专题03 与圆锥曲线相关的最值与范围问题（压轴题专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题03 与圆锥曲线相关的最值与范围问题 目录 典例详解 类型一、距离或长度的最值与范围问题 类型二、、圆锥曲线中三角形（或四边形）面积的最值问题 类型三、参数的最值与范围问题 类型四、与其它知识点的综合应用 压轴专练 类型一、距离或长度的最值与范围问题 1. 利用定义求圆锥曲线上点到焦点和定点距离的和、差最值 以椭圆为例，设，分别为椭圆的两焦点，点是椭圆上任一点，点为平面内一定点. （1） 若定点在椭圆内， ①求的最值：由，转化为求的最值. 有 ，当三点共线时取等号，则；； ②求的最值：有，当三点共线时取等号，则 ；； （2）若定点在椭圆外，分析过程同（1）. 2. 圆锥曲线上一点与其它点的距离（或到直线的距离） （1）设圆锥曲线上点的参数式坐标（如椭圆上一点），代入到两点间的距离公式（或点到直线的距离公式），得到参数的函数. （2）结合图形的几何性质，分析最值位置. 例1．（多选）已知，为抛物线上两点，的焦点为，且，，则下列结论正确的是（    ） A．的准线为 B．当时，的值为5 C．的最小值为3 D．的最大值为 变式1-1．设是双曲线上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为 ，最小值为 ． 变式1-2．（多选）已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（   ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 类型二、圆锥曲线中三角形（或四边形）面积的最值问题 1.圆锥曲线中三角形面积的计算公式 以椭圆为例，，分别为椭圆的左右焦点，点（除长轴两端点外）是椭圆上任一点，直线与椭圆相交与、两点，,与轴相交于点. （1）焦点三角形面积 （2）（为点到直线的距离） （3） （为坐标原点） 2.圆锥曲线中四边形面积往往可以转化为两个三角形的面积之和进行计算. 【补充】直线与圆锥曲线的相交的弦长公式： ①弦长 ②弦长 （这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：；） 例2．已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 变式2-1．已知椭圆，点为椭圆的左顶点，若点在椭圆上，点为椭圆上任意一点，则面积的最大值是 ． 变式2-2．（多选）过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线，的斜率分别为，，则（   ） A．以为直径的圆与x轴相切 B． C．的最小值为 D．过A，B两点分别作抛物线的切线，，两切线，相交于点P，则△ABP的面积最小值为 变式2-3．已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和△BOD的面积，求的最大值． 类型三、参数的最值与范围问题 1.求参数的最值问题常用的两种方法： （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决； （2）代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等. 2.求参数的范围问题常见的几种思路： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，从而确定参数的取值范围． 例3．（多选）已知点Q在圆上，，动点P满足：在中，．则（    ） A．记P的轨迹方程为轨迹： B．的最大值为 C．的最小值是 D．（点O为坐标原点）的最小值为7 变式3-1．已知椭圆的左、右焦点分别，，椭圆的长轴长为，短轴长为2，P为直线上的任意一点，则的最大值为 . 变式3-2．已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 类型四、与其它知识点的综合应用 1. 坐标或截距的最值与范围问题 2. 斜率或倾斜角的最值与范围问题 3. 向量的最值与范围问题等 例4．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任意一点．下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C． D．椭圆上存在点，使得 变式4-1．如图，抛物线的焦点为F，点A为抛物线上的一动点，直线AF交抛物线于另一点B，当直线的斜率为1时，线段的中点的横坐标为2． （1）求抛物线的标准方程； （2）若过B与轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，求N的纵坐标的取值范围． 变式4-2．