专题02 基本不等式中必考七类最值问题（举一反三专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题02 基本不等式中必考七类最值问题（举一反三专项训练） 【人教A版（2019）】 【类型1 直接法求最值】 2 【类型2 配凑法求最值】 5 【类型3 巧用“1”的代换求最值】 8 【类型4 消元法求最值】 11 【类型5 和积互化求最值】 15 【类型6 齐次化求最值】 18 【类型7 多次使用基本不等式求最值】 21 知识点 利用基本不等式求最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 2．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【类型1 直接法求最值】 1．（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解题思路】根据基本不等式可求最小值. 【解答过程】 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解题思路】根据基本不等式等号成立的条件即可求解. 【解答过程】 由于，故，当且仅当，即时取等号， 故选：B. 3．（多选）（24-25高一上·河北·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．的最小值为2 D．的最小值为2 【答案】AB 【解题思路】利用基本不等式，注意等号成立条件判断A、B、D，根据不等式性质判断C. 【解答过程】 当时，， 当且仅当时，即时等号成立，故A正确； 当时，， 当且仅当时，即时等号成立，故B正确； 当时，显然不成立，故C错误； 因为， 当且仅当时等号成立，此时无解，故取不到等号，故D错误． 故选：AB. 4．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是 . 【答案】4 【解题思路】利用基本不等式，可得答案. 【解答过程】 由，则，当且仅当时，等号成立， 所以代数式的最小值为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各题的最值． (1)已知，求的最小值； (2)设，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，利用基本不等式，直接求解，即可得到答案； （2）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】 （1）解：由，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. （2）解：由，可得， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 6．（24-25高一·全国·课后作业）已知，求： (1)的最大值； (2)的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】利用基本不等式计算即可. 【解答过程】 （1）， ∴， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为； （2）， ∴， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 【类型2 配凑法求最值】 7．（24-25高一上·全国·周测）已知函数，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【解题思路】首先将函数构造成能够利用基本不等式的形式，然后利用基本不等式的性质进行求解即可. 【解答过程】 由题意，，故，根据基本不等式，， 当且仅当，即时等号成立． 此时函数的最小值为7. 故选：D. 8．（24-25高一上·云南大理·阶段练习）已知，则函数的最小值是（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【解题思路】根据基本不等式即可求解. 【解答过程】 由于，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值是20， 故选：D. 9．（多选）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值为 【答案】ACD 【解题思路】根据基本不等式可求得结果，注意“一正二定三相等”. 【解答过程】 对于A：当时，，最小值不为，A错误； 对于B：设， 则开口向下，对称轴为， 时，单调递增，当时，单调递减， 当时，取最大值，此时， 则的最大值是，B正确； 对于C：， 当且仅当时等号成立，这样的不存在，C错误； 对于D：根据基本不等式，将原式变形为， 根据基本不等式， 当且仅当，即时取等号， 因此原式最大值为， 又，故上述不等式无法取等号，D错误. 故选：ACD. 10．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】求出的范围，根据基本不等式即可求出的最小值. 【解答过程】 ，， ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 11．（24-25高一上·全国·课后作业）回答下面两题 (1)已知，求的最大值． (2)设，求的最大值． 【答案】(1)最大值1 (2)最大值． 【解题思路】（1）将所求式子转化为，再利用基本不等式求最值； （2）利用基本不等式求最值. 【解答过程】 （1），，， ， 当且仅当，即时，等号成立． 当时，取得最大值1． （2），， ， 当且仅当，即时，等号成立． 当时，取得最大值． 12．（24-25高一上·天津·期中）（1）已知，求的最大值；并求出此时的值. （2）已知，求的最小值，并求出此时的值. 【答案】（1）此时；（2），此时. 【解题思路】根据所求函数式的特征，进行适当配凑项或系数，再运用基本不等式求解即得. 【解答过程】 （1）因，则， 由， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，的最大值为； （2）因，则， 则 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，的最小值为7. 【类型3 巧用“1”的代换求最值】 13．（24-25高一上·湖北·期末）已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（    ） A．2 B． C． D．9 【答案】B 【解题思路】利用乘“1”法即可求出最值. 【解答过程】 ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 14．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）设，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用基本不等式求解即可. 【解答过程】 因为，且， 所以 ， （当且仅当即时取“”）. 故选：C. 15．（多选）（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A．最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为4 【答案】ABC 【解题思路】选项、可直接利用基本不等式求得最值，选项、可以先乘再求其最值. 【解答过程】 因为，所以，当且仅当，即，时成立，正确； 对于，，当且仅当，即，时成立，正确； 对于，，当且仅当，即，时成立，正确； 对于，，当且仅当，即时成立，错误. 故选：ABC. 16．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知正数满足，则的最小值是 ． 【答案】 【解题思路】根据基本不等式“1”的妙用可求得结果. 【解答过程】 ， ， 当且仅当，即时取等号， 综上所述，的最小值是. 故答案为：8. 17．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知且 (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用基本不等式可得，即可求解； （2）利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】 （1） ，   ，即，        当且仅当，即时，取得最大值； （2） ， 当且仅当时，取得最小值. 18．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知，，且. (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2)8 (3)7 【解题思路】（1）根据基本不等式性质，直接对直接应用基本不等式性质求解； （2）利用基本不等式“1”的妙用即可得解； （3）依题意，化简得，应用基本不等式求解. 【解答过程】 （1） ， （当且仅当时取等号） ， 由，解得 所以，的最大值为（当且仅当且时取得） （2） （当且仅当时取等号） 由解得 所以，的最小值为8（当且仅当且时取得） （3） （当且仅当时取等号） 由解得 所以的最小值为7（当且仅当且时取得）. 【类型4 消元法求最值】 19．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【解题思路】根据题设得到且，代入目标式并应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【解答过程】 由题设，又，，故，则， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D. 20．（24-25高一上·江苏无锡·期中）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】将代入后剩下关于的二元等式，经齐次化处理后使用基本不等式在时最大值时，将代入原式可得，代入，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值. 