22.1.2二次函数y=ax²的图象和性质（题型专练）数学人教版九年级上册

22.1.2二次函数y=ax²的图象和性质 题型一、二次函数y=ax²的图象的认识 1．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）二次函数的图象开口方向是（   ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象性质，即可得出结论． 【详解】解：二次函数的二次项系数， 二次函数的图象开口方向是向上． 故选：C． 2．（23-24九年级上·河北保定·期末）二次函数的图象如图所示，则a的值可能为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象的开口方向求解即可． 【详解】解：由图象知，二次函数的图象开口向上，则， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意， 故选：A． 3．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）二次函数的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．根据解析式确定出的值为负数，得到抛物线开口向下，再由解析式可知抛物线的对称轴是轴，顶点为，即可确定出其图象． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴是轴，顶点为， 由可知，抛物线开口向下， 故选：D． 4．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可． 【详解】解：∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口， ∴ ∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口， ∴ 又 ∴ ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 题型二、二次函数y=ax²的增减性 5．（2025九年级上·全国·专题练习）已知抛物线过点和点，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象和性质，利用函数的对称性和增减性进行比大小即可 【详解】解：根据抛物线的性质， 开口向上，抛物线对称轴为 轴，对称轴左侧随的增大而减小，对称轴右侧随的增大而增大 由于关于对称轴的对称点为 ∵ ∴ 故选： A． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及二次函数的性质，正比例函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．根据一次函数以及二次函数的增减性即可进行解答． 【详解】A：为一次函数，斜率，故当增大时，始终增大，不符合条件． B：是开口向下的抛物线，顶点在原点．当时，函数在对称轴左侧随增大而递增，不符合条件． C：开口向下，顶点为．当时，函数同样随增大而递增，不符合条件． D：是开口向上的抛物线，顶点为．当时，函数在对称轴左侧随增大而递减，符合条件． 故选：D． 7．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若点都在二次函数图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，由，可得． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为轴，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴． 故选：A． 8．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小．根据函数解析式得到对称轴为y轴，且离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到y轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点，，都在函数的图象上， 且， ∴， 故答案为：． 题型三、二次函数y=ax²的性质 9．（24-25九年级上·广西河池·期中）下列关于二次函数的性质，说法不正确的是(    ) A．它的图象经过点 B．它的图象的对称轴是y轴 C．当时，y随x的增大而减小 D．有最大值 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，难度较小． 【详解】A、因为，把代入，解得，故它的图象经过点，故该选项是正确的，不符合题意； B、的图象的对称轴是y轴, 故该选项是正确的，不符合题意； C、的图象的对称轴是y轴, 开口向上，当时，y随x的增大而减小，故该选项是正确的，不符合题意； D、因为的图象开口向上，有最小值，故该选项是错误的，符合题意． 故选：D． 10．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线，，共有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴为y轴 C．都有最低点 D．y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】根据的性质判断； 【详解】解：A.时，开口向上，故，开口向上，原说法错误，本选项不合题意； B. 对称轴为y轴，原说法正确，本选项符合题意； C. 时，开口向下，有最高点，故有最高点，无最低点，原说法错误，本选项不合题意； D. 在对称轴左右两侧，y随x的变动趋势不一样；原说法错误，本选项不合题意； 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的性质；掌握性质是解题的关键． 11．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）关于抛物线，下列说法正确的有（   ） ①与抛物线顶点相同，开口方向相反；②当时，随的增大而减小；③当时，；④若，是该抛物线上两点，则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查抛物线的性质，掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴是y轴， ∴①与抛物线顶点相同，开口方向相反，说法正确； ②当时，随的增大而减小，说法正确； ③当时，，原说法错误； ④若，是该抛物线上两点，即两点关于y轴对称，则，说法正确； 说法正确的为：①②④， 故选：C． 题型四、二次函数y=ax²的解析式 12．（24-25九年级上·吉林·期中）若二次函数的图象经过点，求该函数的解析式并写出对称轴． 【答案】函数解析式为，对称轴是y轴 【分析】本题考查了的图象与性质，解题关键是牢记它的对称轴是y轴，图象上的点的坐标代入解析式能让左右两边相等． 【详解】解：根据题意，得，解得， ∴所求的函数解析式为， ∴对称轴是y轴． 13．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题考查二次函数的性质： （1）把代入线求出a的值即可； （2）在中，令，求出对应的y值，即可判断． 【详解】（1）解：把代入线得：， 解得， ； （2）解：在中，令，得， 点不在此抛物线上． 14．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式和求二次函数的函数值： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 在中，当时，． 题型五、画二次函数y=ax²的图象 15．（21-22九年级上·青海西宁·阶段练习）已知二次函数y= -（x-1）2 （1）画出这个函数的图象； （2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___． 【答案】（1）函数图象见详解；（2）；1；大；0． 