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4． （1）求双曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围． 一、单选题 1．已知点分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 2．已知椭圆的上顶点，左顶点，下顶点，右顶点分别是，直线均与椭圆相切，则菱形周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知分别是离心率为2的双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点、右支交于点（两点均在轴上方），设与的内切圆半径分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知点P为椭圆上任意一点，直线与交于A，B两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．抛物线的焦点为，为坐标原点，，点为抛物线上任意一点，的平分线与轴的交点为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的离心率为，过点的直线与双曲线交于不同的两点、，且为钝角（其中为坐标原点），则直线斜率的取值范围是（    ） A． B．，， C． D． 二、多选题 7．已知椭圆的左右焦点为，，为椭圆上一动点，设点，是椭圆上位于轴上方的点，且，则下列说法正确的有（    ） A．面积的最大值为 B．存在点，使 C．若 ，则的最大值为 D．的最小值为 8．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，则（    ） A．平面上点的最小值为 B．直线的方程为 C．过点作，垂足为，则（为坐标原点） D．四边形面积的最小值为4 三、填空题 9．已知椭圆的左、右顶点分别为，动点均在椭圆上，是坐标原点，记和的斜率分别为；与的面积分别为.若，则的最大值为 . 10．人教A版选择性必修第一册108页例题2涉及到的圆的压缩与拉伸其实是一种仿射变换，又称仿射映射.同理，椭圆经过，变换后可变为平面内的单位圆此时椭圆内接四边形面积S与仿射后的面积的关系为.已知椭圆的右端点与上顶点分别为A和B，过原点的直线与椭圆交于C，D两点，则四边形ACBD面积最大值为 . 四、解答题 11．已知椭圆的离心率为，过点的直线交E于两点，当轴时，． （1）求E的标准方程； （2）设点O为坐标原点，为E上一点，且P在第一象限，过点P的直线交x轴y轴分别于点，且当点P与点A重合时，△OST的面积最小． （ⅰ）求点A的坐标； （ⅱ）记△ABC的垂心为点H，求点H的横坐标的最小值． 12．双曲线第二定义：设动点到定点的距离与点到定直线的距离的比是，当时，该动点的轨迹为双曲线．定点为双曲线焦点，定直线为双曲线准线，比值为双曲线离心率．已知动点满足到定点的距离与到定直线的距离的比是2，点坐标为． （1）求点的轨迹方程及的最小值； （2）直线与轨迹的右支交于两点，． （i）若直线过点且与两渐近线分别交于点，，求的取值范围； （ii）若，两点关于直线对称，并且过点．求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 与圆锥曲线相关的最值与范围问题 目录 典例详解 类型一、距离或长度的最值与范围问题 类型二、、圆锥曲线中三角形（或四边形）面积的最值问题 类型三、参数的最值与范围问题 类型四、与其它知识点的综合应用 压轴专练 类型一、距离或长度的最值与范围问题 1. 利用定义求圆锥曲线上点到焦点和定点距离的和、差最值 以椭圆为例，设，分别为椭圆的两焦点，点是椭圆上任一点，点为平面内一定点. （1） 若定点在椭圆内， ①求的最值：由，转化为求的最值. 有 ，当三点共线时取等号，则；； ②求的最值：有，当三点共线时取等号，则 ；； （2）若定点在椭圆外，分析过程同（1）. 2. 圆锥曲线上一点与其它点的距离（或到直线的距离） （1）设圆锥曲线上点的参数式坐标（如椭圆上一点），代入到两点间的距离公式（或点到直线的距离公式），得到参数的函数. （2）结合图形的几何性质，分析最值位置. 例1．（多选）已知，为抛物线上两点，的焦点为，且，，则下列结论正确的是（    ） A．的准线为 B．当时，的值为5 C．的最小值为3 D．的最大值为 【答案】CD 【分析】对于AB，根据抛物线的方程和定义即可判断；C选项，利用抛物线定义得到，当三点共线时和最小，求出最小值；D选项，作出辅助线，找到可判断. 【详解】因为，，，准线方程为， 所以由抛物线的定义可得， 的准线为，故选项A错误； 当时，，的值为，故选项B错误； 如图，过点P作准线于点B，则由抛物线定义可知：，则，当A、P、B三点共线时，和最小，最小值为，C正确； 由题意得：，连接AF并延长，交抛物线于点P，此点即为取最大值的点，此时，其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：，故的最大值为，D正确. 