专题03 一元二次函数、方程和不等式（12大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题03 一元二次函数、方程和不等式（12大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 不等关系】 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【知识清单2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【知识清单3 等式性质与不等式性质】 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【注】：应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【知识清单4 两个不等式】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【知识清单5 基本不等式与最值】 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【知识清单6 一元二次不等式】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【知识清单7 三个“二次”的关系】 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【知识点8 一元二次不等式恒成立、有解问题】 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 题型1 由已知条件判断不等式是否正确 1．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）若，，且.则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高一上·北京丰台·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25高一上·重庆长寿·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则成立 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25高一上·上海·期末）若下列不等式中：①；②；③； ④，成立的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 题型2 作差法、作商法比较代数式的大小 6．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·云南昆明·期末）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（    ） A．大于10克 B．小于10克 C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克 8．（24-25高一上·贵州安顺·期末）下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 9．（24-25高一上·广东广州·期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 10．（24-25高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 题型3 利用不等式求取值范围 11．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知实数满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知，，，则的取值范围是 . 15．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 题型4 利用基本不等式求最值（无条件） 16．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 17．（24-25高一上·山西大同·期末）函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 18．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 20．（24-25高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 题型5 条件等式求最值 21．（24-25高一上·陕西·期末）设，，若，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．8 22．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A． B．10 C． D．12 23．（24-25高一上·安徽·期中）已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）若正数x，y满足，则的最小值为 . 25．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知、均为正实数，. (1)若，求的最小值： (2)若，求的最小值. 题型6 基本不等式的恒成立问题 26．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 29．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 30．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 题型7 基本不等式的实际应用 31．（24-25高一上·江苏南通·期末）用总长为的篱笆围成一块矩形菜地，其中一边空出的缺口作为进出通道.若要使菜地的面积最大，则有缺口的一边的篱笆长为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·广东广州·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（   ） A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 33．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的浓度（单位：）随时间（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（   ） A．1h B．2h C．3h D．4h 34．（24-25高一上·陕西西安·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，则建造该蓄水池的最低总造价是 元． 35．（24-25高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 题型8 一元二次不等式的解法 36．（24-25高一上·新疆和田·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·陕西·期末）若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·天津西青·期中）不等式的解集为 ． 40．（24-25高一上·四川眉山·期末）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 题型9 由一元二次不等式的解确定参数 41．（24-25高一上·河北唐山·期末）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 42．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，关于的不等式的解集为，则（    ） A．3 B． C．1 D． 43．（24-25高一上·天津·期末）关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 44．（24-25高一上·安徽黄山·期末）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为 . 45．（24-25高一上·江西·期末）设函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，，求不等式的解集． 