【分析】（1）根据二次函数图象的作法：先找点，然后确定函数图象对称轴，顶点坐标，用光滑的曲线连接即可； （2）根据作出的函数图象即可得出函数的增减范围，最值点． 【详解】解：（1）根据图象的作法，找出，，三个点坐标，对称轴为，顶点坐标为：，用光滑的曲线连接即可； （2）根据函数图象可得：当时，y随x增大而减小； 当时，，即当时，y有最大值，最大值为0， 故答案为：；1；大；0． 【点睛】题目主要考查一元二次函数的基本性质及图象的作法，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 16．（22-23九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知二次函数，解答下列问题： (1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）． (2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由． (3)求当时对应的函数图象上的点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)点不在这个函数图像上； (3)和． 【分析】（1）根据对称性可直接画出图象； （2）代入横坐标或纵坐标都可判断； （3）代入即可求出坐标． 【详解】（1）如图所示， （2）当时， ， ∴点不在这个函数图象上； （3）当时， ， ∴， ∴时，对应的函数图象上的点的坐标为：和． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题关键是运用好数形结合的思想． 17．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)则的值为______；对称轴为______； (2)已知，点在该二次函数图象上，则点在该图象上对称点的坐标为______； (3)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 【答案】(1)，轴； (2)； (3)画图见解析，． 【分析】（）根据二次函数的定义先求出，，然后由当时，随的增大而增大，则有，然后根据二次函数的性质即可求解； （）据二次函数的性质即可求解； （）根据列表，描点，连线的方法即可出图象，再由图象即可求出的取值范围； 本题考查求二次函数的定义，二次函数的性质，画二次函数图象，根据二次函数与不等式的关系结合图象求解，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴， 解得：，， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，即轴， 故答案为：，轴； （2）解：∵点在该二次函数图象上，对称轴为直线，即轴， ∴点在该图象上对称点的坐标为， 故答案为：； （3）解：列表： 如图， 根据图象可知：当时， ∴的取值范围， 故答案为：． 题型一、二次函数y=ax²的函数值的范围 18．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以计算出当时，函数值的取值范围． 【详解】 ∴该函数图象开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 ∴当时，；当时， ∴当时，自变量的取值范围是或 故答案选C 19．（2024·浙江金华·二模）若是抛物线图象上两个不同的点，则为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式可得，抛物开口向上，对称轴为y轴，则离对称轴越远函数值越大，即可推出与同号或都等于0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，抛物开口向上，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当，，当，， ∴与同号或都等于0， ∴ 故选：D． 20．（2023·浙江·三模）已知点为二次函数图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若：，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，，对称轴为轴， ∴在轴左侧，随的增大而增大，在轴右侧，随的增大而减小，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小； A、，不一定大于，例如时，，时，，此时，但是；故选项A错误； B、，不一定小于，例如时，，时，，此时，但是；故选项B错误； C、当，不一定大于，例如时，，时，，此时，但是；故选项C错误； D、当，即：， ∴或， 当时，， 当时，， ∴当时，；故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．本题可以利用特殊值法进行排除，进行判断． 题型二、二次函数y=ax²与几何图形公共点问题 21．（2020·四川南充·中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3， 当抛物线经过（3，1）时，a=， 观察图象可知≤a≤3， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，找到两个临界位置是解题关键．先将点，代入求出的值，再结合函数图象求解即可得． 【详解】解：将点代入抛物线得：，解得， 将点代入抛物线得：， 如图，若抛物线与线段恰有一个公共点， 则的取值范围是， 故选：D． 题型三、二次函数y=ax²与几何性质的计算 23．（2025·广东惠州·一模）如图，菱形的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线过点B．若，则为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质及解直角三角形，过点作轴交轴于点，求出点的坐标，代入即可求解，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：过点作轴交轴于点， ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 把代入， ∴， ∴， 故选：A． 24．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的纵坐标是横坐标的2倍，点的横坐标为，则点的横坐标为（   ） A．3 B．4 C．3.5 D．2 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与正方形的综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质解题的关键，根据题意求出点坐标，从而得到的长，根据正方形的性质得到长, 过点作轴于点，过点作轴于点,可证,得到,在直角中,利用勾股定理解得的长,进而得到的长,即可得到答案． 【详解】解：由题可得：设 ∵点在抛物线的第一象限的图象上， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， ∴, ∵四边形为正方形， ∴, 过点作轴于点，过点作轴于点, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵点的横坐标为， ∴ ∴在中，, ∴, 点的横坐标为3, 故选：A． 25．（2024·广东清远·模拟预测）如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出B点坐标是解题的关键．根据点在抛物线上求出m的值，求出的长，再根据正方形的性质求出正方形的面积． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴正方形面积为∶ ． 故选C． 题型四、二次函数y=ax²上的点与几何变化规律 26．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，已知点在函数位于第二象限的图象上，点在函数位于第一象限的图象上，点在y轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为 ．    