故选：CD. 变式1-1．设是双曲线上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 9 【分析】先求得双曲线的两个焦点坐标，可知为已知圆的圆心，判断出取最大时，点在双曲线的左支或右支上，结合双曲线的定义和圆外一点与圆上一点距离的最值性质，即可求得所求最值. 【详解】设双曲线的左、右焦点分别为，， 则点为圆的圆心，点为圆的圆心， 连接，．当点在双曲线的左支上时（如图）， 由双曲线的定义，可得， 由圆的几何性质，得，， 所以，即， 此时的最大值为9，最小值为3． 同理可得，当点在双曲线的右支上时，的最大值为，最小值为． 综上，的最大值为9，最小值为． 故答案为：， 变式1-2．（多选）已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（   ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 【答案】BCD 【分析】根据焦点三角形面积的相关结论即可判断A；结合椭圆性质可判断B；结合椭圆定义可求线段和差的最值，判断CD. 【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，所以， 所以的面积为，故A错误； B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个， 设椭圆的上下顶点分别为，，则，，，同理， 知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形， 其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确； C选项：由于， 所以当最小即时，取得最大值，故C正确； D选项：因为， 又， 的最大、最小值分别为和， 当点位于的延长线上时取最大值， 当位置的延长线上时取最小值，故D正确. 故选：BCD 类型二、圆锥曲线中三角形（或四边形）面积的最值问题 1.圆锥曲线中三角形面积的计算公式 以椭圆为例，，分别为椭圆的左右焦点，点（除长轴两端点外）是椭圆上任一点，直线与椭圆相交与、两点，,与轴相交于点. （1）焦点三角形面积 （2）（为点到直线的距离） （3） （为坐标原点） 2.圆锥曲线中四边形面积往往可以转化为两个三角形的面积之和进行计算. 【补充】直线与圆锥曲线的相交的弦长公式： ①弦长 ②弦长 （这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：；） 例2．已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由离心率和椭圆过点解得的值，写出椭圆方程； （2）写出直线方程，联立方程组消元得到二次方程，用韦达定理表示出线段的长，再求出点到直线的距离，由三角形面积公式求得四边形面积代数式，然后求最大值. 【详解】（1）由题意可得：，解得， 由椭圆过点，得，联立解得，， 所以椭圆的方程为. （2）由题意可设， 因点在第一象限，则， 设，，点，到直线的距离分别为，， 由，消可得， ，当时，， 所以，， 所以， ，，直线的一般式方程：， 所以，， 所以， 所以， 当时，有最大值为. 变式2-1．已知椭圆，点为椭圆的左顶点，若点在椭圆上，点为椭圆上任意一点，则面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】首先求出直线的方程，设与直线平行的直线方程为，当此直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为，此时的面积取得最大值，联立直线与椭圆方程，消元由，求出的值，找到与距离比较远的直线方程，利用平行线间的距离公式求出高，再求出，即可得解． 【详解】因为为上一点， 所以，解得：，所以 由题意可知，直线的方程为， 设与直线平行的直线方程为， 当此直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为，此时的面积取得最大值． 将代入椭圆方程，消去整理得， ，解得或4． 所以直线方程为或 与距离比较远的直线方程是， 两平行线之间的距离， 又， 的面积的最大值是． 故答案为：. 变式2-2．（多选）过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线，的斜率分别为，，则（   ） A．以为直径的圆与x轴相切 B． C．的最小值为 D．过A，B两点分别作抛物线的切线，，两切线，相交于点P，则△ABP的面积最小值为 【答案】ACD 【分析】根据题意，设直线的方程为，联立方程组求得，得到，根据物线的性质，结合直线与圆的位置关系的判定方法，可判定A正确；由斜率公式，求得，可判定B不正确；由抛物线的焦半径公式，得到，结合基本不等式，可判定C正确；求得切线方程，联立方程组求得，利用点到直线的距离公式和弦长公式，得到面积△ABP的面积为，可判定D正确. 