3.1勾股定理的探究（2）（题型专练）数学苏科版2024八年级上册

3.1勾股定理的探究（2） 题型一、勾股定理的证明方法 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据面积关系证明勾股定理是解题的关键；根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形的面积之和证明即可． 【详解】解：由题意知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为， 则， ， 故选：． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【详解】解：A、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示图形，通过该图形可以验证公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形是边长为c的正方形，则其面积为，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积为，根据两种表示方法表示的面积相等即可得到结论． 【详解】解：大正方形是边长为c的正方形，则其面积为， 中间的小正方形是边长为的正方形，则其面积为， 大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积为， ∴，即， 故选：C． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下列四幅图中，不能验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键．根据等面积法证明即可． 【详解】解：A、这个图无法证明勾股定理，故本选项符合题意； B、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、， 整理得：， 即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、， 整理得：， 即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：A． 5．（23-24八年级·全国·单元测试）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，分别用不同的方法表示出大正方形的面积，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：甲方案中：大正方形的面积可以表示为，还可以表示为， ∴，即，可以证明勾股定理，故甲正确； 乙方案中：大正方形的面积可以表示为，还可以表示为， ∴，不可以证明勾股定理，故乙错误； 故选：A． 题型二、证明勾股定理 6．（24-25八年级上·上海·期末）本学期，我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的周朝，当时商高提出了“勾三股四弦五”的特例．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．目前已知的勾股定理的证明方法约有500多种． (1)请写出勾股定理的内容_____． (2)请写出一种勾股定理的证明方法． 【答案】(1)一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理及其证明： （1）直接写出勾股定理即可； （2）利用赵爽弦图进行证明即可． 【详解】（1）解：勾股定理内容为：一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）如图，大正方形由4个全等的直角三角形（直角边为，斜边为）和一个小正方形组成，则：大正方形的面积的等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·山东济南·期中）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题： (1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明． (2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)小正方形的面积等于1． 【分析】本题考查了对勾股定理的证明，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）方法1、根据图2是由4个完全一样的直角三角形和1个小正方形构成的，所以其面积个正方形的面积个三角形的面积；方法2、观察图形发现图2是一个正方形，所以其面积边长；写出、、之间的等量关系； （2）直接用（1）的结论求出结果． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：大正方形的面积是25， ， ， ， ， ． 由（1）得， ， 小正方形的面积等于1． 8．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图①的网格中有一个正方形和四个全等的直角三角形． (1)请在图②中用图①的正方形和四个三角形拼接成一个更大的正方形； (2)如果图①中的直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，请你利用图②拼成的图形证明勾股定理． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查勾股定理与图形面积计算，理解题意，作出相应图形是解题关键． （1）根据题意作出相应图形即可； （2）根据（1）中图形，分别表示出面积即可得出结果． 【详解】（1）解：如图所示正方形即为所求； （2）证明：，， ， ． 9．（24-25八年级上·福建三明·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； (2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． (3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 【答案】(1)；；； (2)； (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）运用等面积法计算即可； （2）先表示出阴影部分面积，再代入计算即可； （3）将风车周长表示出来，其中，再结合勾股定理求解出，最后计算面积即可． 【详解】（1）解：方法1：， 方法2：， ， 故答案为：；；； （2）解：， 当时，； （3）解：∵，外围轮廓（实线）的周长为24， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 题型三、有关弦图的计算问题 10．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）有5个边长为1的小正方形，排列形式如图1，把它们分割后拼接成如图2的大正方形，则下列判断错误的是 A． B． C．大正方形的边长是 D．大正方形的边长是 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，分析分割法及熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意在图中进行分割，然后再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：按如图所示分割后可拼成一个大正方形， ∴， A、，选项正确，不符合题意； B、，选项正确，不符合题意； C、大正方形的边长为：，选项正确，不符合题意； D、大正方形的边长是，选项不正确，符合题意． 故选：D． 11．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，是我因古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，则正方形的边长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股弦图、全等三角形的性质，勾股定理的知识点，掌握勾股弦图的结构是解题关键． 根据三角形全等性质得出，，再根据勾股定理求出，然后线段的和差即可解答． 