题型10 三个“二次”的关系 46．（2025高一上·全国·专题练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 47．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知不等式的解集是，则对函数，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高一上·广东深圳·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③方程有两个相等的实数根； ④方程的两根是， 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 49．（24-25高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 50．（24-25高一上·山西临汾·期末）已知二次函数的图象与x轴交于，两点. (1)当时，求的值； (2)求关于x的不等式的解集. 题型11 一元二次不等式恒成立、有解问题 51．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 52．（24-25高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 53．（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 54．（24-25高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 55．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 题型12 一元二次不等式的实际应用 56．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 57．（24-25高一下·云南·期末）在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系，其中，一名同学以初速度竖直上拋一排球，排球能够在拋出点以上的位置最多停留（    ） A． B． C． D． 58．（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 59．（24-25高一上·上海徐汇·期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m. 60．（24-25高一上·重庆·期末）2022年10月16日上午，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，巩固拓展脱贫攻坚成果．某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5万元．为增加农民收入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员户农民只从事水果加工，剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为万元，而从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高5x%． (1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次函数、方程和不等式（12大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 不等关系】 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【知识清单2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【知识清单3 等式性质与不等式性质】 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【注】：应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【知识清单4 两个不等式】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【知识清单5 基本不等式与最值】 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【知识清单6 一元二次不等式】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【知识清单7 三个“二次”的关系】 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【知识点8 一元二次不等式恒成立、有解问题】 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 题型1 由已知条件判断不等式是否正确 1．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）若，，且.则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对A，举反例；对B，举反例说明；对C，由不等式性质判断；对D，结合选项B和不等式性质判断. 【解答过程】对于A，由，不一定能得到，如，故A错误； 对于B，由，不一定能得到，如，故B错误； 对于C，由不等式的性质可知，成立，故C正确； 对于D，由B选项知不一定成立，所以不一定成立，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一上·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解题思路】根据不等式的性质逐项分析即可. 【解答过程】对A，当时，，故A错误； 对B，，，故B正确； 对C，若，则，则，即，故C错误； 对D，当时，，则，故D错误. 故选：B. 3．（24-25高一上·北京丰台·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解题思路】AC可举出反例；B选项，由不等式性质判断正确；D选项，作差法比较大小. 【解答过程】A选项，不妨设，满足，但，A错误； B选项，，由不等式性质得，B正确； C选项，不妨设，此时满足，但，C错误； D选项，， 因为，所以，但不确定的正负，若，则， 若，则，若，则，D错误. 故选：B. 4．（24-25高一上·重庆长寿·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则成立 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解题思路】直接根据不等式的性质以及特值法逐一判断即可. 【解答过程】对于A，因为，所以，即或，故A错误； 对于B，当满足，但是，故B错误； 对于C，因为，不等式两边同时乘以可得， 不等式两边同时乘以可得，即成立，故C正确； 对于D，当时，结论显然不成立，故D错误； 故选：C. 5．（24-25高一上·上海·期末）若下列不等式中：①；②；③； ④，成立的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】根据不等式的性质一一判断即可. 【解答过程】因为，所以，故①错误； ，故②正确； ，即，所以，故③错误； 因为，所以，故④错误； 故选：A. 题型2 作差法、作商法比较代数式的大小 6．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用作差比较法求解. 【解答过程】因为， 所以. 故选：C. 7．（24-25高一上·云南昆明·期末）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（    ） A．大于10克 B．小于10克 C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克 【答案】A 【解题思路】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案. 【解答过程】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为， 所以，所以， 先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为. 由杠杆的平衡原理：，．解得，， 则. 