【详解】由题意得，抛物线的焦点为，准线方程为， 显然直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立方程组，可得，， 设，则， 则， 对于A中，由抛物线的性质，可得， 则以为直径的圆，其圆心为，半径为， 则圆心到轴的距离，所以以为直径的圆与轴相切，所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，因为，可得 由抛物线的焦半径公式，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D中，由抛物线，可得， 所以过点和的切线方程分别为和， 联立方程组，可得，即， 又由直线方程，即， 则点到直线的距离为， 又由， 所以△ABP的面积为， 设，可得，所以的最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 变式2-3．已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和△BOD的面积，求的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题意建立的方程组，求解即得双曲线方程； （2）设直线的方程为，将其分别与双曲线方程和渐近线方程联立，消元后，利用韦达定理，求得弦长,以及原点O到直线的距离，结合图形，根据求出表达式，换元后根据函数的单调性即可求得的最大值. 【详解】（1）设双曲线的焦距为2c， 点到渐近线的距离为， 因，代入解得， 又双曲线的一条渐近线为， 故双曲线的方程为：； （2）如图，设，，设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，消去可得：， ， 直线与双曲线右支交于两点，故，解得， 则， 原点O到直线的距离， 设，，联立消去可得：， 则，，，， 则 而，， 令，则， 当，即时取到等号． 综上所述，的最大值为. 类型三、参数的最值与范围问题 1.求参数的最值问题常用的两种方法： （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决； （2）代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等. 2.求参数的范围问题常见的几种思路： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，从而确定参数的取值范围． 例3．（多选）已知点Q在圆上，，动点P满足：在中，．则（    ） A．记P的轨迹方程为轨迹： B．的最大值为 C．的最小值是 D．（点O为坐标原点）的最小值为7 【答案】ACD 【分析】根据题意作出示意图，设点坐标，然后表示出，，即可建立方程，求得的轨迹方程，判断A；设点在一象限，化简，由基本不等式求得的最值，从而得到角的范围，判断B；由抛物线的性质化简得，由的范围求得结果判断C；由图可知当在圆与轴的左交点处时，此时，同时取最小，即可判断D. 【详解】由题意可知，设，过点P作轴于点N，如图： 对于A，则， ∴，即，∴，A选项正确； 对于B，由对称性可假设点P在一象限，则， ∵，当且仅当，即时取等号， 所以，∴，∴最大值为， 当AQ与圆F相切时，，∴的最大值， ∴，B选项错误； 对于C，，∴，C选项正确； 对于D，当Q在圆与x轴的左交点处时，此时同时取最小，， ∴的最小值为7，D选项正确． 故选：ACD 变式3-1．已知椭圆的左、右焦点分别，，椭圆的长轴长为，短轴长为2，P为直线上的任意一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先计算得出，，，再结合两角差正切公式计算应用基本不等式计算求解即可. 【详解】 由题意有，，，设直线与x轴的交点为Q， 设，有，， 可得， 当且仅当时取等号，可得的最大值为. 故答案为：. 变式3-2．已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程与的关系即可得双曲线的方程； （2）根据直线与双曲线交点坐标关系，结合三角形几何性质以及可得的关系，从而可得实数的取值范围. 【详解】（1）渐近线方程为. 又， 双曲线的方程为. （2）直线与双曲线交于不同的两点， 由 ，得， ，且 ， ，且. 设，则， ， 线段的中点坐标为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 又在由点与构成的三角形中，， 点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上， ， 又， 且，解得，或， 实数的取值范围是. 类型四、与其它知识点的综合应用 1. 坐标或截距的最值与范围问题 2. 斜率或倾斜角的最值与范围问题 3. 向量的最值与范围问题等 例4．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任意一点．