【详解】解：∵正方形为四个全等的直角三角形拼接而成， ∴，， 在中，由勾股定理， ∴，即正方形的边长是7． 故选C． 12．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是29，每个直角三角形的较短直角边均为2，则中间小正方形（阴影部分）的周长为（   ） A．29 B． C．14 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，设小正方形的边长为x，小三角形的长直角边长为，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设小正方形的边长为x，小三角形的长直角边长为， 根据题意得， 解得或（舍去）， ∴小正方形的周长为， 故选：D． 13．（24-25八年级·天津河北·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积． 【详解】解：由题意可得：大正方形的边长为， 小正方形的边长， 小正方形的面积为， 故答案为： 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的赵爽弦图，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点．若，为中点，则的长为 ；的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，先证明，由全等三角形的性质得到，，进而证明，根据勾股定理得，建立方程解方程，即可求解． 【详解】解：为中点， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 15．（24-25八年级上·河南郑州·期末）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． (1)请利用图①证明：； (2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形，若该图形的周长为80，，求该图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)120 【分析】本题考查了几何法证明勾股定理及不规则图形面积求解，利用数形结合的思想，准确找出图中各个线段长度及面积关系是解题关键． （1）由图形可知，中间小正方形面积大正方形面积等于四个完全相同的直角三角形的面积，列出等式化简即可得到结论； （2）根据周长得到，设，则，结合勾股定理求出，利用三角形面积公式，进而求出该图形的面积． 【详解】（1）证明：由图可知， ， ． ； （2）解：由题意得，， 设，则，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以，该图形的面积是． 题型四、构造勾股定理解决问题 16．（24-25八年级上·河南平顶山·阶段练习）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题： “问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？ ”问题大意：如图，在中， 里，里，里， 求 的面积． 请你解决该问题． 【答案】平方里 【分析】本题考查了三角形面积，勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点，主要利用了勾股定理进行解答．过点作于，设里，则里，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于， 设里，则里， 在中，，即， 在中，，即， ， 解得：， 在中，， （平方里）． 17．（24-25八年级·内蒙古乌兰察布·期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.5千米 (3) 【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法以及勾股定理的应用； （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：， ∴梯形的面积为或， ， ， 即， （2）解：设千米，则千米， 在中，， 即，解得：，即， （千米）， 答：新路比原路少千米， （3）解：由题得，， 在中，， 在中，， ， 即，解得：． 题型一、勾股定理与展开图最短路径问题 18．（23-24八年级·全国·课后作业）已知某植物绕着树干向上生长． (1)如果树干的周长（即图中圆柱的底面周长）为，绕行一圈升高（即圆柱的高），则它绕行一圈的长度是多少？ (2)如果树干的周长为，绕行一圈的长度是，绕10圈到达树顶，则树干高多少？ 【答案】(1)50厘米 (2)6米 【分析】本题考查平面展开图问题，解题的关键是正确理解圆柱的侧面展开图，本题属于基础题型． （1）将圆柱侧面展开后，利用勾股定理即可求出一圈的路程； （2）求出该侧面图的宽，即的长度，由题意可知的长度，利用勾股定理即可求出树干高． 【详解】（1）如答图，将圆柱的侧面展开后，该侧面是长方形． 由题意可得， 所以， 所以． 答：植物绕行一圈的长度为50厘米． （2）树干周长为，即， 绕行一圈的长度是，则． 因为， 所以， 所以树干高为． 答：树干高为6米． 19．（23-24九年级下·山东聊城·阶段练习）如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间的距离为，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖． (1)求点到点的距离； (2)蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？ 【答案】(1)点到点的距离为 (2) 【分析】考查平面展开-最短路径问题，勾股定理，解题的关键是注意分类讨论，画出示意图． （1）过点B作长方体宽的垂线，垂足为H，连接，根据勾股定理求解即可； （2）分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连接，如图1 ；把右侧展开到正面上，连接，如图2 ；把向上的面展开到正面上，连接，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的，比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作长方体宽的垂线，垂足为H，连接， 由长方体的性质得到：， ， ， 点到点的距离为； （2）解：如图1，把左侧面展开到水平面上，连接， 由题意可得：， ， 在中，根据勾股定理得：， 如图2，把右侧展开到正面上，连接， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得： 则需要爬行的最短距离是； 如图3，把向上的面展开到正面上，连接， 由题意可得：， 在中，根据勾股定理得：； 同理，把向上的面展开到后面时，； ∵， ∴则需要爬行的最短距离是． 20．（23-24八年级·江西赣州·期中）如图①，圆柱的底面直径为，高，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点爬到点的最短路径长多少厘米： (1)图②是将圆柱侧面沿裁剪后展开形成的四边形，点在线段上，求的长（取3）； (2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度． 【答案】(1)； (2)，图见解析 【分析】本题考查蚂蚁在圆柱侧面爬行最短路径问题，涉及圆柱侧面展开图、圆周长公式、两点之间线段最短及勾股定理求线段长，根据问题，作出图形求解是解决问题的关键． （1）根据的长为圆柱底面圆的周长，利用圆周长公式代值求解即可得到答案； （2）由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段，作出图形，再利用勾股定理求解即可得到最短路径的长度． 【详解】（1）解：由圆柱的侧面展开图可知，的长为圆柱底面圆的周长， 圆柱的底面直径为， ； （2）解：如图所示： 由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段， 由（1）知，高， ， 在中，由勾股定理可得． 21．（23-24八年级·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】（1）34cm；（2）秒． 