下面比较与10的大小： 因为， 因为，所以，即， 所以这样可知称出的黄金质量大于. 故选：A. 8．（24-25高一上·贵州安顺·期末）下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【解题思路】对选项A和B，结合各个选项的条件，利用作差法，即可求解；对于选项C和D，通过取特殊，即可求解. 【解答过程】对于A，由， 又，，则，得到，即，故A正确； 对于B，因为，又，，则，故，即B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：A. 9．（24-25高一上·广东广州·期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解题思路】由题意依次将两种策略两次购买物品的平均价格表示出来，用作差法比较大小即可. 【解答过程】设甲策略每次买件物品，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数为元， 则甲策略两次购买物品的平均价格为，乙策略两次购买物品的平均价格为， 所以，即， 所以乙种购物策略比较经济. 故答案为：乙. 10．（24-25高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 【答案】(1) (2)变好，理由见解析 【解题思路】（1）依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果； （2）利用作差法计算比较出大小，可得结论. 【解答过程】（1）因为，所以， 解得， 所以这所住宅的窗洞口面积的范围为. （2）由题意得，， 原来的窗地面积比为，现在的窗地面积比为 则 . 因为，，所以.， 所以，即. 所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了. 题型3 利用不等式求取值范围 11．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质求解． 【解答过程】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 12．（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知实数满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用不等式性质得到，得到答案. 【解答过程】，又， 故，即. 故选：D. 13．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由题意得，进而求得即可求解. 【解答过程】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 14．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知，，，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】利用换元法，结合不等式性质，可得答案. 【解答过程】令，则，即， 由，即，可得，则. 故答案为：. 15．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【解答过程】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 题型4 利用基本不等式求最值（无条件） 16．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【解题思路】应用基本不等式求最小值，注意取值条件即可. 【解答过程】由题设，当且仅当时取等号，故原式的最小值为3. 故选：C. 17．（24-25高一上·山西大同·期末）函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 【答案】A 【解题思路】先将变为，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【解答过程】因为，所以， 所以． 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是7． 故选：A. 18．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据基本不等式，可得答案. 【解答过程】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以时，的最大值为， 故选：A. 19．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】 【解题思路】依题意利用基本不等式计算可得. 【解答过程】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： . 20．（24-25高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）利用基本不等式即可得解； （2）利用基本不等式，结合换元法即可得解. 【解答过程】（1）因为，所以， 则，当且仅当，即时，取到等号， 所以的最大值为； （2）因为，所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即，即时，取到等号， 所以的最小值为. 题型5 条件等式求最值 21．（24-25高一上·陕西·期末）设，，若，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【解题思路】根据题意利用“1”代换，结合基本不等式运算求解. 【解答过程】，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4. 故选：A. 22．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A． B．10 C． D．12 【答案】D 【解题思路】由得，进而利用基本不等式可得. 【解答过程】由得， 因，，故， ， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：D. 23．（24-25高一上·安徽·期中）已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分析得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【解答过程】因为，则，，且， 所以， ， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 24．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）若正数x，y满足，则的最小值为 . 【答案】16 【解题思路】根据“”的代换以及基本不等式来求得正确答案. 【解答过程】正数x，y满足，， 则， 当且仅当时，时等号成立. 所以的最小值为 故答案为：16. 25．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知、均为正实数，. (1)若，求的最小值： (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）当时，由已知等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）当时，由已知等式变形得出，再利用基本不等式的最小值. 【解答过程】（1）当时，，则. 因为、均为正实数， 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. （2）当时，，可得，则， 所以，因为，，所以，进而得， 所以，. 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. 题型6 基本不等式的恒成立问题 26．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【解答过程】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 27．（24-25高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【解答过程】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A. 28．