下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C． D．椭圆上存在点，使得 【答案】ACD 【分析】根据椭圆定义和基本不等式可知A正确；利用余弦定理和A的结果可知B错误；利用向量数量积定义和余弦定理可化简得到C正确；设，根据向量数量积坐标运算可求得的范围，知D正确. 【详解】由椭圆方程知：长半轴长，短半轴长，半焦距，，， 对于A，由椭圆定义知：， （当且仅当，即为短轴端点时取等号）， 的最大值为，A正确； 对于B，， 即的最小值为，B错误； 对于C，， ，C正确； 对于D，设，，， ， ，，， 椭圆上存在点，使得，D正确. 故选：ACD. 变式4-1．如图，抛物线的焦点为F，点A为抛物线上的一动点，直线AF交抛物线于另一点B，当直线的斜率为1时，线段的中点的横坐标为2． （1）求抛物线的标准方程； （2）若过B与轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，求N的纵坐标的取值范围． 【答案】（1）；（2），，． 【分析】（1）利用点差法可以求得p的值，进而得到抛物线方程； （2）设，，，．联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理可以求得B的坐标，进而得到AB的斜率，得到直线FN的方程，结合直线，求得交点纵坐标关于t的函数表达式，进而求得取值范围. 【详解】（1）设直线AF的方程为y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2), 则，. ∴,, 设M(x0，y0),则x1+x2=2x0,∴x0=pk, ∵当k=1时x0=2,∴p=2, 则抛物线的方程为 （2）设，，，． 由题知不垂直于轴，可设直线 由消去得， 故，所以． 又直线的斜率为，故直线的斜率为， 从而的直线，直线， 由解得的纵坐标是，其中， 或． 综上，点的纵坐标的取值范围是，，． 变式4-2．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4． （1）求双曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）依题意可得，结合离心率求出、，即可得解； （2）依题意可得直线的方程为，设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由为锐角，可得，再由数量积的坐标表示得到不等式，解得即可； 【详解】（1）依题意，解得， 所以双曲线的方程为； （2）由（1）知、， 依题意直线的斜率，则直线的方程为， 由，消去整理得， 设，， 当，即，由， 则，， 所以 ， 因为为锐角，所以， 即 ，解得或， 则或或， 又，所以的取值范围为. 一、单选题 1．已知点分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将转化为的形式，寻求定点，使得恒成立，转化为，当且仅当在一条直线上时，取得最小值，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点坐标为， 又由圆，可化为， 可得圆心坐标为，半径， 设定点，满足成立，且 即恒成立， 其中，代入两边平方可得： ，解得， 所以定点满足恒成立， 可得， 如图所示，当且仅当在一条直线上时， 此时取得最小值， 即， 设，满足， 所以， ， 当时，等号成立， 故选：C. 2．已知椭圆的上顶点，左顶点，下顶点，右顶点分别是，直线均与椭圆相切，则菱形周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆对称性，讨论与相切在第一象限情况.设与相切于，得到切线方程，求出，结合和基本不等式得到，进而得到菱形周长的取值范围. 【详解】椭圆具有对称性，不妨讨论与相切在第一象限情况. 设与相切于，切线方程：. ，又， ， ，当，即，时取等号， 菱形周长的取值范围是. 故选：D. 3．已知分别是离心率为2的双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点、右支交于点（两点均在轴上方），设与的内切圆半径分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等面积法以及三角形的面积公式得到，利用余弦定理化简，根据余弦定理可得，进而可得，即可求解，或者利用双曲线的定义以及内切圆的性质可得，，即可求解. 【详解】方法一：设，，则，，（双曲线定义的应用） 由题可得，，即， ， ， ，． ，， ，化简得，． 假设直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则，易得， 在中，由余弦定理得，化简得； 假设直线的斜率为0，易得此时．数形结合可得， . 方法二：由题意画出，及它们的内切圆，如图所示，分别为，内切圆的圆心，均为切点． 由双曲线的定义可得，， 由内切圆的性质可得，得， 又根据双曲线的定义可得，所以． 