【解答过程】 ， ，又均为正实数， （当且仅当时取"=")， ，此时. ， ，当且仅当时取得"="，满足题意. 的最大值为. 故选：D. 21．（多选）（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【解题思路】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可. 【解答过程】 由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 22．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，为正实数，且满足，则的最小值是 . 【答案】 【解题思路】首先根据题意得到，从而得到，再利用基本不等式求解即可. 【解答过程】 因为，，为正实数，， 所以. 则， 当且仅当，时取等号，所以的最小值是. 故答案为：. 23．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，，． (1)求的最小值和的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1)的最小值为，的最小值为 (2) 【解题思路】（1）依题意可得，利用消元法及基本不等式计算可得； （2）结合（1）可得，再利用基本不等式计算可得. 【解答过程】 （1）因为，，， 所以，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； 又，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. （2）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 24．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）依题意可得，利用消元法及基本不等式计算可得； （3）结合（1）可得，再利用基本不等式计算可得. 【解答过程】 （1）因为，，， 所以，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； （2）， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； （3）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 【类型5 和积互化求最值】 25．（24-25高一上·山西·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【解题思路】由可得，代入，结合基本不等式求解即可. 【解答过程】 因为，所以， 由，得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为12. 故选：A. 26．（24-25高一上·贵州毕节·期中）已知正数、满足，则的最小值等于（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】推导出，，利用基本不等式可求得的最小值. 【解答过程】 因为正数、满足，可得，则， 所以，，，可得，，所以，，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 27．（多选）（24-25高一上·重庆·期中）已知实数，，且满足，则（     ） A．的最小值为9 B．的最小值为7 C．的最大值为18 D．的最小值为1 【答案】AD 【解题思路】由基本不等式可判断A、B是否正确；由可判断C；由可得，再由基本不等式化简计算，可判断D. 【解答过程】 对于A：因为，所以，令，则，解得 （舍），所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为9，故A正确； 对于B：，令，则，解得 （舍），所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，故B不正确； 对于C：因为，由选项A可知，，所以，当且仅当时取等，所以有最小值18，C不正确； 对于D：由可得，， 所以，当且仅当即时取等号，所以D正确. 故选：AD. 28．（24-25高三上·上海·期中）已知 ，则 的最大值为 ． 【答案】 【解题思路】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【解答过程】 因为， 故， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值是. 故答案为：. 29．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知． (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值． 【答案】(1)8 (2)12 【解题思路】（1）利用基本不等式即可求出最小值； （2）根据已知化简求出得，再变形化简应用基本不等式计算. 【解答过程】 （1）当时，由，则， 即，可得， 当且仅当，即，时取最小值8. （2）当时， 由， 由得， 则，   故可知当时，取得最小值为． 30．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知实数、满足：. (1)求和的最大值； (2)求的最小值和最大值. 【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为. 【解题思路】（1）使用基本不等式根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解； （2）使用基本不等式，注意根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解. 【解答过程】 （1）∵，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最大值为， ∵，∴， ∵， ∴，∴， ∴，当且仅当、时等号成立，∴的最大值为； （2）∵，∴， ∵，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最小值为， 又，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立， ∴的最大值为. 【类型6 齐次化求最值】 31．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【解答过程】 ，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 32．（24-25高一下·江西吉安·期末）函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将函数化简变形为，然后利用基本不等式求解即可 【解答过程】 解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数（）的最小值为， 故选：B. 33．（多选）（24-25高一上·江苏·阶段练习）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】根据基本不等式分析各个选项的最小值即可得出正确答案. 【解答过程】 对于选项A，由于可能为负，所以的最小值不是6，A错误； 对于B，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当异号时其最小值应小于4，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 34．（24-25高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【解题思路】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【解答过程】 因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 35．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的最值． (1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用基本不等式可求得的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值. 【解答过程】 （1）因为，所以， 所以， 当且仅当， 即时，等号成立，故的最大值为． （2）因为，所以． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，函数取得最小值. 36．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】 （1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 【类型7 多次使用基本不等式求最值】 37．（2025·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合条件可得，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可. 【解答过程】 因为，所以， 所以 所以， 又，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：A. 38．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【解题思路】根据基本不等式求出和的取值范围，求出的最小值. 【解答过程】 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 又， 当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 39．