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解题思路】首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值. 【解答过程】不等式恒成立，可转化为 恒成立，其中， 令， ， ， 第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且， 得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得， 所以的最小值为， 即，则， 所以实数的最大值为. 故选：D. 29．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【解答过程】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为：. 30．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 ；（2） ． 【解题思路】（1）法1：应用作差法比较大小即可证；法2：将不等式左侧展开并结合基本不等式证明结论即可； （2）问题化为，应用“1”的代换及基本不等式求左式最小值，可得，再解不等式求参数范围. 【解答过程】（1）方法1： ， ∴； 方法2：∵，，， ∴ ，当且仅当时，等号成立， 故. （2）由恒成立，知， ∵，，， ∴ ， 当且仅当，即时，等号成立，即， ∴，解得或， 故m的取值范围为. 题型7 基本不等式的实际应用 31．（24-25高一上·江苏南通·期末）用总长为的篱笆围成一块矩形菜地，其中一边空出的缺口作为进出通道.若要使菜地的面积最大，则有缺口的一边的篱笆长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设有缺口的一边的篱笆长为米，则矩形的另一边长为米，列出面积的关系式，再利用基本不等式求解得出结论. 【解答过程】设有缺口的一边的篱笆长为米，则矩形的另一边长为米，菜地的面积为平方米， 则，即，则，， 由基本不等式得， 当且仅当即时，取得最大面积， 所以当有缺口的一边的篱笆长为米时，菜地的面积最大. 故选：C. 32．（24-25高一上·广东广州·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（   ） A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 【答案】C 【解题思路】设池底的长为x，宽为y，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，计算出建造这个水池的总造价是，结合基本不等关系求得最小值. 【解答过程】设池底的长为x，宽为y，则，即 因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面， 建造这个水池的总造价是 当且仅当，即时，等号成立， 故选：C. 33．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的浓度（单位：）随时间（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（   ） A．1h B．2h C．3h D．4h 【答案】C 【解题思路】利用基本不等式求解最值可得． 【解答过程】依题意，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h． 故选：C. 34．（24-25高一上·陕西西安·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，则建造该蓄水池的最低总造价是 元． 【答案】 【解题思路】设蓄水池池底的一边长为，则根据题意，由基本不等式求最小值即可. 【解答过程】设该蓄水池池底的一边长为，则与该边相邻的一边长为， 设建造该蓄水池的总造价为元， 则． 因为 ，当且仅当时，等号成立， 所以，即建造该蓄水池的最低总造价是元． 故答案为：. 35．（24-25高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【答案】(1) (2)纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 【解题思路】（1）由题意知，再代入化简即可； （2）利用基本不等式即可求出最值. 【解答过程】（1）由题意，， . （2）， 当且仅当，即时等号成立， 所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 题型8 一元二次不等式的解法 36．（24-25高一上·新疆和田·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据一元二次函数的因式分解和不等式的性质求解一元二次不等式的解即可. 【解答过程】因为，所以. 所以，所以或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 37．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【解答过程】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 38．（24-25高一上·陕西·期末）若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用韦达定理用表示，代入所求不等式得到关于的不等式，求出不等式的解集即可． 【解答过程】由不等式的解集为， 则，即， 所以不等式，即为，又， 所以，解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 39．（24-25高一上·天津西青·期中）不等式的解集为 ． 【答案】R 【解题思路】根据根的判别式，数形结合得到不等式解集. 【解答过程】开口向上，， 二次函数图象在轴上方，故不等式解集为R. 故答案为：R. 40．（24-25高一上·四川眉山·期末）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)或； (3). 【解题思路】（1）（2）由不含参的一元二次不等式的解法求解集； （3）由分式不等式得，解不含参的一元二次不等式求解集. 【解答过程】（1）由，得不等式的解集为． （2），得不等式的解集为或 （3）不等式等价于，解得，解集为. 题型9 由一元二次不等式的解确定参数 41．（24-25高一上·河北唐山·期末）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】利用三个二次的关系推得方程有两根为和4，由韦达定理求出，代入所求不等式，求解即得. 【解答过程】由题意，方程有两根为和4， 故由韦达定理，，解得， 则不等式即，解得或. 故选：D. 42．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，关于的不等式的解集为，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】由题意得出相应一元二次方程的解，结合韦达定理求解可得． 【解答过程】由题意的两根为和1， 所以，即， 所以， 故选：A． 43．（24-25高一上·天津·期末）关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先解出原不等式的解集，然后根据条件确定解集的端点值所满足的条件，从而解出的取值范围. 【解答过程】原不等式可化为， 则方程的两个根为和， 当时，原不等式的解集为空集，不满足题意； 当时，原不等式的解集为：， 则a不能取到正数值； 当时，原不等式的解集为：， 要使不等式的解集中整数有且只有3个，则， 则正数a的取值范围为. 故选：A. 44．（24-25高一上·安徽黄山·期末）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】对分类讨论，结合二次不等式与二次函数的关系即可分类求解. 【解答过程】若，则不等式为，不符合题意，舍去， 若，则不等式为，解得，符合题意， 若或，此时，为开口向上的二次函数， 此时不等式的解不为空集，符合题意， 若，此时，为开口向下的二次函数， 要使不等式的解不为空集，需要满足，所以， 综上可得或， 故答案为：. 45．（24-25高一上·江西·期末）设函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，，求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解集与对应方程根的关系来确定系数； （2）先将不等式化简，再通过因式分解求解集，需要对参数的取值进行分类讨论。 