由，可得，故切点是双曲线的左顶点． 由双曲线的离心率为2可得，所以，则． 设，，则．易知， 同理，得， 又， 所以，又双曲线的离心率为2， 所以，故，所以． 故选：D． 4．已知点P为椭圆上任意一点，直线与交于A，B两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合椭圆焦半径的取值范围即可求解； 【详解】    ，即的圆心，半径为， 化为，可得直线l过定点， 椭圆方程中，，，，，则圆心为椭圆的右焦点， 线段为的直径(除去直线与圆M相交的直径）， 连接，因此， 点为椭圆上任意一点，则，， 即，所以， 故选：B. 5．抛物线的焦点为，为坐标原点，，点为抛物线上任意一点，的平分线与轴的交点为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对点的位置进行分类讨论，当点与坐标原点重合时，可求得；当点不与原点重合时，不妨设点在第一象限，过点作垂直准线于点，利用角平分线的性质可得出，可得出，结合题意可求出的取值范围，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意得，焦点，准线方程为，为准线与轴的交点. 当点与坐标原点重合时，的平分线与轴交点为，即. 当点不与原点重合时，由抛物线的对称性，不妨设点在第一象限， 过点作垂直准线于点， 如图，由抛物线的定义可得， 记的平分线与轴交于点，则，. 根据角平分线定理可得，即. 因为， 所以，解得. 综上. 故选：B. 6．已知双曲线的离心率为，过点的直线与双曲线交于不同的两点、，且为钝角（其中为坐标原点），则直线斜率的取值范围是（    ） A． B．，， C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的离心率求出，得到双曲线方程，设出直线方程，设出坐标，利用韦达定理结合向量的数量积转化求解的范围即可． 【详解】解：由题意双曲线的离心率为， 得，解得， 双曲线， 设直线，与双曲线联立得：， 设点，，，， 则， ， 又因为为钝角，则，所以， 即得出，即， 所以直线的斜率， 又且三点不可能共线，则必有， 即直线斜率的取值范围是， 故选：A． 二、多选题 7．已知椭圆的左右焦点为，，为椭圆上一动点，设点，是椭圆上位于轴上方的点，且，则下列说法正确的有（    ） A．面积的最大值为 B．存在点，使 C．若 ，则的最大值为 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】根据椭圆焦点三角形的性质可判断A选项；；设点坐标，结合向量数量积判断B选项；结合椭圆的定义，根据椭圆上的点到焦点距离的取值范围可判断C选项；根据椭圆的对称性，设直线方程，联立直线与椭圆，结合韦达定理可得，进而可得最值，判断D选项. 【详解】由椭圆方程，可知，，， A选项：的面积， 所以当点为椭圆短轴顶点时面积最大为，A选项正确； B选项：设，，则，即， ，， 则， 所以不存在使，B选项错误； C选项： 如图所示，由椭圆定义可知， 当点在延长线时取等号，C选项正确； D选项： 设直线与椭圆的另一个交点为， 由椭圆的对称性可知，当时，， 设直线的方程为， 联立直线与椭圆，化简可得，， 则，， 则，， 所以， 又，所以，D选项错误； 故选：AC. 8．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，则（    ） A．平面上点的最小值为 B．直线的方程为 C．过点作，垂足为，则（为坐标原点） D．四边形面积的最小值为4 【答案】ABD 【分析】对A，利用双曲线定义将转化为可得解；对B，设出直线的方程为与双曲线联立，根据化简运算得解；对C，由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点，则垂直平分，即，为的中点，进而得得解；对D，求出点坐标，根据，结合基本不等式可求解. 【详解】对于A，由双曲线定义得，且， 则， 所以的最小值为.故A正确； 对于B，设直线的方程为，， 联立方程组，消去整理得，， ，化简整理得，解得， 可得直线的方程为，即，故B正确； 对于C，由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点， 则垂直平分，即，为的中点， 又是中点，所以，故C错误； 对于D，由直线的方程为，令，得，则， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以四边形面积的最小值为4，故D项正确. 故选：ABD. . 三、填空题 9．已知椭圆的左、右顶点分别为，动点均在椭圆上，是坐标原点，记和的斜率分别为；与的面积分别为.若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由题意可得的坐标，不妨设点在第一象限，点在第二象限，设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出两点的纵坐标，求出的表达式，再根据基本不等式即可得解. 【详解】由椭圆的方程可得， 不妨设点在第一象限，点在第二象限， 设直线的方程为， 代入椭圆方程可得， 解得（舍去），所以， 因为和的斜率，所以， 则直线的方程为，代入椭圆方程得， 解得（舍去），所以， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为， 由椭圆及直线的对称性，满足条件时的最大值为. 故答案为：. 10．人教A版选择性必修第一册108页例题2涉及到的圆的压缩与拉伸其实是一种仿射变换，又称仿射映射.同理，椭圆经过，变换后可变为平面内的单位圆此时椭圆内接四边形面积S与仿射后的面积的关系为.已知椭圆的右端点与上顶点分别为A和B，过原点的直线与椭圆交于C，D两点，则四边形ACBD面积最大值为 . 【答案】 【分析】方法一：由题意，进行仿射变换，将问题转化为在圆中处理，即可求解. 方法二：设，，联立方程组求出，，求得直线AB方程，进而求得到直线AB的距离，进而可得四边形的面积为，计算可求最大值. 【详解】方法一：令，，则椭圆变为 直线方程变为，, 则，，设的夹角为， 所以四边形的面积， 当且仅当时，等号成立， 所以. 方法二：设，， 联立和消去y得， 所以若，则， 又，，所以直线AB方程：， 点C，D到AB的距离分别为，， ，， 所以，而， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：. 四、解答题 11．已知椭圆的离心率为，过点的直线交E于两点，当轴时，． （1）求E的标准方程； （2）设点O为坐标原点，为E上一点，且P在第一象限，过点P的直线交x轴y轴分别于点，且当点P与点A重合时，△OST的面积最小． （ⅰ）求点A的坐标； （ⅱ）记△ABC的垂心为点H，求点H的横坐标的最小值． 【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）利用离心率转化为关系式，再结合已知条件即可求解； （2）（ⅰ）利用直线方程与坐标轴交点求解相关坐标，即可计算面积，再利用点在椭圆上，结合不等式即可求最小值，及找到取等号条件即可求点A的坐标; （ⅱ）利用向量法结合数量积为0来求解三角形的垂心坐标，引入直线方程中的参数，结合韦达定理可得到垂心横坐标与参数的函数关系式，然后利用换元法来求最小值即可. 【详解】（1）由过点的直线交E于两点，当轴时，， 可知， 又因为，所以， 即， 所以E的标准方程为． （2）（i）易得． 所以点S的坐标为，点T的坐标为．所以△OST的面积为， 又因为，当且仅当时取等号，所以， 故点A的坐标为． （ⅱ）当直线的斜率为0时，直线方程为， 不妨设，点， 由，即，得，由， 即，得，故． 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 点，点，点． 联立，得， 所以． 因为， 由，得，即． 又因为， 由，得， 注意到，且， 代入上式得， 所以， 这等价于， 所以． 故， 设，则，又，所以， 所以，当时，， 当时，， 由，当且仅当时等号成立， 即，所以， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以， 综上所述，点H的横坐标的最小值为． 12．双曲线第二定义：设动点到定点的距离与点到定直线的距离的比是，当时，该动点的轨迹为双曲线．定点为双曲线焦点，定直线为双曲线准线，比值为双曲线离心率．已知动点满足到定点的距离与到定直线的距离的比是2，点坐标为． （1）求点的轨迹方程及的最小值； （2）直线与轨迹的右支交于两点，． （i）若直线过点且与两渐近线分别交于点，，求的取值范围； （ii）若，两点关于直线对称，并且过点．求的取值范围． 【答案】（1），5 （2）（i）；（ii） 【分析】（1）设，根据题意列方程化简即可求解点的轨迹方程，根据双曲线的第二定得，然后利用三点共线求得最小距离； （2）（i）设直线方程，与双曲线方程联立韦达定理，利用弦长公式求出，分别求出点，的坐标，进而求出的表达式，然后利用二次函数性质求解范围即可； （ii）设直线方程，与双曲线方程联立韦达定理，利用弦长公式求出，分别求出点，的坐标，进而求出，，从而，根据正切函数单调性得，再由求解范围即可. 【详解】（1）设，由题意，所以， 平方化简得，即点的轨迹方程为． 由双曲线的第二定义可知， 又的最小值为到准线的水平距离， 所以的最小值为． （2）（i）如图： 双曲线的渐近线为，显然直线过焦点的直线斜率不为0， 故可设其方程为：． 由， 整理得：． 设，则， 所以． 于是． 又由，即； 同理：， 所以． 所以， 因为直线与轨迹的右支交于两点，，所以， 所以，所以． （ii）设，， 联立，则， 所以，即， 且，， 则， 则的中点为，即， 因为线段的中垂线过点， 则，整理得． 则，，， 由，，则，， 则，解得， 又 ， 则， 又，则，即， 又，则的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$