【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可； （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线． 由题意可得在中， ，，， ∴， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如图2，在中， ∵长方体的棱长，， ∴，，，， ∴， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 22．（23-24七年级下·全国·单元测试）白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A，B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4． (1)请作出使和最小的点P． (2)请求出最小值． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题以及勾股定理． （1）作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小； （2）由（1）可得的最小值，过点B作于点C，设与直线交于点O，再利用勾股定理求解，即可求得答案． 【详解】（1）解：作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小； （2）解：由（1）， ∴， 过点B作于点C，设与直线交于点O， 则， ∴， ∴， ∴最小值． 题型二、勾股定理与三角形动点问题 23．（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的周长． (2)问t满足什么条件时，为直角三角形？ (3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1)厘米 (2)或 (3)2或6 【分析】此题主要考查了勾股定理，利用分类讨论的思想求出是解题关键． （1）首先利用勾股定理计算出长，根据题意可得，再利用勾股定理计算出的长，进而可得的周长； （2）当P在上运动时为直角三角形，由此可得；当P在上时，时，为直角三角形，首先计算出的长，然后再利用勾股定理计算出长，进而可得答案． （3）分类讨论：当P点在上，Q在上；当P点在上，Q在上，分类讨论即可解答． 【详解】（1）解：，，， ，动点P从点C开始，按的路径运动，速度为每秒， 出发2秒后，则，， ， 的周长为：； （2），动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒， 在上运动时为直角三角形， ， 当P在上时，时，为直角三角形， ， ， 解得：， ， ， 速度为每秒，， 综上所述：当或，为直角三角形； （3）当P点在上，Q在上，则，， 直线把的周长分成相等的两部分，， ； 当P点在上，Q在上，则，， 直线把的周长分成相等的两部分，， ， 当或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 题型三、构造直角三角形解决最值问题 24．（23-24九年级上·江西南昌·开学考试）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： （1）【提出问题】已知，求的最小值 （2）【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】    ①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段__________线段__________； ②在（1）的条件下，已知，求的最小值； （3）【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 【答案】[解决问题]①、；②；[应用拓展] 【分析】[解决问题]①根据题意，设，则．将和转化为、，即可求解； ②如图，作点关于的对称点，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； [应用拓展] 在矩形的基础上，构建，连接、，设，，，，勾股定理分别求得，进而根据当、、共线时，最大，勾股定理，即可求解． 【详解】[解决问题]①解：由题意得，， 故答案为：、；      ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P，    此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为：；      [应用拓展] 如图，在矩形的基础上，构建，连接、，设，，，，    则， ， 当、、共线时，最大，即最大， 且的最大值， 即的最大值为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． 25．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】 (1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米． (2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． (3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ． 【答案】(1)41； (2)见解析，的距离为16千米； (3)15． 【分析】（1）连接，作于点E，根据，得到，，由平行线间的距离处处相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD两地之间的距离； （2）连接，作的垂直平分线交于P，根据线段垂直平分线的性质可得，点P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后根据建立方程，解方程即可； （3）如图3，，，，，，设， 则，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，作于点E， ∵，， ∴，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴（千米）， 即两个村庄的距离为41千米， 故答案为：41； （2）解：如图2，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为16千米； （3）解：如图3，，，，，，设， 则， 作点C关于的对称点F，连接，过点F作于E，则是的最小值，即代数式的最小值， ∵，，， ∴代数式最小值为：， 故答案为：15． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题等知识，（3）中构造出是解本题的难点． 26．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的应用以及规律型等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．生长“”次正方形的面积和为，生长“”次正方形的面积和为，找到规律即可得到答案． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， 生长“”次正方形的面积和为，生长“”次正方形的面积和为， 故“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是， 故选D． 27．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在底面周长为3米的华表上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高为12米，则石柱上的雕龙有（   ）米． A． B．20 C．15 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理在圆柱中的应用，在圆柱的展开图中，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成了直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘3便是答案． 【详解】解：展开图：   （米）， （米）， （米， 故选：C． 28．