22.1.2 二次函数y =ax2的图象和性质-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

数学九年级上册第二十二章二次函数 22.1.2二次函数y 知识梳理ZHISHI SHUU 1.一般地，抛物线y=ax2的对称轴是 ,顶点 是 .当a>0时，抛物线的开口 ,顶 点是抛物线的最点；当a<0时，抛物线的 开口向下，顶点是抛物线的最 点.对于抛 物线y=ax2,a越大，抛物线的开口越。 2.二次函数y=ax2(a≠0)： (1)当a>0时，在对称轴的左侧，即当x<0 时，y随x的增大而 ；在对称 轴的右侧，即当x>0时，y随x的增大而 ；当x=0时，函数y有 值；这个值为 (2)当a<0时，在对称轴的左侧，即当x<0 时，y随x的增大而 ；在对称轴 的右侧，即当x>0时，y随x的增大而 ;当x=0时，函数y有 值，这个值为 对点练习DUIDIAN LIANXI 知识点一二次函数y=ax2的图象 1.(天津南开区期中)关于y=号，y=,y 3x2的图象，下列说法中不正确的是( A.顶点相同 B.对称轴相同 C.图象形状相同 D.最低点相同 2.已知物体从空中自由下落过程中，下落高度 h关于时间t的函数解析式为h=g严，其中 g是一个常数，则这个函数的图象是( 木 =ax2的图象和性质 3.在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的 图象 4y=-32;(2y=3x. 知识点二二次函数y=ax2的性质 4.对于函数y=5x2,下列结论正确的是() A.y随x的增大而增大 B.图象开口向下 C.图象关于y轴对称 D.无论x取何值，y的值总是正的 5.已知二次函数y=(m一2)x2的图象开口向 下，则m的取值范围是 6.若点A(-2,a)在抛物线y=-5.x2上，则点A 关于y轴对称的点的坐标是 7.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8). (1)求此抛物线对应的函数解析式； (2)写出这个抛物线的顶点坐标、对称轴、开 口方向； (3)判断点B(一1，一4)是否在此抛物线上； (4)求出此抛物线上纵坐标为一6的点的 坐标. 课后作业KEHOU ZUOYE 1抛物线y一一了不具有的性质是( A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.与y轴不相交 D.最高点是坐标原点 2.（天津河西区期中)已知抛物线y=ax2经过 点（一1,2）和(m,4),则m的值为( ) A.√2 B.2 C.±√2D.土2 3.已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数 y=ax与y=ax2的图象可能是( ) 头米米 4.（天津河西区月考)已知二次函数y1=一4x2, =一产=一多，它们的图象的开日大 小由小到大的顺序是() A.y1,y2,y3 B.y3,y2,y1 C.y2,y1,y3 D.y3,y1,y2 5.如图是抛物线形的桥拱，其 函数解析式为y=一}2， 当水位线在AB位置时，水 A 面宽为12m,这时水面离 桥顶的高度h是() A.3 m B.2√6m C.4√3m D.9m 6.已知关于x的二次函数y=(k+1)x-有最 大值，则当x=1时，y= 7.若二次函数y=（m一2)x2的图象经过点 A(x1,y1)和点B(x2,y2),当x1<x2<0时， y1>y2,则m的取值范围是 2 22.1二次函数的图象和性质 8.已知函数y=ax2(a>0)的图象上有 A(2,y1),B(3,y2),C(-1,y3)三个点，试比 较y1,y2,y3的大小. 叉能力提升NENGU TSHENG→ 9.如图，已知函数y=ax2(a≠0)的图象上的点 D,C与x轴上的点A(一5,0)和点B(3,0)构 成平行四边形ABCD,DC与y轴的交点为 E(0,6),试求a的值.7.解(1)由题意，可得当售价为22万元/辆时， 故日销售利润心（元）与销售单价x(元/件)之间的函数 平均每网的错得量：2502×1+8=14（辆）。 解析式为：=(x-10)y=(x-10)(-10x+400)= -10x2+500x-4000. 平均每周的销售利润：(22一15)×14=98（万元）. 1x>0, (2)设每辆汽车降价x万元， (2)由 -10x+400≥0， 根据题意得(25-x-15)(8+2x)=90, 解得0<x≤40， 解得x1=1,x2=5, ,.自变量x可以取值的范围是0<x≤40 当x=1时，销售数量为8十2×1=10（辆）； 当x=5时，销售数量为8十2×5=18（辆）. 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 为了尽快减少库存，则x=5, 知识梳理 此时每辆汽车的售价为25一5=20（万元）. 1.y轴原点向上低高小 答：每辆汽车的售价为20万元. 2.