专题2.2 函数的表示法（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册

专题2.2 函数的表示法 教学目标 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用． 2，通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 教学重难点 1.重点 (1)掌握各种求函数解析式的方法； (2)分段函数的实际应用. 难点： (1)求函数的解析式; (2)分段函数的图象及实际应用. 知识点01 函数的三种表示方法（重难） 1.函数的三种表示方法 表示法 含义 定义域 值域 示例 解析法 用 表示两个变量之间函数关系的方法 使解析式有意义的自变量取值的集合 因变量的取值范围 定义域：， 值域： 列表法 ________来表示两个变量之间函数关系的方法 表格中自变量取值的集合 表格中相应取值的集合 定义域：， 值域： 图象法 用_____表示两个变量之间函数关系的方法 图象在轴上的投影对应的取值的集合 图象在轴上的投影对应的取值的集合 定义域： 值域： 2．三种表示法的优缺点 表示法 优点 缺点 解析法 (1)对应关系简明、全面; (2)可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值 不够直观,而且并不是所有的函数都能用解析式来表示 列表法 不需要计算就可以看出与自变量的值相对应的函数值 只能表示出自变量取较少的有限值时的对应关系 图象法 (1)能直观表示随着自变量的变化相应函数值的变化趋势; (2)便于研究函数的某些性质 只能近似地求出自变量所对应的函数值,有时误差较大 【即学即练】 1.（24-25湖南长沙雅礼中学高一上周测）写出下列函数的定义域、值域： (1)； (2)的图象如图；    (3)与x的对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 1 8 27 64 125 316 343 512 知识点02 函数的图象（重点） 一般地,将函数中的自变量和对应的函数值分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标,则满足条件的点组成的集合称为函数的图象,即 .这就是说,如果是函数的图象,则图象上任意一点的坐标都满足函数关系;反之,满足函数关系的点都在函数图象上. 【方法探究】 如何判断一个图形是不是一个函数的图象? 根据函数的概念,在定义域内,对任意一个的值,都有唯一的值与之对应,因此,如果图形与任一条垂直于轴的直线至多有一个交点，则此图形是一个函数的图象;如果图形与某条垂直于轴的直线有两个或两个以上的交点,则此图形不是函数的图象:如图(1)是函数的图象，图(2)不是函数的图象. 2.利用描点法作函数的图象 描点法作函数图象的三个步骤(注意函数的定义域) 【即学即练】 1.（多选）（24-25高一上·广西柳州·期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ） A．测试结束时，该手机剩余电量为 B．该手机在时电量为0 C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D．该手机在进行了充电操作 2.（24-25高一上·全国·课前预习）作出下列函数的图象： (1)（）； (2)，． 知识点03 几类常见函数(拓展) 1. 分段函数 (1)定义:如果一个函数在其定义域内对于自变量的不同取值范围,有不同的 ,则称其为分段函数.如便是分段函数 (2)定义域、值域:分段函数的定义域是各段函数定义域的 ;分段函数的值域是各段函数值域的 . (3)图象:分段函数有几段,它的图象就由几部分组成.在同一直角坐标系中,根据每段的定义范围和表达式依次画出图象(要注意每段图象的端点是空心还是实心),组合到一起就得到了整个分段函数的图象.例如的图象，如图所示： 2.对勾函数 解析式 图象 定义域 渐近线 值域 3.飘带函数 解析式 图象 定义域 渐近线 3. 取整函数 (1)定义:取整函数为,其中表示不超过的最大整数.又称高斯取整函数或高斯函数 (2)定义域、值域:定义域为,值域为. (3)图象:取整函数是一个分段函数,解析式为 故其图象如图所示 4.双绝对值函数 (1)定义:若函数的解析式中有两个关于自变量x的绝对值式子，则称这类函数为双绝对值函数。 (2)图象:双绝对值函数一般先去绝对值，转化为分段函数，再研究其图象，其图象一般为若干条线段、射线或曲线所围成的图形. 【即学即练】 1.（24-25高一上·北京·期中）函数的图象不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2025高三·全国·专题练习）设，用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[2.1]＝2．函数被称为“取整函数”，也被称为“高斯函数”．已知函数，则的值域为 ． 3．（2024·四川成都联考）已知函数． (1)画出的图象； (2)求不等式的解集． 知识点04 函数图象的变换（拓展） 1.函数图象的平移变换 ① ② ③ ④ 【规律总结】 (1)上述规律可简记为：左加右减，上加下减. (2)左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2.函数图象的对称变换 (1)的图象的图象； (2)的图象的图象； (3)的图象的图象； 3.函数图象的翻折变换（绝对值变换） (1)的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） (2)的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 【规律总结】 上述规律可简记为：自变量加绝对值，右往左翻；函数值加绝对值，下往上翻. 【即学即用】 1.求作y＝|x2＋3x－4|的图象． 2.（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知，请作出，，的图象，并说说你是怎么作出的. 题型01 利用表格表示函数 【典例】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（    ） A． B． C． D． 利用表格表示函数 （1）表格型求函数值，可利用表格直接求出函数值； （2）利用表格数据确定函数解析式时，可先用待定系数法设出函数，再将表格中的数据代入确定待定系数. 【变式1-1】（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知函数分别由下表给出：则的值是（    ） 1 2 3 1 3 1 3 2 1 A．1 B．2 C．3 D．1和2 【变式1-2】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（    ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【变式1-3】根据列表中的数据选择合适的模型，则函数 ． 题型02 实际问题中的图象题 【典例】水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间满足的函数图象是（    ） A． B． C． D． 实际问题中的图象题求解策略 (1)解答这类问题，要先明确考点，再聚焦图象，关注标题、坐标轴、图例等关键信息，定位与选项相关的图象细节. (2)对比选项与图象信息，排除明显矛盾项.结合所学知识分析图象所反映的规律或关系，验证剩余选项是否符合. (3)要注意数据单位、趋势变化等细节，避免因误读图象细节出错，最终锁定符合图象逻辑的选项. 【变式2-1】一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）（24-25高一上·广西柳州·期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ） A．