 即，. 此时三点重合，即. 所以直线AB与平面的所成角大小为. 综上：直线AB与平面的所成角大小为. 故答案为：或 11．如图，四边形为正方形，点，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.求与平面所成角的正弦值    . 【答案】 【分析】作，垂足为，根据线面垂直的判定定理证明平面PEF进而证明平面ABFD，然后证明，设，求出所需线段长度，根据定义可得. 【详解】作，垂足为，    因为四边形为正方形，点，分别为，的中点，所以， 又因为，、平面PEF，平面PEF， 所以平面PEF，因为平面PEF，所以， 因为，，，EF、BF平面ABFD，平面ABFD， 所以平面ABFD，所以即为与平面所成角， 因为平面PEF，，所以平面PEF，则. 不妨设，则，从而，又，，故. 于是，. 12．如图，在正方体中，、分别为、的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，利用线面平行的判断，结合三角形中位线性质推理得证. （2）连接，连接，利用几何法求出线面角. 【详解】（1）在正方体中，连接，由为的中点，得为的中点， 又为的中点，则，而平面，平面， 所以平面. （2）连接，连接，由平面，平面， 得，而，平面， 因此平面，是直线与平面所成的角， 在中，，又，则， 所以直线与平面所成角的大小为. 13．如图，在四面体中，，点为线段的中点，且. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求出，结合得到平面，故，由勾股定理逆定理得到，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，得到线面垂直，则为与平面所成的角，求出各边长，利用得到答案. 【详解】（1）点为中点，且， ∴， ∴， 又， ∴，故 ，即， ，平面， ∴平面， ∵平面， ∴. ∵， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， 又，平面， ∴平面； （2）如图，过点作，垂足为，连接， 由（1）知平面，又平面， 故，又，平面， 所以平面. 则为与平面所成的角. ，由勾股定理得， 所以，其中， 则. 14．如图，平面α内有，，α外有一点P，，且，O为垂足，.    (1)求证：“”是“点O为的垂心”的充要条件； (2)若，求与平面α所成的角. 【答案】(1)证明见解析； (2)与平面α所成的角为 【分析】（1）证明充要条件，需要证两步，第一需要证点O为的垂心，第二步需要证点O为的垂心即可； （2）先找到与平面α所成的角，最后在三角形中求出即可. 【详解】（1）由，，所以，又，，平面，平面， 所以平面，平面，所以，又， 即与重合，即为的垂心； 若O为的垂心，，又，，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，即， 所以“”是“点O为的垂心”的充要条件； （2）由，，所以，又，所以为的中点， 所以为与平面α所成的角，又， 在中，所以， 又因为，所以， 所以与平面α所成的角为.    题型一 由线面角求其它 1．已知平面，直线a分别交于点，且，直线a与所成角为，则到的距离是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】画出不同的中间平面，结合线面角的定义可解. 【详解】 如图，当位于中间平面时， 过作于点，由题意可得，线面角，此时到的距离是； 当为中间平面时，如图 易得此时，间距为，所以到的距离是. 故选：D. 2．已知的直角顶点在平面外，与平面所成的角分别为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由题意作出于H，可得，，中勾股定理解得，即为点到平面的距离. 【详解】过C作于H，连结，则，.    在和中，，. 又在中有，即，得. 即C到平面的距离为1. 故选：C. 3．庑殿（图1）建筑是古代传统建筑中的最高型制．这种建筑形式常用于宫殿、坛庙一类皇家建筑，是北京中轴线上主要建筑最常采取的形式．如故宫午门、太和殿、乾清宫等，都是庑殿式建筑．庑殿殿顶的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，且等腰梯形和等腰三角形所在的平面与平面的夹角都相等．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点在底面上的射影为，作，，垂足分别为，，设四个侧面与底面的夹角为，即可得到，根据三角形全等得到方程，整理即可. 【详解】如图所示，设点在底面上的射影为，作，，垂足分别为，． 则为侧面与底面的夹角，为侧面与底面的夹角， 设四个侧面与底面的夹角为，则在和中，， 又为公共边，所以，即，整理得． 因为，，则. 故选：C 4．已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角是，且平面内的直线和斜线在平面内的射影的夹角是，则直线所成的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出几何示意图，利用直线与平面的位置关系找出直线所成的角即可求出其大小. 【详解】设直线交平面于点，在直线上任取一点，过点作平面的垂线，垂足为，连接，则， 再过点作，垂足为，连接，如图所示：      易知平面，直线平面，所以， 又，为，平面，所以平面； 又平面，所以，可得， 设，则， 所以在中，， 因此. 故选：C. 5．如图所示，在矩形中，，E为边上的点，现将沿翻折至，使得点在平面上的射影在上，且直线与平面所成的角为，则线段的长为 . 【答案】 【分析】根据题意，过作于H，连接，结合线面角的定义可得，然后由勾股定理列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】 如图所示，过作于H，连接，由题意，得平面. 因为直线与平面所成的角为，所以. 又因为，所以，， 设，则. 在四边形中，可得， 所以，所以. 故答案为： 6．如图，△ABC的顶点平面，点A，B在平面的同一侧，且，.若AC，BC与平面所成的角分别为，，则△ABC的面积的最小值为 . 【答案】 【分析】根据线面角的定义，利用圆锥的几何性质可得角的取值范围，结合三角形的面积公式，可得答案. 【详解】过作，如下图： 由题意可知，， 易知，即， 由， 由的面积，则. 故答案为：. 7．有一个简易遮阳棚三角形长度分别为5米、 3米、4米. 两点固定在底面，成正南北方向，此时太阳光从正西方向与底面成方向射入. 当遮阳棚与底面所成角为 时，遮阴面积最大，最大面积为 平方米. 【答案】 12 【分析】遮阴影面面积达到最大即是点到的距离最大，根据正弦定理表示出点到的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系,进一步即可求解． 【详解】因为，所以， 如图，过点C作交于D，连接，由题可知， 因此就是遮阳篷ABC与地面所成的角，因为， 所以求遮阴影面面积最大，即是求最大，其中已知，    设，，根据正弦定理， 当时，最大，遮阴影面面积最大，此时， 最大遮阴影面为. 故答案为：，12. 8．如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求与平面所成的角； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）先证明，根据线面垂直判定定理证明平面，结合线面角的概念确定所求角，解三角形求结论； （2）提出猜测，再结合线面平行判定定理证明猜测，由此确定结论. 【详解】（1）如图，在梯形中，连接，因为是的中点， 所以，又因为 ，且， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着翻折成后，平面，因为平面， 则有，又平面， 所以平面， 所以与平面所成的角为， 由已知条件，可知， 所以是正三角形，所以平分，所以， 所以与平面所成的角为. （2）猜测当点为的中点时， 平面， 证明如下： 取的中点，连接， 在中，分别为的中点， 所以且，又，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 所以当点为的中点时，平面，此时. 9．在四面体ABCD中，，，，E为AC的中点． (1)求证：平面BDE； (2)设，，点F在BD上，当的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)通过线面垂直的判定定理,证明与两条相交直线垂直,证明线面垂直. (2)通过面积最小时的特殊情况,用余弦定理解出各边长,作出线面角,计算线面角的正弦值. 【详解】（1）因为，E为AC的中点，所以． 在和中，因为，， 所以，所以，故． 又，平面BDE，所以平面BDE． （2） 如图，连接EF，由（1）知，，所以． 当时，EF最小，即的面积最小． 又因为，，所以平面ACF． 在平面ACF内作于点G，因为，， 所以平面ABD，所以为CF与平面ABD所成的角． 因为，，又，所以． 因为，所以． 由已知可得，，则， 所以，所以， 所以，故， 即CF与平面ABD所成角的正弦值为． 1．光导纤维作为光的传输工具，在现代通讯中有着及其重要的作用，光纤由内部纤芯和外部包层组成（如图1），在一定的条件下，光在纤芯中传输，传输原理是“光的全反射”，即“入射角等于反射角”（如图2），在图3中近似的展示了一束光线在一段较长的圆柱形光纤中的传输路径，其中圆面是与光纤轴垂直的纤芯截面，若与圆所在平面成角的大小为，则光线路径在垂直于光纤轴的截面上的投影可能（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】过作圆于，连接，设，圆的半径为，，由已知可得，利用余弦定理可求得，从而可得结论. 【详解】过作圆于，连接， 所以为直线与圆所在平面所成的角， 与圆所在平面成角的大小为，则， 又圆，所以，，所以， 设，因为为点处的法线，则由反射定律可知， 由，所以， 所以，解得， 设，圆的半径为， 所以，，， 在中，由余弦定理可得， 解得，所以为等边三角形，所以， 所以光线路径在垂直于光纤轴的截面上的投影可能 故选：D. 2．已知正方体的棱长为2，P为底面ABCD内一动点，直线与平面ABCD所成角为，为正方形的中心，点为线段上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需要先找到点位置，再将立体问题平面化，根据三点共线距离最短求解. 【详解】    因为直线与平面ABCD所成角为， 又因为面 所以为直线与平面所形成的角，即， 又，所以， 所以点的轨迹为以为圆心，半径的圆落在四边形内的部分，即四分之一圆弧. 分析可知，点为和 圆弧的交点时，最小. 此时可将面沿着翻折到面所在平面. 根据长度关系，翻折后的图形如图所示，其中分别为正方体上下底面的中心，    当三点共线时，最小.因为 ，所以最小值为 故选：B. 3．如图，在矩形中，，，，分别为，的中点，将沿直线翻折成，与，不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可发现始终垂直平面，则只需过点作出平行的直线，找到该线与平面的交点，连接该点与即可得到与平面所成角，而后通过计算研究该角的正切值即可得. 【详解】连接、，设其交点为，连接，由矩形中，，， 故四边形为正方形，且，， 又由点关于折叠而来，故，且， 又、平面，且， 故平面，过点作于点， 由、，故，又平面， 故平面，连接，则为与平面所成角， 由平面，故， 故与平面所成角的正切值即为， 由，，， 故与全等，故， ， 过点作于点，则有， 设，则， 当点在线段上（可在点，不可在点）时，则， 有， 则， 则， 易得在上时随的增大而增大， 故， 当点在线段上（不在两端）时，， 则， 则， 则， 易得在上时随的增大而增大， 此时， 综上所述，， 即在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为. 故答案为：. 4．在棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.给出下列四个结论： ①平面； ②点轨迹的长度为； ③存在点，使得直线平面； ④平面截正方体所得的截面面积为. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】根据都是棱的中点，可以做出过的截面，再根据正方体的棱长和的长度，可确定点的轨迹，从而可判断各个结论的正确性. 【详解】如图： 因为，分别为，中点，所以， 又，所以，又平面，平面， 所以平面，故①成立； 连接，交于点，易证平面，，， 所以，故点轨迹是平面内以为圆心，以为半径的圆， 所以点轨迹长度为：，故②成立； 由②可知，不可能与平面垂直，故③不成立； 做出截面，可知截面是正六边形，且边长为，其面积为：，故④成立. 故答案为：①②④ 5．在长方体中，，，点为的中点，点为四边形内一点，且，则直线与平面所成角的正切值的最大值为 . 【答案】 【分析】分析题目条件，点在线段的中垂面与底面的交线上，取中点，中点，中点，证明得平面，从而点在线段上；再由平面，为直线与平面所成的角，当取得最小时，利用相似可得此时取得最大值为. 【详解】 如图，连接，取中点，中点，中点， 因为，则点在线段的中垂面与底面的交线上. 可求得，所以，所以. 又知，所以. 又，直线和直线都在平面内， 所以平面，从而点在线段上. 易得，平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 设为，则. 设的最小值为点到的距离为，取得最小时， 易得与相似，可知，所以，又， 所以的最大值为. 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3.3直线与平面所成的角 题型一 线面角的概念及其辨析 1．已知空间中两条直线，无公共点，则“直线，与平面所成的角相等”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设P是直线外一定点，过点P且与成30°角的异面直线(　　) A．有无数条 B．有两条 C．至多有两条 D．有一条 3．已知是锐角，则“直线与平面所成角的大小为”是“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”的（   ）条件. A．必要不充分 B．充分不必要 C．充分必要 D．既不充分也不必要 4．若直线与平面所成的角为，直线与平面上的直线所成的角为，则总有（    ） A． B． C． D． 5．平面的斜线与平面所成的角是，则与平面内所有不过斜足的直线所成的角的范围是 A． B． C． D． 题型二 求线面角 1．直线l与平面相交，A，B在l上，，在内的射影长为，与夹角为（    ） A． B． C． D． 2．从点出发的三条射线，，，其中，，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 3．在长方体中，与平面所成的角为与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 4．直线是平面的一条斜线，与平面内的直线所成角的取值范围是 . 5．已知点到平面的距离是2，动点、在平面内，且，则的最小值为 . 6．在正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 . 7．已知四面体，若，，则直线与平面所成角为 ． 8．在矩形中，，⊥平面，，则与平面所成的角为 9．在正方体中，是上靠近的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 10．已知长为3的线段AB的两个端点到平面的距离分别为1和2，则直线AB与平面的所成角大小为 . 11．如图，四边形为正方形，点，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.求与平面所成角的正弦值    . 12．如图，在正方体中，、分别为、的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小. 13．如图，在四面体中，，点为线段的中点，且. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 14．如图，平面α内有，，α外有一点P，，且，O为垂足，.    (1)求证：“”是“点O为的垂心”的充要条件； (2)若，求与平面α所成的角.    题型一 由线面角求其它 1．已知平面，直线a分别交于点，且，直线a与所成角为，则到的距离是（   ） A． B． C． D．或 2．已知的直角顶点在平面外，与平面所成的角分别为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 3．庑殿（图1）建筑是古代传统建筑中的最高型制．这种建筑形式常用于宫殿、坛庙一类皇家建筑，是北京中轴线上主要建筑最常采取的形式．如故宫午门、太和殿、乾清宫等，都是庑殿式建筑．庑殿殿顶的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，且等腰梯形和等腰三角形所在的平面与平面的夹角都相等．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角是，且平面内的直线和斜线在平面内的射影的夹角是，则直线所成的角是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，在矩形中，，E为边上的点，现将沿翻折至，使得点在平面上的射影在上，且直线与平面所成的角为，则线段的长为 . 6．如图，△ABC的顶点平面，点A，B在平面的同一侧，且，.若AC，BC与平面所成的角分别为，，则△ABC的面积的最小值为 . 7． 有一个简易遮阳棚三角形长度分别为5米、 3米、4米. 两点固定在底面，成正南北方向，此时太阳光从正西方向与底面成方向射入. 当遮阳棚与底面所成角为 时，遮阴面积最大，最大面积为 平方米. 8．如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求与平面所成的角； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 9．在四面体ABCD中，，，，E为AC的中点． (1)求证：平面BDE； (2)设，，点F在BD上，当的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值． 1．光导纤维作为光的传输工具，在现代通讯中有着及其重要的作用，光纤由内部纤芯和外部包层组成（如图1），在一定的条件下，光在纤芯中传输，传输原理是“光的全反射”，即“入射角等于反射角”（如图2），在图3中近似的展示了一束光线在一段较长的圆柱形光纤中的传输路径，其中圆面是与光纤轴垂直的纤芯截面，若与圆所在平面成角的大小为，则光线路径在垂直于光纤轴的截面上的投影可能（   ） A．B． C． D． 2．已知正方体的棱长为2，P为底面ABCD内一动点，直线与平面ABCD所成角为，为正方形的中心，点为线段上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，，分别为，的中点，将沿直线翻折成，与，不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为 . 4．在棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.给出下列四个结论： ①平面； ②点轨迹的长度为； ③存在点，使得直线平面； ④平面截正方体所得的截面面积为. 其中所有正确结论的序号是 . 5．在长方体中，，，点为的中点，点为四边形内一点，且，则直线与平面所成角的正切值的最大值为 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$