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）代数式最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．作，过点A作，过点D作，使，，连接，设，，当三点共线时，有最小值，则的长即为代数式的最小值，然后构造，利用勾股定理可求得的值． 【详解】解：如图，作，过点A作，过点D作，使，，连接，过点作，交延长线与点F， 设，， 当三点共线时，有最小值，则的长即为代数式的最小值， ， ， ， ， （平行线间距离相等）， 同理得：， 中，，， ， 代数式最小值为5， 故选：B． 29．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得，， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是； 故答案为： 30．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查数学文化与几何概型，涉及到全等三角形的性质，勾股定理，完全平方公式变形求值．根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示后计算即可． 【详解】解：∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴，， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴，， ∴，， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴， 即阴影部分的面积为， 故答案为：． 31．（24-25八年级上·福建泉州·期末）我国古代数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且对勾股定理进行理论证明．三国时期，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法对勾股定理进行详细证明，这幅．“勾股圆方图”就是著名的“赵爽弦图”．如图，小明利用正方形纸张画出内接的“赵爽弦图”，正方形的各顶点均在正方形的边上．记正方形、正方形、正方形的面积分别为．若正方形的边长为，则 ． 【答案】21 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，正确理解题意是解题关键．设8个全等的直角三角形的两条直角边分别为，根据题意，得到，由勾股定理得到，进行求解即可． 【详解】解：设8个全等的直角三角形的两条直角边分别为， 则：，， ∴； 故答案为：． 32．（24-25八年级上·福建漳州·期中）【背景介绍】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 请你用“双求法”解决下面两个问题： (1)如图2，在中，，是边上的高，，求的长度； (2)如图3，在中，是边上的高，，设，求的值； 【答案】(1) (2)9 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）由勾股定理得到，根据等面积法即可求解； （2）在中，由勾股定理，得 ，在中，由勾股定理，得，由此列式即可求解． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， 解得，； （2）解：在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得， ∴， 整理得，， 解得，． 33．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）【教材变式】 【阅读】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于边长的平方，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 【操作】爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程； 【应用】如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值； 【拓展】如图4，将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，直接写出该飞镖状图案的面积． 【答案】操作：见解析；应用：；拓展：飞镖状图案的面积为24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活利用面积法和勾股定理是解答本题的关键． [操作]利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； [应用]运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； [拓展]可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】[操作] 大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积又可以表示为， ， ． [应用] 是边上的高， ， ，，，， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得； [拓展] 飞镖状图案的面积为24． 飞镖模型的周长为24，观察可知， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得， ， 飞镖状图案的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1勾股定理的探究（2） 题型一、勾股定理的证明方法 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示图形，通过该图形可以验证公式（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下列四幅图中，不能验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级·全国·单元测试）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 题型二、证明勾股定理 6．（24-25八年级上·上海·期末）本学期，我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的周朝，当时商高提出了“勾三股四弦五”的特例．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．目前已知的勾股定理的证明方法约有500多种． (1)请写出勾股定理的内容_____． (2)请写出一种勾股定理的证明方法． 7．（24-25八年级上·山东济南·期中）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题： (1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明． (2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积． 8．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图①的网格中有一个正方形和四个全等的直角三角形． (1)请在图②中用图①的正方形和四个三角形拼接成一个更大的正方形； (2)如果图①中的直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，请你利用图②拼成的图形证明勾股定理． 9．（24-25八年级上·福建三明·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； (2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． (3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 题型三、有关弦图的计算问题 10．（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）有5个边长为1的小正方形，排列形式如图1，把它们分割后拼接成如图2的大正方形，则下列判断错误的是 A． B． C．大正方形的边长是 D．大正方形的边长是 11．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，是我因古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，则正方形的边长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 12．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是29，每个直角三角形的较短直角边均为2，则中间小正方形（阴影部分）的周长为（   ） A．29 B． C．14 D．12 13．（24-25八年级·天津河北·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是 ． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的赵爽弦图，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点．若，为中点，则的长为 ；的长为 ． 15．（24-25八年级上·河南郑州·期末）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． (1)请利用图①证明：； (2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形，若该图形的周长为80，，求该图形的面积． 题型四、构造勾股定理解决问题 16．（24-25八年级上·河南平顶山·阶段练习）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题： “问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？ ”问题大意：如图，在中， 里，里，里， 求 的面积． 请你解决该问题． 17．（24-25八年级·内蒙古乌兰察布·期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 题型一、勾股定理与展开图最短路径问题 18．（23-24八年级·全国·课后作业）已知某植物绕着树干向上生长． (1)如果树干的周长（即图中圆柱的底面周长）为，绕行一圈升高（即圆柱的高），则它绕行一圈的长度是多少？ (2)如果树干的周长为，绕行一圈的长度是，绕10圈到达树顶，则树干高多少？ 19．（23-24九年级下·山东聊城·阶段练习）如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间的距离为，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖． (1)求点到点的距离； (2)蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？ 20．（23-24八年级·江西赣州·期中）如图①，圆柱的底面直径为，高，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点爬到点的最短路径长多少厘米： (1)图②是将圆柱侧面沿裁剪后展开形成的四边形，点在线段上，求的长（取3）； (2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度． 21．（23-24八年级·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 22．（23-24七年级下·全国·单元测试）白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A，B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4． (1)请作出使和最小的点P． (2)请求出最小值． 题型二、勾股定理与三角形动点问题 23．（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的周长． (2)问t满足什么条件时，为直角三角形？ (3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 题型三、构造直角三角形解决最值问题 24．（23-24九年级上·江西南昌·开学考试）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： （1）【提出问题】已知，求的最小值 （2）【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】    ①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段__________线段__________； ②在（1）的条件下，已知，求的最小值； （3）【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 25．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】 (1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米． (2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． (3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ． 26．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2023 C．2024 D．2025 27．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在底面周长为3米的华表上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高为12米，则石柱上的雕龙有（   ）米． A． B．20 C．15 D． 28．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）代数式最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 29．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 ． 30．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 31．（24-25八年级上·福建泉州·期末）我国古代数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且对勾股定理进行理论证明．三国时期，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法对勾股定理进行详细证明，这幅．“勾股圆方图”就是著名的“赵爽弦图”．如图，小明利用正方形纸张画出内接的“赵爽弦图”，正方形的各顶点均在正方形的边上．记正方形、正方形、正方形的面积分别为．若正方形的边长为，则 ． 32．（24-25八年级上·福建漳州·期中）【背景介绍】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 请你用“双求法”解决下面两个问题： (1)如图2，在中，，是边上的高，，求的长度； (2)如图3，在中，是边上的高，，设，求的值； 33．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）【教材变式】 【阅读】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于边长的平方，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 【操作】爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程； 【应用】如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值； 【拓展】如图4，将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，直接写出该飞镖状图案的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$