【解答过程】（1）由题意，不等式的解集为，则-1和3是方程的两个根， 得解得，所以. （2）若，则，即， 因为，所以，是方程的两个实数根， ①当时，，不等式的解集为， ②当时，解集为， ③当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 题型10 三个“二次”的关系 46．（2025高一上·全国·专题练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据三个二次的关系，求解间的数量关系，代入函数，分析即可判断函数图象. 【解答过程】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和，且， 则，解得， 故函数的图象开口向下， 且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A. 47．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知不等式的解集是，则对函数，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用二次不等式的解集，求得a,b,c的关系，由此判断二次函数的图像与性质，从而判断出的大小关系. 【解答过程】由于二次不等式的解集为， 所以，是方程的两个实数根，即 即. 则，，其图像开口向上，且对称轴为 ， 所以 故选：A. 48．（24-25高一上·广东深圳·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③方程有两个相等的实数根； ④方程的两根是， 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据图象结合一元二次方程的性质和函数的平移变换逐项判断即可. 【解答过程】由二次函数图象可知， 开口向下，则，对称轴解得，当时，， 所以，①说法错误； 由函数图象可知当时，，即，②说法错误； 将的函数图象向下平移4个单位得到的图象， 所以有两个相等的实数根，③说法正确； 由函数的对称性可知的两个根为，， 将的函数图象向右平移1个单位得到的图象， 所以方程的两根是，，④说法正确； 综上③④正确， 故选：B. 49．（24-25高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【解答过程】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 50．（24-25高一上·山西临汾·期末）已知二次函数的图象与x轴交于，两点. (1)当时，求的值； (2)求关于x的不等式的解集. 【答案】(1)12 (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据根与系数的关系得，，再利用完全平方公式的变形求解； （2）讨论两根大小求解一元二次不等式. 【解答过程】（1）当时，. 由题意可知是方程的两个不同实根，则，， 故. （2）不等式可转化为. 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 题型11 一元二次不等式恒成立、有解问题 51．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【解答过程】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 52．（24-25高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集. 【解答过程】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上，实数的取值范围是或，即. 故选：D. 53．（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，分析可得原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算. 【解答过程】∵，，则， ∴， 又∵，且， 可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， ∵的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 故实数的取值范围是. 故选：C. 54．（24-25高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是. 【解答过程】由不等式以及可得， 依题意可知即可， 令， 又，由可得， 利用二次函数性质可知，即可得； 即实数的取值范围是. 故答案为：. 55．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在实数 (2) (3) 【解题思路】（1）根据条件，分和两种情况，利用一元一次不等式和一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据条件得到，令，得到，再求出的最小值，即可求解； （3）设，将问题转化成时，恒成立，从而得到，即可求解. 【解答过程】（1）原不等式等价于． 当时，，解得，不满足题意， 当时，则，得到， 所以，不存在实数，使不等式对恒成立． （2）因为，所以，，则， 令，则，得到， 设，，显然在单调递增， 当时，，当时，，所以，则， 所以，即的取值范围是． （3）设，当时，恒成立． 即成立，即， 由，得到， 由，得到或， 所以，所以实数的取值范围是． 题型12 一元二次不等式的实际应用 56．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 【答案】B 【解题思路】依题意可得，解得即可. 【解答过程】由题意可得，整理得， 即，解得，则的最大值是25. 故选：B. 57．（24-25高一下·云南·期末）在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系，其中，一名同学以初速度竖直上拋一排球，排球能够在拋出点以上的位置最多停留（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得，令，解一元二次不等式即可得结果. 【解答过程】由题意可得：， 令，即，解得， 所以排球能够在拋出点以上的位置最多停留秒. 故选：C. 58．（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意得到一元二次不等式，解出即可. 【解答过程】由题意得，结合， 解得， 因为，所以生产数量的取值范围为， 同时可入验证当时，此时，则BCD均错误. 故选：A. 59．（24-25高一上·上海徐汇·期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m. 【答案】 【解题思路】根据已知有，应用基本不等式可得，由换元法求用纸量最少对应. 【解答过程】由题设，则， 所以，当且仅当时取等号， 令，则，即， 所以或（舍）， 此时，即用纸量最少时m. 故答案为：. 60．（24-25高一上·重庆·期末）2022年10月16日上午，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，巩固拓展脱贫攻坚成果．某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5万元．为增加农民收入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员户农民只从事水果加工，剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为万元，而从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高5x%． (1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值． 【答案】(1) (2)22 【解题思路】（1）依题意列出不等式，解一元二次不等式即可求得x的取值范围为； （2）化简表达式并利用基本不等式即可求出a的最大值为22. 【解答过程】（1）根据题意可知，需满足， 化简为，解得， 故x的取值范围为 （2）由题意得 整理可得， 因为， 当且仅当时，取到最小值10；所以， 即a的最大值为22. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $