重难点培优01 查漏补缺-三角函数与解三角形解答题题型归纳（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优01 查漏补缺-三角函数与解三角形解答题题型归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 三角形值域问题 3 题型二 三角函数中零点问题 （★★★★） 6 题型三 三角函数中恒成立（有解）问题 （★★★★★） 9 题型四 三角形中周长、面积问题 （★★★★） 12 题型五三角形中最值、范围问题 （★★★★★） 14 题型六 三角形中角平分线问题 （★★★★） 17 题型七 三角形中线问题 （★★★★） 19 题型八 多边形问题 （★★★） 21 题型九 三角形的实际问题 （★★★） 24 03 实战检测・分层突破验成效 28 检测Ⅰ组 重难知识巩固 28 检测Ⅱ组 创新能力提升 35 一、辅助角公式与降幂公式 1、(其中) 2、 二、正弦定理 1正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 2正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 三、余弦定理 1余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； 2余弦定理的推论 ； ； 四、三角形面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 五、基本不等式 1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） ①如果，，，当且仅当时，等号成立． ②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 2、两个重要的不等式 ①（）当且仅当时，等号成立． ②（）当且仅当时，等号成立． 题型一 三角形值域问题 【技巧通法·提分快招】 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值) 例1：（2024·北京·三模）已知函数. (1)若，，求的值； (2)设，求在区间上的最大值和最小值. 例2已知函数.在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题： 条件①：在图象上相邻的两个对称中心的距离为； 条件②：的一条对称轴为. (1)求ω； (2)将的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在上的值域. 例3：已知函数. (1)求曲线的两条对称轴之间距离的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值. 例4：已知函数的部分图象如图所示，图象与轴的交点为，且在区间上恰有一个极大值和一个极小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若是整数，将的图象向右平移个单位长度得到的图象，求的最大值. 例5：已知函数 条件①：的最小正周期为； 条件②：为奇函数； 条件③：图象的一条对称轴为； 从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使的解析式唯一确定，回答下列问题． (1)求的解析式； (2)设函数，当时，求函数的值域. 题型二 三角函数中零点问题 【技巧通法·提分快招】 1、换元法求的范围; 2、画、、的图像，并截取所需部分; 3、根据题目要求具体下一步处理. 例1．已知函数的部分图像如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数， （ⅰ）求函数在区间的最大值和最小值； （ⅱ）求函数在区间内的所有零点的和． 例2．如图所示，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，，四边形为平行四边形，函数． (1)求函数的表达式； (2)求函数的单调递减区间； (3)若在上仅存在两个零点，求的取值范围． 例3．已知函数的最小正周期为，且的最大值为2. (1)求和a的值； (2)若函数在区间内有且仅有两个零点，，求m的取值范围及的值. 例4．已知函数． (1)求函数的最小正周期以及单调递增区间； (2)若函数向左平移个单位后，所得函数的图象关于对称， （ⅰ）求φ的最小值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若函数在区间上存在零点，求的取值范围． 例5．已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个条件作为已知. 条件①：函数的图象经过点； 条件②：函数的最大值为； 条件③：函数的最小正周期为. (1)求的解析式； (2)若函数在区间上有且仅有1个零点，求的取值范围. 题型三 三角函数中恒成立（有解）问题 【技巧通法·提分快招】 1、若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． 2、，使得能成立；，使得能成立． 例1．函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式； (2)若恒成立，求的取值范围. 例2．在条件①对任意的，都有；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答． 已知，若______，则唯一确定． (1)求的解析式； (2)设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 例3．已知函数的图像经过点． (1)求实数的值，并求的单调递减区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 例4．某同学用“五点法”画函数在某一个周期的图像时，列表并填入了部分数据，如表： 0 ① ② ③ ④ ⑤ 0 2 0 －2 0 选择下面三个条件之一，完成作答． 条件一：①，②；条件二：①，③；条件三：④，⑤． (1)我选择条件______，请直接写出函数的解析式和最小正周期； (2)求函数在上的最值，并写出相应的值； (3)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 例5．已知函数． (1)写出决定在上形状的关键的五个点，在答题卡上完成下表： 0 2 0 0 (2)求与的交点坐标； (3)若对任意都有成立，求实数的取值范围． 题型四三角形中周长、面积问题 【技巧通法·提分快招】 1、常用三角形的面积公式： （1）； （2）； （3）（为三角形内切圆半径）； （4），即海伦公式，其中为三角形的半周长。 2、求面积的最值范围，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形面积用所设变量表示出来，再利用正余弦定理列出方程求解。注意函数思想的应用。 例1．在中，角A．B．C的对边分别为a，b，c，已知． (1)问：中是否必有一个内角为钝角，说明理由； (2)从下列四个条件中选取三个，使得存在，并求出的面积． ①；②；③；④． 例2．在中，. (1)求的大小； (2)从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使存在，求的面积. ①，②，③. （注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分） 例3．在中，，. (1)求； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长. 条件①：的面积为；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 例4．在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若的面积为，且，求的周长． 例5．在中，. (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：的周长为； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 题型五三角形中最值、范围问题 【技巧通法·提分快招】 解三角形中的最值范围问题 1、三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 例1．设向量，.函数. (1)求的单调增区间； (2)求在上的零点； (3)在中，若，且边，直接写出周长的取值范围. 例2．已知中，． (1)求A的大小； (2)若D是边AB的中点，且，求的取值范围， 例3．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)若D是边AB的中点，且，求的取值范围． 例4．在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围 例5．已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，求面积的取值范围. 题型六 三角形中角平分线问题 【技巧通法·提分快招】 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， 1内角平分线定理： 核心技巧：或 2等面积法 核心技巧 3角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 例1．在中，角所对的边分别为，向量，，且，为线段上一点. (1)求角的大小； (2)若为角的角平分线，，的周长为15，求的长. 例2．在中，内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且． (1)求角； (2)若的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 例3．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足． (1)求角A的大小； (2)若，的角平分线AD与边BC相交于点D，且，求的面积． 例4．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)已知，的面积为，且AD为角A的角平分线，求线段AD的长. 例5．已知在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，，的角平分线交于，求的值. 题型七 三角形中线问题 【技巧通法·提分快招】 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， 1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： 2角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 例1．在中，内角所对的边分别为且 (1)求角； (2)若，是的中线，，求的面积. 例2．已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且. (1)求; (2)若，为的中点，求中线的取值范围. 例3．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A的大小； (2)若，BC边上的中线AD长为，求的面积. 例4．在中，已知，，，与边上的中线相交于点． (1)请用表示； (2)求的值； (3)求的值． 例5．在中，角的对边分别是，且． (1)求角； (2)若的中线，求面积的最大值． 题型八 多边形问题 【技巧通法·提分快招】 1、把多提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理求解； 2、寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果。 例1．如图，在中，，且，点与分别在直线的两侧，且. (1)求的大小； (2)求的最大值. 例2．如图，四边形中，已知，，． (1)若中点为，求的长； (2)若，设， ①用表示，并写出的取值范围；②若，求的值． 例3．如图，四点在同一个圆上，，，为钝角，且. (1)求； (2)记为α，求的值. 例4．如图，在平面四边形中，已知，交于，，，，且，令，． (1)判断：是否成立？请说明理由； (2)求的值； (3)证明：当时，位于外接圆的内部． 例5．如图，在平面四边形中，交于点，且为的中点.，，，. (1)求的长； (2)求. 题型九 三角形的实际问题 【技巧通法·提分快招】 解三角形的实际应用问题的类型及解题策略 1、求距离、高度问题 （1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量． （2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 2、求角度问题 （1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角． （2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用． 例1．如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，. (1)求观测点到树干底部点的距离的长度； (2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值. 例2．人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上． (1)求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度； (2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以的极限速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因． 例3．某市公园绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香.因为在处有一古塔，市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域（古塔的底座忽略不计）做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形. (1)若在、处分别测得塔顶的仰角为、，求塔高； (2)求绿化区域面积的取值范围； (3)绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到.已知，求游客所走路程的最大值. 例4．2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点处放置机器狗，在的中点处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为米/秒，设机器狗在点处捕捉到足球，若点在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别，． (1)当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？ (2)已知足球与机器狗运动方向所成夹角为，长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值； (3)当机器狗的速度为米/秒时，若无论足球往哪个方向运动，机器狗总能捕捉足球成功，则的长度至少为多少米？ 例5．如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时． (1)求B、C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏东多少度（精确到0.01°）？救援船到达C处需要多长时间？ （参考数据：，） 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知函数（，）．在区间上单调递增，且是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求解下列问题． 条件①：； 条件②：当时，取到最小值； 条件③：． (1)求、的值； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 2．已知函数. (1)若，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在，求出，的值，并证明：当时，. 条件①：； 条件②：当时，的最小值为； 条件③：图象关于直线对称. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 3．在中，， (1)求的值. (2)从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的存在，求的面积. ①边上的高为7； ②； ③边上的中线长5. 4．在中，，． (1)求证：为等腰三角形； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高为3． 5．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 6．已知函数的一个零点为． (1)求的值及的最小正周期； (2)若对恒成立，求的最大值和的最小值． 7．设函数，从条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一. (1)求函数的解析式； (2)求在区间上的最大值和最小值. 条件①：；条件②：；条件③：的最大值为；条件④：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分. 8．在中，已知． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 9．已知函数. (1)若的最小值为，求的值； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，求在区间上的取值范围. 条件①：的图象关于和对称； 条件②：在区间上单调，且的图象关于点对称； 条件③：的最小正周期，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 10．已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)设函数，再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求在区间上的最大值和最小值． 条件①：在区间上单调递增； 条件②：的最大值为； 条件③：为偶函数． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 11．在△ABC中, (1)求∠B； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长. 条件①: ； 条件②：△ABC的面积为； 条件③：AC边上的高等于 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 12．已知中，． (1)求的大小； (2)设为的中点，且，求的面积． 13．设函数 (1)若，求的值. (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值. 条件①：在区间上单调递减； 条件②：； 条件③：为函数图象的一条对称轴. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分， 14．在中，已知，. (1)求证：是钝角； (2)请从下面三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积. ①；②；③. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分;如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 2．已知函数. (1)求的值； (2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当在区间上仅有一个零点时，求的取值范围. 条件①：在上是单调函数； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：对任意的，都有成立. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 3．已知，其中，，，的部分图像如图所示：    (1)求的解析式； (2)当时，求的解集； (3)若写出函数在上的零点个数. 4．在中，. (1)求； (2)再从条件①，条件②，条件③，条件④这四个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，若D是边上的中点，求的面积. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，； 条件④：，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 (1)求角B的大小； (2)给出以下三个条件： 条件①：：条件②：；条件③： 从这三个条件中选择两个条件，使得△ABC存在且唯一确定，请写出你选择的两个条件并回答下面的问题： （i）求sinA的值： （ii）已知∠ABC的角平分线BD交AC于点D，线段BD上是否存在两个不同的点P，Q使得？若存在，直接写出一个满足题意的线段BP的长度；若不存在，直接写“不存在”.（无需说明理由） 6．已知函数，． (1)求函数的值域； (2)若对任意的恒成立，求的最大值； (3)若任取，总存在，使成立，求的取值范围． 7．在平面直角坐标系中，定义向量为函数的有序相伴向量. (1)设，写出函数的相伴向量； (2)若的有序相伴向量为，若函数，与直线有且仅有2个不同的交点，求实数的取值范围； (3)若的有序相伴向量为，当函数在区间上时值域为，则称区间为函数的“和谐区间”.当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由. 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优01 查漏补缺-三角函数与解三角形解答题题型归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 三角形值域问题 3 题型二 三角函数中零点问题 （★★★★） 7 题型三 三角函数中恒成立（有解）问题 （★★★★★） 14 题型四 三角形中周长、面积问题 （★★★★） 20 题型五三角形中最值、范围问题 （★★★★★） 25 题型六 三角形中角平分线问题 （★★★★） 30 题型七 三角形中线问题 （★★★★） 35 题型八 多边形问题 （★★★） 40 题型九 三角形的实际问题 （★★★） 45 03 实战检测・分层突破验成效 51 检测Ⅰ组 重难知识巩固 51 检测Ⅱ组 创新能力提升 69 一、辅助角公式与降幂公式 1、(其中) 2、 二、正弦定理 1正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 2正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 三、余弦定理 1余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； 2余弦定理的推论 ； ； 四、三角形面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 五、基本不等式 1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） ①如果，，，当且仅当时，等号成立． ②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 2、两个重要的不等式 ①（）当且仅当时，等号成立． ②（）当且仅当时，等号成立． 题型一 三角形值域问题 【技巧通法·提分快招】 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值) 例1：（2024·北京·三模）已知函数. (1)若，，求的值； (2)设，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)或 (2)最大值为，最小值为 【详解】（1）因为，由，得到， 解得或， 即或，又， 所以或. （2）因为， 令，因为，得到， 由的图象与性质知，，所以， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 例2已知函数.在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题： 条件①：在图象上相邻的两个对称中心的距离为； 条件②：的一条对称轴为. (1)求ω； (2)将的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 选①：图象上相邻两个对称中心的距离为， 则，则， 选②：的一条对称轴为， 则， ，又，则， 于是 （2）将的图象向右移个单位长度（纵坐标不变）， 得到函数的图象 ， ， ， 的值域为． 例3：已知函数. (1)求曲线的两条对称轴之间距离的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）函数 由，解得 所以曲线的两条对称轴之间的距离最小值为． （2）当时，， 由在区间上的最大值为，得， 而正弦函数在上单调递减，则在上单调递减， 因此，，解得， 所以的值是. 例4：已知函数的部分图象如图所示，图象与轴的交点为，且在区间上恰有一个极大值和一个极小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若是整数，将的图象向右平移个单位长度得到的图象，求的最大值. 【答案】(1)，； (2)2 【详解】（1）将代入解析式得， 又，故，又，当时，， 因为在区间上恰有一个极大值和一个极小值， 故，解得； （2）是整数，又，故，所以， 的图象向右平移个单位长度得到， 所以， ， 又，故当，即时， 取得最大值，最大值为. 例5：已知函数 条件①：的最小正周期为； 条件②：为奇函数； 条件③：图象的一条对称轴为； 从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使的解析式唯一确定，回答下列问题． (1)求的解析式； (2)设函数，当时，求函数的值域. 【答案】(1)条件选择见解析，； (2) 【详解】（1）选择条件①②，由的最小正周期为，得； 由为奇函数，，得，所以. 选择条件①③，由的最小正周期为，得； 由图象的一条对称轴为，得，而， 则，所以. 选择条件②③，由为奇函数，，得； 由图象的一条对称轴为，得，解得， 值不唯一，不符合题意，即②③不可选. （2）由（1）知，则 ，当时，， 则，， 所以函数的值域是. 题型二 三角函数中零点问题 【技巧通法·提分快招】 1、换元法求的范围; 2、画、、的图像，并截取所需部分; 3、根据题目要求具体下一步处理. 例1．已知函数的部分图像如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数， （ⅰ）求函数在区间的最大值和最小值； （ⅱ）求函数在区间内的所有零点的和． 【答案】(1) (2)（ⅰ），；（ⅱ） 【详解】（1）由函数的图象，可得，又，所以，即， 又，所以，又，即， 根据五点对应法，可得，所以，所以. （2）（ⅰ） ， 因为，可得， 当即时，可得； 当即时，可得； （ⅱ）令，得， 因为，解得， 故，所以， 所以函数在区间内的所有零点的和为. 例2．如图所示，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，，四边形为平行四边形，函数． (1)求函数的表达式； (2)求函数的单调递减区间； (3)若在上仅存在两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，，， 则，故， 则. （2）， 令， 得， 故的单调递减区间为. （3）若在上仅存在两个零点， 则在上仅存在两个根， ，则， 结合正弦函数图象知，，得， 则的取值范围为． 例3．已知函数的最小正周期为，且的最大值为2. (1)求和a的值； (2)若函数在区间内有且仅有两个零点，，求m的取值范围及的值. 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）由 ， 则，即， 又，即. （2）由（1）知，， 则， 令，即， 当时，， 因为函数在区间内有且仅有两个零点，， 结合正弦函数的图象可知，， 解得，即m的取值范围为. 又，即， 则. 例4．已知函数． (1)求函数的最小正周期以及单调递增区间； (2)若函数向左平移个单位后，所得函数的图象关于对称， （ⅰ）求φ的最小值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若函数在区间上存在零点，求的取值范围． 【答案】(1)，单调递增区间为：； (2)（ⅰ）；（ⅱ）； 【详解】（1）解：因为 ， 所以； 由， 解得， 所以函数的单调递增区间为：； （2）解：（ⅰ）由题意可得， 又因为的图象关于对称， 所以， 解得， 又因为， 所以当时，； （ⅱ）令，则， 即的图象与直线在上有交点. 又因为， 所以， 因为，所以， 所以，， 即， 所以. 例5．已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个条件作为已知. 条件①：函数的图象经过点； 条件②：函数的最大值为； 条件③：函数的最小正周期为. (1)求的解析式； (2)若函数在区间上有且仅有1个零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）由题可知，， 选择①③： 因为，所以， 又因为，所以． 所以． 选择②③： 因为，所以， 又因为函数的最大值为，所以． 所以， 选择①②： 因为，所以． 又因为函数的最大值为， 所以，与矛盾，不符合题意． （2）选择①③： 因为，所以， 又因为在区间上有且仅有1个零点， 所以，所以，所以． 选择②③： 因为，所以， 又因为在区间上有且仅有1个零点， 又时，或， 所以，所以，所以． 题型三 三角函数中恒成立（有解）问题 【技巧通法·提分快招】 1、若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． 2、，使得能成立；，使得能成立． 例1．函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图可得，即，解得. 函数过点， 所以，则， 解得，又，则， 所以； （2）因为，所以，则， 令， 设，函数图象开口向上，恒过定点. 由题意，恒成立，由二次函数的图象性质可知， 只需， 解得，故的取值范围为. 例2．在条件①对任意的，都有；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答． 已知，若______，则唯一确定． (1)求的解析式； (2)设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若选择①②： 由函数最小正周期为，可得，可得，即， 又由对任意的，都有，可得关于对称， 即，即， 因为，可得或者，则无法确定； 若选择②③： 由函数最小正周期为，可得，可得，即， 又由，可得， 因为函数在为单调递增函数，则满足，解得， 所以，所以； 若选择①③： 由对任意的，都有，可得关于对称， 即，即， 又由函数在为单调递增函数，可得，解得， 又由，可得， 因为函数在为增函数，则满足， 解得，所以， 即，解得， 综上，则无法确定，则无法确定. （2）解：由， 因为，可得，所以，即， 又由对任意的，不等式恒成立， 即不等式恒成立，即恒成立， 令，即恒成立， 令在上为单调递增函数，则，所以， 即实数的取值范围为. 例3．已知函数的图像经过点． (1)求实数的值，并求的单调递减区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意得， 解得 所以 ， 由，得， 所以的单调递减区间为 （2）由（1）可知 因为，所以 所以 所以 当，即时，取得最小值 因为恒成立等价于，所以 所以实数的取值范围是 例4．某同学用“五点法”画函数在某一个周期的图像时，列表并填入了部分数据，如表： 0 ① ② ③ ④ ⑤ 0 2 0 －2 0 选择下面三个条件之一，完成作答． 条件一：①，②；条件二：①，③；条件三：④，⑤． (1)我选择条件______，请直接写出函数的解析式和最小正周期； (2)求函数在上的最值，并写出相应的值； (3)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)选择见解析，，最小正周期为； (2)，最小值1；，最大值2； (3)． 【详解】（1）根据表格知：， 选择条件一、三：， 选择条件二：，所以， 选择条件一、二时：，可知，结合，所以， 选择条件三时：，可知，结合，所以， 所以函数的解析式为：，最小正周期为 （2）当时，， 当时，即时，取得最小值1； 当时，即时，取得最大值2； （3）由（2）可得，任意的时，． 由可得，， 的最大值为－4，的最小值为7， 则的取值范围是． 例5．已知函数． (1)写出决定在上形状的关键的五个点，在答题卡上完成下表： 0 2 0 0 (2)求与的交点坐标； (3)若对任意都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)，. (3) 【详解】（1）解：根据三角函数的五点作图法，可得： 0 0 2 0 0 （2）解：令，即， 可得或， 解得或， 所以与函数的交点坐标为，. （3）解：因为，可得，所以， 当时，即时，； 当时，即时，， 对任意都有成立，即， 所以，所以实数的取值范围为. 题型四三角形中周长、面积问题 【技巧通法·提分快招】 1、常用三角形的面积公式： （1）； （2）； （3）（为三角形内切圆半径）； （4），即海伦公式，其中为三角形的半周长。 2、求面积的最值范围，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形面积用所设变量表示出来，再利用正余弦定理列出方程求解。注意函数思想的应用。 例1．在中，角A．B．C的对边分别为a，b，c，已知． (1)问：中是否必有一个内角为钝角，说明理由； (2)从下列四个条件中选取三个，使得存在，并求出的面积． ①；②；③；④． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)选①③④， 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 在中，， ， 所以不等式整理为， 即，因为， 所以，所以B为钝角； （2）若满足①②，由B为钝角，则A，C为锐角， 及，可得， 所以不符合B为钝角，故①②不同时成立， 所以③④两个条件必选， 由③④可知，所以，所以②不成立，因此选①③④： 由正弦定理可得， 即，所以，又，所以，在三角形中，， 所以或，而由（Ⅰ）可得， 所以可得； 所以； 所以． 例2．在中，. (1)求的大小； (2)从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使存在，求的面积. ①，②，③. （注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分） 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由正弦定理，， . ，故. （2）①不存在； ②， 故. 由有，故. 故. ③由余弦定理，， 于是，解得（负值舍去）. 因为，所以， .解得（负值舍去）. 故. 例3．在中，，. (1)求； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长. 条件①：的面积为；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为， 由辅助角公式有：， 即，因为，所以， 所以，解得. （2）选条件①：的面积为， 由正弦定理有：， 即，， 由余弦定理有：，即， 解得：，所以的周长为. 选条件②：， 因为，由，所以为等腰的三角形，所以， 因为，所以， 由余弦定理有：，即， 解得，所以的周长为. 选条件③：， 由由余弦定理有：，即， 整理得：，解得或， 此时不唯一，所以条件③不合要求. 例4．在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若的面积为，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解法1：因为，由正弦定理得， 即， 因为，则，故； 解法2：因为，由余弦定理得， 整理得，可得， 由余弦定理可得. （2）因为，且，则， ，所以， 因为由余弦定理得， 于是， 因为，则，所以， 因此，于是的周长. 例5．在中，. (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：的周长为； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由正弦定理，，因，则， ，则，故得， 即得：，因，故. （2）若选择① ：因，的周长为，则 （i）， 由余弦定理，，则 （ii）， 联立（i），（ii）可得：， 则的面积为； 若选择② ：因，，则，因， 由正弦定理，，则， 又，则， 则的面积为：； 若选择③ ：因，，由正弦定理，，则， 因，故，由，故角不唯一（可以是锐角，也可以是钝角），故条件③不成立. 题型五三角形中最值、范围问题 【技巧通法·提分快招】 解三角形中的最值范围问题 1、三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 例1．设向量，.函数. (1)求的单调增区间； (2)求在上的零点； (3)在中，若，且边，直接写出周长的取值范围. 【答案】(1)， (2)或或或或 (3) 【详解】（1）， 令，解得，， 因此单调增区间为，. （2），即， 因为，所以，所以或或或或， 解得或或或或，所以在上的零点为或或或或； （3）由（1）知，，所以， 又因为，所以，由正弦定理， 所以，， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以， 即，所以周长的取值范围为. 例2．已知中，． (1)求A的大小； (2)若D是边AB的中点，且，求的取值范围， 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由正弦定理有， ， ，即， 在中，由余弦定理，有， ，则，即， ，∴. （2）如图，设，则，， 在中,根据正弦定理，有， ，， 设 ， 又，所以在上单调递增， 所以，即， 所以的取值范围为． 例3．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)若D是边AB的中点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 所以， 所以，又因为，所以； （2） 令,因为，所以 由正弦定理可得： , 所以， 所以， 又因为，所以 所以 例4．在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 因为，所以，， 因为，所以； （2）方法一：因为是锐角三角形，又， 所以，解得， ， 因为，∴，则， 从而. 方法二： 若为锐角三角形， 所以， 因为，，所以， 所以， 又因为， 所以. 例5．已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 故，即 故， 且，故. （2）由正弦定理得， ， 因为是锐角三角形，. 故，即 所以，故， 且 故面积的取值范围为. 题型六 三角形中角平分线问题 【技巧通法·提分快招】 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， 1内角平分线定理： 核心技巧：或 2等面积法 核心技巧 3角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 例1．在中，角所对的边分别为，向量，，且，为线段上一点. (1)求角的大小； (2)若为角的角平分线，，的周长为15，求的长. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）解：，，且， ， 由正弦定理得， ， ，， 在三角形中，， ，， ∵，. （2）解：，， 由余弦定理得， 即，解得. 为角的角平分线，， ∵， ∴， ∴，得 . 例2．在中，内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且． (1)求角； (2)若的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又，所以， 所以， 即， ，故， ，即， 又，则． （2） 由（1）可知，，又外接圆的半径为； 由正弦定理可知， 所以， 因为是的平分线，故， 又， 由， 可得，即．① 由余弦定理可知，，即．② 由①②可知． 所以， 又，则， 所以. 例3．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足． (1)求角A的大小； (2)若，的角平分线AD与边BC相交于点D，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，∴由正弦定理可得， ∴， 整理得：， ∴， 由于， 所以； （2）∵的角平分线AD与边BC相交于点D， ∴，∴， ∴， 在中，由余弦定理可得， ∴，解得或（舍去）． ∴的面积． 例4．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)已知，的面积为，且AD为角A的角平分线，求线段AD的长. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，得，而， 所以. （2）由的面积为，得，解得， 由，得， 而，，则，由AD为角A的角平分线，得， 因此， 所以. 例5．已知在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，，的角平分线交于，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵， 由正弦定理得，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，∴. （2）由余弦定理得，， ∴，解得或（舍去）， 由， ∴， ∴.    题型七 三角形中线问题 【技巧通法·提分快招】 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， 1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： 2角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 例1．在中，内角所对的边分别为且 (1)求角； (2)若，是的中线，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理，得， 所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以. （2）解法1：因为，是的中线，所以， 设，则， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，可得， 所以， 故的面积 ． 解法2：因为，是的中线，所以， 可得，即， 整理得，所以， 在中，可得， 所以， 故的面积 ． 例2．已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且. (1)求; (2)若，为的中点，求中线的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是锐角三角形的三个内角，所以，， 根据正弦定理可得，即， 所以，则， 整理得，即， 又，所以，即. （2）因为为的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以且，解得， 所以，所以，所以， 所以中线的取值范围是. 例3．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A的大小； (2)若，BC边上的中线AD长为，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由正弦定理边化角得， 又， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以. （2）由得， 因为，， 所以， 所以，即，所以， 所以. 例4．在中，已知，，，与边上的中线相交于点． (1)请用表示； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）为边上的中线，， ，可得. （2）由（1）可得 ． （3）， ， 则． 例5．在中，角的对边分别是，且． (1)求角； (2)若的中线，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 在中， 所以， 整理得， 所以， 因为，, 所以，． （2）因为的中线，， 因为， 所以， 即，可得，当且仅当时取等号， 所以的面积， 所以面积的最大值为． 题型八 多边形问题 【技巧通法·提分快招】 1、把多提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理求解； 2、寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果。 例1．如图，在中，，且，点与分别在直线的两侧，且. (1)求的大小； (2)求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 所以， 又， 所以， 所以， 所以， 由已知，，所以， 又，所以， 则或， 所以或（舍）. 又，即. 由正弦定理得，得， 所以，则. （2）由（1）得是直角三角形，设，因为，则. 在中，由余弦定理得 ， 当，即时，，所以长度的最大值为. 例2．如图，四边形中，已知，，． (1)若中点为，求的长； (2)若，设， ①用表示，并写出的取值范围；②若，求的值． 【答案】(1) (2)①，；② 【详解】（1）因为，，向量点积 所以 ， ， （2）①， ②在中，，，. ， ， ,即， 因为，所以． 例3．如图，四点在同一个圆上，，，为钝角，且. (1)求； (2)记为α，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）为钝角，，则， 在中，由余弦定理，，则， 圆内接四边形对角互补，于是，又，则， 由题知为钝角，则是锐角，于是， 在中，由余弦定理，， 即，解得（负值舍去） （2）由（1）知，，由余弦定理，， 显然，，则， 例4．如图，在平面四边形中，已知，交于，，，，且，令，． (1)判断：是否成立？请说明理由； (2)求的值； (3)证明：当时，位于外接圆的内部． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）成立，理由如下； 由题可知：，，设， 所以， 所以 所以 （2）在中，， 在中，， 由（1）可知，，所以， 则或， 当，即时，所以； 当时，所以，则，所以与矛盾， 所以 （3）要证明位于外接圆的内部，即证明 由（2）可知，所以 例5．如图，在平面四边形中，交于点，且为的中点.，，，. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，用余弦定理，， 得，. （2）由（1）得，， ∴，∴， 又∵，∴，. ， ∴， 在中，由余弦定理得， ∴， ∴为等腰三角形，. 又∵，， . 题型九 三角形的实际问题 【技巧通法·提分快招】 解三角形的实际应用问题的类型及解题策略 1、求距离、高度问题 （1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量． （2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 2、求角度问题 （1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角． （2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用． 例1．如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，. (1)求观测点到树干底部点的距离的长度； (2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由正弦定理可得， 因为，所以. 又两处相距米，故，所以的长为米. （2）在中，由在处测得树干顶端处的仰角为， 可得，则. 由（1）知，由，得， 由，得. 在中，由，得. 在中，由余弦定理得. 故在处观测到、两点的夹角的余弦值为. 例2．人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上． (1)求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度； (2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以的极限速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因． 【答案】(1)答案见解析 (2)不能捕猎成功，原因见解析 【详解】（1）由题意作图如下： 则，， ，． 由正弦定理，可得． 因此或120°， 当时，，猎豹与羚羊之间的距离为， 当，，猎豹与羚羊之间的距离为. （2）由题意作图如下： 设捕猎成功所需的最短时间为t， 在中，，，，． 由余弦定理得：． 整理得：． 设，显然， 因猎豹能坚持奔跑最长时间为，且． ∴猎豹不能捕猎成功． 例3．某市公园绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香.因为在处有一古塔，市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域（古塔的底座忽略不计）做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形. (1)若在、处分别测得塔顶的仰角为、，求塔高； (2)求绿化区域面积的取值范围； (3)绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到.已知，求游客所走路程的最大值. 【答案】(1)米. (2) (3)米 【详解】（1）设米， 依题意可知，， 又在、处分别测得塔顶的仰角为、即，， 可知，，在中，， 据余弦定理得， 即，解得：或（舍去） 塔高为米. （2）设，则， 则在中，据正弦定理得，故， 又依题可知，为锐角三角形，则即， 故，则， 又，则. （3）在中，据余弦定理得， ， ，， 当且仅当时取等号，故所走路程的最大值为米. 例4．2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点处放置机器狗，在的中点处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为米/秒，设机器狗在点处捕捉到足球，若点在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别，． (1)当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？ (2)已知足球与机器狗运动方向所成夹角为，长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值； (3)当机器狗的速度为米/秒时，若无论足球往哪个方向运动，机器狗总能捕捉足球成功，则的长度至少为多少米？ 【答案】(1) (2)8米 (3)1.5米 【详解】（1）在中，由正弦定理知，即， 因为，，所以， 解得，因为，所以， 此时，因为，所有点在矩形内，捕捉成功． （2）法一：在中，由余弦定理知， 故， 整理得， 即，当且仅当时等号成立，此时， ，点在矩形内，捕捉成功． 故机器狗与足球运动的总路程的最大值为8米． 法二：在中，由正弦定理知， 所以． 当，即当时，有最大值为8， 此时，，点在矩形内，捕捉成功． 故机器狗与足球运动的总路程的最大值为8米． （3）如图，过作的垂线，垂足为 设，则，由题可知所以， 在中，由余弦定理知， 则，整理得， 所以， 又因为，， 当，即当时，有最大值为， 由题知恒成立，所以，此时， 故当的长度至少为米时，无论足球往哪个方向运动，机器狗总能捕捉足球成功． 例5．如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时． (1)求B、C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏东多少度（精确到0.01°）？救援船到达C处需要多长时间？ （参考数据：，） 【答案】(1)30（海里） (2)救援船前往营救渔船时的目标方向线方向是南偏东68.21°，1.75小时． 【详解】（1）在中，，，则， ， 由正弦定理得 （海里）． （2）在中，，由余弦定理 ， ，（小时）， ，D为锐角， 所以，， 救援船前往营救渔船时的目标方向线方向是南偏东68.21°． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知函数（，）．在区间上单调递增，且是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求解下列问题． 条件①：； 条件②：当时，取到最小值； 条件③：． (1)求、的值； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意得， . 若选条件①：因为是图象的对称轴，所以，不可能满足， 所以不能选择条件①； 若选条件②：因为在区间上单调递增，是图象的对称轴，当时，取到最小值， 所以的最小正周期，且， 因为，所以， 所以，故， 所以，，即，， 因为，所以. 若选条件③：因为在区间上单调递增，是图象的对称轴，， 所以的最小正周期，且， 因为，所以， 所以，故， 所以，，即，， 因为，所以. （2）由（1）知，， 因为，所以， 因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 故实数m的最大值为 2．已知函数. (1)若，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在，求出，的值，并证明：当时，. 条件①：； 条件②：当时，的最小值为； 条件③：图象关于直线对称. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）解：若，可得， 所以. （2）解：由 ， 若选择条件①②： 由，可得，所以， 因为，可得； 又因为，由且的最小值为， 可得，可得，可得，所以； 若选择条件②③： 由，由且的最小值为， 可得，可得，可得，所以， 此时， 又由图象关于直线对称，可得， 即，所以，可得， 因为，可得； 若选择条件①③： 由，可得，所以， 因为，可得，即， 又由图象关于直线对称，可得， 即，所以，可得， 因为，此时不存在. 3．在中，， (1)求的值. (2)从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的存在，求的面积. ①边上的高为7； ②； ③边上的中线长5. 【答案】(1) (2)选①无解；选②或；选③ 【详解】（1）在中，， 又， 由正弦定理得，， 即， 即，由正弦定理得，， 又，所以. （2）选①边上的高为7， 过作于，如图， 由已知，在中，，， 显然这样的三角形不存在，所以无解. 选②，即， 又，，则由正弦定理得，即， 则， 由余弦定理，得， 即，解得或， 当时， 的面积， 当时， 的面积. 选③边上的中线长5， 设的中点为，由（1）知，则， 又， 在中，由余弦定理，， 在中，由余弦定理，， 因为，所以， 则，解得， 在中，由余弦定理，， 则， 所以的面积. 4．在中，，． (1)求证：为等腰三角形； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高为3． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在中，，，设， 根据余弦定理，得， 整理得， 因为，解得（负值已舍去）， 所以， 所以为等腰三角形. （2）若选择条件①：若 ，由（1）可知，及， 所以， 所以不存在. 若选择条件②：在中, 由, 由（1）， 所以， 解得（负值已舍去），即. 若选择条件③： 在中，由边上的高为3， 得， 由，解得. 5．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数 ， 所以函数的最小正周期为． （2）对恒成立，所以， 由于，所以， 当时，即时，， 即时， 故实数的取值范围为． 6．已知函数的一个零点为． (1)求的值及的最小正周期； (2)若对恒成立，求的最大值和的最小值． 【答案】(1)，最小正周期为 (2)的最大值是；的最小值是1 【详解】（1）由题设，化简得 解得． 故 则的最小正周期为； （2）由，可得． 故得，即． 当，即时，取得最大值1； 当，即时，取得最小值． 由对恒成立，可得，且． 即的最大值是，的最小值是1． 7．设函数，从条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一. (1)求函数的解析式； (2)求在区间上的最大值和最小值. 条件①：；条件②：；条件③：的最大值为；条件④：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【详解】（1）若选择条件②④： 由，可得，即， ， 由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得， 所以，解得（负值舍去），所以； 若选择条件③④： 由题意可得， 的最大值为，则， 所以， 由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得， 所以，解得（负值舍去），所以； 其余选法都不成立，理由如下： 若条件①成立，即有， 由， 则，即恒成立， 不符合题意，故①不能选择； 由上知选择条件②与选择条件③都仅可得到，故不能选择②③当已知条件； （2）当时，，， 则当，即时，有最大值； 当，即时，有最小值. 8．在中，已知． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)所选条件见解析，. 【详解】（1）法一：由正弦定理及，得， 因为， 所以，整理得． 因为，所以，所以，又，所以． 法二：由余弦定理，，代入得：． 整理得：，所以，又，所以． （2）选条件①：取的中点，连接， 由正弦定理及，得， 因为，所以，，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以，即边上中线的长为． 选条件③：取的中点，连接，由正弦定理及，得， 因为的面积为，所以，即， 又，所以，，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以，即边上中线的长为． 选条件②：由，知， 在中，由余弦定理知，， 若，则，该等式恒成立， 即不唯一，不符合题意． 9．已知函数. (1)若的最小值为，求的值； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，求在区间上的取值范围. 条件①：的图象关于和对称； 条件②：在区间上单调，且的图象关于点对称； 条件③：的最小正周期，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， 因为的最小值为，所以，所以； （2）因为，所以，解得， 所以， 若选择条件①：函数的图象的对称轴为， 所以，所以，， 因为，所以，， 所以，即， 因为，故，且，对应的满足题意， 所以函数存在且不唯一； 若选择条件②：因为在区间上单调，所以， 所以，又，所以， 因为的图象关于点对称，所以， 所以，所以， 所以，解得，因为，所以，即， 所以，此时当时，， 故在上单调减，故符合题设要求. 因为，所以， 所以，所以； 若选择条件③：因为的最小正周期，所以， 所以，又，所以， 因为，所以， 所以或， 所以或， 当时，，因为，所以，此时， 当时，，因为，所以不存在满足不等式的，此时无解，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以. 10．已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)设函数，再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求在区间上的最大值和最小值． 条件①：在区间上单调递增； 条件②：的最大值为； 条件③：为偶函数． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为 (2)答案见解析 【详解】（1）由题意得， 所以的最小正周期， 由， 得． 所以的单调递增区间为． （2）选择条件①： 由题意得． 由（1）可知的单调递增区间为． 由在区间上单调递增，得 解得． 又因为，所以． 从而存在且唯一， 当时，， 所以当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值．                     选择条件②： 由题意得， 函数最大值为，则只需， 由于，故的取值不唯一，故不符合题意，即不能选择条件②； 选择条件③： 由题意得． 由为偶函数可知， 解得． 又因为，所以． 从而存在且唯一． 当时，， 所以当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值． 11．在△ABC中, (1)求∠B； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长. 条件①: ； 条件②：△ABC的面积为； 条件③：AC边上的高等于 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由可得， 由余弦定理可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，因为，所以. （2）若选择①：因为，，所以，所以， 则，不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一，故不能选择①. 若选择②：由（1）可得，即， 则，解得， 再代入可得：， 所以△ABC的周长为：. 若选择③：由（1）可得，即， 由可得：， 所以， 又因为AC边上的高等于，， 所以，解得：，所以，， 所以△ABC的周长为：. 12．已知中，． (1)求的大小； (2)设为的中点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得． 由，得，故， 所以． （2）由正弦定理得，，即． 由余弦定理得，， 即，解得或（舍）． 所以， 故． 13．设函数 (1)若，求的值. (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值. 条件①：在区间上单调递减； 条件②：； 条件③：为函数图象的一条对称轴. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分， 【答案】(1) (2)选择条件①或③，. 【详解】（1）由题意可知，即， 因，则. （2）条件①：在上单调递减，在上单调递增，且， 则在处取最小值，在处取最大值， 则，， 则，， 因，则， 则； 条件②：因，则不可能成立，故无解析式； 条件③：因，则在处取最大值， 又为函数图象的一条对称轴，且在上单调递增， 则在处取最小值， 则，， 则，， 因，则， 则. 综上可知，若选择条件①或③，则； 若选择条件②，则不存在解析式. 14．在中，已知，. (1)求证：是钝角； (2)请从下面三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积. ①；②；③. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分;如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）因为，由正弦定理，可得. 又在中，， 所以， 所以， 即， 又、，所以，，所以B为钝角. （2）选择①②，则，，， 由正弦定理得，则，故为直角，与题意矛盾； 选择①③，即，，. 由B为钝角，得. 由正弦定理，得，解得. 又为锐角，得， 所以. 所以的面积. 选择②③，即，，， 由正弦定理得，解得. 由，，及为钝角，为锐角，得，， 所以， 所以. 所以的面积. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)解答见解析 【详解】（1）因为，由正弦定理得，， 又，所以，得到，又， 又，所以，得到，所以. （2）选条件①：，； 由（1）知，，根据正弦定理知， 所以存在或两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件； 选条件②：， 因为，即， 又， 所以， 所以只有成立，存在且唯一确定， 所以的面积为. 选条件③：边上的高，； 如图所示，边上的高，在中，，即， 由（1）知，，根据余弦定理知，， 化简得，得(舍去)或，存在且唯一确定， 所以的面积为. 2．已知函数. (1)求的值； (2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当在区间上仅有一个零点时，求的取值范围. 条件①：在上是单调函数； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：对任意的，都有成立. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为， 所以 ， 所以. （2）对于条件①：在上是单调函数， 因为在上是单调函数，所以， 所以，又因为，解得， 因为， 解得， 所以函数的单调单调递增区间为： ， 若函数在上单调递增，则， 整理有， 当时，，解得， 当时，无解，得其他值时不等式无解； 因为， 解得， 所以函数的单调单调递减区间为： ， 若函数在上单调递减，则， 整理有， 当时，，解得， 当时，无解，得其他值时不等式无解； 对于条件②：图象的一个对称中心为， 因为，解得， 所以函数的对称中心为， 若是图象的一个对称中心， 则，解得； 对于条件③：对任意的，都有成立， 则时，函数取得最大值，有， 解得； 若选条件①②，则有，方程无解， 或，时，， 所以，因为，所以， 因为在区间上仅有一个零点， 所以，，解得； 若选条件①③，则有有，方程无解， 或，时，， 所以，因为，所以， 因为在区间上仅有一个零点， 所以，，解得； 若选条件②③，则有， 即，方程解不唯一， 此时取值不唯一，所以函数不唯一，不合要求. 3．已知，其中，，，的部分图像如图所示：    (1)求的解析式； (2)当时，求的解集； (3)若写出函数在上的零点个数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）如题图所示：    由函数图象中最高点的纵坐标可知， 所以， 又在函数图象上面， 所以，解得， 结合可知， 所以， 由图象最高点的坐标可知，，即， 所以，解得， 由图可知两个点相差小于半个周期，即， 所以， 结合，解得， 又， 所以只能， 所以的解析式为 （2）由（1）可知， 所以可将不等式转换为， 所以， 解不等式组得， 又已知， 所以只能或， 综上所述：当时，的解集为. （3）由的定义可知当时，， 当时，有，此时， 因此， 当时，有，根据正弦函数的单调性可知此时在上单调递增， 又当时，有，令，解得， 根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减， 注意到，且当时，有， 且，， 将函数在上的零点个数，转换为函数图象与的交点个数， 由以上分析画出与在上的函数图象如图所示：      由图可知，当或时，函数与的图象的交点的个数为0； 当时，函数与的图象的交点的个数为1； 当时，函数与的图象的交点的个数为2； 综上所述：当或时，函数在上的零点个数为0； 当时，函数在上的零点个数为1； 当时，函数在上的零点个数为2. 4．在中，. (1)求； (2)再从条件①，条件②，条件③，条件④这四个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，若D是边上的中点，求的面积. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，； 条件④：，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由已知， 由正弦定理边化角得，整理得， 由余弦定理得， 又因为为的内角，即， 所以. （2）条件①、④均不满足题意，条件②、③满足题意，故可从条件②、③中二者任选其一即可求解； 现在我们来说明理由，首先由（1）可知： 若选择条件④：，； 则由正弦定理得，即，解得， 注意到， 所以此时有两种取值，即此时存在但不唯一确定，故条件④不满足题意. 若选择条件①：，； 注意到， 又函数在上单调递减，所以， 但此时，这与三角形内角和定理矛盾，故条件①不满足题意. 若选择条件③：，； 注意到，且，则或， 但是当时，有，这与三角形内角和定理矛盾， 所以只能， 一方面：此时有由正弦定理有，即，解得； 另一方面：此时； 如图所示：   此时存在且唯一确定，若D是边上的中点， 则此时的面积为； 故若选择条件③，则满足题意. 若选择条件②：，； 在中运用余弦定理得，即， 整理得， 又注意到，即， 所以， 整理得，即， 所以，即， 结合可知，此时， 注意到此时，所以由勾股定理逆定理可知； 如图所示：    此时存在且唯一确定，若D是边上的中点， 则此时的面积为； 故若选择条件③，则满足题意. 综上所述：条件①、④均不满足题意，条件②、③满足题意，故可从条件②、③中二者任选其一即可求解. 5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 (1)求角B的大小； (2)给出以下三个条件： 条件①：：条件②：；条件③： 从这三个条件中选择两个条件，使得△ABC存在且唯一确定，请写出你选择的两个条件并回答下面的问题： （i）求sinA的值： （ii）已知∠ABC的角平分线BD交AC于点D，线段BD上是否存在两个不同的点P，Q使得？若存在，直接写出一个满足题意的线段BP的长度；若不存在，直接写“不存在”.（无需说明理由） 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在， 【详解】（1），由正弦定理，有 ，即，， 由余弦定理，， △ABC中，，. （2）（i） 由(1)可知， ，所以条件①：不成立， 故选条件②：；条件③：， ，， 由余弦定理， ，， 由正弦定理， ，. （ii）存在，. 以B为原点，BA为x轴建立如图所示的直角坐标系， 由已知得△ABC中，BA=5，BC=3，CA=7，，， 则有，，， 的角平分线BD交AC于点D，有， 由内角平分线定理可知，，解得， △ABD中，由正弦定理， ，解得， 两个不同的点P，Q在线段BD上，设，，，且， 由，则有，， 由，得 ， 化简得：，由，得， 且，符合条件， 所以线段BD上存在两个不同的点P，Q使得，满足题意的线段BP的长度可以取 6．已知函数，． (1)求函数的值域； (2)若对任意的恒成立，求的最大值； (3)若任取，总存在，使成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵， ∴，则， ∴，即函数的值域为. （2）令，∵，∴， ，对任意的恒成立, 即为对任意的恒成立, 由化简可得：， ∵，当且仅当时，即时，取等号. ∴，则，即的最大值为. （3）∵任取， ∴， 即在上的值域， 设的值域为，若任取，总存在，使成立，则， 令，则， ，即为,开口向下，对称轴为， 当时，即时，在上单调递减， 由可得：，解得：. 当时，即时，在上单调递增， 由可得：，解得：. 当时，即时，在时，取得最大值,不符合题意. 综上所述：实数的取值范围为. 7．在平面直角坐标系中，定义向量为函数的有序相伴向量. (1)设，写出函数的相伴向量； (2)若的有序相伴向量为，若函数，与直线有且仅有2个不同的交点，求实数的取值范围； (3)若的有序相伴向量为，当函数在区间上时值域为，则称区间为函数的“和谐区间”.当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)答案见详解 【详解】（1）因为， 所以函数的相伴向量； （2）若的有序相伴向量为，则， 所以， 如图所示， 当， ； 由图像可知，若函数与直线有且仅有2个不同的交点，则或； （3）若的有序相伴向量为，则， 当时，， 当时，假设存在是否存在“和谐区间”，则由，得， ①若，则由，知，与值域矛盾，故存在“和谐区间”， ②同理，时，也，不存在； 下面讨论 ③若，则，故的最小值为，于是，所以，所以的最大值为，故，此时的定义域为，值域为，符合题意， ④若， 当时，同理可得，舍去， 当时，在 上单调递减， 所以，于是， 若，即，，故，， 与矛盾， 若，同理，矛盾， 所以，即， 由图像可知，当时，， 因为，所以，从而，从而，矛盾， 综上所述，有唯一“和谐区间”. 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$