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知正数x，y，z满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【解题思路】由基本不等式可得，由题意整理可得，即可得. 【解答过程】 由题意可得， 则，当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 则，当且仅当时，等号成立， 可得，即， 又因为，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值. 故选：C. 40．（24-25高一上·上海·期中）已知正数、、满足，，则的最小值为 ． 【答案】 【解题思路】根据基本（均值）不等式，先求的最小值，再求的最小值. 【解答过程】 已知：正数、、满足，. 因为 （当且仅当即时取“”）. 所以 （当且仅当时取“”）. 所以（当且仅当时取“”）. 故答案为：. 41．（24-25高一上·河北·阶段练习）（1）求函数的最小值； （2）若，，求的最大值． 【答案】（1）23（2） 【解题思路】利用不等式的性质与基本不等式，即可求出最值． 【解答过程】 （1）因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故函数的最小值为23． （2）因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，取得最小值，且最小值为8． 故的最大值为． 42．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，，且. (1)证明：. (2)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【解题思路】（1）由基本不等式即可直接求证； （2）由乘“1”法即可求解. 【解答过程】（1）证明：由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，，且，所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 故，当且仅当时，等号成立. （2）解：因为，所以. 因为，，所以，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，所以， 则，即的最小值是16. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 基本不等式中必考七类最值问题（举一反三专项训练） 【人教A版（2019）】 【类型1 直接法求最值】 2 【类型2 配凑法求最值】 3 【类型3 巧用“1”的代换求最值】 4 【类型4 消元法求最值】 5 【类型5 和积互化求最值】 6 【类型6 齐次化求最值】 6 【类型7 多次使用基本不等式求最值】 7 知识点 利用基本不等式求最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 2．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【类型1 直接法求最值】 1．（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 2．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 3．（多选）（24-25高一上·河北·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．的最小值为2 D．的最小值为2 4．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是 . 5．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各题的最值． (1)已知，求的最小值； (2)设，求函数的最大值． 6．（24-25高一·全国·课后作业）已知，求： (1)的最大值； (2)的最大值． 【类型2 配凑法求最值】 7．（24-25高一上·全国·周测）已知函数，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 8．（24-25高一上·云南大理·阶段练习）已知，则函数的最小值是（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 9．（多选）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值为 10．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则的最小值为 . 11．（24-25高一上·全国·课后作业）回答下面两题 (1)已知，求的最大值． (2)设，求的最大值． 12．（24-25高一上·天津·期中）（1）已知，求的最大值；并求出此时的值. （2）已知，求的最小值，并求出此时的值. 【类型3 巧用“1”的代换求最值】 13．（24-25高一上·湖北·期末）已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（    ） A．2 B． C． D．9 14．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）设，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（多选）（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A．最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为4 16．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知正数满足，则的最小值是 ． 17．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知且 (1)求的最大值； (2)求的最小值. 18．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知，，且. (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【类型4 消元法求最值】 19．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 20．（24-25高一上·江苏无锡·期中）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 21．（多选）（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 22．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，为正实数，且满足，则的最小值是 . 23．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，，． (1)求的最小值和的最小值； (2)求的最小值． 24．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【类型5 和积互化求最值】 25．（24-25高一上·山西·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 26．（24-25高一上·贵州毕节·期中）已知正数、满足，则的最小值等于（    ） A．10 B． C． D． 27．（多选）（24-25高一上·重庆·期中）已知实数，，且满足，则（     ） A．的最小值为9 B．的最小值为7 C．的最大值为18 D．的最小值为1 28．（24-25高三上·上海·期中）已知 ，则 的最大值为 ． 29．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知． (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值． 30．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知实数、满足：. (1)求和的最大值； (2)求的最小值和最大值. 【类型6 齐次化求最值】 31．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·江西吉安·期末）函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 33．（多选）（24-25高一上·江苏·阶段练习）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是 ． 35．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的最值． (1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最小值． 36．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【类型7 多次使用基本不等式求最值】 37．（2025·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 39．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知正数x，y，z满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 40．（24-25高一上·上海·期中）已知正数、、满足，，则的最小值为 ． 41．（24-25高一上·河北·阶段练习）（1）求函数的最小值； （2）若，，求的最大值． 42．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，，且. (1)证明：. (2)求的最小值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$