【答案】 【分析】考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．根据正方形对角线平分一组对角可得与轴的夹角为，然后表示出的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标，然后求出的长，再根据正方形的性质求出，表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，再求出的长，然后表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，从而根据边长的变化规律解答即可． 【详解】解：是正方形， 与轴的夹角为， 的解析式为， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ， ， ∵， ∴直线的解析式为：， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ， ∴， ∴， ∵， ∴直线的解析式为：， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ∴ 依此类推，则正方形的边长为． 故答案为：． 27．（2022·广东东莞·一模）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法．由可得：，，则可得，则可得 ，再利用 ，进行计算即可． 【详解】解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点； ∴令，可得：纵坐标为， 纵坐标为， ，， ． ， ． 故选：D． 题型五、二次函数y=ax²与几何综合问题 28．（24-25九年级上·河南三门峡·阶段练习）如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． (1)求a的值和点B的坐标； (2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的对称性等等： （1）先把点A坐标代入解析式中求出a的值，即求出抛物线解析式，再根据对称性即可求出点B的坐标； （2）先求出，再根据题意可得，据此求出点P的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∵轴，且点B在抛物线上， ∴点A和点B关于抛物线对称轴对称，即关于y轴对称， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵的面积为2，轴， ∴， ∴， ∴或， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或或或． 29．（2024九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． (1)如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； (2)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？ 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）结合菱形的性质，得出，由勾股定理得，得到，再把代入进行计算，即可作答． （2）结合正方形的性质和二次函数的性质，得出，再通过证明，把数值代入进行计算，得因为点B，D在y轴的同侧，所以即，据此即可作答． 【详解】（1）解：设交y轴于点E， 设菱形的边长为， 则． 关于y轴对称， ． ， ， ， 把代入， 得， 解得或（舍去）， ∴菱形的边长为； （2）解：为定值．理由如下： 过点B作轴于点F，过点D作轴于点E．如图所示： ∵点B，D的横坐标分别为m，n，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上， ， ． ∵四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ∵点B，D在y轴的同侧， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 30．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）边长为2的正方形的顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是利用正方形的性质及直角三角形的性质求出点B的坐标． 过点B向x轴引垂线，交点为点E，连接，可得的长度，再求出的长度，进而得到点B的坐标，代入二次函数解析式即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点E，连接， 正方形绕顶点顺时针旋转， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 把点B抛物线得：， 解得：， 故选：D． 31．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，分别过点（，2，…，2024）作x轴的垂线，交（）的图象于点，交直线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键．根据的纵坐标与纵坐标的绝对值之和为的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ， ． 故选：D． 32．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，直线经过点和点，且与二次函数的图像在第二象限内相交于点C，在第一象限内相交于点P，已知P点的横坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)求C点的坐标； (3)点D在抛物线上，有，求D点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合，涉及待定系数法求二次函数与一次函数的解析式，求二次函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数的图像和性质； （1）待定系数法求出一次函数的解析式，再求出P点坐标，代入二次函数解析式即可得解； （2）联立二次函数与一次函数的解析式，即可得解； （3）连接，设，先求出，再根据可得，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把点和点代入得， 解得， 直线的解析式为， P点的横坐标为， P点的纵坐标为， ， 把代入得，， 解得：， 二次函数的解析式； （2）解：联立得， 解得：， 当时，， ； （3）解：连接， 设， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， 或． 33．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动．当点到达点时，、停止运动，连接、．设点运动的时间为，的面积为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)若函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小 (3) 【分析】（1）由题意知，，分当在上，当在上，两种情况求解即可； （2）根据函数解析式画函数图象即可，然后根据随的变化情况作答即可； （3）如图2，将代入，可求；将代入，可求；然后结合图象作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 当在上，时，， ∴； 当在上，时，，， ∴； 综上所述，； （2）解：画函数图象如图1： 由图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小； （3）解：如图2， 将代入得，， 解得，； 将代入得，， 解得，； 由图象可知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式，二次函数的解析式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质等知识．