(1)减小增大最小0 第二十二章二次函数 (2)增大减小最大0 对点练习 22.1二次函数的图象和性质 1.C2.A 3.列表如下： 22.1.1二次函数 x 3 知识梳理 y=- 4 3 -3 33 0 3 1.y=ax2十bx十c自变景二次项系数 一次项系数 常数项 0 2 2.(1)整式 (2)2(3)0 y=3x2 6 对点练习 描点、连线，画图如下： 1.A2.B3.C4.a≠2 5解(1y=(x-1+号是二次函数，二次项系数是1， =3x2 一次项系数是一2，常数项是 3 (2)s=3一2t2是二次函数，二次项系数是一2，一次项系 数是0，常数项是3 -4-3-2 234 (3)y=2x(x2十3x-1)不是二次函数. 6C-9是 4.C5.m<26.(2,-20) 课后作业 7.解(1)：抛物线y=ax2经过点A(-2,-8), 1.B2.C3.C4.5-31 .a·(-2)2=-8. 5.(1)0(2)≠0≠1 .a=-2. 6.S=t2-6t+720<t<6 ,此抛物线对应的函数解析式为y=一2x2 7.解根据题意可得m2十m一4=2，且m十2≠0， (2)顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴，开口向下. 解得m=一3或m=2. (3)把x=-1代入y=-2x2, 故满足条件的m的值为一3或2. 得y=-2×(-1)2=-2. 能力提升 -2≠-4，.点B(-1,-4)不在此抛物线上. 8.解(1)由图表中数据得出y与x是一次函数关系，设 (4)把y=-6代入y=-2x2,得-6=一2x2, 解析式为：y=x十b, 115k+b=250, 1k=一10， 解得x1=√3，x2=-√3. 则 解得 18k+b=220, b=400, ∴抛物线上纵坐标为一6的点的坐标分别为（√3，一6）， .y与x之间的函数解析式为：y=一10x+400. (-√3，-6)」 课后作业 6.解因为抛物线y=ax2十k与y=一5x2的形状相同、开 1.C2.C3.C4.A5.D 口方向也相同，所以a=一5. 6.-27.m>2 又因为抛物线的顶，点坐标为(0,3)，所以=3. 8.解法一由题意知，y1=4a,y2=9a,y3=a. 所以其解析式为y=一5x2+3.它是由抛物线y=一5x2 又a>0,故y2>y1>y3. 向上平移3个单位长度得到的 解法二因为抛物线y=ax2(a>0)的对称轴是y轴，点 课后作业 C(-1,ya)在函数y=ax2(a>0)的图象上，所以点 1.B2.B3.C4.D5.2-46.67.④ (1,y)也在该抛物线上. 8.解(1)因为点(2，b)在直线y=2x上，所以b=4. 因为a>0,所以当x>0时，y随x的增大而增大. 又因为(2，b)即(2,4)在抛物线y=ax2十3上， 又因为3>2>1，所以y2>y>y: 所以4如十3=4.所以a=子 能力提升 9.解：四边形ABCD是平行四边形， (2)在y=2x中，令y=2,则x=1,所以A(1,2). ∴.DC∥AB,DC=AB. 又因为抛物线y=是+3的项点B为0,3。 又点A,B的坐标分别为（一5,0），(3,0)， ∴.DC=AB=|-5|+3=8. 所以5am=0B14=号×3X1=2 ,y=ax2图象的对称轴是y轴， 能力提升 CE-DE-CD-4. 9解（①）设P点的坐标为(e,子+1)， 又，点E的坐标为(0,6)， 点F的坐标为(0,2)， ∴.，点C的坐标为(4,6). .OF=2, 把x=4,y=6代入y=ax2, “当△P0F的西积为4时，号×2Xz=4 得6=42a, 解得a=是 解得x=士4， y=}×(士40+1=5， 22.1.3二次函数y=a(x- ∴.点P的坐标为（一4,5）或(4,5). h)2十k的图象和性质 (2)如图，过，点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y= 第1课时二次函数y=a.x2+k 子+1于点P,比时△PMF的周长取最小值， 的图象和性质 F(0,2),M(W3,3), 知识梳理 ,∴.ME=3,FM=√/(W3-0)2+(3一2)2=2， 1.(0,k)y轴上低减小增大下高增大 ,.△PMF周长的最小值为ME+FM=3+2=5. 减小 2.相同上下 对点练习 1.C2.y<y2<y1 a+k=-1, (a=1, 3.解(1)根据题意，得{ 解得 第2课时二次函数y=a(x一h)的图象和性质 4a+k=2. k=-2. ∴二次函数的解析式为y=x2一2. 知识梳理 ∴这个二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点1.形状位置向左或向右h 坐标为(0，一2). 2.向上直线x=h(h,0)增大减小向下 (2)点（一3,7）在这个二次函数的图象上 直线x=h(h,0)减小增大 理由：当x=一3时，y=x2-2=(-3)2-2=7, 对点练习 点（一3,7）在这个二次函数的图象上. 1.D 4.C5.D 2.(-1,0)>-1-1大大0 42