测试结束时，该手机剩余电量为 B．该手机在时电量为0 C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D．该手机在进行了充电操作 题型03 函数图象的识别 【典例1】（24-25高一上·海南海口·阶段练习）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 辨识函数图象的五种策略 【变式3-1】（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·河南省直辖县级单位·开学考试）已知函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型04 画出具体函数的图象 【典例1】给定函数，，． (1)在同一坐标系中画出，的图象； (2)，用表示，中的最大者，记为．例如，当时，，请分别用图象法和解析法表示函数． 【典例2】（23-24高一上·广东中山·阶段练习）已知. (1)画出的图象； (2)根据图象写出的值域. 作函数图象的三种常用方法 【变式4-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）画出函数的大致图象． 【变式4-2】（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知函数. (1)求； (2)画出函数的图象； (3)若，求的值. 题型05 由函数图象确定解析式 【典例】（23-24高一上·福建厦门·期中）如图所示，其对应的函数解析式可能是（    ）． A． B． C． D． 由函数图象确定解析式的策略 (1)确定函数类型（如一次、二次、反比例函数等等）； (2)找出图象上关键点（顶点、交点、特殊点）； (3)设解析式通式，代入点坐标列方程（组）； (4)求解方程得系数，确定解析式. 【变式5-1】（24-25高一上·江西抚州·阶段练习）在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·江苏常州·期中）在数学中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 题型06分段函数求值问题 【典例1】（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·湖南永州·期末）设，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 分段函数求值的方法 对于分段函数求值问题，先确定所求函数值变量属于哪一个区间，然后代入该段区间所对应的解析式求值，对于复合函数的求值问题，则应由里到外依次求值. 【变式6-1】（24-25高二上·安徽·期末）已知函数，则=（    ） A． B．2 C．5 D．9 【变式6-2】（23-24高一上·北京·期末）设函数，则 ， 若，则 . 【变式6-3】（2024·江西上饶·一模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 题型07分段函数的值域或最值问题 【典例】（23-24高一上·河南南阳·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 分段函数的值域或最值问题 对于分段函数的值域或最值问题，还是应遵循“各个击破”的原则，即求出每一段解析式对应的函数取值范围或最值，再综合起来考虑其在整个定义域内的取值范围（即得值域）或最值. 【变式7-1】（24-25高一上·四川内江·期中）函数，则该函数值域为 ． 【变式7-2】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则函数的值域为 ． 题型08解分段不等式 【典例】（2024·北京东城·二模）设函数，则 ，不等式的解集是 . 解分段不等式的策略 对于与分段函数有关的不等式问题，应结合各段解析式列出不同的不等式组，再取各不等式组解集的并集. 【变式8-1】（23-24高一上·安徽·期中）设函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高三上·河北廊坊·期中）已知函数则满足的的取值范围是 ． 题型09 双绝对值函数的图象及应用（拓展）　 【典例】（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数. (1)求的最小值，并指出此时的取值范围； (2)证明：等价于. 双绝对值函数问题求解策略 含双绝对值的函数，其实质是分段函数，画它们的图象时，一般先根据绝对值的意义将定义域分成若干个小区间，将函数写成分段函数的形式，再利用描点法分段画图，此法叫作零点分段讨论法.画出图象后，便可结合图象直观地解决问题. 【变式9-1】（2024高三下·全国·专题练习）已知函数． (1)画出函数的图象； (2)求关于的不等式的解集． 【变式9-2】（23-24高三上·四川雅安·期中）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若的图象与轴围成的三角形面积为，求. 题型10 待定系数法求函数的解析式 【典例】（1）已知一次函数满足，，求的解析式； （2）设二次函数，集合，且，求的解析式. 待定系数法求函数的解析式 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，即先设出函数的解析式，再利用已知条件列出关于待定系数的方程（组），解之确定系数，即可得函数的解析式. 【变式10-1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知一次函数满足，，则的解析式为 . 【变式10-2】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 题型11 换元法求函数的解析式 【典例】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式. 换元法求函数的解析式 (1)已知函数f(g(x))的解析式，可用换元法求解，即设t=g(x)，再反解出x（用t）表示，从而求得f(t)的解析式,最后将t更换为x即得f(x)的解析式. (2)无论换元还是配凑都要注意新元的范围. 【变式11-1】（24-25高一上·广西玉林·期中）若函数满足，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高一上·重庆·期中）函数满足，则（    ） A． B． C． D． 题型12 配凑法求函数的解析式 【典例1】（24-25高一上·浙江·期中）已知，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·天津东丽·期中）已知则的解析式为 . 配凑法求函数的解析式 已知函数f(g(x))的解析式，除了换元法求解外，也可利用整体思想配凑求解， 但无论换元还是配凑都要注意新元的范围. 【变式12-1】已知f＝x2＋，则f(x)的解析式为　 　； 【变式12-2】已知f＝x4＋，则f(x)的解析式为　　　　　　　　. 题型13 方程组法求函数解析式 【典例1】已知函数f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)的解析式为　　　　　　　　. 【典例2】已知，求的解析式. 方程组法求函数的解析式 在已知式子中,若含有两个不同变量,这两个变量又有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,联立这两个式子,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式, 这种方法叫作解方程组法或消元法. 【变式12-1】（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知函数满足，则 . 【变式12-2】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求； （2）已知函数对于任意的x都有，求． 题型13 赋值法求函数的解析式 【典例】已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为 . 赋值法求函数的解析式 当函数满足的方程以抽象方程的形式给出，求其解析式时一般考虑赋值法，即依题目的特征,能够由特殊到一般寻找普遍规律,可将变量取特殊值,从而找出一般规律,求出解析式. 【变式13-1】（24-25高二下·广东深圳·期中）定义在R上的函数满足对于任意实数均有，且，则 . 【变式13-2】设函数对任意都满足，试求出． 题型14 分段函数的实际应用　 【典例14】（24-25高一下·湖南·期末）Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. (1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. . 分段函数的实际应用题求解策略 由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，再综合在一起即可．而研究其性质（如求最值）时，也需分段研究，再从总体上得到所需的结论. 【变式14-1】（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【变式14-2】（24-25高一下·湖北·阶段练习）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 练基础 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 3．（24-25高一上·浙江衢州·期末）函数的部分图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   4．（2026高三·全国·专题练习）若函数，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）如图中的图象所表示的函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）若函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.(多选)（24-25高一上·云南昭通·期中）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是.如图所示表示甲同学从家山发到乙同学家经过的路程与时间的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了 B．甲从家到公园的时间是 C．当时，与的关系式为 D．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢 8．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 9.（24-25高一上·安徽·阶段练习）设函数，若，则实数的值等于 C．2 D． 10.（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则 ， ． 11.（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）已知是一次函数，且满足，求； （2）已知，求； （3）已知函数，求； 12．（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知函数. (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集.（其中） 练提升 13．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）已知函数当时，函数的最大值、最小值分别为，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 14．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 . 16．（山东省济南市2024-2025学年高一上学期期末数学试题）已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完． (1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）； (2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 练创新 17．(多选)（24-25高一上·湖南·期中）设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”．下列函数中，为“循环函数”的有（    ） A． B． C． D． 18．（多选）（2024·云南·模拟预测）已知定义在上的函数，对任意的满足，下列说法正确的是（    ） A．若为一次函数，则 B．若为一次函数，则 C．若不是一次函数且，则 D．若不是一次函数且，则 19．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且有解． (1)求a的取值范围； (2)当a取最大值时，作出的图象，并求的图象与x轴围成的封闭图形的面积． 20．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为，，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)讨论函数的最小值. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 函数的表示法 教学目标 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用． 2，通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 教学重难点 1.重点 (1)掌握各种求函数解析式的方法； (2)分段函数的实际应用. 难点： (1)求函数的解析式; (2)分段函数的图象及实际应用. 知识点01 函数的三种表示方法（重难） 1.函数的三种表示方法 表示法 含义 定义域 值域 示例 解析法 用含自变量的解析式表示两个变量之间函数关系的方法 使解析式有意义的自变量取值的集合 因变量的取值范围 定义域：， 值域： 列表法 列出表格来表示两个变量之间函数关系的方法 表格中自变量取值的集合 表格中相应取值的集合 定义域：， 值域： 图象法 用图象表示两个变量之间函数关系的方法 图象在轴上的投影对应的取值的集合 图象在轴上的投影对应的取值的集合 定义域： 值域： 2．三种表示法的优缺点 表示法 优点 缺点 解析法 (1)对应关系简明、全面; (2)可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值 不够直观,而且并不是所有的函数都能用解析式来表示 列表法 不需要计算就可以看出与自变量的值相对应的函数值 只能表示出自变量取较少的有限值时的对应关系 图象法 (1)能直观表示随着自变量的变化相应函数值的变化趋势; (2)便于研究函数的某些性质 只能近似地求出自变量所对应的函数值,有时误差较大 【即学即练】 1.（24-25湖南长沙雅礼中学高一上周测）写出下列函数的定义域、值域： (1)； (2)的图象如图；    (3)与x的对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 1 8 27 64 125 316 343 512 【分析】（1）由一次函数的性质，即可得到答案； （2）由函数的图象，结合图象，即可求解； （3）根据表格中函数的表示方法，即可求解. 【解析】（1）由一次函数的性质，可得函数的定义域为，值域为. （2）由函数图象，可得函数的定义域为，值域为. （3）根据函数对应的表格中的数据，可得的定义域为，值域为. 知识点02 函数的图象（重点） 一般地,将函数中的自变量和对应的函数值分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标,则满足条件的点组成的集合称为函数的图象,即.这就是说,如果是函数的图象,则图象上任意一点的坐标都满足函数关系;反之,满足函数关系的点都在函数图象上. 【方法探究】 如何判断一个图形是不是一个函数的图象? 根据函数的概念,在定义域内,对任意一个的值,都有唯一的值与之对应,因此,如果图形与任一条垂直于轴的直线至多有一个交点，则此图形是一个函数的图象;如果图形与某条垂直于轴的直线有两个或两个以上的交点,则此图形不是函数的图象:如图(1)是函数的图象，图(2)不是函数的图象. 2.利用描点法作函数的图象 描点法作函数图象的三个步骤(注意函数的定义域) 【即学即练】 1.（多选）（24-25高一上·广西柳州·期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ） A．测试结束时，该手机剩余电量为 B．该手机在时电量为0 C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D．该手机在进行了充电操作 【答案】ACD 【分析】根据函数图象的意义逐一分析每个选项即可. 【解析】A选项，充电结束时，由图象可知，电量是，A选项正确； B选项，由图象，5h时刻，电量剩余为，B选项错误； C选项，由图象，内电量下降的速度平均为， 内下降的速度平均为，前者更快，C选项正确； D选项，由于期间电量上涨，可知进行了充电操作，D选项正确. 故选：ACD 2.（24-25高一上·全国·课前预习）作出下列函数的图象： (1)（）； (2)，． 【分析】（1）（2）利用给定条件描点作图即可. 【解析】（1） 因为，所以图象为直线上的孤立点，其图象如图所示． （2） ， 当或时，； 当时，，其图象如图所示． 知识点03 几类常见函数(拓展) 1. 分段函数 (1)定义:如果一个函数在其定义域内对于自变量的不同取值范围,有不同的对应关系,则称其为分段函数.如便是分段函数 (2)定义域、值域:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集;分段函数的值域是各段函数值域的并集. (3)图象:分段函数有几段,它的图象就由几部分组成.在同一直角坐标系中,根据每段的定义范围和表达式依次画出图象(要注意每段图象的端点是空心还是实心),组合到一起就得到了整个分段函数的图象.例如的图象，如图所示： 2.对勾函数 解析式 图象 定义域 渐近线 值域 3.飘带函数 解析式 图象 定义域 渐近线 3. 取整函数 (1)定义:取整函数为,其中表示不超过的最大整数.又称高斯取整函数或高斯函数 (2)定义域、值域:定义域为,值域为. (3)图象:取整函数是一个分段函数,解析式为 故其图象如图所示 4.双绝对值函数 (1)定义:若函数的解析式中有两个关于自变量x的绝对值式子，则称这类函数为双绝对值函数。 (2)图象:双绝对值函数一般先去绝对值，转化为分段函数，再研究其图象，其图象一般为若干条线段、射线或曲线所围成的图形. 【即学即练】 1.（24-25高一上·北京·期中）函数的图象不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】对进行分类讨论，由此确定正确答案. 【解析】当时，，对应图象是B选项. 当时，对应图象是D选项. 当时，在上单调递减， 对应图象是C选项. 所以不可能的是A选项.故选：A 2．（2025高三·全国·专题练习）设，用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[2.1]＝2．函数被称为“取整函数”，也被称为“高斯函数”．已知函数，则的值域为 ． 【答案】 【分析】解法一：可结合新定义分x是整数和x不是整数两种情况进行讨论即可得答案； 解答二：由新定义可知，则函数的值域可直接求得. 【解析】解法一：当x是整数时，，当x不是整数时，，所以的值域为． 解法二：因为，所以，所以函数的值域是． 3．（2024·四川成都联考）已知函数． (1)画出的图象； (2)求不等式的解集． 【分析】（1）对分类讨论，去掉绝对值号即可求解； （2）由函数的图象向左平移2个单位长度后得到函数的图象，从图象即可得出不等式的解集. 【解析】（1）由题得，． 函数的图象为： （2）函数的图象向左平移2个单位长度后得到函数的图象，的图象与的图象如图所示． 当时，由解得，．由图象可知不等式的解集为． 知识点04 函数图象的变换（拓展） 1.函数图象的平移变换 ① ② ③ ④ 【规律总结】 (1)上述规律可简记为：左加右减，上加下减. (2)左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2.函数图象的对称变换 (1)的图象的图象； (2)的图象的图象； (3)的图象的图象； 3.函数图象的翻折变换（绝对值变换） (1)的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） (2)的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 【规律总结】 上述规律可简记为：自变量加绝对值，右往左翻；函数值加绝对值，下往上翻. 【即学即用】 1.求作y＝|x2＋3x－4|的图象． 【解析】　作出二次函数y＝x2＋3x－4的图象如图(1)，将x轴下方的部分翻折到x轴上方即得所求函数图象如图(2)． (1)　　　　　　　　(2) 2.（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知，请作出，，的图象，并说说你是怎么作出的. 【分析】利用函数利用变换法作出图象，并叙述作图过程. 【解析】当时，，此时的图象为函数图象在轴及右侧图象， 当时，，此时的图象为函数在轴右侧图象关于轴对称而得， 函数的图象，如图， 当时，，此时的图象为函数图象在轴及上方图象， 当时，，此时的图象为函数在轴下方图象关于对称而得， 函数的图象，如图： 函数的图象是将函数图象向右平移1个单位而得，如图. 题型01 利用表格表示函数 【典例】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格先求，再求的值. 【解析】由表格可得，， 所以. 故选：C. 利用表格表示函数 （1）表格型求函数值，可利用表格直接求出函数值； （2）利用表格数据确定函数解析式时，可先用待定系数法设出函数，再将表格中的数据代入确定待定系数. 【变式1-1】（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知函数分别由下表给出：则的值是（    ） 1 2 3 1 3 1 3 2 1 A．1 B．2 C．3 D．1和2 【答案】C 【分析】根据表中自变量与函数值的对应关系，先求得，再求即得. 【解析】由表可知：，则. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（    ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合表格中的数据，代入即可得到正确答案. 【解析】由表格得，，，， 则，， ，， 因此，只有C选项正确. 故选：C. 【变式1-3】根据列表中的数据选择合适的模型，则函数 ． 【答案】 【分析】根据定义域和值域直接构造函数即可. 【解析】的定义域包含数集，值域包含数集， 对于每一组数据，都有， 可令，代入均满足题意． 题型02 实际问题中的图象题 【典例】水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间满足的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据容器的特征，结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化得快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断．结合函数图象分析判别可得结论. 【解析】此容器从下往上口径先由大变小，再由小变大，故等速注入液体其高度增加变化率先由慢变快，再由快变慢， A、B、C选项中：函数图象中高度变化率分别是先快后慢、先慢后快、匀速的增加，与题干不符，故排除； D选项：当注水开始时，函数图象中高度变化率是先由慢变快，再由快变慢，符合题意； 故选：D. 实际问题中的图象题求解策略 (1)解答这类问题，要先明确考点，再聚焦图象，关注标题、坐标轴、图例等关键信息，定位与选项相关的图象细节. (2)对比选项与图象信息，排除明显矛盾项.结合所学知识分析图象所反映的规律或关系，验证剩余选项是否符合. (3)要注意数据单位、趋势变化等细节，避免因误读图象细节出错，最终锁定符合图象逻辑的选项. 【变式2-1】一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 【变式2-2】（多选）（24-25高一上·广西柳州·期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ） A．测试结束时，该手机剩余电量为 B．该手机在时电量为0 C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D．该手机在进行了充电操作 【答案】ACD 【分析】根据函数图象的意义逐一分析每个选项即可. 【解析】A选项，充电结束时，由图象可知，电量是，A选项正确； B选项，由图象，5h时刻，电量剩余为，B选项错误； C选项，由图象，内电量下降的速度平均为， 内下降的速度平均为，前者更快，C选项正确； D选项，由于期间电量上涨，可知进行了充电操作，D选项正确. 故选：ACD 题型03 函数图象的识别 【典例1】（24-25高一上·海南海口·阶段练习）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图象的识别、函数图象的应用 【分析】根据函数解析式应用定义域排除C,应用零点排除D,根据函数值为非负排除A. 【解析】由于，得，所以的定义域是，由此排除C选项； 与轴交点为，排除D选项； 函数值为非负数，所以排除A；所以正确的选项为B. 故选：B. 【典例2】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、函数图象的识别 【分析】将函数转化为分段函数，再选择图象即可. 【解析】，结合图形可知C适合题意. 故选：C. 辨识函数图象的五种策略 【变式3-1】（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图象的识别、图象法表示函数 【分析】将函数写成分段函数，再根据特殊值判断即可. 【解析】因为，且， ，故符合题意的只有A. 故选：A 【变式3-2】（24-25高一上·河南省直辖县级单位·开学考试）已知函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据直线过定点排除选项，再根据直线斜率确定的范围，进而判断选项即可. 【解析】由于恒过点，故排除A、D选项； 又观察B，C选项中的y随x的增大而增大，即， 所以经过二、四象限，故C不符合要求，B选项符合要求. 故选：B. 题型04 画出具体函数的图象 【典例1】给定函数，，． (1)在同一坐标系中画出，的图象； (2)，用表示，中的最大者，记为．例如，当时，，请分别用图象法和解析法表示函数． 【分析】（1）根据函数，的解析式即可作出图象. （2）由（1）中图象，结合的定义作出图象并求出函数解析式. 【解析】（1）画出函数，的图象，如图： （2）结合（1）中图象及的定义，用图象法表示，如图： 由，得或， 当或时，，当时，， 所以函数的解析式为. 【典例2】（23-24高一上·广东中山·阶段练习）已知. (1)画出的图象； (2)根据图象写出的值域. 【分析】（1）分类讨论去绝对值可得，根据分段函数结合二次函数作出图象；（2）利用配方法结合图象运算求解. 【解析】（1）∵，则的图象如图所示： （2），当且仅当，即时等号成立 结合图象可得的值域为 作函数图象的三种常用方法 【变式4-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）画出函数的大致图象． 【分析】根据绝对值性质去绝对值，再根据二次函数图象画出图象即可. 【解析】由题意知， 结合二次函数性质，函数图象如下： 【变式4-2】（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知函数. (1)求； (2)画出函数的图象； (3)若，求的值. 【分析】（1）代入求解，先求出，从而得到； （2）描点，连线，画出函数图象； （3）分和两种情况，得到方程，求出答案. 【解析】（1）∵，∴， 又∵，∴， （2）当时，函数图象为射线，其中， 当时，，图象为抛物线的一部分，其中， 图象如图所示： （3）当时，有，解得，符合； 当时，有，解得或， 但，故舍去，所以的值为3， 综上所述：的值为或3． 题型05 由函数图象确定解析式 【典例】（23-24高一上·福建厦门·期中）如图所示，其对应的函数解析式可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数图象选择解析式、具体函数的定义域、函数图象的识别 【分析】根据给定的函数图象，由函数定义域及函数值的情况判断作答. 【解析】由图象知，函数定义域为，而函数定义域为，A不是； 函数的定义域为R，D不是； 由图象知，在的邻近区域内，函数值为正，而当时，，，C不是，B可能是. 故选：B 由函数图象确定解析式的策略 (1)确定函数类型（如一次、二次、反比例函数等等）； (2)找出图象上关键点（顶点、交点、特殊点）； (3)设解析式通式，代入点坐标列方程（组）； (4)求解方程得系数，确定解析式. 【变式5-1】（24-25高一上·江西抚州·阶段练习）在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【解析】因为函数的定义域为， 函数的定义域为， 函数与的定义域均为， 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 【变式5-2】（23-24高一上·江苏常州·期中）在数学中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数定义域排除B，取特殊值排除C，根据函数的奇偶性排除D，得到答案. 【解析】函数的定义域为R，不符合函数图象，排除B； 当时，，不符合函数图象，排除C； ，故函数为偶函数，不符合函数图象，排除D. 故选：A. 题型06分段函数求值问题 【典例1】（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的性质代入求解即可. 【解析】因为，所以， 则，故B正确. 故选：B 【典例2】（24-25高一上·湖南永州·期末）设，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】需要分情况讨论的取值范围，当时，代入求解；当时，代入求解. 【解析】当，即时：，解得； 当，即时：， 设（），则， ，即，解得. 综上所得，或. 故选：A. 分段函数求值的方法 对于分段函数求值问题，先确定所求函数值变量属于哪一个区间，然后代入该段区间所对应的解析式求值，对于复合函数的求值问题，则应由里到外依次求值. 【变式6-1】（24-25高二上·安徽·期末）已知函数，则=（    ） A． B．2 C．5 D．9 【答案】B 【分析】根据题中分段函数解析式运算求解即可. 【解析】因为， 所以. 故选：B. 【变式6-2】（23-24高一上·北京·期末）设函数，则 ， 若，则 . 【答案】 或 【分析】依次判断代入计算即得函数值；分段解方程得值. 【解析】依题意，，， 所以； 当时，，即，解得，则， 当时，，解得，则， 所以或. 故答案为：；或 【变式6-3】（2024·江西上饶·一模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况解方程即可求解. 【解析】由题意可知， 当时，，所以由得； 当时，，所以由得，无解. 综上，.故选：C. 题型07分段函数的值域或最值问题 【典例】（23-24高一上·河南南阳·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一，根据题意，分别求出当时与当时的最值，即可得到分段函数的值域；法二，画出的草图，数形结合可求出值域； 【解析】法一：因为且， 所以当时，，当时，； 当时，， 所以函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为. 法二：画出的草图，如图所示，由图象可知函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.    故选：D 分段函数的值域或最值问题 对于分段函数的值域或最值问题，还是应遵循“各个击破”的原则，即求出每一段解析式对应的函数取值范围或最值，再综合起来考虑其在整个定义域内的取值范围（即得值域）或最值. 【变式7-1】（24-25高一上·四川内江·期中）函数，则该函数值域为 ． 【答案】 【分析】分段求值域，再取并集即可求解. 【解析】当时，二次函数对称轴是，且开口向上， 此时在上单调递增； 当时，，即 所以得值域为. 【变式7-2】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】函数图象的应用、分段函数的值域或最值、函数新定义 【分析】令找到关键点坐标，作出函数大致图象，由函数图象可以得到函数值域. 【解析】令，解得， 函数大致图象如下： 由图可知，函数， 故答案为：. 题型08解分段不等式 【典例】（2024·北京东城·二模）设函数，则 ，不等式的解集是 . 【答案】 1 【分析】根据题中分段函数解析式直接代入即可求；分、和三种情况，结合题中函数解析式分析求解. 【解析】由题意可知：； 因为， 当，即时，则，可得，不合题意； 当，即时，可得， 解得或，所以； 当，即或时，则，可得，符合题意； 综上所述：不等式的解集是. 解分段不等式的策略 对于与分段函数有关的不等式问题，应结合各段解析式列出不同的不等式组，再取各不等式组解集的并集. 【变式8-1】（23-24高一上·安徽·期中）设函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分段函数解析式，分类讨论可将不等式转化为两个不等式组，分别解不等式，然后求并集即可． 【解析】因为函数， 所以不等式等价于和， 解得或者和， 所以不等式的解集为，，； 故选：． 【变式8-2】（23-24高三上·河北廊坊·期中）已知函数则满足的的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】解分段函数不等式 【分析】画出的图象，数形结合得到，求出x的取值范围. 【解析】画出的图象，数形结合可得解得． 故答案为：    题型09 双绝对值函数的图象及应用（拓展）　 【典例】（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数. (1)求的最小值，并指出此时的取值范围； (2)证明：等价于. 【分析】（1）将表示为分段函数的形式，由此求得的最小值以及此时的范围. （2）通过解不等式来求得正确答案. 【解析】（1），画出的图象如下图所示， 由图可知，的最小值为，对应. （2）由，得或， 解得或， 结合图象可知的解集为. 而，， 所以不等式的解集为. 所以等价于. 双绝对值函数问题求解策略 含双绝对值的函数，其实质是分段函数，画它们的图象时，一般先根据绝对值的意义将定义域分成若干个小区间，将函数写成分段函数的形式，再利用描点法分段画图，此法叫作零点分段讨论法.画出图象后，便可结合图象直观地解决问题. 【变式9-1】（2024高三下·全国·专题练习）已知函数． (1)画出函数的图象； (2)求关于的不等式的解集． 【分析】（1）分类去绝对值得分段函数的解析式，进而可作出函数的图象； （2）法一：分类去绝对值，解不等式即可求得的解集. 法二：求得与的解，数形结合可求得的解集. 【解析】（1）由，解得或， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 画出函数的图象如图所示． （2）法一：当时，原不等式转化为，得； 当时，原不等式转化为，得； 当时，原不等式转化为，无解． 综上，原不等式的解集为． 法二：当时，解得， 当时，解得， 数形结合可知，当时， 即原不等式的解集为． 【变式9-2】（23-24高三上·四川雅安·期中）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若的图象与轴围成的三角形面积为，求. 【分析】（1）分情况去绝对值，再求解不等式； （2）首先函数写成分段函数的形式，再求三角形的三个顶点，根据三角形的面积求解的值. 【解析】（1）若，则. 当时，由，解得，所以. 当时，，解得，所以. 当时，由，解得，所以. 综上，不等式的解集为. （2）因为， 所以的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，， 所以的面积为， 解得或（舍去）. 故. 题型10 待定系数法求函数的解析式 【典例】（1）已知一次函数满足，，求的解析式； （2）设二次函数，集合，且，求的解析式. 【分析】本例两小题都已知函数解析式，这种情形下可先设出函数解析式，再利用待定系数法求解. 【解析】(1)依题意，设， 由条件得，解得， 故. (2)由可得， 又因为集合，所以得解为和， 代入得，解得， 所以. 待定系数法求函数的解析式 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，即先设出函数的解析式，再利用已知条件列出关于待定系数的方程（组），解之确定系数，即可得函数的解析式. 【变式10-1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知一次函数满足，，则的解析式为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可. 【解析】设， 则，解得， 所以. 【变式10-2】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 【答案】 【分析】设，结合已知条件利用待定系数法即可求解. 【解析】由已知设， 因为，所以， 因为， ， 所以，解得， 所以. 题型11 换元法求函数的解析式 【典例】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式. 【分析】（1）首先设出函数的解析式，然后根据求出参数，进而得到函数的解析式. （2）将函数进行化简，然后利用换元法求出函数的解析式. 【解析】（1）因为函数是一次函数，则设. 由于，所以 所以.化简得： 这是一个恒等式，所以，且. 所以. 所以函数的解析式为. （2）， 令，. 所以. 所以函数的解析式为. 换元法求函数的解析式 (1)已知函数f(g(x))的解析式，可用换元法求解，即设t=g(x)，再反解出x（用t）表示，从而求得f(t)的解析式,最后将t更换为x即得f(x)的解析式. (2)无论换元还是配凑都要注意新元的范围. 【变式11-1】（24-25高一上·广西玉林·期中）若函数满足，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，令，则， 故， 所以. 故选：C. 【变式11-2】（24-25高一上·重庆·期中）函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法将设为，反求出，再代入原式，并将改为即得. 【解析】设，则，即， 代入，可得，故. 故选：A. 题型12 配凑法求函数的解析式 【典例1】（24-25高一上·浙江·期中）已知，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解法1（配凑法）：依题意，，则， 所以的解析式为.故选：D 解法2（换元法）：设，所以的解析式为.故选：D 【典例2】（24-25高一上·天津东丽·期中）已知则的解析式为 . 【答案】. 【分析】利用配凑法，，即可得到. 【解析】因为，所以. 配凑法求函数的解析式 已知函数f(g(x))的解析式，除了换元法求解外，也可利用整体思想配凑求解， 但无论换元还是配凑都要注意新元的范围. 【变式12-1】已知f＝x2＋，则f(x)的解析式为　 　； 【答案】f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞). 【解析】因为f＝x2＋＝－2， 所以f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞). 【变式12-2】已知f＝x4＋，则f(x)的解析式为　　　　　　　　. 【答案】f(x)＝x2－2(x≥2) 【解析】f＝x4＋＝－2，又x2＋2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立.设t＝x2＋，则t≥2，所以f(t)＝t2－2(t≥2)，所以f(x)＝x2－2(x≥2). 题型13 方程组法求函数解析式 【典例1】已知函数f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)的解析式为　　　　　　　　. 【答案】f(x)＝2x－，x≠0 【解析】因为2f(x)＋f＝3x　①， 所以将x用替换，得2f＋f(x)＝3·　②， 由①②解得f(x)＝2x－，x≠0. 【典例2】已知，求的解析式. 【分析】通过多次换元法构造不同的等式，然后通过对这些等式进行运算，消去不需要的函数项，从而求出的表达式. 【解析】已知①， 我们希望通过适当的代换以消去． 为此，令，则．代入①，得②，从①和②中虽可消去，但又多出了． 再令，则，代入①，得  ③， ①＋③－②得  ． 方程组法求函数的解析式 在已知式子中,若含有两个不同变量,这两个变量又有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,联立这两个式子,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式, 这种方法叫作解方程组法或消元法. 【变式12-1】（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知函数满足，则 . 【答案】 【解析】由①， 得②， 由①②得，则， 令，则， 所以， 故. 【变式12-2】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求； （2）已知函数对于任意的x都有，求． 【分析】应用换元法及方程组法求解析式即可. 【解析】（1）， 令，则， ∴． （2）在中，以代替x可得， 联立得 消去可得． 题型13 赋值法求函数的解析式 【典例】已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据，令，得，依次可得，，，累加可得函数解析式. 【解析】函数的定义域为，且满足， 取，得，所以， ，，， 以上各式相加得． 赋值法求函数的解析式 当函数满足的方程以抽象方程的形式给出，求其解析式时一般考虑赋值法，即依题目的特征,能够由特殊到一般寻找普遍规律,可将变量取特殊值,从而找出一般规律,求出解析式. 【变式13-1】（24-25高二下·广东深圳·期中）定义在R上的函数满足对于任意实数均有，且，则 . 【答案】4050 【分析】令，则，再令，即可求得，再代入解析式即可求得. 【解析】令，则可变形为，则， 又，解得， 于是. 【变式13-2】设函数对任意都满足，试求出． 【答案】 【分析】应用赋值法结合已知等式计算求解即可. 【解析】令代入条件得出，∴． 令代入条件得出， ∴． 再令，则有， 而用代入条件中得，       ① ①中与条件相加得 ． ∵， ． ∴， 于是． 令，有， ∴，∴或． 当时，，∴． ∵，∴， ∴，即为所求． 题型14 分段函数的实际应用　 【典例14】（24-25高一下·湖南·期末）Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. (1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 【分析】（1）将给定的三点坐标代入函数式，求出，进而求出的表达式. （2）由（1）按与分段求出最大值，再比较大小即得. 【解析】（1）将，，三点代入，得， 解得，即 依题意，. （2）由（1） 当时，，则当为时，取得最大值60万元； 当时， ，当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元. 分段函数的实际应用题求解策略 由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，再综合在一起即可．而研究其性质（如求最值）时，也需分段研究，再从总体上得到所需的结论. 【变式14-1】（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【解析】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 【变式14-2】（24-25高一下·湖北·阶段练习）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【分析】（1）由题意，分和两种情况求利润； （2）结合二次函数性质及基本不等式即可求解. 【解析】（1）由题意可知， 当时，， 当时，， 所以年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式为. （2）当时，，开口向下， 所以当时，； 当时， ， 当且仅当即时，等号成立，此时， 因为， 所以，该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2200. 练基础 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义代入即可求解. 【解析】. 故选：D. 2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据表格先求，再求的值. 【解析】由表格可得，，所以. 故选：C. 3．（24-25高一上·浙江衢州·期末）函数的部分图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】利用函数的性质及特殊值可以判断. 【解析】由题意，时，，排除C,D选项； ，可以排除B选项. 故选：A 4．（2026高三·全国·专题练习）若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用配凑法分析求解，注意函数的定义域. 【解析】因为， 且，所以． 故选：D. 5．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）如图中的图象所表示的函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求已知图象函数的解析式，常使用特殊值代入排除法． 【解析】解：由已知函数图象易得：点、在函数图象上 将点代入，，可排除B、C 将代入，可排除D， 故选：A． 6．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）若函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况分别解不等式即可. 【解析】当时，由，即所以，解得； 当时，由，即所以，解得； 综上，实数的取值范围是. 故选：B 7.(多选)（24-25高一上·云南昭通·期中）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是.如图所示表示甲同学从家山发到乙同学家经过的路程与时间的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了 B．甲从家到公园的时间是 C．当时，与的关系式为 D．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢 【答案】BCD 【分析】根据已知图象，逐个选项判断即可. 【解析】由已知得，甲在公园休息的时间是， 所以甲同学从家出发到乙同学家走了，A错； 由图象知，甲从家到公园的时间是，B正确； 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用时间长， 而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，D正确； 当时，设， 则，解得，C正确.故选：BCD 8．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设，则由，可得，然后列方程组可求出，从而可求得答案. 【解析】由题意设， 因为， 所以， 即， 所以，解得或， 所以或， 故选：AB 9.（24-25高一上·安徽·阶段练习）设函数，若，则实数的值等于 C．2 D． 【答案】 【分析】根据题意，，可得，进而求解，判断选项. 【解析】根据题意，,由，得，则， 从而，解得.故选:B． 10.（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则 ， ． 【答案】， 【分析】利用换元法计算可得. 【解析】因为，令，则，， 所以， 所以， 11.（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）已知是一次函数，且满足，求； （2）已知，求； （3）已知函数，求； 【分析】（1）根据已知设，结合已知得到多项式相等求参数，即可得解析式； （2）利用函数关系，列方程组求解析式即可； （3）根据解析式，讨论的取值，进而写出的分段函数形式. 【解析】（1）令，又， 所以， 所以，故； （2）由题设，联立， 所以，则，故； （3）由题设，时，时，时， 所以. 12．（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知函数. (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集.（其中） 【解析】（1）由题意，函数，令， ， 所以． （2）不等式，即， 整理得，即， 当时，，∴不等式的解集为或； 当时，，∴不等式的解集为； 当时，，∴不等式的解集为或． 练提升 13．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）已知函数当时，函数的最大值、最小值分别为，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的图象如图所示， 当时，，此时， 当时，或；时，或 而由题意得函数的值域为， 当，即时，需满足，此时满足不等式； 当，即时，需满足，此时满足不等式； 综上所述：实数的取值集合为， 故选：B． 14．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用的解析式求出的解析式即可判断. 【解析】，所以,故A正确，B错误； ，所以，故C正确，D错误． 故选：AC. 15．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】通过两次赋值将替换成和将替换成，构造方程组求解即可； 【解析】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 16．（山东省济南市2024-2025学年高一上学期期末数学试题）已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完． (1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）； (2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【分析】（1）根据分段函数表示的总成本函数，结合利润销售额-成本，易得利润的解析式，代值计算即得生产20台设备时的利润； （2）根据（1）求得的利润函数，分段求出每段函数的最大值，比较即得最大利润. 【解析】（1）当时，； 当时，； 综上， 当台时，万元， 所以该企业生产20台该设备时，所获利润为400万元． （2）当时，， 故当台时，取得最大值，最大值为500万元； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当台时，取得最大值，最大值为820万元； 因为，所以当生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元． 练创新 17．(多选)（24-25高一上·湖南·期中）设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”．下列函数中，为“循环函数”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据“循环函数”的概念逐项判断即可. 【解析】若，则，得为“循环函数”，故A正确； 若，则，得不是“循环函数”，故B错误； 若，则，得为“循环函数”，故C正确； 若，则，得为“循环函数”，故D正确.故选：ACD. 18．（多选）（2024·云南·模拟预测）已知定义在上的函数，对任意的满足，下列说法正确的是（    ） A．若为一次函数，则 B．若为一次函数，则 C．若不是一次函数且，则 D．若不是一次函数且，则 【答案】BCD 【分析】根据题意，令，列出方程组，求得的值，得到函数的解析式，再结合赋值法，求得的值，即可求解. 【解析】若为一次函数，令， 由 又由， 因为， 可得，即， 解得或， 当时，；当时，， 所以当为一次函数时，或，所以A不正确； 令，可得，所以B正确； 令，则，因为， 令，所以，所以C正确； 令，则， 由，令，所以，故D正确. 故选：BCD. 19．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且有解． (1)求a的取值范围； (2)当a取最大值时，作出的图象，并求的图象与x轴围成的封闭图形的面积． 【分析】（1）利用绝对三角不等式求出最大值，再根据有解，即，求解即可. （2）根据绝对值不等式的讨论方法，进行分段处理，画出对应图象，求出对应的交点根据面积公式求解即可. 【解析】（1），（技巧：绝对值三角不等式的应用） 所以的值域为．因为有解， 所以，即，解得，所以a的取值范围为． （2）由（1）知a的最大值为－1， 所以． 作出的图象如图所示． 由图可得的图象与x轴所围成的封闭图形为， 易得，，，所以． 20．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为，，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)讨论函数的最小值. 【分析】（1）利用赋值法即可得解； （2）利用赋值法依次求得，进而得到关于的函数方程组，解之即可得解； （3）利用（2）中结论，结合二次函数的性质，分类讨论对称轴与区间的位置，从而得解. 【解析】（1），， 令，得，又， 所以. （2）令，得，即，则， 令，得，即，则， 令，得，即，则， 令，得，令，得，则， 因此，解得， 所以. （3）由（2）得，，， 当，即时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时，. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$