数形结合是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.2二次函数y=ax²的图象和性质 题型一、二次函数y=ax²的图象的认识 1．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）二次函数的图象开口方向是（   ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 2．（23-24九年级上·河北保定·期末）二次函数的图象如图所示，则a的值可能为（    ） A．2 B．0 C． D． 3．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）二次函数的图象是（　　） A．B． C．D． 4．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型二、二次函数y=ax²的增减性 5．（2025九年级上·全国·专题练习）已知抛物线过点和点，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若点都在二次函数图象上，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 题型三、二次函数y=ax²的性质 9．（24-25九年级上·广西河池·期中）下列关于二次函数的性质，说法不正确的是(    ) A．它的图象经过点 B．它的图象的对称轴是y轴 C．当时，y随x的增大而减小 D．有最大值 10．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线，，共有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴为y轴 C．都有最低点 D．y随x的增大而减小 11．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）关于抛物线，下列说法正确的有（   ） ①与抛物线顶点相同，开口方向相反；②当时，随的增大而减小；③当时，；④若，是该抛物线上两点，则． A．个 B．个 C．个 D．个 题型四、二次函数y=ax²的解析式 12．（24-25九年级上·吉林·期中）若二次函数的图象经过点，求该函数的解析式并写出对称轴． 13．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在此抛物线上． 14．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时，求y的值． 题型五、画二次函数y=ax²的图象 15．（21-22九年级上·青海西宁·阶段练习）已知二次函数y= -（x-1）2 （1）画出这个函数的图象； （2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___． 16．（22-23九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知二次函数，解答下列问题： (1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）． (2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由． (3)求当时对应的函数图象上的点的坐标． 17．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)则的值为______；对称轴为______； (2)已知，点在该二次函数图象上，则点在该图象上对称点的坐标为______； (3)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 题型一、二次函数y=ax²的函数值的范围 18．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 19．（2024·浙江金华·二模）若是抛物线图象上两个不同的点，则为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 20．（2023·浙江·三模）已知点为二次函数图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若：，则 D．若，则 题型二、二次函数y=ax²与几何图形公共点问题 21．（2020·四川南充·中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三、二次函数y=ax²与几何性质的计算 23．（2025·广东惠州·一模）如图，菱形的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线过点B．若，则为（　　） A． B． C． D．1 24．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的纵坐标是横坐标的2倍，点的横坐标为，则点的横坐标为（   ） A．3 B．4 C．3.5 D．2 25．（2024·广东清远·模拟预测）如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 题型四、二次函数y=ax²上的点与几何变化规律 26．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，已知点在函数位于第二象限的图象上，点在函数位于第一象限的图象上，点在y轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为 ．    27．（2022·广东东莞·一模）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 题型五、二次函数y=ax²与几何综合问题 28．（24-25九年级上·河南三门峡·阶段练习）如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． (1)求a的值和点B的坐标； (2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 29．（2024九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． (1)如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； (2)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？ 30．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）边长为2的正方形的顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，分别过点（，2，…，2024）作x轴的垂线，交（）的图象于点，交直线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，直线经过点和点，且与二次函数的图像在第二象限内相交于点C，在第一象限内相交于点P，已知P点的横坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)求C点的坐标； (3)点D在抛物线上，有，求D点的坐标． 33．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动．当点到达点时，、停止运动，连接、．设点运动的时间为，的面积为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)若函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围是______． 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